Dezember 2015: Zahlsysteme und Rechnerarithmetik
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MSG 2015/2016 — Zirkel 9a Thorsten Rohwedder Zahlsysteme und Speicherung von Information auf PCs – ab 3. Dezember 2015 – 1. Wie weit kann man mit 10 Fingern zählen? Jeder Finger darf dabei nur in zwei Stellungen, ganz gestreckt oder angewinkelt, verwendet werden. Und: Nein, man kann nicht nur bis 10 zählen. 2. Was kann man mit Fünfergewichten wiegen? Welche Lasten kann man mit einer Balkenwaage auswiegen, wenn man Gewichtssteine von 1, 5, 25, 125, . . . Gramm (jeweils in ausreichender Anzahl) zur Verfügung hat?) 3. Rechnen in anderen Systemen (a) Finde eine einfache Art, vom Fingersystem“ aus der letzten Aufgabe (also dem ” Dualsystem) ins Dezimalsystem umzurechnen – und umgekehrt. (b) Stelle damit die Zahlen 20, 40, 80, 31, 62, 130 im Dualsystem dar. Wie lassen sich Zahlen im Dualsystem größenmäßig vergleichen? 4. Bit und Bytes Schon sehr früh hat sich im Computerbau eingebürgert, eine Binärstelle ein Bit“ zu ” nennen und 8 Bits zu einem Byte zusammenzufassen. Welches ist die größte Dezimalzahl, die man mit einem Byte darstellen kann? Wie sieht sie aus? Einer der frühesten Heimcomputer war 1980 der Apple II mit einer Speichergröße von 64 Kilobyte. Ein Kilobyte enthält 1024 Byte. Wie viele Bytes waren es insgesamt? Jedes dieser Bytes war eine Speicherzelle, die angesprochen werden kann. Wie viele Stellen braucht eine Binärzahl, die die Nummer des höchsten Bytes anspricht? 5. Ein Kreuzzahlrätsel im Fünfersystem 6. Codierung von Farben und das Hexadezimalsystem Auf den meisten Computern werden Farben mit 24-Bit kodiert, das sind 224 = 16.777.216 Farben. Dazu wird meist vereinfachend das Hexadezimalsystem (System zur Basis 16) verwendet. Wir wollen uns dazu mit dem Hexadezimalsystem vertraut machen. (a) Wie sieht die Reihe der Vielfachen von 416 im Hexadezimalsystem aus? (b) Möchte man eine Hexadezimalzahl in eine Binärzahl umwandelt, so lässt sich das ziffernweise tun, z.B. ist 8F 116 = 0100111100012 . Probiere das an einem eigenen Beispiel aus und erkläre, wieso das funktioniert. (c) Wenn man Farbbilder digital speichert und verarbeitet, kann man das tun, indem man sie in Punkte zerlegt und jedem Punkt einen Farbwert zuordnet. Mit dem obigen System braucht man pro Pixel 24 Byte. Wie viel Speicherplatz benötigt ein Bild der Größe 10×15 cm, das mit einer Auflösung von 300 dpi ( dots per inch“, 1 ” inch ≈ 2.54 cm) gescannt wird? 7. ASCII-Codes (a) Wie viele Buchstaben (Sonderzeichen eingeschlossen) enthält eine normale Buchseite ungefähr? Wie viel kB entspricht das? (b) Wie viel kB benötigt ein Buch mit 500 Seiten? Passt es auf eine gute alte 1,44-MBDiskette? (1 MB = 1024 kB = (1024)2 Byte) 8. Rechnen im Dualsystem Versuche, im Binärsystem alles zu tun, was Grundschulkinder im Dezimalsystem tun müssen: (a) Führe analog zur schriftlichen Addition im Dezimalsystem die schriftliche Addition im Binärsystem aus. (b) Fertige im Binärsystem eine Tabelle für das kleine Einmaleins“ und das große ” ” Einmaleins“ an. (Überlege dir vorher genau, was die Begriffe bedeuten!) (c) Führe analog zur Vorgehensweise im Dezimalsystem eine schriftliche Multiplikation im Binärsystem aus, z.B. (1001)2 · (101)2 . Was ist leichter, was ist schwieriger? Warum? (d) Wie sieht es mit der schriftlichen Subtraktion und Division aus? Wie muss man hier vorgehen? 9. Teilbarkeit in anderen Systemen? (a) Wie prüft man im 10er-System auf Teilbarkeit durch 6 (durch 12, durch 15, durch 27)? (b) Wie entscheidet man im 5er-System, ob eine Zahl gerade ist oder nicht? (c) Welche Endstellenregeln erhält man im 6er-System, wenn man die letzten beiden Ziffern betrachtet? MSG 2015/2016 — Zirkel 9a Thorsten Rohwedder Zahlsysteme und Speicherung von Information auf PCs II – ab 19. November 2015 – 10. Rechnen im Hexadezimalsystem (a) Addiere schriftlich im Hexadezimalsystem: AEF 12 + B2C28. Welche Schritte fallen dir schwer? Welche Zwischenrechnungen sollte man ausführen können? (b) Fertige im Hexadezimalsystem eine Tabelle für das kleine Einmaleins an. Welches Muster kannst du in der Tabelle erkennen und vielleicht auch erklären? (c) Probiere dich an der mehrstelligen schriftlichen Multiplikation, z.B. AB·BA. Erkläre das Verfahren. (d) Führe eine schriftliche Division aus, zum Beispiel AB2F : 8. Als Vorbereitung kannst du dir die Achterreihe aufschreiben. 11. Zahlenfragen (a) Welches ist die größte Zahl, die man im Binärsystem schreiben kann? Wie viele Ziffern braucht man für eine doppelt so große Zahl? (b) Wie lauten die Quadratzahlen im Binärsystem? Kann man sie sofort erkennen? 12. Teilbarkeitsregeln2 , Teilbarkeitsregeln16 (a) Kann man eine Regel aufstellen, wann eine Binärzahl durch 3 = 112 teilbar ist? (b) Suche Teilbarkeitsregeln, ähnlich denen für Zahlen im Dezimalsystem, für die Teilbarkeit von Zahlen im Hexadezimalsystem durch die Divisoren 2, 4, 8, 3, 5, F und 6. 13. Nochmal: Multiplizieren im Dualsystem, à la Spätmittelalter Im Bild unten ist die auf John Neper (1550-1617) zurückgehende Rechenmaschine für die Multiplikation im Dualsystem am Beispiel der Rechnung 17 · 13 dargestellt. Löse einige Multiplikationsaufgaben mit Hilfe der Neper’sche Rechenmaschine. Erkläre dann, warum das Verfahren funktioniert. 14. Bonus: Die Arecibo-Botschaft Die Arecibo-Botschaft wurde am 16. November 1976 mit Hilfe des weltweit größten Radioteleskops in der Nähe von Arecibo (Puerto Rico) in den Weltraum gesendet. Ziel des Signals war ein Kugelsternhaufen im Sternbild Hercules, bei dem die Häufung von Sternen und damit die Hoffnung darauf, zufällig eine Zivilisation zu treffen, besonders groß ist. Die Botschaft besteht aus folgender Reihe von 1679 Nullen und Einsen: 000000101010100000000000010100000101000000010010001000100010010110010 101010101010101001001000000000000000000000000000000000000011000000000 000000000011010000000000000000000110100000000000000000010101000000000 000000000111110000000000000000000000000000000011000011100011000011000 100000000000001100100001101000110001100001101011111011111011111011111 000000000000000000000000001000000000000000001000000000000000000000000 000010000000000000000011111100000000000001111100000000000000000000000 110000110000111000110001000000010000000001000011010000110001110011010 111110111110111110111110000000000000000000000000010000001100000000010 000000000011000000000000000100000110000000000111111000001100000011111 000000000011000000000000010000000010000000010000010000001100000001000 000011000011000000100000000001100010000110000000000000001100110000000 000000110001000011000000000110000110000001000000010000001000000001000 001000000011000000001000100000000110000000010001000000000100000001000 001000000010000000100000001000000000000110000000001100000000110000000 001000111010110000000000010000000100000000000000100000111110000000000 001000010111010010110110000001001110010011111110111000011100000110111 000000000101000001110110010000001010000011111100100000010100000110000 001000001101100000000000000000000000000000000000111000001000000000000 001110101000101010101010011100000000010101010000000000000000101000000 000000001111100000000000000001111111110000000000001110000000111000000 000110000000000011000000011010000000001011000001100110000000110011000 010001010000010100010000100010010001001000100000000100010100010000000 000001000010000100000000000010000000001000000000000001001010000000000 01111001111101001111000 (a) Was ist das Besondere an der Zahl 1679? (b) Es handelt sich bei der Botschaft um ein Bild. Probiere, die Botschaft sichtbar zu machen!
