Knobelaufgabe Sommer 2004 Lösung

Lösung Knobelaufgabe vom Sommer 2004, von Kai Schäffauer
Aufgabe 1:
Beim Drehen zweier Münzen M1 und M2 gibt es vier unterschiedliche Fälle, die
eintreten können:
- M1 und M2 liegen mit „Kopf“ nach oben
- M1 und M2 liegen mit „Zahl“ nach oben
- M1 liegt mit „Kopf“, M2 mit „Zahl“ nach oben
- M1 liegt mit „Zahl“, M2 mit „Kopf“ nach oben
Im ersten Fall liegen nach der Drehung zwei Münzen mehr mit „Zahl“ nach oben und
zwei weniger mit „Kopf“ nach oben als vorher, im Fall zwei genau umgekehrt. In den
Fällen drei und vier ändert sich an der Verteilung nichts.
Lagen zu Beginn eine ungerade Anzahl Münzen mit „Kopf“ nach oben auf dem
Tisch, so liegt nach beliebig vielen „Doppeldrehern“ ebenfalls eine ungerade Anzahl
Münzen mit „Kopf“ nach oben auf dem Tisch, da sich deren Anzahl immer um zwei
erhöht, zwei verringert oder gleich bleibt. Analog gilt dies für die Anzahl an Münzen
mit „Zahl“ nach oben, die davor und danach (in diesem Fall) eine gerade Anzahl aufweisen. Dies gilt analog bei umgekehrter Verteilung (bei 13 Münzen ist nunmal eine
Anzahl ungerade, die andere gerade).
So lässt sich einfach entscheiden, zu welcher Gruppe die verdeckte Münze gehört:
es muss die Gruppe sein, deren Parität sich (durch das Abdecken einer Münze) geändert hat.
Bsp: Es liegen nach dem Drehen 3 Münzen mit „Kopf“ nach oben und 9 Münzen mit
„Zahl“ nach oben auf dem Tisch sowie eine verdeckte Münze. Lag zu Beginn eine
ungerade Anzahl an Münzen mit „Zahl“ nach oben auf dem Tisch, so muss die verdeckte Münze mit „Kopf“ nach oben zeigen, da die Anzahl an Münzen mit „Kopf“
nach oben nun ungerade ist, sie aber gerade sein müsste.
Aufgabe 2:
Das Recht zu beginnen ist ein Vorteil, genauer gesagt, der Schlüssel zum Sieg.
Prüfbine gewinnt dieses Spiel in jedem Fall, wenn sie folgende zwei Regeln einhält:
- Sie legt den ersten Deckel genau in die Mitte des Tisches
- Jeden weiteren Deckel legt sie an genau die Stelle, die sich ergibt, wenn man
die Position des eben vom Professor gelegten Deckels am Tischmittelpunkt
spiegeln (bzw. um diesen um 180° drehen) würde.
Auf diese Weise kann sie immer, wenn der Professor einen Deckel auf den Tisch
legen kann, ebenfalls einen legen, da die gespiegelte Stelle noch frei sein muss (es
gibt zu zwei verschiedenen Punkten keinen Punkt, der bei gegebenem Spiegelpunkt
Spiegelabbild für beide Punkte sein kann). Damit muss der Professor der erste sein,
der keinen Deckel mehr platzieren kann, und Prüfbine hat gewonnen.
Aufgabe 3:
Zunächst gibt es beim Spiel 15 folgende Möglichkeiten mit drei Zahlen, genau die 15
zu erreichen:
– 9
5
1
– 9
4
2
– 8
6
1
– 8
5
2
– 8
4
3
– 7
6
3
– 7
5
3
– 6
5
4
Wie man sieht, sind dies genau acht mögliche Kombinationen, die Reihenfolge spielt
dabei keine Rolle. Beim Tic Tac Toe gibt es „zufälligerweise“ ebenfalls acht
Möglichkeiten, eine Zeile oder Spalte bzw. Diagonale zu bilden und das Spiel somit
zu gewinnen: drei waagrecht, drei senkrecht und zwei diagonal. Nun liegt es nahe,
die obigen 3-Tupel in einem 3x3-Feld so anzuordnen, dass eben die acht
Möglichkeiten auch die acht möglichen Reihen bilden.
Dazu setzt man zunächst die „5“ in die Mitte, da diese am häufigsten (vier mal) vorkommt, sowohl in den acht 3-Tupeln als auch beim TocTacToe in vier der acht
Reihen enthalten ist. In die Ecken kommen jeweils die Zahlen die drei mal vorkommen, dabei ist auf die richtige Verteilung zu achten. Man fängt dazu an einer
Ecke an, setzt eine der dreimal vorkommenden Zahlen ein (2, 4, 6 oder 8), die in die
gegenüberliegende Ecke zu schreibende Zahl ergibt sich durch die Summe der
Diagonalen automatisch (15 – 5 – x, wobei x die eben eingesetzte Zahl ist). Danach
füllt man eine der beiden übriggebliebenen Zahlen in eine der freien Ecken, die
andere in die gegenüberliegende, die restlichen Zahlen ergeben sich wiederum aus
der Summe der bereits in den einzelnen Spalten oder Zeilen enthaltenen Zahlen (die
Summe muss wiederum 15 sein).
Das Tic Tac Toe-Feld mit den eingetragenen Zahlen sieht damit z.B. folgendermaßen aus:
2
9
4
7
5
3
6
1
8
Den beiden „Spiele“ liegt somit praktisch die selbe Aufgabe zu Grunde, lediglich die
„Formulierung“ der Aufgabe ist eine andere.
Nun muss Prüfbine lediglich dieselben Züge wie der Professor machen, genauer
gesagt macht Prüfbine im Tic Tac Toe dieselben Züge wie der Professor im Spiel 15
und im Spiel 15 dieselben wie der Professor im Tic Tac Toe (da ja wie eben
beschrieben die beiden Spiele praktisch identisch und aufeinander übertragbar sind
ist dies auch ohne Weiteres mit Hilfe des obigen Feldes möglich), somit gehen
entweder beide Spiele unentschieden aus (was auch passiert, wenn beide keinen
Fehler machen) oder Prüfbine gewinnt eines und verliert das andere. Damit wäre
auch diese Aufgabe geschafft und die Prüfung bestanden.