Trigonometrie

Schulmathematik: Lineare Algebra und Analytische
Geometrie
Referat
C. Gruber, F. Kruse, L. Pfeiffer
SS 2017
Bearbeiten Sie den gegebenen Arbeitsauftrag/die Aufgaben. Beantworten Sie auch die
folgenden Fragen für jede Aufgabe (sofern die Aufgabe das zulässt).
• Welche mathematischen Voraussetzungen sind zur Bearbeitung der Aufgabe notwendig? Welche Begriffe, Konzepte und mathematischen Resultate müssen bekannt
sein?
• Könnte die Aufgabe in einem konkreten Schulkontext gestellt werden? Wenn ja, in
welchem (Schulstufe, Schulform, Unterrichtssituation)?
• Welche mathematischen Kompetenzen werden mit der Aufgabe trainiert?
• Welchen didaktischen Wert könnte die Aufgabe haben (z. B. Wecken von Interesse,
Schüren von Kompetenzen, Vernetzung von Begriffen etc.)?
Bereiten Sie jede Aufgabe so vor, wie sie in dem Schulkontext, den Sie sich vorstellen,
eingesetzt werden könnte.
Arbeitsauftrag 5.
Stellen Sie für jede Aufgabe sowohl die Aufgabenstellung als auch die zu ihrer Lösung
erforderlichen Überlegungen geometrisch dar.
In allen Aufgaben darf verwendet werden, dass die Winkelsumme im Dreieck sowie Winkel
an Geraden 180◦ betragen. Darüber hinaus dürfen nur die Aussagen verwendet werden,
die explizit genannt sind.
Aufgabe 13.
Beweisen Sie den Satz von Pythagoras. Verwenden Sie dabei nur, dass ab der Flächeninhalt
eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b ist. Unter einem Rechteck verstehen wir dabei
ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten gleichlang und alle vier Winkel rechte sind.
Aufgabe 14.
Beweisen Sie die Umkehrung des Satzes von Pythagoras. Verwenden Sie dabei nur die
Aussagen aus der Vorlesung über ähnliche Dreiecke.
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Aufgabe 15.
Gegeben seien zwei Punkte A und B in der Ebene. Weisen Sie unter Verwendung des
Satzes von Pythagoras nach, dass ein Punkt C genau dann denselben Abstand von A und
B hat, wenn er auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB liegt.
Aufgabe 16.
Benutzen Sie Aufgabe 15 und die Aussagen aus der Vorlesung über ähnliche Dreiecke, um
den Basiswinkelsatz samt Umkehrung zu beweisen.
Aufgabe 17.
Beweisen Sie unter Verwendung des Basiswinkelsatzes den Kreiswinkelsatz und folgern
Sie daraus den Peripheriewinkelsatz sowie den Satz von Thales.
Aufgabe 18.
Beweisen Sie die Umkehrung des Satz von Thales. Verwenden Sie dabei die Aussagen aus
der Vorlesung über ähnliche Dreiecke in Kombination mit Aufgabe 15.
Aufgabe 19.
Beweisen Sie durch mehrfache Anwendung des Kreiswinkelsatzes die folgende Formel für
den Umkreisradius eines Dreiecks:
2R =
b
c
a
=
=
.
sin α
sin β
sin γ
Verwenden Sie dabei für den Sinus nur die Definition am rechtwinkligen Dreieck.
Zur geometrischen Veranschaulichung benutzen Sie bitte ein stumpfwinkliges Dreieck.
Aufgabe 20.
Beweisen Sie, dass der Satz von Pythagoras und der Kathetensatz äquivalent zueinander
sind.
Aufgabe 21.
Beweisen Sie, dass der Satz von Pythagoras den Höhensatz impliziert.
Aufgabe 22.
Zeigen Sie, dass die Umkehrung des Kathetensatz gilt, indem Sie sie auf die Umkehrung
des Satz von Pythagoras zurückführen.
Aufgabe 23.
Zeigen Sie, dass die Umkehrung des Höhensatz gilt, indem Sie sie mit Hilfe des Satz von
Pythagoras auf die Umkehrung des Satz von Pythagoras zurückführen.
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