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Wintersemester 1997/98
Dynamische Systeme I
Aufzeichnungen, Folien und Programme
(noch kein Vorlesungsskript!)
Udo Backhaus
Trajektorie eines angeregten harmonischen Pendels im dreidimensionale Zustandsraum
INHALTSVERZEICHNIS
ii
Inhaltsverzeichnis
0 Anlagen
1 Lernziele
2 30. Oktober 1997: Einfuhrung
iv
vii
1
2.1 Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 U bung: Programm HarmonischeSchwingung1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 6. November 1997: Schwingungen eines Federpendels
3.1 Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Aufstellung der Bewegungsgleichung .
3.1.2 Qualitatives Verhalten der Losung . . .
3.2 Analytische Losung . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 U bung: Programm HarmonischeSchwingung2 .
4 13. November 1997: Numerische Integration
4.1 Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Experimentelle Prufung . . . . . . . .
4.1.3 Numerische Integration . . . . . . . . .
4.2 U bung: Programm HarmonischeSchwingung3 .
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5 20. November 1997: Numerische Integration und Grak
5.1 Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . .
5.2 Einfuhrung in die Grak-Programmierung
5.2.1 konventionell: Unit Graph . . . . .
6 4. Dezember 1997: Fortgeschrittene Grak
6.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . .
6.2 Programm HarmonischeSchwingung5
6.2.1 Units Kern und Modul . . . .
6.2.2 Das Programm . . . . . . . .
6.2.3 Hausaufgabe . . . . . . . . . .
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7 11. Dezember 1997: weiter: Fortgeschrittene Grak
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
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Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Web-Dokumentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Programm HarmonischeSchwingung6 . . . . . . . . . . . . .
Genauigkeit und Zeitbedarf bei der numerischen Integration
Hausaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 18. Dezember 1997: Halbschritt-Verfahren, Reibung
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3
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6
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7
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8
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11
11
12
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13
13
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14
14
14
15
15
16
17
8.1 Unterstutzungsangebote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.2 Halbschritt-Verfahren (z.T. Wiederholung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.3 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
INHALTSVERZEICHNIS
iii
8.4 U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9 8. Januar 1998: Zweidim. Bewegung, Phasendiagramm
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Wiederholung . . . . . . . . . .
senkrechter Wurf . . . . . . . .
Zweidimensionale Bewegungen .
Phasendiagramme . . . . . . . .
U bung . . . . . . . . . . . . . .
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21
21
21
22
23
25
10 15. Januar 1998: Schiefer Wurf mit Reibung und Wind
26
11 22. Januar 1998: Integration mit Bibliotheksroutinen
28
10.1 Schiefer Wurf (Verallgemeinerung von Wurf1) . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10.2 Newtonsche Reibung und Wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.1
11.2
11.3
11.4
Veralgemeinerung des Halbschritt-Verfahrens .
Das Programm Wurf5 . . . . . . . . . . . . . .
Bibliotheks-Integrationsroutinen . . . . . . . .
U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 29. Januar 1998 Erzwungene Schwingungen
28
30
31
32
33
12.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
12.2 Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12.3 Hausaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
13 5. Februar 1998 Analytische Losung und Zustandsraum
13.1
13.2
13.3
13.4
Analytische Losung . . . . . . . . .
U bung . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasendiagramme und Attraktoren
Chaotisches Verhalten . . . . . . .
14 12. Februar 1998 Fadenpendel 1
14.1
14.2
14.3
14.4
Wiederholung . .
Nichtlinearitat . .
Das Fadenpendel
U bung . . . . . .
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15.1
15.2
15.3
15.4
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Wiederholung . . . . . . . . .
Simulation des Fadenpendels .
Experiment und Simulation .
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16 Liftkurs 9.-11. Marz 1998
17 14. April 1998: Klausur 1
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15 19. Februar Fadenpendel 2
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49
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53
54
0 ANLAGEN
0 Anlagen
iv
1. Programm HarmonischeSchwingung1: Schraubenfederpendel, Tabellenausgabe
2. Diskette: Borland Pascal 7.0 (Minimalversion)
3. Programm HarmonischeSchwingung2: Schraubenfederpendel, weitere Schleifenkonstruktionen, Pascal-Funktionen und -Prozeduren
4. Programm HarmonischeSchwingung3: Schraubenfederpendel, Parameterubergabe, numerische Integration mit Ganzschritt-Verfahren
5. Programm HarmonischeSchwingung3a: Ausgabe der Ergebnisse einer numerischen Integration "per Hand\
6. Programm HarmonischeSchwingung4: Schraubenfederpendel, grasche Ausgabe
mit Unit Graph
7. Programm Harmonische Schwingung5: Schraubenfederpendel, grasche Ausgabe mit Units Kern und Modul
8. Web-Dokumentation GrafNum { Teil 1
9. Programm HarmonischeSchwingung6: Schraubenfederpendel, automatische Dimensionierung, komfortable Eingabe, Achsenkreuz
10. Programm HarmonischeSchwingung7: Schraubenfederpendel, Halbschritt-Verfahren, Vorlaufzeit vor Grakausgabe
11. Programm Wurf1: senkrechter Wurf
12. Web-Dokumentation GrafNum { Teil 2
13. Programm HarmonischeSchwingung8: Schraubenfederpendel, gedampfte Schwingung
14. Programm HarmonischeSchwingung9: Schraubenfederpendel, Phasendiagramm
15. Programm Wurf2: schiefer Wurf ohne Reibung (nicht verteilt)
16. Programm Wurf3: schiefer Wurf mit Reibung
17. Programm Wurf4: schiefer Wurf mit Reibung Halbschrittverfahren
18. Programm Wurf5: schiefer Wurf mit Reibung Integration mit Bibliotheksroutinen
19. Folie 1: Verallgemeinerung des Halbschritt-Verfahrens
20. Programm Wurf6: schiefer Wurf mit Tischtennisball und Stahlkugel und mit Gegenwind
21. Programm Resonanz: Graphische Darstellung von absorbierender Amplitude A,
elastischer Amplitude B , Schwingungsamplitude y0 und Phasenverschiebung ' der
stationaren angeregten Schwingung (nicht verteilt)
0 ANLAGEN
v
22. Folie 2: Amplituden der stationaren angeregten Schwingung
23. Programm HarmonischeSchwingung10: Schraubenfederpendel, Ort-Zeit-Diagramm
von angeregten Schwingungen
24. Folie 3: Einschwingvorgang bei schwacher Dampfung
25. Programm HarmonischeSchwingung11: Schraubenfederpendel, Phasendiagramm
von angeregten Schwingungen
26. Folie 4: Punktattraktoren
27. Folie 5: Grenzzyklen
28. Programm HarmonischeSchwingung12: Schraubenfederpendel, Ort-Zeit-Diagramm
von angeregten Schwingungen, nichtlineare Ruckstellkraft
29. Programm HarmonischeSchwingung13: Schraubenfederpendel, Phasendiagramm
von angeregten Schwingungen, nichtlineare Ruckstellkraft
30. Folie 6: Chaotischer Attraktor
31. Folie 7: Trajektorie im dreidimensionalen Zustandsraum
32. Programm HarmonischeSchwingung14: Schraubenfederpendel, dreidimensionales Phasendiagramm
33. Programm HarmonischeSchwingung15: Schraubenfederpendel, ultimative Version
34. Programm Pendel0: Fadenpendel: Auslenkung als Funktion der Zeit und Phasendiagramm (nicht verteilt)
35. Programm Pendel1: Fadenpendel: Auslenkung als Funktion der Zeit, Phasendiagramm und "Messung\ der Schwingungsdauer
36. Programm Pendel2: Fadenpendel: Verallgemeinerung von Pendel1: zusatzlich "Messung\ der Amplituden und Berucksichtigung moglicher U berschlage (nicht verteilt)
37. zum Liftkurs:
(a) Abbildung durch Linsen:
i. Programm Linse1
ii. Programm Linse2
iii. Programm Linse3
iv. Programm Linse4
v. Programm Linse5 (verteilt)
(b) Programm Rahmen (verteilt)
(c) senkrechter Wurf:
i. Programm sWurf1
0 ANLAGEN
ii. Programm sWurf2
iii. Programm sWurf3
iv. Programm sWurf4
38. Klausur 1
39. Klausur 1 mit Losung
vi
1 LERNZIELE
vii
1 Lernziele
Die Teilnehmer sollen am Ende der Veranstaltung folgendes konnen:
1. Standard-Pascal:
(a) . . . folgende Schlusselworter und ihre Bedeutung kennen: program, proce-
dure, function, far, const, type, var, begin, end, for, to, do, while,
repeat, until, case, if, then, else, array, in
(b) . . . folgende Datentypen kennen: integer,
LongInt, real, Char, boolean,
String
(c) . . . folgende Schleifenkonstruktionen kennen und anwenden:
i. for-Schleife
ii. while-Schleife
iii. repeat . . . until-Schleife
(d) . . . folgende Standard-Pascal-Funktionen kennen: Write, WriteLn,
ReadLn,
Chr, Ord, Round, sqr, sqrt, sin, cos, arctan, Inc, Dec
(e) die Ergebnisse einer numerischen Berechnung als Tabelle ausgeben,
(f) . . . kleine Programme zur Simulation einfacher Systeme schreiben, die die Ergebnisse in Tabellenform darstellen,
(g) . . . zielgerichtete Abanderungen an einem vorgegebenen Programm durchfuhren,
(h) . . . die Bestimmung von Nulldurchgangen und Maximalausschlagen einer numerischen Losung (zur Bestimmung von Dampfung und Schwingungsdauer)
beschreiben.
2. Zusatzbibliotheken Kern und Modul: die Routinen dieser Bibliotheken bei der
Programmierung numerischer Probleme und ihrer graschen Darstellung nutzen.
Dazu gehoren insbesondere die folgenden Konstanten, Typen, Variablen, Prozeduren
und Funktionen:
(a) Konstanten: Dimension
(b) Typen: Zustand, Zuwachs, AendTyp
(c) Variablen: schwarz, ... weiss, xm, ym, farbig
(d) Prozeduren: liesChar, liesString, liesInteger, liesReal,
setzeTextmodus, setzeGrafikmodus, loescheBildschirm,
setzeBildschirmausschnitt, dimensioniereBildschirm,
zeichneGrafstring, setzePunkt, zeichneLinie,
geheNach, zieheLinieNach, zeichneXAchse, zeichneYAchse,
setze3dBildschirmausschnitt, dimensioniere3dBildschirm, berechnexy3dPlot,
Ganzschritt, RungeKutta
(e) Funktionen: Tastencode,
3. aus der Numerik:
.
xPlot, yPlot
1 LERNZIELE
viii
(a) . . . die Idee der numerischen Integration anhand eines Graphen und eines Fludiagrammes beschreiben,
(b) . . . analytische und numerische Losungen miteinander vergleichen,
(c) . . . das Halbschritt-Verfahren am konkreten Beispiel erlautern,
(d) . . . beschreiben konnen, woran man Integrationsfehler bemerken und wie man
sie verringern kann,
(e) . . . die Bewegungsgleichungen einfacher Systeme in ein Dierentialgleichungssystem 1. Ordnung umwandeln, als Prozedur vom Typ AenTyp formulieren und
mit den vorgegebenen numerischen Routinen Ganzschritt und RungeKutta
integrieren konnen,
(f) . . . Chancen und Risiken der Behandlung reibungsbehafteter Systeme durch
Computersimulation nennen,
4. aus der Theorie dynamischer Systeme:
(a) Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung einer harmonischen Schwingung als
Funktion der Zeit angeben,
(b) . . . die Bewegungsgleichung der (evtl. gedampften und angeregten) harmonischen Schwingung kennen und aufstellen,
(c) am Beispiel der ungedampften harmonischen Schwingung das qualitative Verhalten der Losung aus der Bewegungsgleichung ablesen,
(d) . . . die Bewegungsgleichung der (gedampften) harmonischen Schwingung mit
einem naheliegenden Ansatz durch Einsetzen losen,
(e) zwei Darstellungsarten der allgemeinen Losung der harmonischen Bewegungsgleichung (ohne Dampfung) kennen und ineinander umrechnen
(f) die Losung der gedampften harmonischen Bewegungsgleichung fur gegebene
Anfangswerte von Auslenkung und Geschwindigkeit angeben,
(g) . . . den Ansatz zum Aunden einer stationaren Losung der Bewegungsgleichung einer angeregten Schwingung nennen,
(h) . . . zeigen, da die Summe aus spezieller Losung der inhomogenen und allgemeiner Losung der homogenen Bewegungsgleichung wieder eine Losung der
inhomogenen Gleichung ist,
(i) . . . Denition und Bedeutung von Phasendiagrammen an Beispielen erlautern,
(j) . . . den Zustandsraum eines Systems angeben und allgemeine Eigenschaften
von Trajektorien nennen und begrunden,
(k) . . . den Begri des Attraktors erlautern und Beispiele nennen,
5. aus der Experimentalphysik:
(a) . . . 2. Newtonsches Gesetz (Grundgleichung der Mechanik) und Hookesches
Gesetz kennen und anwenden,
(b) . . . Thomsonsche Schwingungsformel (Abhangigkeit der Frequenz bzw. Schwingungsdauer von den Systemparametern bei Schraubenfeder- und Fadenpendel)
kennen und anwenden,
1 LERNZIELE
ix
(c) . . . Experimente zur Demonstration und U berprufung dieser Gesetzmaigkeiten beschreiben,
(d) . . . die Bewegungsgleichungen fur folgende Systeme ableiten:
i. Schraubenfederpendel (mit und ohne Reibung, mit und ohne Anregung)
ii. Fadenpendel (mit und ohne Reibung)
iii. (schiefer, senkrechter) Wurf mit und ohne Reibung mit und ohne Wind
(e) . . . die wesentlichen Eigenschaften harmonisch angeregter harmonischer Schwingungen nennen und Amplitude und Phasenverschiebung als Funktion der Zeit
darstellen,
(f) . . . die Denition des Widerstandsbeiwertes cW nennen,
(g) . . . das Fadenpendel als Beipiel einer nichtharmonischen Schwingung diskutieren,
(h) . . . die Bewegungsgleichung des Fadenpendels ableiten und aus ihr die Abhangigkeit der Schwingungsdauer von Erdbeschleunigung und Fadenlange gewinnen,
2 30. OKTOBER 1997: EINFU HRUNG
1
2 30. Oktober 1997: Einfuhrung
2.1 Vorlesung
Teilnehmerliste
Terminfrage
U berblick
{ Denition dynamischer Systeme:
Alle physikalischen Systeme sind dynamische Systeme.
Das zukunftige Verhalten eines dynamischen Systems ist durch den momentanen Zustand festgelegt.
Das Verhalten dynamischer Systeme wird durch (kontinuierliche) Dierentialgleichungen oder durch (diskrete) Dierenzengleichungen beschrieben.
{ Die Losungen der dynamischen Gleichungen sind manchmal analytisch, meist
aber nur numerisch zu nden.
{ Bedeutung, analytische und numerische Losung von Dierentialgleichungen sollen gelernt werden.
{ Mandelbrotmenge
{ Vergleich zwischen Theorie und Experiment
{ Gegenuberstellung von regularem und chaotischem Verhalten
Beispiele fur unvorhersagbares Verhalten (Demonstration)
{ Magnetpendel
{ Dreifachpendel
konkreter Einstieg: Schraubenfederpendel (Freihand-Demonstration)
{ qualitatives Verhalten:
nahezu periodischer Vorgang (Idealisierung )
harmonische Schwingung
{ halbquantitative Aussagen: Die Frequenz ist
umso groer, je harter die Feder und je kleiner die Masse ist,
unabhangig von der Amplitude und der Erdbeschleunigung
{ Hausaufgabe: Vorbereitung auf Bewegungsgleichung und deren Losung
2.2 U bung: Programm HarmonischeSchwingung1
Benutzt wird Turbo-Pascal 7.0.
Es wird eine Diskette zusammengestellt, die eine Minimalversion von Turbo-Pascal
und die in dieser Veranstaltung zusatzlich benutzten Modul enthalt.
2 30. OKTOBER 1997: EINFU HRUNG
2
kurzer Vergleich zwischen Compiler und Interpreter.
Einfuhrung in Pascal anhand HarmonischeSchwingung1
{ Schlusselworter program, const, var, begin, end, for, to, do.
{ Typen real, integer.
{ Funktionen und Prozeduren: WriteLn, sqr, sqrt, ReadLn, sin, cos, ReadLn.
{ for-Schleife
Thomsonsche Schwingungsformel wird genannt:
s
!0 = D
m
Das Zeitverhalten von Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung wird vorgegeben:
x = x0 cos(!0t)
v = ;x0!0 sin(!0t)
a = ;x0!02 cos(!0t)
Das Programm gibt elf Werte fur Zeit, Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Tabellenform aus.
3 6. NOVEMBER 1997: SCHWINGUNGEN EINES FEDERPENDELS
3
3 6. November 1997: Schwingungen eines Federpendels
3.1 Vorlesung
3.1.1 Aufstellung der Bewegungsgleichung
l0 ; l0
x
?
@
;
@
;
@
;
@
;@
lG
~
6
y
Ausgangspunkt bilden die Newtonsche Bewegungsgleichung
F~ = m~a
und das Hooksche Gesetz
F = Dl
Dabei bedeuten D die Federkonstante und l die Verlangerung der Feder, die durch
die Kraft F hervorgerufen wird.
Zwei Moglichkeiten der Wahl des Koordinatensystems:
1. linke Seite: Koordinate x, Ursprung an der Decke, Richtung nach unten
F
=) mx
=) x
=) x
0
;D(x ; l0 ) + mg
;D(x ; l0 ) + mg
=
=
=
D (x ; l ; mg )
0
m
D
D
= ;mx
mit x = x ; l0 ; mg
D
;
0
0
2. rechte Seite: Koordinate y, Ursprung in der Gleichgewichtslage, Richtung nach oben
=)
my = D(lG ; y ; l0) ; mg
my = ;Dy (wegen D(lG ; l0) = mg)
In beiden Fallen ist also die folgende Dierentialgleichung zu losen:
x(t) + kx(t) = 0
3 6. NOVEMBER 1997: SCHWINGUNGEN EINES FEDERPENDELS
4
3.1.2 Qualitatives Verhalten der Losung
Benutzt wird:
{ x_ = Steigung der Kurve,
{ x = Krummung der Kurve:
x < 0: Rechtskr
ummung,
x > 0: Linkskrummung.
Die Anfangsbedingungen x0 = x(t = 0) und v0 = x_ (t = 0) mussen bekannt sein.
Wenn x0 = 0 und v0 = 0, dann ist auch a0 = 0. Geschwindigkeit und damit auch
Auslenkung bleiben Null.
Wenn x0 = 0, aber v0 > 0 ist, dann wird im nachsten Moment die Auslenkung positiv
sein. Damit wird aber die Beschleunigung negativ und damit die Geschwindigkeit
kleiner.
Leicht zu sehende Eigenschaften:
{ x > 0 =) Rechtskrummung,
{ x < 0 =) Linkskrummung,
{ die Kurve ist also immer zur Zeitachse hingekrummt.
{ Der Betrag der Krummung ist proportional zu jxj.
{ Es gibt also immer wieder Nulldurchgange.
x
t
Nicht so leicht zu erkennen sind die folgenden Eigenschaften:
{ Der Abstand der Nulldurchgange ist immer gleich.
{ Die Hohe der Extremstellen ist immer gleich.
Diese Aussagen gewinnt man folgendermaen:
{ Man lasse die Zeit in der umgekehrten Richtung laufen, "spule\ also "den Film
zuruck\, d.h. dt ;! ;dt
{ Dann folgen
3 6. NOVEMBER 1997: SCHWINGUNGEN EINES FEDERPENDELS
5
v ;! ;v und
a ;! a.
{ Die Dierentialgleichung bleibt also dieselbe. Das heit aber: Zu jedem Zeitpunkt, an dem v = 0 gilt, mu die Kurve (zeitlich) symmetrisch liegen.
{ Damit mussen alle Extrema gleich hoch sein und die Nulldurchgange denselben
Abstand haben.
Bei diesen Uberlegungen
mu die Kurve schrittweise konstruiert werden: Aus jedem
Zustand ergibt sich der "Folgezustand\. Wir werden sehen, da dies gerade die Idee
der numerischen Integration ist.
3.2 Analytische Losung
x(t) = ;kx(t)
(1)
Gesucht ist eine Funktion, die durch zweimalige Ableitung bis auf das Vorzeichen
und einen (positiven) Faktor in sich selbst ubergeht.
Sinus und Cosinus sind solche Funktionen tatsachlich sind es (im wesentlichen) die
einzigen.
Die Dierentialgleichung ist linear, d.h. die Funktion selbst und ihre Ableitungen
kommen nur in der 1. Potenz vor. Das hat eine wichtige Konsequenz: Wenn zwei
Funktionen f1 und f2 die Gleichung erfullen, dann tun es auch ihre Linearkombinationen:
f1 + kf1 = 0
und
f2 + kf2 = 0
=)
af1 + bf2 + k(f1 + f2) = f1 + f2 + kf1 + kf2 = 0
Ansatz:
=)
=)
=)
x(t)
x_ (t)
x(t)
x(t)
= A sin(!0t) + B cos(!0t)
= !0A cos(!0t) ; !0B sin(!0 t)
= ;!02A sin(!0t) ; !02B cos(!0t)
= ;!02x(t)
Der Ansatz (2) ist also eine Losung der Dierentialgleichung (1), wenn gilt:
!02 = k = D
m
(2)
(3)
(4)
Die Bedeutung von !0 kann man sich folgendermaen klar machen:
(5)
3 6. NOVEMBER 1997: SCHWINGUNGEN EINES FEDERPENDELS
{
t = t0 + 2!
x(t) = x(t0)
=)
0
6
{ Der Zusammenhang zwischen Der Periodenlange T und der Eigenfrequenz
!0 ist also gegeben durch:
T = 2!
0
T = 2 D
=)
(6)
Der Ansatz (2) stellt in Wirklichkeit die allgemeine Losung der Dierentialgleichung
(1) dar!
Die Losung eines konkreten Problems, bei dem die Anfangsbedingungen bekannt
sind, erhalt man folgendermaen:
x(t = 0) = x0
v(t = 0) = v0
=)
rm
)
=)
(
B = x0
!0 = v0
x(t) = !v0 sin(!0t) + x0 cos(!0t)
0
(7)
Diese analytische Losung ermoglicht es, im Gegensatz zum numerischen Verfahren,
zu jedem Wert von t sofort, d.h. ohne Berechnung aller Zwischenzustande, Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu berechnen.
3.3 U bung: Programm HarmonischeSchwingung2
uses Crt: ClrScr, ReadKey
Weitere Schleifen-Konstruktionen:
{ while . . . do . . .
{ repeat . .. until . . .
{ Functionen und Prozeduren: function, procedure
{ Auorderung, das Hauptprogramm so kurz wie moglich zu halten.
4 13. NOVEMBER 1997: NUMERISCHE INTEGRATION
7
4 13. November 1997: Numerische Integration
Verteilung von HarmSch2
4.1 Vorlesung
4.1.1 Wiederholung
Das Verhalten des Schraubenfederpendels wird beschrieben durch die folgende Bewegungsgleichung:
D x(t)
x(t) = ; m
(8)
Diese Gleichung wird gelost durch
{ Allgemeine Losung:
!0 = D
m:
Dieser allgemeine Ansatz ist erforderlich, um alle moglichen Anfangssituationen
(z.B. x0 = 0 ^ v0 > 0 und x0 > 0 ^ v0 = 0) beschreiben zu konnen.
{ Spezielle Losung mit Anfangsbedingungen x(t = 0) = x0 und x_ (t = 0) = v0:
x(t) = !v0 sin(!0t) + x0 cos(!0t)
(9)
0
Diskussion:
{ Die Bewegung ist periodisch mit der Periodenlange
rm
T = 2 D :
{ Die Bewegung ist harmonisch { die Losung kann namlich auch so geschrieben
werden:
x(t) = X0 cos(!0t + ')
Amplitude X0 und Phasenverschiebung ' lassen sich durch A und B ausdrucken (Beweis durch Anwendung des Additionstheorems fur den Cosinus:
Hausaufgabe!, s. Gleichung (11)).
{ Die Schwingungsdauer ist unabhangig von der Amplitude und der Erdbeschleunigung.
{ Die Schwingungsdauer ist proportional zur Wurzel aus der Masse und umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Federkonstanten.
x(t) = A sin !0t + B cos !0 t
s
mit
4 13. NOVEMBER 1997: NUMERISCHE INTEGRATION
8
4.1.2 Experimentelle Prufung
Das zeitliche Verhalten (9) des Federpendels ergab sich deduktiv aus folgenden Annahmen:
1. Newtonsche Bewegungsgleichung (allgemeine Voraussetzung),
2. Unabhangigkeit der Erdbeschleunigung vom Ort,
3. Hookeschem Gesetz.
Das Ergebnis mu deshalb experimentell gepruft werden, um diese Voraussetzungen
zu prufen.
Experimentell konnen gepruft werden:
{ Die Unabhangigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude (mit Freihandversuch bereits geschehen).
{ Die Harmonizitat der Bewegung, z.B. durch Synchronisation der Bewegung mit
der Projektion einer gleichformigen Kreisbewegung (wird weggelassen).
{ Die Abhangigkeit der Schwingungsdauer von der Masse: Vervierfachung der
Masse fuhrt zur Verdopplung der Schwingungszeit.
{ Die Abhangigkeit der Schwingungsdauer von der Federharte: Halbierung der
Federkonstanten (durch Aneinanderhangen zweier gleicher Federn (Begrundung?)) fuhrt zur Vergroerung der Schwingungsdauer um den Faktor 1.4.
4.1.3 Numerische Integration
Die Idee wurde bereits bei der qualitativen Losung der Dierentialgleichung beschrieben.
Grasch kann das Verfahren folgendermaen veranschaulicht werden:
4 13. NOVEMBER 1997: NUMERISCHE INTEGRATION
9
x
x(t1)
r
x(t1) + v(t1 )t
x(t1 + t)
r
r
(x(t1 ) + v (t1 )t) + (a(t1 ) t)t
x(t1) + v(t1 )t
r
r
t1
t1 + t
t1 + 2t
t
Algorithmisch kann es folgendermaen formuliert werden:
1. Zum Zeitpunkt t = 0:0 sind Auslenkung x und Geschwindigkeit v gegeben
(Anfangsbedingungen).
2. Die zugehorige Beschleunigung a lat sich mit Hilfe der Bewegungsgleichung
berechnen.
3. Erhohe t um t, und berechne die zugehorigen Werte von x und v gema
x = x + v t
v = v + at
4. Gehe zuruck nach 2.
Und schlielich als Fludiagramm:
Anfangsbedingungen:
x = v0
v = v0
?- Bewegungsgleichung:
a = a(x v t)
-
x = x + vt
v = v + at
t = t + t
4 13. NOVEMBER 1997: NUMERISCHE INTEGRATION
4.2 U bung: Programm HarmonischeSchwingung3
10
Parameterubergabe:
{ call by value: function Auslenkung(t: real): real der Funktion wird lediglich ein aktueller Zahlenwert, evtl. eine Konstante, ubergeben. Die Variable
t hat nur lokale G
ultigkeit innerhalb der Funktion. Die ubergebende Variable
oder eine Variable gleichen Namens auerhalb der Funktion bleiben unbeein!ut.
{ call by reference: procedure Ganzschritt(a: real var x, v, t: real)
der Prozedur werden Variable x, y, z ubergeben, deren Wert die Prozedur
verandern kann. Die Variablen konnen lokal (d.h. innerhalb der Prozedur) andere Namen haben als global.
Numerische Integration mit Ganzschritt-Verfahren
tabellarischer Vergleich zwischen analytischer und numerischer Losung
Verteilung von HarmSch3
5 20. NOVEMBER 1997: NUMERISCHE INTEGRATION UND GRAFIK
11
5 20. November 1997: Numerische Integration und Grak
5.1 Vorlesung
nachste Woche fallt wegen eines Kolloquiumsvortrages in Gottingen aus!
heute nur "U bung\
5.1.1 Wiederholung
leicht abgeandertes Fludiagramm:
Bewegungsgleichung:
a = ;!02x
Anfangsbedingungen:
x = v0
v = v0
t = 0:0
-
6ja
H
HtH tmaxHH H
?nein
?
Ausgabe
x = x + v t
v = v + at
t = t + t
Ende
direkte Pascal-U bersetzung
x:=x0
v:=v0
t:=0.0
t<=tMax
while
begin
do
a:=-Omega02*x
WriteLn(...)
x:=x+v*dt
v:=v+a*dt
t:=t+dt
end
Einfuhrung und Begrundung der Prozeduren berechneBeschleunigung und Ganzschritt
Besprechung der Hausaufgabe: Fur den Fall D = 1 mN m = 1kg v0 = 0 x0 = 1:0
teile die erste Viertelperiode in 6 Integrationsschritte und berechne die numerische
Losung von Hand !
5 20. NOVEMBER 1997: NUMERISCHE INTEGRATION UND GRAFIK
12
Losung:
t"s]
0.00
0.26
0.52
0.79
1.05
1.31
1.57
x"m] xNum"m] v"m/s] vNum"m/s] a"m/s2] aNum"m/s2]
1.00
1.00
0.00
0.00
-1.00
-1.00
0.97
1.00
-0.26
-0.26
-0.97
-1.00
0.87
0.93
-0.50
-0.52
-0.87
-0.93
0.71
0.79
-0.71
-0.77
-0.71
-0.79
0.50
0.59
-0.87
-0.98
-0.50
-0.59
0.26
0.34
-0.97
-1.13
-0.26
-0.34
-0.00
0.04
-1.00
-1.22
0.00
-0.04
5.2 Einfuhrung in die Grak-Programmierung
5.2.1 konventionell: Unit Graph
zugehorige Befehle:
{ initGraph, closeGraph
{ Erlauterung des Aufbaus des Grak-Bildschirms
{ Umrechnung reale Koordinaten ;! Bildschirmkoordinaten
{ moveto
{ setColor, LineTo, OutTextXY
{ putPixel
Erlauterung und Vorfuhrung von HarmSch4
Nachteile:
{ Au!osungsabhangigkeit
{ Vermischung phys. Probleme ! Programmierprobleme
{ schwierige Anpassung an andere Computersysteme und andere Dimensionierungen
6 4. DEZEMBER 1997: FORTGESCHRITTENE GRAFIK
13
6 4. Dezember 1997: Fortgeschrittene Grak
6.1 Wiederholung
Programm Harmsch4
{ Grundprobleme der Grakprogrammierung
{ Nachteile dieser Art von Programmierung (s.o.)
6.2 Programm HarmonischeSchwingung5
6.2.1 Units Kern und Modul
Grundidee von Kern und Modul: Programme sollen weitgehend rechnerunabhangig
geschrieben werden konnen und durch Verlagerung von einfachen und komplexen
Grakroutinen in Bibliotheken weitgehend auf das physikalische Problem konzentriert bleiben konnen. Kern enthalt die rechner- und compilerabhangigen Routinen,
Modul lediglich darauf aufbauende Routinen, die bereits (weitgehend) unabh
angig
von benutztem Rechner und Compiler sein sollten.
benutzte Befehle: grundlegende Befehle aus Kern:
{
{
{
setzeGrafikmodus, setzeTextmodus, loescheBildschirm,
xm, ym, Farben, zHoehe
setzePunkt, zeichneLinie, zeichneGrafstring
benutzte Befehle: aufbauende Befehle aus Modul:
{
{
{
{
setzeBildschirmausschnitt
dimensioniereBildschirm
xPlot, yPlot
geheNach, zieheLinieNach
6.2.2 Das Programm
Vorteile:
{ weitgehend systemunabhangig,
{ Au!osungsunabhangigkeit ausfuhrlich untersucht
{ Auslagerung der Grakumrechnungen: setzeBildschirmausschnitt ausfuhrlich untersucht
{ Flexibilitat
automatische Dimensionierung mit Extremwertbestimmung in Version 5 eingearbeitet. Soll in Version 6 ubernommen werden.
6.2.3 Hausaufgabe
Schreibe die Version 5 des Programmes so um, da mit der analytisch berechneten Amplitude verglichen wird!
7 11. DEZEMBER 1997: WEITER: FORTGESCHRITTENE GRAFIK
14
7 11. Dezember 1997: weiter: Fortgeschrittene Grak
7.1 Wiederholung
Wegen des Streiks in der letzten Woche etwas ausfuhrlicher als ublich.
Erlauterung der wichtigsten neuen Variablen und Routinen anhand HarmSch5:
{ setzeGrafikmodus, setzeTextmodus
{ xm, ym, setzeBildschirmausschnitt, dimensioniereBildschirm
{ xPlot, yPlot, geheNach, zieheLinieNach, zeichneGrafstring
Besprechung der HA
{ Ansatz:
x(t) = X0 cos(!0t + ')
= X0 cos ' cos !0t ; X0 sin ' sin !0t
{ Koezientenvergleich mit Gleichung (7) ergibt:
v
)
u
2
u
X0 cos ' = x0
t
2 + v0
=
)
X
=
x
0
v
0
;X0 sin ' = !00
!02
(10)
(11)
7.2 Web-Dokumentation
Beim Verteilen Geld einsammeln: 5 DM { weitere 20 Seiten werden folgen.
Hinweisen auf die einfuhrenden Beispielprogramme
U bersichten
{ zu Kern: S. 13f,
{ zu Modul: S. 33f,
{ zu Kenr2: S. 28
gemeinsames Lesen der Grakinitialisierung: Die eigene Grakkarte mu gepruft
werden.
Besprechung der Funktion Tastencode, der zugehorigen Konstanten und der gegenseitigen Umwandlung von Bytes in Buchstaben und umgekehrt durch Chr()
und Ord().
Beispiel: Abfrage der Alternative "(j/n)\:
Taste:=Tastencode
if
Chr(Taste)
in
'j','J']
then
...
Routinen zum Zeichnen von Achsenkreuzen: zeichneXAchse, zeichneYAchse.
Achtung: Der Bildschirm mu vorher dimensioniert sein!
komfortable Eingaberoutinen liesInteger, liesReal, liesChar. Abbruch des
Programmes mit Ctrl C.
7 11. DEZEMBER 1997: WEITER: FORTGESCHRITTENE GRAFIK
15
Abbildung 1: Dimensionierung mit der analytischen Losung bzw. mit dem
tatsachlich berechneten Maximum durch HarmSch6
7.3 Programm HarmonischeSchwingung6
1. Dimensionierung mit der analytisch berechneten Amplitude.
Wahrend des 1. Durchganges werden die Extremwerte berechnet.
2. Dimensionierung mit diesen Extremwerten, nachdem sie symmetrisch gemacht
worden sind (damit die Achseneinteilung vernunftig ist!).
Die Farben werden fur die beiden Durchgange verschieden gewahlt, die Farbe der
vertikalen Achse entsprechend.
Automatische Dimensionierung hat den Nachteil, da alle Kurven fast gleich aussehen.
7.4 Genauigkeit und Zeitbedarf bei der numerischen Integration
Veranderungen an HarmSch6:
{ Das Aufschaukeln des Fehlers beobachten durch tMax = 30.0
{ Verkleinerung der Integrationsschrittweite dt. Diese hat naturlich eine entsprechende Verlangerung der Rechenzeit zur Folge!
Verbesserung des Integrationsverfahrens:
{ Einfuhrung eines Zwischenschrittes bei 2t :
Die Auslenkung wird um die Halfte des Zeitintervalles propagiert:
xNum:=xNum+0.5*vNum*dt
7 11. DEZEMBER 1997: WEITER: FORTGESCHRITTENE GRAFIK
Abbildung 2: Aufschaukeln des Integrationsfehlers bei
HarmSch6
dt=0.1
16
im Programm
Mit dieser Auslenkung wird die neue Beschleunigung berechnet:
aNum:=-Omega0*sqr(xNum)
Mit dieser Beschleunigung wird die neue Geschwindigkeit berechnet:
vNum:=vNum+aNum*dt
Schlielich wird die Auslenkung mit dieser Geschwindigkeit erneut um die
Halfte des Zeitintervalles propagiert:
xNum:=xNum+0.5*vNum*dt
Life\-Experimente am Bildschirm. Ergebnis: Die Genauigkeit wachst weit starker
"als
der zusatzliche Rechenaufwand!
7.5 Hausaufgaben
Verandern Sie HarmSch6 so, da die Pendelschwingung erst nach einer Vorlaufzeit
t0 aufgezeichnet wird!
Schreiben Sie ein Programm, das den reibungsfreien senkrechten Wurf als Funktion
der Zeit darstellt!
8 18. DEZEMBER 1997: HALBSCHRITT-VERFAHREN, REIBUNG
17
8 18. Dezember 1997: Halbschritt-Verfahren, Reibung
8.1 Unterstutzungsangebote
Kopie der Pascal-Einfuhrung?
Betonung: Das grundliche Nacharbeiten der Vorlesung und der Beispielprogramme
ist unerlalich!
Durchhalten: Die meisten erforderlichen Pascal-Techniken haben wir inzwischen besprochen { es sollte diesbezuglich also einfacher werden!
bei Problemen mit den Programmen bzw. mit A nderungen an ihnen: Ausdruck
abgeben, ich sehe ihn nach.
Losungen der Hausaufgaben konnen abgegeben werden und werden dann nachgesehen.
nach dem Semester evtl. 2-3 Tage Lift-Kurs
8.2 Halbschritt-Verfahren (z.T. Wiederholung)
Umwandlung einer Dierentialgleichung 2. Ordnung in ein System von zwei Dierentialgleichungen 1. Ordnung:
{
x + f (x(t))x_ (t) + g(x(t)) = 0
{ Durch Einfuhrung einer neuen Variablen
vx(t) = x_ (t)
wird daraus:
x_ (t) = vx(t) = F1(x(t) vx(t))
v_ x(t) = ;f (x(t))vx(t) ; g(x(t)) = F2(x(t) vx(t))
(12)
Ganzschritt-Verfahren
x(t + t) = x(t) + F1(x(t) vx(t))t
vx(t + t) = vx(t) + F2(x(t) vx(t))t
t = t + t
(13)
8 18. DEZEMBER 1997: HALBSCHRITT-VERFAHREN, REIBUNG
Halbschritt-Verfahren
hx = x(t) + F1(x(t) vx(t)) 2t
hvx = vx(t) + F2(x(t) vx(t)) 2t
x(t + t) = x(t) + F1(hx hvx )t
vx(t + t) = vx(t) + F2(hx hvx )t
t = t + t
18
(14)
Beispiel: Schraubenfeder-Pendel
{ Bewegungsgleichung:
x + !02x = 0
=) f (x(t)) = 0 g(x(t)) = !02x(t)
=) F1(x vx) = vx F2(x vx) = ;!02x
{ Ganzschritt-Verfahren:
x(t + t) = x(t) + vx(t)t
vx(t + t) = vx(t) ; !02x(t)t
t = t + t
{ Halbschritt-Verfahren:
hx = x(t) + vx 2t
hvx
x(t + t)
vx(t + t)
t
=
=
=
=
vx(t) ; !02x(t) 2t
x(t) + hvx t
vx(t) ; !02hxt
t + t
8.3 Reibung
Tatsachlich ist die Schwingung des Schraubenfederpendels gedampft. Ursache: eine
zusatzliche Kraft, Reibungskraft, mit einer der Geschwindigkeit entgegengesetzten
Richtung.
Diese Kraft ist umso groer, je schneller die Bewegung ist. Nimmt man Proportionalitat zwischen Geschwindigkeit und Reibungskraft an,
FR v
(viskose oder Stokessche Reibung)
(15)
8 18. DEZEMBER 1997: HALBSCHRITT-VERFAHREN, REIBUNG
19
andert sich die Bewegungsgleichung (1) in
F = mx = ;Dx ; m
vx
=)
x(t) + x_ (t) + !02x(t) = 0
(16)
Um einen Losungsansatz zu nden, wird die Schwingung genauer experimentell untersucht (funktioniert nur bei starker Dampfung, z.B. in Wasser). Ergebnis: Der
Quotient aufeinanderfolgender Amplituden ist immer gleich. Das ist ein Charakteristikum der Exponentialfunktion:
e c(t+t) = e ct = const
e ct
Ansatz:
x(t) = e ct (A sin(!t) + B cos(!t))
(17)
) x_ (t) = ;ce ct (A sin(!t) + B cos(!t)) + !e ct (A cos(!t) ; B sin(!t))
) x(t) = c2e ct (A sin(!t) + B cos(!t)) ; c!e ct (A cos(!t) ; B sin(!t))
;c!e ct (A cos(!t) ; B sin(!t)) ; ! 2 e ct (A sin(!t) + B cos(!t))
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Einsetzen in die Bewegungsgleichung (16) ergibt eine Gleichung vom Typ
a sin(!t) + b cos(!t) = 0 fur alle t:
Das kann nur richtig sein, wenn beide Koezienten Null sind:
Ac2 + 2c!B ; A!2 ; c
A ; !
B + !02A = 0
Bc2 ; 2c!A ; B!2 ; c
B + !
A + !02B = 0
Umordnen ergibt:
A(c2 ; !2 ; c
+ !02) + B (2c! ; !
) = 0
A(;2c! + !
) + B (c2 ; !2 ; c
+ !02) = 0
Dieses Gleichungssystem fur A und B ist nur losbar, wenn die Koezientendeterminante Null ist:
(c2 ; !2 ; c
+ !02)2 + (2c! ; !
)2 = 0
Also mussen beide Summanden einzeln Null sein. Daraus folgt aber:
2
c = 2
und !2 = !02 ; 4
Die Bewegungsgleichung (16) kann also mit dem Ansatz (17) tatsachlich erfullt
werden, wenn
s
2
2
c = 2 und !02 ; 4 > 0 und ! = !02 ; 4
(18)
8 18. DEZEMBER 1997: HALBSCHRITT-VERFAHREN, REIBUNG
Mit x(t = 0) := x0 und x_ (t = 0) := v0 wird aus (17)
x(t) = e
;
2t
2v + x
0
0
sin(!t) + x0 cos(!t)
(19)
;!
anum = ;!02xnum ; vnum
Hier wird zum ersten Mal der Vorteil numerischer Integration deutlich: Analytisch
macht die Berucksichtigung der Reibung eine vollig neue Losung erforderlich, numerisch mu lediglich ein additiver Zusatzterm eingefuhrt werden.
Noch deutlicher wird das bei einer Reibungskraft, die quadratisch mit der Geschwindigkeit wachst: Die zugehorige Dierentialgleichung lat sich nicht mehr analytisch
losen (obwohl das Pendelverhalten sehr ahnlich aussieht!), wahrend die numerische
Losung ebenso einfach ist wie beim linearen Ansatz.
8.4 U bung
2!
Numerisch ist die Reibung sehr viel einfacher zu berucksichtigen:
anum = ;!02xnum
20
Fragen zum HarmSch6?
Besprechung der Hausaufgabe: Einfuhrung einer Vorlaufzeit: am einfachsten durch
zwei aufeinander folgende while-Schleifen. Bildschirm mu auf das neue Zeitintervall
umdimensioniert werden.
Verteilen und Besprechen von Harmsch7
A nderung von HarmSch7 zur Berucksichtigung der Reibung
Hausaufgabe: Phasendiagramm (v = v(x))
{ qualitative Vorhersage: Wie sieht es fur ungedampfte und gedampfte Schwingungen aus?
{ Programmierung
9 8. JANUAR 1998: ZWEIDIM. BEWEGUNG, PHASENDIAGRAMM
21
9 8. Januar 1998: Zweidim. Bewegung, Phasendiagramm
9.1 Wiederholung
allgemein
Schraubenfeder
senkrechter Wurf
Fges = F (x vx)
Fges = ;Dx ; cvx
Fges = ;mg ; cjvxjvx
x = f (x vx)
x = ;!02x ; vx
x = ;g ; jvxjvx
x_ = vx
v_ x = f (x vx)
x_ = vx
v_x = ;!02x ; vx
x_ = vx
v_ x = ;g ; jvxjvx
Vergleich zwischen analytischer und numerischer Losung:
{ analytische Losung:
exakt
ermoglicht direkte Berechnung des Zustandes zu jedem beliebigen Zeitpunkt
nderungen am System im allgemeinen schwierig oder
Auch nach kleinen A
gar nicht zu berechnen
Erinnerung: Die Einfuhrung eines Reibungstermes beim Federpendel macht
eine vollig neue schwierige Berechnung erforderlich.
{ numerische Losung:
numerische Fehler, deren Groe nicht leicht abzuschatzen ist
Berechnung des Systemzustandes zu einem Zeitpunkt t erfordert die Berechnung aller Zwischenzustande.
Anderungen
am System erfordern im allgemeinen nur die A nderung weniger Zeilen in der numerischen Integrationsroutine
Erinnerung: Einf
uhrung des Reibungstermes (s.o.)
9.2 senkrechter Wurf
Integration eines senkrechten Wurfes (nur andeutungsweise durchgefuhrt):
{ analytische Losung:
x(t) = x0 + v0t ; g2 t2
) x_ (t) = v0 ; gt
(20)
9 8. JANUAR 1998: ZWEIDIM. BEWEGUNG, PHASENDIAGRAMM
22
{ Damit konnen leicht Wurfhohe h und Wurfzeit tW berechnet und zur Dimensionierung verwendet werden:
Wurfhohe: v = 0
)
t = vg0
Wurfzeit: x =) x0 + v0tW ; 2g t2W = 0
)
)
)
2
2
2
h = x0 + vg0 ; 2vg0 = x0 + 2vg0
t2W ; 2gv0 tW ; 2gx0 = 0
v
u
u 2
v
0
tW = g + t vg0 + 2gx0
Verteilen und Besprechen von Wurf1
9.3 Zweidimensionale Bewegungen
Verallgemeinerung des obigen Verfahrens auf Bewegungen in zwei (oder drei) Dimensionen:
F~ges = F~ (~r~v)
=)
x = fx(x vx y vy )
y = fy (x vx y vy)
=)
x_
v_ x
y_
v_ y
=
=
=
=
vx
fx(x vx y vy )
vy
fy (x vx y vy)
(21)
Anwendung auf den schiefen Wurf:
{ Fur Luftreibung gilt in guter Naherung:
Fr v 2 :
{ Die naheliegende Verallgemeinerung der obigen Gleichungen ist jedoch falsch:
FRx
F~R
jF~Rj = m
v 2
oder eleganter:
*
~v
x FRy
?
=) FRx = ;jF~Rj cos = ;m
v2 vx = ;m
vvx
v
F~R = ;jF~Rj j~vvj = ;m
v~v
(22)
9 8. JANUAR 1998: ZWEIDIM. BEWEGUNG, PHASENDIAGRAMM
Die Bewegungsgleichungen lauten also:
x_ = vx q
v_ x = ;
vx2 + vy2vx
v_ = vy q
v_ y = ;
vx2 + vy2vy
23
(23)
9.4 Phasendiagramme
Besprechung der Hausaufgabe:
{ Bei einem Phasendiagramm wird die Geschwindigkeit uber der Auslenkung
aufgetragen.
{ Punktweises Konstruieren fur den ungedampften Fall und v0 = 0:
(Start mit Anfangsgeschwindigkeit)
vx 4
5
p
r
r
r
3
r
r
1
x
2
1. Zu Beginn ist die Auslenkung maximal und die Geschwindigkeit Null.
2. Beim 1. Nulldurchgang ist die Auslenkung Null und die Geschwindigkeit
negativ extremal.
3. Im unteren Umkehrpunkt ist die Auslenkung minimal und die Geschwindigkeit wieder Null.
4. Beim 2. Nulldurchgang ist die Auslenkung wieder Null und die Geschwindigkeit positiv extremal.
5. Ist beim Start die Geschwindigkeit positiv, dann beginnt das Diagramm
an anderer Stelle, und es ergibt sich eine groere Trajektorie.
{ Vermutung: Die Trajektorie formt eine Ellipse. Beweis:
x = x0 cos !t ^ vx = ;!x0 sin !t
=)
!2x2 + vx2 = !02x20
x2 + vx2 = 1
oder
(24)
x2 (!x )2
0
0
{ Bei Berucksichtigung der Dampfung spiralt die Trajektorie in den Ursprung.
Bedeutung von Phasendiagrammen:
{ Bei raumlich beschrankter Bewegung bleibt das Diagramm { anders als das
x(t)-Diagramm { beschrankt.
{ Bei periodischen Bewegungen ergeben sich geschlossene Bahnkurven.
{ Bei periodischen Bewegungen reagiert das Phasendiagramm sehr sensibel auf
numerische Ungenauigkeiten: Die Trajektorie schliet sich nicht, sondern spiralt
u.U. nach innen oder auen.
9 8. JANUAR 1998: ZWEIDIM. BEWEGUNG, PHASENDIAGRAMM
Abbildung 3: Phasendiagramm einer ungedampften harmonischen Schwingung,
erzeugt mit Programm HarmSch9
Abbildung 4: Phasendiagramm einer gedampften harmonischen Schwingung, erzeugt mit Programm HarmSch9
24
9 8. JANUAR 1998: ZWEIDIM. BEWEGUNG, PHASENDIAGRAMM
25
Abbildung 5: Phasendiagramm einer ungedampften harmonischen Schwingung,
erzeugt mit Programm HarmSch9, dt=0.15, tmax=300. Aufgrund
von Integrationsfehlern scheint sich die Schwingung aufzuschaukeln.
9.5 U bung
Losungen zum Pascal-Kurs zur Verfugung gestellt.
Verteilung des 2. Teiles der GrafNum-Dokumentation
Verteilung, Besprechung und Demonstration von HarmSch8
Besprechung der zum Zeichnen eines Phasendiagrammes erforderlichen A nderungen
an Harmsch8.
Verteilung und Demonstration von Harmsch9:
{ unterschiedliche Dampfungen
{ Demonstration der numerischen Fehler bei reibungsfreier Bewegung: Die Trajektorie durchlauft keine geschlossene Ellipse, sondern spiralt mehr oder weniger schnell nach auen. Die Schwingung scheint sich aufzuschaukeln (s. Abb. 5)!
Hausaufgabe: Verallgemeinerung von Wurf1:
1. Zweidimensionale Bewegung: Bahnkurve des reibungsfreien schiefen Wurfes
2. Berucksichtigung der Reibung
3. Ersetzung des Ganzschritt-Verfahrens durch das Halbschritt-Verfahren, dabei
evtl. die analytische Losung der reibungsfreien Bewegung mitzeichnen und zur
Dimensionierung benutzen
10 15. JANUAR 1998: SCHIEFER WURF MIT REIBUNG UND WIND
26
10 15. Januar 1998: Schiefer Wurf mit Reibung und Wind
10.1 Schiefer Wurf (Verallgemeinerung von Wurf1)
Die Erweiterungen des Programmes Wurf1 wurden sehr ausfuhrlich in Form einer U bung
besprochen.
1. Verallgemeinerung: senkrechter Wurf ;! schiefer Wurf:
1. Umbenennung der Ortvariablen x in y (insbesondere in den Zeilen 15, 39, 40):
x ! y vx ! vy
2. Hinzufugen der Horizontalbewegung (insbesondere in den Zeilen 40, 43):
v0 ! v0y vx = const x = vxt
3. A nderung der Dimensionierung und der Achsenbefehle (Zeilen 43-47)
4. A nderung der Zeichenbefehle (Zeilen 60-62):
(xPlot(t), yPlot(x)) ;! (xPlot(x), yPlot(y))
2. Verallgemeinerung: Berucksichtigung der Reibung (Programm Wurf3):
1. ax = 0
2. ay = ;g
ax = ;
vvx
;!
ay = ;g ; vvy
3. Verallgemeinerung: Halbschritt-Integrationsverfahren (Programm Wurf4):
1. Zusammenfassen der Integrationszeilen zu einer
;!
procedure Ganzschritt(var xNum,
vxNum, yNum, vyNum, t: real)
procedure Halbschritt(var xNum,
vxNum, yNum, vyNum, t: real)
2. entsprechende Denition einer Routine
10.2 Newtonsche Reibung und Wind
Die Luftreibung kann man sich dadurch entstanden denken, da der sich bewegende
Korper allen (ruhenden) Luftmolekulen, auf die er trit, dieselbe Geschwindigkeit
erteilt, die er selbst hat (total unelastischer Sto).
Als Gleichung:
FR = ;p_ = ;mv_ = ;
LV v_ = ;
LAvt vt
=) FR = ;
LAv2
Dabei sind L die Dichte der Luft (bzw. allgemeiner des entsprechenden Stromungsmediums), A die Querschnitts!ache des sich bewegenden Korpers und v seine Geschwindigkeit (bzw. allgemeiner die Relativgeschwindigkeit zwischen Korper und
Medium).
10 15. JANUAR 1998: SCHIEFER WURF MIT REIBUNG UND WIND
27
Tatsachlich wird der Korper, je nach Gestalt, nur mehr oder weniger der getroenen Molekule in Bewegung setzen. Das berucksichtigt man durch den sogenannten
Widerstandsbeiwert cW .
In Anlehnung an Newton schreibt man das Widerstandsgesetz deshalb:
FR = c2W LAv2 (Newtonsche Reibung)
(25)
Typische cW -Werte sind (Stocker, S. 165):
Korperform
cW
Fallschirm
1.33
Scheibe
1.1
Kugel
0.45
Personenauto 0.4 - 0.55
Sportauto
0.23
Trag!ugel 0.08 - 0.2
Herrscht keine Windstille, sondern ein Wind mit der Windgeschwindigkeit ~vW ,
dann ist der "Fahrtwind\, der fur die Reibung verantwortlich ist, nicht mehr ;~v,
sondern ~vW ; ~v.
Die Reibungskraft wird deshalb zu
~vF = ;~v ! ~vF = ~vW ; ~v
FR = c2W LAj~vW ; ~vj(~vW ; ~v)
(26)
Der Widerstandskoezient in (22) mu also folgendermaen ersetzt werden:
W
FR = m
v2 = c2W LAv2 =) = 2cm
LA !
(27)
Die Reibungsbeschleunigung ist also von der Masse des bewegten Korpers abhangig,
und zwar ist sie umso groer, je kleiner die Masse ist! Erinnerung: Leichte Korper
fallen langsamer als sonst gleiche schwerere Korper.
Hausaufgabe: Erganzen Sie das Wurf-Programm so, da es
1. die Wurfbewegungen einer 5kg-Stahlkugel und eines Tischtennisballes simulieren kann,
2. Gegenwind einstellbarer Geschwindigkeit berucksichtigen kann.
11 22. JANUAR 1998: INTEGRATION MIT BIBLIOTHEKSROUTINEN
28
11 22. Januar 1998: Integration mit Bibliotheksroutinen
11.1 Veralgemeinerung des Halbschritt-Verfahrens
Verallgemeinerung des Halbschrittverfahrens am Beispiel des schiefen Wurfes im Programm Wurf5. Die U bersicht zeigt Folie 1.
1. Verallgemeinerung:
q
v := vx2 + vy2
ax := ;
vvx
ay := ;g ; vvy
xh := x + vx 2t
vxh := vx + ax 2t
yh := y + vy 2t
vyh := vy + ay 2t
v :=
ax :=
ay :=
x
vx
y
vy
:=
:=
:=
:=
q
vx2h + vy2h
;
vvxh
;g ; vvyh
x + vxh t
vx + axt
y + vyh t
vy + ay t
2. Verallgemeinerung:
(z1 z2 z3 z4) := (x vx y vy)
(w1 w2 w3 w4) := (x_ v_x y_ v_ y )
v
w1
w2
w3
w4
zh1
zh2
zh3
q
:= z22 + z42
:= z2
:= ;
vz2
:= z4
:= ;g ; vz4
:= z1 + w1 2t
:= z2 + w2 2t
:= z3 + w3 2t
11 22. JANUAR 1998: INTEGRATION MIT BIBLIOTHEKSROUTINEN
29
zh4 := z4 + w4 2t
q
v
w1
w2
w3
w4
:= zh22 + zh24
:= zh2
:= ;
vzh2
:= zh4
:= ;g ; vzh4
z1
z2
z3
z4
:=
:=
:=
:=
3. Verallgemeinerung:
{ berechneZuwachs(z, var w):
v
w1
w2
w3
w4
z1 + w1t
z2 + w2t
z3 + w3t
zz + w4t
q
:= z22 + z42
:= z2
:= ;
vz2
:= z4
:= ;g ; vz4
{ Halbschritt(var z, var t)
berechneZuwachs(z, w)
for i:=1 to 4 do hi
i
berechneZuwachs(zh, w)
i:=1 to 4
i
i
z := z + wi 2t
for
do z := z + wit
4. Verallgemeinerung:
In Pascal konnen Vektoren (und Matrizen) durch eindimensionale (und zweidimensionale) Felder (Arrays) beschrieben werden, z.B. durch
var
var
Vektor =
Matrix =
array
array
of
1..3]
real
1..3,1..3]
real
of
Auf die Elemente dieser Felder kann einzeln zugegrien werden, z.B. durch
r:=Vektor1] r:=Matrix1,2]
Die Felder konnen aber auch als Ganzes entsprechenden Variablen zugewiesen werden, z.B. durch
Vektor1:=Vektor2 Matrix1:=Matrix2
Es konnen auch entsprechende Typen neu deklariert werden:
type Vektor = array 1..3] of real
type Matrix = array 1..3,1..3] of real
var v: Vektor m: Matrix
11 22. JANUAR 1998: INTEGRATION MIT BIBLIOTHEKSROUTINEN
30
Mit diesen Moglichkeiten lassen sich die in der 3. Verallgemeinerung zusammengefaten Schritte leicht und elegant formulieren:
type
array
of
Zustand =
1..4]
real
Zuwachs = Zustand
DiffGleichung(z: Zustand
v: real
procedure
var
begin
var
w: Zuwachs)
far
v:=sqrt(sqr(z2])+sqr(z4])
w1]:=z2]
w2]:=-rho*v*z2]
w3]:=z4]
w4]:=-rho*v*z4]
end
procedure Halbschritt(f: integer delta: real
var z: Zustand var t: real)
var zh: Zustand w: Zuwachs
deltah: real i: integer
begin
deltah:=0.5*delta
DiffGleichung(z, w)
i:=1
4
zhi]:=zi]+wi]*deltah
DiffGleichung(zh, w)
i:=1
4
zi]:=zi]+wi]*delta
t:=t+delta
for
to do
for
end
to do
5. Verallgemeinerung: Die Bewegungsgleichung wird der Integrationsroutine (Prozedur-) Parameter ubergeben:
type AendType = procedure(z: Zustand var w: Zuwachs)
procedure DiffGleichung(z: Zustand var w: Zuwachs) far
procedure Halbschritt(f: integer delta: real
var z: Zustand var t: real
Dgl: AendType)
11.2 Das Programm Wurf5
Prozedur DiffGleichung (Z. 63)
Prozedur Halbschritt (Z. 75)
Im kommenden Abschnitt wird erlautert, da der eigentliche Integrationsaufruf in
Zeile 112 durch die Bibliotheksroutinen Ganzschritt oder RungeKutta ersetzt werden kann.
11 22. JANUAR 1998: INTEGRATION MIT BIBLIOTHEKSROUTINEN
31
Abbildung 6: Typische Ausgabe des Programmes wurf6: 1) Stahlkugel, 2) Tennisball und 3) Tischtennisball mit v0 = 10 ms , = 45 und Gegenwind
mit vW = 10 ms
11.3 Bibliotheks-Integrationsroutinen
In Modul sind die folgenden Integrationsroutinen implementiert (Der Parameter tZ hat
hauptsachlich "historische\ Bedeutung, mu aber immer mit ubergeben werden!):
0. const Dimension = 5 (* Bibl. S. 48 *)
type Zustand = array 1..Dimension] of real
type Zuwachs = Zustand (* Bibl. S. 57 *)
type = AendType = procedure(z: Zustand w: Zuwachs)
1. Ganzschritt(f: integer delta: real
var z: Zustand var t: real
var tZ: LongInt
Dgl: AendType)
2. RungeKutta(f: integer delta: real
var z: Zustand var t: real
var tZ: LongInt
Dgl: AendType)
3. Obige Prozedur Halbschritt ist nicht implementiert, konnte aber leicht hinzugefugt
werden.
11 22. JANUAR 1998: INTEGRATION MIT BIBLIOTHEKSROUTINEN
11.4 U bung
32
Besprechung der Hausaufgabe: Berucksichtigung von Wind im Programm Wurf5
Wer war erfolgreich? Schwierigkeiten?
Verteilung und Besprechung von Wurf6:
{ Prozedur liesChar (Z. 56, Bibl. S. 16)
{ U bernahme vorgegebener Parameter durch die case-Anweisung (Z. 58)
{ Zur Zeichnung mehrerer Kurven in ein Bild wird die Grak mit der Prozedur
sichereBildschirm (Bibl. S. 22) gespeichert (Z. 190) und evtl. mit der Prozedur rekonstruiereBildschirm (Bibl. S. 22) wieder auf den Bildschirm geholt
(Z. 129). Die Entscheidung daruber fallt der Benutzer durch seinen Tastendruck
(Z. 199).
{ Die Wurfhohe wird nun allgemeiner berechnet (Z. 93). Allerdings wird die
Moglichkeit einer negativen Wurfhohe nicht berucksichtigt.
{ Die Dimensionierung (Z. 100) wird nun so vorgenommen, da beide Achsen denselben Mastab haben und damit der Abwurfwinkel richtig dargestellt
wird. Die Moglichkeit eines Wurfes nach hinten ( > 90 ) wird in Zeilen 118
berucksichtigt.
{ Berucksichtigung des Windes in DiffGleichung (Z. 135), nachdem der "Gegenwind\ in "Wind\ umgewandelt wurde (Z. 84).
Hausaufgabe: Gr
undliches Durcharbeiten von Wurf6
12 29. JANUAR 1998 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN
33
12 29. Januar 1998 Erzwungene Schwingungen
12.1 Wiederholung
Formulierung der Bewegungsgleichungen eines Systems in Form einer Prozedur vom
Typ AendType
numerische Integration mit den Prozeduren Ganzschritt, Halbschritt und RungeKutta:
Die Parameterliste mu folgendermaen aufgebaut sein: (f, dt, z, t, tZ, Dgl).
Dabei bedeuten:
{ f die Anzahl der Freiheitsgrade, d.h. die Anzahl der zu losenden Dierentialgleichungen,
{ dt die Integrationsschrittweite,
{ z den zu verandernden Systemzustand (eine Variable!),
{ t die Integrationszeit (eine Variable!),
{ tZ einen im Moment nicht benutzten LongInt-Zahler (eine Variable!),
{ Dgl den Namen der Prozedur, die die Bewegungsgleichungen enthalt. Sie mu
vom Typ AendType = procedure(z: Zustand var w: Zuwachs) und als far
deklariert sein.
Besprechung von Wurf6:
{ Wer hat Fragen?
{ Erganzungen meinerseits:
Bei der Dimensionierung gibt es zwei Besonderheiten: Z. 106 bzw. Z. 112
sorgen dafur, da beide Achsen denselben Mastab haben, Winkel also
richtig dargestellt werden. Bei einem Wurf nach hinten (90 < < 270 )
ist die Wurfweite negativ. Das wird in Z. 119f berucksichtigt.
Die Abstande der Achsmarkierungen werden auf glatte Werte gerundet
(Z. 115).
Inc(NrC) (Z. 130): NrC ist vom Typ Char!
Die Beschriftung der Kurven (Z. 184) geschieht an der letzten berechneten
(aber nicht mehr gezeichneten!) x-Position.
weitere Simulationen mit Wurf6:
{ (Kanonen-) Kugel:
1. y0 = 1000 v0 = 1000 = 0
2. y0 = 1000 v0 = 1000 = 45
3. y0 = 1000 v0 = 1500 = 0
{ Tischtennisball:
1. y0 = 2 v0 = 40 = ;3
2. y0 = 2 v0 = 40 = 45
3. y0 = 2 v0 = 40 = 40
12 29. JANUAR 1998 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN
Abbildung 7: Kanonenkugel
Abbildung 8: Tischtennisball
34
12 29. JANUAR 1998 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN
35
4. . . . (Optimierung des Wurfwinkels zur Erzielung der groten Wurfweite
bei ca. = 29 )
Anregung zu experimentellen Untersuchungen:
{ Bestimmung des Reibungsgesetzes,
{ insbesondere Messung von cw -Werten bei bekannter Anfangsgeschwindigkeit
oder
{ Messung der Anfangsgeschwindigkeit bei bekanntem cw
12.2 Anregung
Man kann eine gedampfte Federschwingung entdampfen, z.B. indem man den Aufhangepunkt (Koordinate yA) periodisch auf- und abbewegt. Das kennt man aus
Freihandexperimenten (z.B. beim Jojo). Genauer kann man es mit folgendem Aufbau untersuchen:
p
r
p
Dabei zeigen sich folgende Eigenschaften der erzwungenen Schwingung:
{ Nach einer Einschwingzeit schwingt das Pendel (naherungsweise) harmonisch
mit der Frequenz der Anregung.
{ Die Schwingungsamplitude ist von der Anregungsfrequenz abhangig: Bei kleinen und groen Anregungsfrequenzen ist die Amplitude klein, in der Nahe der
Eigenfrequenz des Pendels gro (Resonanz).
12 29. JANUAR 1998 ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN
36
{ Die erzwungene Schwingung weist eine Phasenverschiebung zur Anregung auf:
Bei kleinen Anregungsfrequenzen schwingt sie etwa gleichphasig, bei groen
etwa gegenphasig. Der U bergang geschieht in der Nahe der Resonanzfrequenz
{ umso schneller, je geringer die Dampfung ist.
Die Bewegungsgleichung ist einfach aufzustellen:
yA = yA0 cos $t
my = ;Dy ; m
vy ! my = ;D(y ; yA) ; m
vy
=) y = ;!02y ; vy + !02yA0 cos $t
Diese Bewegungsgleichung ist explizit von der Zeit abhangig. Unsere Integrationsverfahren sind aber nur anwendbar bei Dierentialgleichungen, deren Koezienten nicht von der Zeit abhangen. Dieses Problem lat sich formal einfach durch
Einfuhrung einer 3. Variablen bzw. eines 3. Freiheitsgrades beseitigen, z.B. der Phase der Anregung p = $t. Damit lat sich die Bewegungsgleichung schreiben als:
y_ = vy
v_ y = ;!02y ; vy + !02yA0 cos p
p_ = $
(28)
(29)
Damit lat sich die angeregte Schwingung ebenso wie die gedampfte Schwingung
untersuchen. Allerdings wird der Phasenraum dreidimensional (y y_ p) { mit
weitreichenden Konsequenzen, wie wir noch sehen werden.
Die Bewegungsgleichung (28) lat sich noch analytisch losen. Allerdings ist der Aufwand bereits ziemlich gro:
1. Die Beobachtung des Experimentes legt folgenden Ansatz fur den stationaren
Fall nahe:
Ansatz: y(t) = A($) sin $t + B ($) cos $t
2. Die Abhangigkeit der Amplituden A und B von der Anregungsfrequenz kann
man bestimmen, indem man (wie fruher) den Ansatz in die Bewegungsgleichung einsetzt und die Koezienten von Sinus und von Kosinus Null setzt
(Anregung fur zuhause!).
12.3 Hausaufgabe
Erweiterung von HarmSch8 (y(t)-Diagramm) um Anregung
Erweiterung von HarmSch9 (Phasendiagramm) um Anregung
Experimentieren mit den Programmen und Verizierung der beobachteten Eigenschaften
evtl.: analytische Losung der Bewegungsgleichung (28)
13 5. FEBRUAR 1998 ANALYTISCHE LOSUNG
UND ZUSTANDSRAUM
37
Abbildung 9: elastische Amplitude A und absorbierende Amplitude B , berechnet
mit Resonanz
13 5. Februar 1998 Analytische Losung und Zustandsraum
13.1 Analytische Losung
Fortsetzung der letzten Vorlesung { analytische Losung der Bewegungsgleichung
(28):
1. { Bewegungsgleichung: y + y_ + !02y = f cos $t (vgl. Gleichung (28))
{ Ansatz:
y = A sin $t + B cos $t
y_ = $A cos $t ; $B sin $t
y = ;$2A sin $t ; $2B cos $t
{ Einsetzen ergibt:
sin $t(;$2A ; $B + !02A) + cos $t(;$2B + $A + !02B ; f ) = 0
( 2 2
(!0 ; $ )A ; $B =0 =) A = !02
2 B
=)
$A + (!02 ; $2)B =f
2 2
=) !2
;$$2 B + (!02 ; $2)B = f =)
0
(!02 ; $2)f
2
2
B
=
(
$)2 + (!02 ; $2)2 (antisymmetrisch in !0 ; $ )(30)
$f
2
2
(symmetrisch
in
!
A
=
(31)
0 ;$ )
2
2
2
2
(
$) + (!0 ; $ )
;
=)
13 5. FEBRUAR 1998 ANALYTISCHE LOSUNG
UND ZUSTANDSRAUM
38
Abbildung 10: Schwingungsamplitude x0, berechnet mit Resonanz
{ Amplitude und Phasenverschiebung erhalt man durch Koezientenvergleich mit
y = y0 cos($t + ') = y0 cos ' cos $t ; y0 sin ' sin $t
(
=)
y0 =
;y0 sin '=A
)
y0 cos '=B
p
=)
(32)
f
(
$)2 + (!02 ; $2)
A2 + B 2 (30)=(31) q
(33)
A = $
(34)
B $2 ; !02
oder besser (weil auch eine Phasenverschiebung von mehr als 90 richtig
wiedergegeben wird):
' (32)
B ; y0
tan '2 = 1 ;sincos
=
(35)
'
A
q
(!02 ; $2) ; (
$)2 + (!02 ; $2)
(36)
=
$
tan ' =
;
{ Anregung: Schreiben Sie ein Programm zur Darstellung der Amplituden
A, B und y0 und der Phasenverschiebung ' als Funktion von !0 !
2. Die allgemeine Losung der Bewegungsgleichung ist die Summe aus dieser speziellen Losung yi der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Losung yh
der homogenen Gleichung (ohne Antrieb), die wir bereits kennen (19):
13 5. FEBRUAR 1998 ANALYTISCHE LOSUNG
UND ZUSTANDSRAUM
39
Abbildung 11: Phasenverschiebung ', berechnet mit Resonanz
=)
y = yh + yi
y + y_ + !o y = (yh + yi) + (y_h + y_i) + !02(yh + yi)
= (yh + y_h + !02yh) + (yi + y_i + !02yi)
= 0 + f cos $t
2
Der Einschwingvorgang ergibt sich dann als Superposition der gedampften
Schwingung mit der Frequenz ! und der stationaren Schwingung mit der Frequenz $ der Anregung:
y = yh0 e 2 t cos !t + yi0 cos($t + ')
oder allgemeiner: y = e 2 t(a sin !t + b cos !t) + A sin $t + B cos $t (37)
;
Bei schwach gedampfter Schwingung kann dieser Einschwingvorgang sehr lange
dauern und ziemlich chaotisch aussehen (s. Abb. 12).
Anregung: Bauen Sie die analytische Losung in unsere Simulationsprogramme ein!
13.2 U bung
minimale Erweiterung von HarmSch8 um Anregung:
{ Erganzung der Bewegungsgleichung
{ OmegaA, OmegaAStr, yA0, yA0Str und die entsprechende Eingabe
{ OmegaA:=OmegaA*2.0*Pi
{ A nderung der Anzahl der Freiheitsgrade im Aufruf von RungeKutta
13 5. FEBRUAR 1998 ANALYTISCHE LOSUNG
UND ZUSTANDSRAUM
40
Abbildung 12: Einschwingvorgang bei schwach gedampftem Pendel (harmsc10:
x0 = 1 v0 = 0 = 0:05 yA0 = 0:2 $ = 0:2 tmax = 200)
Simulationen zur Darstellung der Resonanz mit harmSc10: y0 = 1 v0 = 0 vW =
0 = 0:2 yA0 = 0:2 OmegaA = 0:14 0:15 : : :. Die Resonanzfrequenz liegt bei
$ = 1 =) fA = 21 0:159.
entsprechende Erweiterung von HarmSch9 um Anregung und Simulationen mit HarmSc11
zur Demonstration des Einschwingvorganges: y0 = 1 v0 = 0 = 0:5 : : : 0:01 yA0 =
0:1 fA = 0:2 tmax = 300
13.3 Phasendiagramme und Attraktoren
Oensichtlich sind in vielen Fallen Phasendiagramme besser als Ort-Zeit-Diagramme geeignet, eine U bersicht uber das (Langzeit-) Systemverhalten zu gewinnen. Tatsachlich
werden wir bei der Untersuchung der komplexen Verhaltensmuster nichtlinearer Systeme
fast ausschlielich Phasendiagramme benutzen. Deshalb hier zunachst einige grundsatzliche Bemerkungen dazu:
Die Trajektorien sind zusammenhangende Kurven.
Das ist klar: Es wird vorausgesetzt, da die Zeit kontinuierlich verlauft und die
Ortskoordinaten stetige (sogar zweimal dierenzierbare) Funktionen der Zeit sind.
Die Bahnen (Trajektorien) im Phasenraum konnen sich nicht schneiden.
Ein Schnittpunkt wurde ja bedeuten, da ein und derselbe Anfangszustand zu zwei
verschiedenen Verhaltensweisen des Systems fuhren wurde. Der Phasenraum wird
aber gerade von den Systemvariablen (Freiheitsgraden) des Systems aufgespannt, die
das System vollstandig beschreiben, die also eine eindeutige Vorhersage ermoglichen.
Deshalb sind bei Systemen mit nur zwei Freiheitsgraden nur drei verschiedene Langzeitverhaltensweisen moglich:
13 5. FEBRUAR 1998 ANALYTISCHE LOSUNG
UND ZUSTANDSRAUM
41
Abbildung 13: Punktattraktor (harmsc11: x0 = 0 v0 = 0:4 = 0:1 yA0 =
0:2 $ = 0:2 tmax = 300)
1. Das System kommt zur Ruhe (genauer: ins Gleichgewicht!): Alle Freiheitsgrade
nehmen konstante Werte an, die Trajektorie zieht sich im Phasenraum auf einen
Punkt zusammen (s. Abb. 13).
2. Das System divergiert: Mindestens ein Freiheitsgrad des Systems strebt gegen
unendlich. Die Trajektorie lauft wieder gegen einen Punkt { namlich gegen 1
(s. Abb. 14).
3. Das System nimmt ein stationares Verhalten an: Alle Freiheitsgrade variieren periodisch, und die Trajektorie im Phasenraum wird zu einer (einfach)
geschlossenen Kurve (s. Abb. 15).
Da das Systemverhalten von dieser Grenzgur im Phasenraum geradezu angezogen
wird, nennt man diese Gestalt einen Attraktor. Fur Systeme mit zwei Freiheitsgraden gibt es nur zwei mogliche Arten von Attraktoren: Punktattraktor (incl.
1-Attraktor) und Grenzzyklus!
Das Phasendiagramm des Einschwingvorganges einer erzwungenen Schwingung scheint
viele Schnittpunkte zu haben (s. Abb. 16).
Das ist allerdings eine Tauschung: Der Phasenraum ist in Wirklichkeit dreidimensional, und das Diagramm zeigt nur eine Projektion auf die Ebene p = const
(s. Abb. 17): Die Zustande mit gleichen Werten fur Auslenkung und Geschwindigkeit unterscheiden sich im zugehorigen Wert der Anregungsphase.
Hausaufgabe: Lesen Sie in der Bibliotheksdokumentation den Abschnitt uber Kurven im Raum durch und schreiben Sie ein entsprechendes Programm zur dreidimensionalen Darstellung der Trajektorien im Zustandsraum!
13.4 Chaotisches Verhalten
1. Einblick in chaotische Schwingungen durch Einfuhrung einer Nichtlinearitat:
13 5. FEBRUAR 1998 ANALYTISCHE LOSUNG
UND ZUSTANDSRAUM
Abbildung 14: 1-Attraktor (harmsc11: x0 = 0 v0 = 0:4 = ;0:01 yA0 =
0:2 $ = 0:2 tmax = 300)
Abbildung 15: Grenzzyklus (harmsc11: x0 = 0 v0 = 0:4 = 0:9 yA0 = 0:2 $ =
0:2 tmax = 300)
42
13 5. FEBRUAR 1998 ANALYTISCHE LOSUNG
UND ZUSTANDSRAUM
Abbildung 16: Einschwingvorgang im Phasenraum (harmsc11: x0 = 0 v0 =
0:4 = 0:07 yA0 = 0:15 $ = 0:2 tmax = 500)
Abbildung 17: Dreidimensionale Darstellung der Trajektorie im Phasenraum
(harmsc14: x0 = 1 v0 = 0 = 0:2 yA0 = 0:2 $ = 0:2 tmax =
50)
43
13 5. FEBRUAR 1998 ANALYTISCHE LOSUNG
UND ZUSTANDSRAUM
Abbildung 18: chaotisches Verhalten bei nichtlinearer Ruckstellkraft (harmsc13:
x0 = 1 v0 = 0 = 0:01 yA0 = 0:2 $ = 0:025 tmax = 1000)
-Omega02*z1] ;! -Omega02*z1]*abs(z1])
Chaos entsteht z.B. in HarmSc13 bei folgenden Parametern (s. Abb. 18):
y0 = 1 v0 = 0 = 0:01 yA0 = 0:2 $A = 0:025
Der U bergang kann verfolgt werden z.B. bei Verringerung der Reibung
(
= 0:5 0:1 0:07 0:03 0:025 0:020 : : : 0:001)
oder bei Vergroerung der Anregungsamplitude.
44
14 12. FEBRUAR 1998 FADENPENDEL 1
45
14 12. Februar 1998 Fadenpendel 1
14.1 Wiederholung
Zustandsraum:
{ Der Phasenraum wird aufgespannt von den Orts- und Geschwindigkeitskoor-
dinaten des Systems.
{ Der Zustansraum wird von der kleinsten Zahl von Variablen des Systems aufgespannt, da ein Punkt in diesem Raum den Zustand des Systems eindeutig
bestimmt in dem Sinne, da das zukunftige (und vergangene) Verhalten des
Systems eindeutig vorhergesagt werden kann.
{ Die Anzahl der Dimensionen des Zustandsraumes nennt man auch die Anzahl
der Freiheitsgrade des Systems.
{ Wie wir sahen, stimmen Phasenraum und Zustandsraum manchmal uberein,
aber nicht immer.
Eigenschaften von Trajektorien:
{ Die Bewegung des Systemszustandes auf einer Trajektorie beschreibt die zeit-
liche Entwicklung des Systems.
{ Trajektorien sind stetige (sogar stetig dierenzierbare) Kurven.
{ Trajektorien konnen sich nicht schneiden. (D.i. eine Moglichkeit zu prufen, ob
der gewahlte Raum genugend Dimensionen hat!)
{ Systeme mit zwei Freiheitsgeraden haben nur zwei mogliche Langzeitverhalten:
Punktattraktor und Grenzzyklus.
Einfuhrung von Nichtlinearitat in die Bewegungsgleichung des Schraubenfederpendels . . .
{ . . . kann motiviert werden durch "Federn\, deren Harte von der Dehnung
abhangt, z.B. Gummibander,
{ . . . fuhrt zu "unubersichtlichen\ Bewegungsformen, die
{ schlielich die Frage nach der Stabilitat und der Ordnung in diesen Bewegungsformen aufwirft. (Harmsc13 fuhrt mit den voreingestellten Parametern
und Anfangsbedingungen (s. Abb.18) nach ca. 10000 Sekunden in eine stationare periodische Bewegung! )
14.2 Nichtlinearitat
Harmonische Schwingungen bilden in Natur und Technik einen seltenen Idealfall:
Sie treten nur auf bei linearem Kraftgesetz, wenn also die rucktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist.
Drei Argumente gibt es dafur, sich trotzdem mit ihnen zu befassen:
1. Die analytische Untersuchung ist nur bei linearem Kraftgesetz moglich.
14 12. FEBRUAR 1998 FADENPENDEL 1
46
2. Bei kleinen Auslenkungen ist das Kraftgesetz haug linear (1. Glied der TaylorEntwicklung!).
3. Beliebige periodische Bewegungen lassen sich darstellen als U berlagerung periodischer Schwingungen (Fourierentwicklung ).
Eine oensichtliche Folge der Nichtlinearitat ist die Abhangigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude ! Z.B. wird das Pendel bei quadratischem Kraftgesetz
bei kleinen Amplituden schwacher in die Gleichgewichtslage zuruckgezogen als das
lineare Pendel, bei groen Amplituden viel starker. (Simulation mit HarmSc12:
y0 = 0:1 0:5 1:0 1:35 3 v0 = 0 = 0:1 yA0 = 0 tmax = 50)
Das Entstehen des chaotischen Verhaltens lat sich qualitativ relativ einfach verstehen:
{ Die Einfuhrung der Nichtlinearitat hat zur Folge, da die Frequenz der Eigenschwingung des Pendels von der Amplitude abhangt: sehr groe Frequenz
bei groen Amplituden, immer kleiner werdende Frequenz bei abnehmender
Amplitude.
{ Diese Veranderung der Eigenfrequenz kann zur Folge haben, da sich keine
feste Phasenbeziehung zwischen Schwingung und Anregung einstellen kann.
14.3 Das Fadenpendel
Freihandexperimente am Fadenpendel:
1. Unabhangigkeit der Frequenz von der (kleinen!) Amplitude,
2. Abhangigkeit der Frequenz f von der Fadenlange l:
(a) je groer l, desto kleiner f ,
(b) Vervierfachung von l fuhrt zu Halbierung von f :
s
f 1l
3. Beobachtung der Abhangigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude mit
Fadenpendel und Stoppuhr,
Ableitung der Bewegungsgleichung:
{ Da der Pendelkorper nur in tangentialer Richtung beschleunigt werden kann,
mu auch die resultierende Kraft Fs tangential gerichtet sein. Auf den Korper
wirkt die Gewichtskraft Fg . Der Aufhangepunkt zieht den Korper (mit Hilfe
des Fadens) in Richtung Zentrum. Andere Korper wirken nicht auf das Pendel
ein. Die Fadenkraft FF mu also so gro sein, da sich als Vektorsumme Fg + FF
eine Kraft in Bahnrichtung ergibt:
14 12. FEBRUAR 1998 FADENPENDEL 1
47
r
l
F~F
x
F~s F~
g
{ Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung:
ms = Fg sin =) ml = mg sin (38)
=) = gl sin { Die Sinusfunktion hat die folgende (Taylor-) Reihenentwicklung, wenn man den
Winkel im Bogenma ausdruckt:
2n+1
3
5
X
sin = (;1)n (2n + 1)! = ; 3! + 5! ; + : : :
n=0
1
{ Nur fur sehr kleine Winkel (dann konnen die hoheren Potenzen von ver-
nachlassigt werden) geht (38) in die Bewegungsgleichung einer harmonischen
Schwingung uber:
rg
2
1 =) = !0 mit !0 = l
(39)
{ Eigenschaften der harmonischen Naherung:
1. Die Schwingungsdauer hangt nicht von der Amplitude und nicht von der
Masse ab.
p
2. Die Schwingungsdauer ist qumso groer, je groer l ist ( l), und umso
kleiner, je groer g ist ( 1g ).
{ Da der Sinus des Winkels langsamer wachst als der Winkel selbst, wird die
Schwingungsdauer mit zunehmender Amplitude groer werden.
{ Anschaulich ist klar, da die Schwingungsdauer sogar gegen 1 streben wird,
wenn die Amplitude gegen 180 geht.
14.4 U bung
analytische Losung des angeregten Schraubenfederpendels
14 12. FEBRUAR 1998 FADENPENDEL 1
48
{ Die vollstandige Losung lautete (s. 37):
y(t) = e 2 t(a sin !t + b cos !t) + A sin $t + B cos $t:
;
{ Die Konstanten A und B sind bereits eindeutig bestimmt (s. (30) und (31)).
Die Konstanten a und b ergeben sich aus den Anfangsbedingungen:
y(t = 0) = y0 = b + B
y_ (t = 0) = v0 = ; 2 b + !a + $A
=)
=)
b = y0 ; B
a = !1 (v0 + 2 b ; $A)
Erzeugung einer dreidimensionalen Trajektorie (s. Dokumentation S. 31f):
{ Zunachst mu angegeben werden, wie gro der "Zeichenraum\ sein soll:
setze3dBildschirmausschnitt
(400, 400, 400, xm div 2, ym div 2-50)
(in diesem Fall 400*400*400 Pixel) und wo der Mittelpunkt der Projektion auf
dem Bildschirm liegen soll.
{ Dann mu der Zeichenraum dimensioniert (in drei Richtungen: Die erste wird
nach rechts, die zweite nach hinten, die dritte nach oben aufgetragen!) und
angegeben werden, wie er gedreht werden soll, bevor er parallel auf den Bildschirm projiziert wird:
dimensioniere3dBildschirm
(xmin, xmax, 0.0, OmegaA*tMax, -vMax, vMax, -40.0, -30.0)
(Hier soll zunachst um die Hochachse um 1 = ;40 (im Uhrzeigersinn!), dann
um die Rechtsachse um 2 = ;30 gedreht werden.)
{ "Experimentelle\ Beobachtung des Ein!usses der beiden Winkelparameter:
1 = 0 und 2 = 0 : Phasendiagramm
1 = ;90 und 2 = 0 : Geschwindigkeit als Funktion der Zeit
1 = 0 und 2 = ;90 : Phase als Funktion\ der Auslenkung
"
{ Bevor nun ein Punkt (z1], z3], z2]) auf den Bildschirm gezeichnet werden kann, mussen die Bildschirmkoordinaten ((x3d, y3d) seiner Projektion
berechnet werden:
berechnexy3dPlot(z1], z3], z2], x3d, y3d)
{ Oft kann man sich die Lage einer Kurve im Raum besser vorstellen, wenn
man die Projektion auf eine oder zwei der Koordinatenebenen mitzeichnet.
Diese Projektionen sind einfach zu berechnen, indem eine der Koordinaten
Null gesetzt wird, z.B.:
berechnexy3dPlot(0.0, z3], z2], x3d, y3d)
{ Im Programm HarmSc14 wird die Trajektorie des Schraubenfederpendels entsprechend dargestellt.
15 19. FEBRUAR FADENPENDEL 2
49
15 19. Februar Fadenpendel 2
15.1 Wiederholung
Rolle der Nichtlinearitat
Beispiele anharmonischer Schwingungen
Bewegungsgleichung des Fadenpendels ohne Reibung
15.2 Simulation des Fadenpendels
Algorithmus der Bewegungsgleichung:
{ Erweiterung der Bewegungsgleichung um Reibung:
ms = Fg sin ; ks_
k
=) s = gl sin ; _ mit = m
{ Die Bewegungsgleichung kann ganz einfach in die erforderliche Form gebracht
werden ((z1 z2) = ( _ ):
z_1 = z2
z_2 = ;!02 sin z1 ; z2
mit !02 = gl
{ Ein- und Ausgabe des Ausschlages und der Winkelgeschwindigkeit sollten in
Grad (bzw. Grad/s) geschehen. Da das Programm jedoch im Bogenma rechnet, mussen die entsprechenden Groen direkt nach der Eingabe bzw. vor der
Ausgabe entsprechend umgerechnet werden. Dazu dient die folgende Konstante:
const
Grad = Pi/180.0
{ Die Dimensionierung geschieht mit der zugehorigen harmonischen Schwingung.
Messung der Schwingungsdauer des Fadenpendels in der Simulation
{ "Gemessen\ wird jeweils die Zeit ti, zu der die Auslenkung das Vorzeichen von
positiv nach negativ andert. Dazu mu man sich den jeweils vorhergehenden
Wert ti 1 der Auslenkung merken.
{ Die "gemessene\ Periode ist dann die Dierenz zweier aufeinanderfolgender
solcher Nulldurchgangszeiten (T = ti ; ti 1). Dazu mu man sich jeweils die
vorhergehende Durchgangszeit merken.
{ konkrete Umsetzung in Pendel1:
;
;
if z1]<0.0 then
if yl>0.0 then
(* Nulldurchgang nach unten? *)
begin
(* bereits ein Nulldurchgang gespeichert? *)
15 19. FEBRUAR FADENPENDEL 2
50
if tl>0.0 then
begin
Periode:=t-tl
end
tl:=t
(* Speicherung der Nulldurchgangszeit *)
end
yl:=z1]
{ Ausgegeben wird das Verhaltnis dieser Periode zur Periode Tharm der zugehorigen harmonischen Schwingung:
T = 2 T
Tharm !0
konkret in Pendel1:
(* Ausgabe von T/T(harmonisch): *)
wandleZahlInString(Periode*Omega/2.0/Pi, 1.3, sPeriode)
zeichneGrafstring(0, yG, sPeriode, weiss)
yG:=yG+zHoehe
(* n
achste Ausgabe um zHoehe tiefer*)
15.3 Experiment und Simulation
Abhangigkeit der Schwingungsdauer von der Erdbeschleunigung g: Die Schwingungsebene des Pendels wird um den Winkel gegen die Vertikale geneigt. Dadurch wirkt in der Schwingungsebene nur eine Komponente der Schwerkraft, namlich
g cos . Da gema (38) fur die Schwingungsdauer T 1g ist, sollte man hier erwarten:
1
T pcos
Folgende Meergebnisse wurden erhalten:
p
T
0
655ms
2
T0
T
p
cos 30
699ms 0.937 0.931
45
782ms 0.838 0.841
Abhangigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude: Gemessen und simuliert
wuden folgende Werte:
15 19. FEBRUAR FADENPENDEL 2
T
2
0
655ms
10 657ms
20 659ms
30 666ms
40 675ms
50 684ms
60 699ms
70 717ms
80 738ms
90 760ms
100 793ms
110 835ms
120 873ms
130 938ms
140 1020ms
51
T
T0 (gemessen)
T
T0 (simuliert)
1.003
1.006
1.017
1.031
1.044
1.067
1.095
1.127
1.160
1.211
1.275
1.333
1.432
1.557
1.002
1.008
1.017
1.031
1.050
1.073
1.102
1.137
1.180
1.232
1.295
1.373
1.470
1.595
Messung der Dampfung: Gemessen wird die Abnahme der Schwingungsamplituden.
Anschlieend wird versucht, durch Einstellung des Dampfungsparameters in der
Simulation dieselbe Abnahme zu erreichen. Gemessen wurden bisher folgende Abnahmen:
1. 90 ! 80 ! 74 (das entspricht etwa = 0:08)
2. Abnahme der Amplitude von 50 auf 40 in 14 Perioden (das entspricht etwa
= 0:015).
15.4 U bung
Besprechung von HarmSc15
{ Hauptprogramm:
Information (Z. 378, Z. 30-55)
verschiedene Formen der Ausgabe (Z. 382-387)
{ Eingabe:
Variable Anregung (Z. 73)
Eingabe der Anregungsfrequenz $ als Vielfaches von !0 (Z. 76)
Integrationsschrittweite als Teil der Periode, so da eine typische Systemzeit als Richtschnur dient (Z. 80)
anzuzeigende Zeit als Vielfaches der Anregungsperiode (Z. 84)
15 19. FEBRUAR FADENPENDEL 2
52
gewunschte Art der Ausgabe (Z. 87)
gewunschtes Integrationsverfahren (Z. 98)
{ analytische Losung der harmonischen Schwingung:
Nenner (Z. 128)
A B (Z. 129f)
b a (Z. 132f)
Funktionen analAuslenkung, analGeschwindigkeit (Z. 173)
Dimensionierung mit Hilfe der harmonischen Losung (Z. 135-148)
{ Vergleichsausgabe:
setzedPunkt
for i:=1 to 3
...
case i of
(Z. 252)
Besprechung von Pendel1
{ analytische Losung der harmonischen Schwingungsgleichung als Funktionen
(Z. 67 und Z. 74)
{ Bewegungsgleichung (Z. 86)
{ procedure Ausgabe wird nicht mehr gebraucht (Z. 89-116)
{ Messung der Periode:
Variablen yl, tl zur Speicherung der vorhergehenden Werte
Variable yG fur die Zeile der Ausgabe
Variable sPeriode, String zur Ausgabe der Periode
Registrierung des Nulldurchganges (Z. 144-159)
Erweiterung von Pendel1 um die Messung der Amplituden:
yll:=yl yl:=z1]
RungeKutta(2, dt, z, t, tZ, Bewegungsgleichung)
if (yl>yll) and (yl>z1]) then
begin
wandleZahlInString(yl/lAmplitude, 1.3, sAmplitude)
zeichneGrafstring(xm-6*zBreite, yAmpl, sAmplitude, weiss)
lAmplitude:=yl
yAmpl:=yAmpl+zHoehe
end
Ich wunsche schone Semesterferien!
1998
16 LIFTKURS 9.-11. MARZ
53
16 Liftkurs 9.-11. Marz 1998
Es wurden folgende Aufgaben gestellt und an den Rechnern des Hardware-Praktikums
weitgehend selbstandig gelost, nachdem zunachst die Software installiert und das Erstellen
von Fludiagrammen geubt worden war:
1. Abbildung durch Linsen
(a) Schreiben Sie ein Programm, das bei fester (d.h. als Konstante eingesetzter)
Brennweite zu einer eingegebenen Gegenstandsweite einmalig die zugehorige
Bildweite ausgibt! (Linse1)
(b) A ndern Sie das Programm so ab, da es eine wiederholte Eingabe einer Gegenstandsweite ermoglicht. Abbrechen soll das Programm bei der Eingabe g:=0.0.
(Linse2)
(c) A ndern Sie das Programm so, da auch verschiedene Brennweiten eingegeben
werden konnen. Abbrechen soll das Programm bei Eingabe von f:=0.0. Fur jede Brennweite sollen so lange Gegenstandsweioten eingegeben werden konnen,
bis g=0.0. (Linse3)
(d) Nun soll das Programm fur jede eingegebene Brennweite eine Tabelle anzeigen,
in der fur g=0.5*f, 0.6*f, ... 2.5*f g b g ; f b ; f (g ; f ) (b ; f )
ausgegeben werden. (Linse4)
(e) Schreiben Sie den Quelltext unter Verwendung von Rahmen, so um, da er
moglichst ubersichtlich wird. (Linse5, nicht geschat)
2. senkrechter Wurf
(a) Schreiben Sie, ausgehend von Rahmen, ein Programm, das den senkrechten
Wurf simuliert und die analytische Losung in Form einer Tabelle ausgibt, bis
der Korper auf dem Boden aufschlagt. Der Benutzer soll nach Anfangshohe
und Anfangsgeschwindigkeit gefragt werden, und das Programm abbrechen,
wenn die Anfangshohe kleiner oder gleich 0 ist. (sWurf1)
(b) Schreiben Sie das Programm so um, da es nach auen dasselbe tut, nun
aber numerisch integriert. Benutzen Sie die Bibliotheksprozedur RungeKutta!
(sWurf2)
(c) Schreiben Sie das Programm so um, da Reibung berucksichtigt werden kann
und die Hohe als Funktion der Zeit graphisch dargestellt wird. Der Benutzer soll die Dimensionierung in horizontaler und vertikaler Richtung einstellen
konnen. Anschlieend andern Sie das Programm so, da es stattdessen die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit darstellt! (sWurf3 zeichnet beide Kurven
in ein Diagramm.)
(d) Schlielich soll das Programm das Phasendiagramm darstellen, nachdem der
Benutzer wieder die Dimensionierung in beiden Richtungen eingestellt hat.
(sWurf4)
17 14. APRIL 1998: KLAUSUR 1
17 14. April 1998: Klausur 1
54