Hydrostatik
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H T W Hydrostatik 1. Was ist Hydrostatik? 2. Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 3. Ruhende Flüssigkeiten 4. Schweredruck (Hydrostatischer Druck) 5. Flüssigkeitsmanometer 6. Auftrieb in Flüssigkeiten 7. Gesetz des Archimedes 8. Boyle-Mariottesches Gesetz 9. Schweredruck der Gase 10. Auftrieb in der Atmosphäre 11. Laminare- und turbulente Strömung Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik I, WS 2015/2016 1 Literatur • J. Zierep, Karl Bühler: Grundzüge der Strömungslehre; siebte Auflage, Vieweg- u. Teubner Verlag, 2008. • Paul A. Tipler: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, sechste Auflage, Springer Spektrum Verlag. • Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure; Springer Verlag, 2012. • Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme; sechste Auflage, Springer Verlag, 2013. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 2 Hydrostatik- und Aerostatik Die quantitative Beschreibung einer Strömung erfolgt in einem Punkt (x,y,z) des Feldes zu jeder Zeit t durch folgende Größen: Geschwindigkeit v (Vektor) = (u,v,w), Druck p, Dichte ρ, Temperatur T. Betrachtet wird die Existenz der Zustandsgrößen als Funktionen von (x,y,z,t). Ł Kontinuumsmechanik. Insgesamt bestehen 6 abhängige und 4 unabhängige Variablen. Zur Bestimmung der 6 Variablen sind die physikalischen Grundgesetze der Strömungslehre erforderlich. Sie werden als Erhaltungssätze dargestellt. Diese sind: Massenerhaltung (Kontinuität), Energiesatz, Impulssatz (Kräftegleichgewicht), Zustandsgleichung (thermodynamische Verknüpfung von Druck, Dichte, Temperatur). Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 3 Hydrostatik- und Aerostatik Kontinuität = Massenerhaltung Kräftegleichgewicht (Impulssatz) Erhaltungssätze Energiesatz (1. Hauptsatz, Wärmeleitungsgleichung) Zustandsgleichung (thermodynamische Verknüpfung von Druck p, Dichte ρ, Temperatur T. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 Fluid 4 T ermittelt aus p und ρ. Hydrostatik- und Aerostatik Hydrostatik Aerostatik ruhende Flüssigkeit ruhende Atmosphäre Hydrodynamik Aerodynamik p ρ v Bsp. bewegte Flüssigkeit bewegte Atmosphäre Veränderliche Größen Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 5 Hydrostatik- und Aerostatik Theorien von: Euler, Newton, Bernoulli, D' Alembert, Kirchhoff, Helmholtz, Rayleigh Technische Strömungslehre oder Hydraulik: Forscher: Hagen, Poiseuille, Reynolds Darstellung der Strömungen Grenzschichttheorie Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 6 Grenzschichttheorie Grenzschichttheorie von Prandl: Die Ursache für den Reibungswiderstand eines Körpers ist in der Grenzschicht zu suchen. Strömungsgrenzschicht an der längsangeströmten, ebenen Platte Strömung- und Temperaturgrenzschicht an der ebenen Platte. Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 7 Grenzschichttheorie Grenzschichttheorie von Prandl: Die Grenzschichttheorie führt zur Vereinfachung der nichtlinearen Differentialgleichungen. Neben den Reibungsverlusten spielt der Wärmeübergang auch eine wesentliche Rolle. Im Bild ist auch neben der Strömungsgrenzschicht die Temperaturgrenzschicht eingezeichet. Beide Grenzschichten haben ihre Ursachen in physikalischen Vorgängen: Reibung und Wärmeleitung. Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 8 Eigenschaft von Fluiden Kristall (T1) fest Nahordnung < Schmelze (T2) < flüssig Fernordnung Gas (T3) gasförmig Umordnung Je nach Dichtegröße der Flüssigkeit oder Gas, beeinflussen sich die Teilchen untereinander. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 9 Hydro- und Aerostatik: Flüssigkeitsdruck Kräftegleichgewicht am ruhenden Massenelement y p( x , y , z ) , ρ( x , y , z ) dx = ds ⋅ cosα dy dy = ds ⋅ sinα r ∑ Fα = 0 α r ∑ Fx = px ⋅ d y ⋅ d z − ps sinα ⋅ dsd z = ( px − ps )dydz = 0 ds Fpx Fps α α dx FG x Fpy α r 1 F = p ⋅ dx ⋅ dz − p cos α ⋅ dsdz − dxdydz ρ ⋅ g = ∑ y y s 2 α 1 = ( p y − ps − ρ ⋅ g ⋅ dy )dxdz = 0 FG 2 1 ps = p y − ρ ⋅ g ⋅ dy 2 dy Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 dz 10 Hydro- und Aerostatik: Flüssigkeitsdruck Wenn Massenelement auf ein Punkt zusammengezogen dann folgt: ps = p y y ps = px = p y dy ds Fpx Fps α α dx FG Der Flüssigkeitsdruck p ist eine skalare Größe. x Fpy dy dz Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 11 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Gleichgewichtsbetrachtung für Quader Wichtige Gleichungen: r f = ( fx , f y , fz ) pd y d z − ( p + mit r r F f = m ∂p dx )dydz + f xdm = 0 ∂x z.B. FG in X-Richtung z ∂p p + dx dydz ∂x p dy dz dz ∂p − dxdydz + f xdm = 0 ∂x dm = ρ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz y dx dy x fx = 1 ∂p ρ ∂x fy = 1 ∂p ρ ∂y fz = 1 ∂p ρ ∂z Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 12 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Beispiel Druck in Flüssigkeiten r r f z = ( ω 2 x ,ω 2 y ,0 ) f s = ( 0 ,0 ,− g ) Zentrifugalkraft Schwerkraft Für fs und fz folgen aus 1 ∂p = −g ρ ∂z 1 ρ r grad p = f z Hydrostatische Grundgleichung r f = ( fx , f y , fz ) 1 ∂p = ω2 x ρ ∂x fx ω = const 1 ∂p = ω2 y ρ ∂y fy 1 ∂p = −g ρ ∂z fz Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 13 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Beispiel Druck in Flüssigkeiten Aus der Hydrostatischen Grundgleichung 1 ρ ∂p = − g∂z 1 ρ p2 z2 p1 z1 ∫ ∂p = − g ∫ ∂z 1 ∂p = − g folgt: ρ ∂z p2 − p1 = ∆p = − gρ( z2 − z1 ) = − ρ g h Der Druck nimmt in Flüssigkeiten linear mit der Tiefe zu. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 14 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Beispiel Druck in Flüssigkeiten Bei Drehung des Fluids um die Z-Achse entsteht ein Paraboloid. f z = ( ω 2 x ,ω 2 y ,0 ) Isobaren bei Drehung des Fluids um die Z-Achse Zentrifugalkraft z Eulersche Gesetz der Hydrostatik: 1 ρ r grad p = f 1 ∂p = ω2x ρ ∂x 1 ∂p = ω2 y ρ ∂y 1 ∂p = −g ρ ∂z z = z0 r 1 p( x , y , z ) = ρ ω 2 ( x2 + y 2 ) − g ⋅ ρ ⋅ z + const 2 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 15 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Beispiel Druck in Flüssigkeiten Gleichgewichtsbetrachtung für die Flüssigkeitsoberfläche z − z0 = ω2 2g r2 z Druckverlauf in Flüssigkeiten und Gasen nur im Schwerefeld. m·ω2r In einer ruhenden Flüssigkeit (Dichte ρ ist konstant), erhält man aus: 1 p( x , y , z ) = ρ ω 2 ( x2 + y 2 ) − g ⋅ ρ ⋅ z + const 2 mg 0 ∆p = p1 − p2 = ρ gh Der Druck nimmt in Flüssigkeiten linear mit der Tiefe zu. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 16 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Beispiel Druck in Flüssigkeiten Der Druck nimmt in Flüssigkeiten linear mit der Tiefe zu. ∆p = p1 − p2 = ρ gh Schweredruck z 2 N kg 1Pa( Pascal ) = 1 2 = 1 2 m ms N 1bar = 105 Pa = 105 2 m Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 h 1 p2 p1 p 17 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Einheiten WS at atm Pa Ältere Einheiten: 1at = 1kp 2 : : : : Wassersäule Technische Atmosphäre Physikalische Atmosphäre Einheit Pascal = 10mWS = 0 ,981bar cm 1atm = 760Torr = 76cm Hg = 1,013 bar = 1013 mbar 1Torr = 1 atm = 133 Pa 760 1 mm Hg = 13,6 mmWS Ältere Definition: Druck einer 10 m hohen Wassersäule (WS = 1 at) oder 76 cm hohe Hg-Säule ( = 1 atm). Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 18 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Barometer Druck einer 10 m hohen Wassersäule (WS = 1 at) oder 76 cm hohe Hg-Säule ( = 1 atm). p2 Prinzip des Barometers: Die Druckmessung kann somit auf eine Längenmessung zurückgeführt werden. h d p1 z Die maximale Steighöhe wird bei p2 = 0 erreicht. Ist der Atmosphärendruck p1 und wird der Dampfdruck vernachlässigt, dann ist die maximale Höhe hmax = 10 m WS. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 H2O 19 Flüssigkeitsdruck in Kraftfeldern: Barometer Prinzip des Barometers unter Berücksichtigung der Kapillarität: p2 ∆ p = p1 − p'2 = ρ g h Die Oberflächenspannung führt bei vollständiger Benetzung zur Druckifferenz: ∆ p = p2 − p'2 = 4σ d h d p1 z Durch Subtraktion ergibt sich: p −p 4σ h= 1 2 + ρg dρg p2 p'2 H2O Kapillarität Es sieht so aus als ob durch Erhöhung der Kapillarität die Steighöhe vergrößert werden könnte. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 20 Druckverteilung in einem geschichteten Medium ℜ : Spezifische (spezielle) Gaskonstante Eulersche Gesetz R : Allgemeine Gaskonstante m : Molmasse 1 ∂p = −g ρ ∂z dp g dz =− ⋅ p ℜ T( z ) Ideale Gasgleichung pV = m ⋅ ℜ ⋅ T p = ℜ ⋅T ρ( z ) Für isotherme Gasschichten gilt mit p(z0) = ρ(z0) = ρ0: Barometrische Höhenformel g p = p0 exp − ( z − z0 ) ℜT g ( z − z0 ) ℜT ρ = ρ0 exp − Bei einer Flüssigkeit konstanter Dichte ist die Abhängigkeit des Druckes von der Höhe linear. In dem beschriebenen Fall (Dichte variabel) ist die Abhängigkeit des Druckes von der Höhe exponentiell. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 21 Druckverteilung in einem geschichteten Medium Das Bild zeigt den Druckverlauf in einer isothermen Gasschicht. In der Atmosphäre wird die Temperatur in der Troposphäre und in der Stratosphäre durch eine Gerade, bzw. durch eine Konstante gut angenähert. In der Troposphäre führt eine Integration zur Potenzfunktion. In der Stratosphäre dagegen führt eine Integration zur Exponentialfunktion. Bei der Tropopause gehen die beiden Druckfunktionen stetig differenzierbar ineinander über was ein Folge der hydrostatischen Grundgleichung ist, weil die Dichte im Übergang ja stetig ist. Die Barometrische Höhenformel wird in der Meteorologie zum Beispiel bei der Auswertung des Aufstiegs sehr oft benutzt. g p = p0 exp − ( z − z0 ) ℜT κ p ρ = p0 ρ0 κ= z Stratosphäre Stratosphäre Exponentialfunktion g p = p0 exp − ( z − z0 ) ℜT ∝10 km Tropopause cp cV z Potenzfunktion Tropossphäre Tropossphäre T0 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 T κ p ρ = p0 ρ0 p0 p 22 Druckverteilung in einem geschichteten Medium Quelle: www.kowoma.de/.../Atmosphaere_02.jpg Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 23 Druckkraft auf ebene Behälterwände Die Betrachtung der Druckkraft auf ebene Behälterwände ist für die Dimensionierung von Gefäßen, Behältern und Staudämmen wichtig. ∆ p = p1 + ρ g z p(l) Die von der Flüssigkeit auf A übertragene Kraft : l ps r F =F h p2 F = ∫ pdA = ∫ ( p1 + ρgz )dA = A p1 p1 α z = l cos α ls p1 A z A p1 A + ρg cosα ∫ ldA = A p1 A + ρg cosα ls A = p1 A + ρgzs A = ps A Schwerpunktkoordinate ∫ ldA = ls A A Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 24 Druckkraft auf ebene Behälterwände Die von der Flüssigkeit ausgeübte Kraft ist gleich der Druck im Flüssigkeitsschwerpunkt mal die Fläche: F = ps A Falls außen der Druck p1 herrscht gilt: FRe s = ρgzs A F = p1 A + FRe s p1 p1 p(l) h Bei der Bestimmung der Kraft heben sich die Unterdrücke über dem Schwerpunkt mit den Überdrücken unter dem Schwerpunkt auf. Der Grund ist die lineare Druckverteilung im Behälter. p2 l ps α ls p1 A z Bei den Momenten ist das anders. Zur Bestimmung des Angriffpunktes gilt: Die Überdrücke unter dem Schwerpunkt haben einen größeren Hebelarm als die Unterdrücke. Das hat zur Folge, dass die Kraft unter dem Schwerpunkt angreift. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 25 Druckkraft auf ebene Behälterwände Momentengleichgewicht bezüglich der X-Achse: lm : Angriffspunkt der resultierenden Kraft FRes FRe s l m= ρgzs Al m= ∫ ( p − p1 )l dA = ∫ ρgzl dA = A ρg cosα ∫ l 2dA = ρg cosα J x A A lm = p1 Jx A ls Jx ls h lm z p1 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 26 Druckkraft auf ebene Behälterwände Wird die Achse parallel durch den Schwerpunkt verschoben, dann gilt unter Anwendung des Satzes von Steiner: J x = J s + A ls 2 wobei Js das Flächenträgheitsmoment bezogen auf die Schwerachse parallel zur X-Achse ist: lm = Jx A ls lm − ls = Js >0 A ls Der Angriffspunkt der Kraft liegt unterhalb des Schwerpunktes. Dieser Unterschied kann sehr groß sein. Zum Beispiel ergibt sich bei einem rechteckigen Behälter für ls und lm: h ls = 2 p1 ls h lm z p1 3 lm = h 2 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 27 Druckkraft auf ebene Behälterwände: Hydrostatische Paradoxon Die resultierende Kraft FRes auf der Bodenfläche der unterschiedlichen Gefäßen ist nur abhängig von ρg, von der Fläche A und Höhe zs aber unabhängig von der Form des Gefäßes. FRe s = ρgzs A Die auf die Bodenfläche ausgeübte Kraft ist die gleiche bei allen Gefäßen, obwohl das Gewicht der in den Behältern enthaltenen Flüssigkeit verschieden ist. z h = zs A A A Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 28 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Der Druck an der Körperunterseite > Druck Körperoberseite Auftrieb dFz = p2 dA2 cos β − p1dA1 cosα = ( p2 − p1 )dA dA ∫ dFz = ρFluid ⋅ g ⋅ ∫ hdA dA ρ Fluid ⋅ g ⋅ h Fz = ρ Fluid ⋅ g ⋅V p1 dA1 α h dA Archimedisches Prinzip: G ρ Körper ⋅ g ⋅V = Fz ρ Fluid ⋅ g ⋅V p2 dA2 β V ist das Volumen des vom Körper der verdrängten Flüssigkeit. Archimedisches Prinzip gilt auch für teilweise eingetauchte Körper. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 29 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Der Druck an der Körperunterseite > Druck Körperoberseite Auftrieb Beispiel: Wird ein Körper in Wasser eingetaucht und gewogen, so ist sein scheinbares Gewicht geringer als in Luft. Der Grund ist der Auftrieb (Kraft nach oben gerichtet). Diese Kraft wirkt vom Wasser auf den Körper und kompensiert somit ein Teil der Gewichtskraft des Körpers. Der Betrag des Auftriebes ist gleich der Gewichtskraft der durch den Körper verdrängten Flüssigkeit. Quelle: Paul A. Tipler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 30 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Der Druck auf der Körperunterseite > Druck Körperoberseite Auftrieb Wird ein Körper im Wasser gewogen, so ist das „scheinbare“ Gewicht kleiner als das Gewicht des Körpers in Luft gemessen. Der F1 Grund ist der wirkende Auftrieb. Auf den gezeigten Körper wirken aufgrund des aufgebauten Drucks der Flüssigkeit, F1 und F2. Außerdem wirken die Federkraft FFeder, und das Gewicht FGewicht auf den Körper. F2 FAuftrieb = F1 + F2 FAuftrieb ist die Kraft die von dem Flüssigkeitselement auf den schwimmenden oder eingetauchten Körper ausgeübt wird. Der Auftrieb ist nach oben gerichtet. FFeder FFeder m m FAuftrieb FGewicht FGewicht FFeder = F1 + F2 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 Quelle: Paul A. Tipler 31 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Der Körper wird durch eine Flüssigkeitsmenge ersetzt. Sie soll das gleiche Volumen enthalten wie der Körper in der vorigen Abbildung. Die wirkenden Kräfte oberhalb F1 und unterhalb F2 des Volumens, sind die gleichen wie vorhin (siehe Abbildung vorige Seite). Der Grund hierfür ist der Druck der auf die Flüssigkeit F1 lastet. FFeder m Der Auftrieb, den ein schwimmender Körper in einer Flüssigkeit erfährt, ist so groß wie das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. F2 FGewicht Quelle: Paul A. Tipler Archimedisches Prinzip gilt auch für teilweise eingetauchte Körper. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 32 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip G G G ρ Körper ⋅ g ⋅V = = = = Relative Fz ρ Fluid ⋅ g ⋅V FAuftrieb G − G' Gewicht G’ : Scheinbare Gewicht G : Gewicht des Körpers in Luft Fz : Auftrieb Das scheinbare Gewicht eines eingetauchten Körpers im Wasser ist: G' = G − FAuftrieb G' > 0 G' = 0 G' < 0 Körper sinkt im Fluid Körper schwebt im Fluid Quelle: Physik für Gymnasien, Ausgabe D, Cornelsen, Berlin 1999 Körper schwimmt im Fluid Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 33 Boyle-Mariottesches Gesetz für ideale Gase Dichte der Gase verändert sich mit dem Druck: gilt für T = const. p0 ⋅V0 = p ⋅V Boyle Mariott Gesetz für ideale Gase: p0 V = p V0 mit m ρ= V p0 m m = / p ρ ρ0 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 p0 ρ0 = p ρ 34 Schweredruck der Gase Der hydrostatische Druck p = ρgh gilt nur bei konstanter Dichte ρ ≠ ρ( p ) Für Gas gilt diese Annahme nur für eine dünne Schicht. dp = − ρ ⋅ g ⋅ dh mit p+dp h+dh p h Erdoberfläche p dp = − ρ0 ⋅ g ⋅ dh p0 ps h ρ0 dp ∫ p = − p0 ⋅ g ⋅ ∫ dh 0 − ρ0 p = e p0 p0 0 p ρ = p0 ρ0 p ρ0 ln = − ⋅ g ⋅h p0 p0 ⋅ g ⋅h Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 p = p0 ⋅ e ρ − 0 ⋅ g ⋅h p0 35 Auftrieb in der Atmosphäre 1. Festkörper ρ0 ⋅ g ⋅V FAuftrieb = ρ ⋅ g ⋅V Es gilt: ρ( p ) = ρ0 p0 p T = const. FAuftrieb = ρ0 ⋅ e − ρ0 p0 gh ⋅ g ⋅V ρ Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 36 Auftrieb in der Atmosphäre 2. Ballon FAuftrieb = ρ ⋅ g ⋅V p ρ = ρ0 p0 V ⋅ p = const ρ= V= ρ0 p0 p const p ρ FAuftrieb = 0 ⋅ g ⋅ const p0 (T = const.) unabhängig von der Höhe h Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 37 Auftrieb in der Atmosphäre 2. Volumenänderung des Ballons p0 ⋅V0 = p ⋅V V p = 0= V0 p p0 − p0 ⋅ e ρ0 p0 g ⋅h Quelle: Paul A. Tipler ρ0 g ⋅h V p0 =e V0 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 38 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Anwendung Archimedisches Prinzip: 1. Bestimmung Kräfte auf gekrümmtem Flächen p1 I Archimedisches Prinzip für den teilweise eingetauchten Körper Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 39 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Anwendung Archimedisches Prinzip: 2. Stabilität des Gleichgewichtzustandes eines schwimmenden Körpers in einer Flüssigkeit Sv SK M : : : Schwerpunkt verdrängten Flüssigkeit Körperschwerpunkt Metazentrum Kräftegleichgewicht zwischen Auftrieb und Gewicht des Körpers S K ≠ SV SV SK Eingetauchter, schwimmender Körper Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 40 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Anwendung Archimedisches Prinzip: 2. Stabilität des Gleichgewichtzustandes eines schwimmenden Körpers in einer Flüssigkeit. Sv SK M : : : Schwerpunkt verdrängten Flüssigkeit Körperschwerpunkt Metazentrum Kräftegleichgewicht zwischen Auftrieb und Gewicht des Körpers S K ≠ SV Da die Massen unterschiedlich verteilt sind Stabiler Fall: Metazentrum liegt oberhalb des Körperschwerpunktes SK. M ist der Schnittpunkt zwischen des Auftriebs mit der Hochachse des Körpers. Instabiler Fall: Metazentrum liegt unterhalb des Körperschwerpunktes SK. Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 41 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Der Auftrieb, den ein schwimmender Körper in einer Flüssigkeit erfährt, ist so groß wie das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Ein Schiff verdrängt soviel Wasser, wie es wiegt. Wenn man seinen Rand hoch genug baut, damit das Wasser nicht überschwappt, schwimmt es. Quelle: Physik für Gymnasien, Ausgabe D, Cornelsen, Berlin 1999 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 42 Hydrostatischer Auftrieb: Druckkraft auf gekrümmte Flächen, Archimedisches Prinzip Quelle: Ausschnitt T-Online Nachrichten 14.01. 2012 Spektakuläre Bilder der "Costa Concordia": Das Wrack droht abzurutschen, der Taucheinsatz wurde beendet. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 43 Hydrodynamik und Aerodynamik Stromfadentheorie: Für ein bewegtes Medium sind die zu bestimmenden Größen: Geschwindigkeit v (Vektor) = (u,v,w), Druck p, Dichte ρ, Temperatur T. Die Gesamtheit der Größen beschreibt im betrachteten Raum und Zeitintervall ein so genanntes Strömungsfeld. Das Feld ist dann stationär wenn alle oben erwähnten Größen nur Funktionen des Ortes sind. Das Feld ist dann instationär, wenn die Zeit t zur Beschreibung des Feldes beträgt. Beschreibungsmöglichkeiten für Strömungsfeldern: Lagrange Methode, Eulersche Methode. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 44 Hydrodynamik und Aerodynamik Beschreibungsmöglichkeiten für Strömungsfeldern nach Lagrange: Massen/Teilchen feste Betrachtung: Das einzelne Teilchen wird in seiner Bewegung innerhalb des Raumes beobachtet. Beschreibungsmöglichkeiten für Strömungsfeldern nach Euler: Beobachtung der Änderung der Strömungsgrößen an einer festen Stelle des Raumes. ⇒Messung mit einem ortsfestem Messgerät Kettenregel auf Teilcheneigenschaft: f ( x , y , z ,t ) t =0 r r r0 = r ( a ,b,c ) t >0 r r r r = r ( r0 ,t ) df ∂f ∂f dx ∂f dy ∂f dz = + + + dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt df ∂f r = + v grad f dt ∂t dT ∂T r = + v grad T Bsp f = T: dt ∂t Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 45 Hydrodynamik und Aerodynamik: Stromfadentheorie Stromlinien Teilchenbahnen sind Kurven die die Teilchen im Laufe der Zeit durchlaufen. r r dr v= dt dx = u( x , y , z ,t ) dt dy = v( x , y , z ,t ) dt Die Differentialgleichung in (x,y)-Ebene: dz = w( x , y , z ,t ) dt Stromlinien als Momentaufnahme des Geschwindigkeitsbildes r v dy v( x , y , z ,t ) = = tanα dx u( x , y , z ,t ) Quelle: Zierep, Bühler Die Zeit t ist hier ein Parameter. Differentialgleichung der Stromlinien Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 46 Hydrodynamik und Aerodynamik: Stromfadentheorie Stromlinien Bei stationären Strömungen fallen die Teilchenbahnen mit den Stromlinien zusammen. Stationäre Umströmung eines ruhenden Kreiszylinders. Der Beobachter befinde sich auf dem Zylinder. Beim Wechsel des Bezugsystems und Bewegung des Beobachters mit der Anströmung gilt: Der Zylinder bewegt sich von rechts nach links mit der Geschwindigkeit -u∞. Es handelt sich hier um eine instationäre Strömung. Der Zylinder schiebt das Medium vor sich her und drängt es zur Seite und lässt es anschließend hinter sich. Das untere Bild zeigt die intsationäre Strömung bei der Bewegung eines Zylinders. Dabei sind die Momentanbilder der Stromlinien und die Teilchenbahn eingezeichnet. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 Quelle: Zierep, Bühler 47 Hydrodynamik und Aerodynamik: Stromfadentheorie Stromlinien Das Bild zeigt verschiedene Teilchenbahnen bei der Zylinderbewegung Wechselt man das Bezugsystem, so kann die instationäre Strömung zur stationären Strömung gemacht werden. Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 48 Hydrodynamik und Aerodynamik: Grundgleichungen der Stromfadentheorie Stromfadentheorie ist eine Abstraktion und ein wichtiges Hilfsmittel der Strömungsmechanik. 1 s v1 A1 Kontinuitätsgleichung: Massenerhaltung m& = ρ1v1 A1 = ρ2v2 A2 = const m& = ρ v A = const 2 A2 v2 Der Mantel des Stromfadens besteht aus Stromlinien. Durch den Mantel tritt nichts hindurch. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 49 Hydrodynamik und Aerodynamik: Grundgleichungen der Stromfadentheorie Kontinuitätsgleichung: Massenerhaltung m& = ρ1v1 A1 = ρ2v2 A2 = const 1 2 m& = ρ v A = const v1 v2 m& 1 = m& 2 A2 , p2 ρV&1 = ρV&2 m& = v1 A1 = v2 A2 = const A1 , p1 A1 v2 = A2 v1 Die Geschwindigkeit verhält sich umgekehrt proportional zum Querschnitt. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 50 Hydrodynamik und Aerodynamik: Grundgleichungen der Stromfadentheorie Herleitung Bernoulligleichung mit der Energiebilanz: Die Gesamtarbeit ist: pdA z W = Ekin + E pot ds 1 F ⋅ s = m( v22 − v12 ) + mg( h2 − h1 ) 2 1 ( p1 − p2 ) ⋅ A ⋅ s = ρ∆V ( v22 − v12 ) + ρ∆Vg( h2 − h1 ) 2 ∆V 1 2 1 p1 + ρ v1 + ρ gh1 = p2 + ρ v22 + ρ g h2 2 ϕ ρgdA⋅ ds ∂p p + ds dA ∂s 2 ds ϕ dz 1 p + ρ v 2 + ρ g h = const 2 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 dz = − cosϕ ds 51 Hydrodynamik und Aerodynamik: Grundgleichungen der Stromfadentheorie Bernoulli-Gleichung: Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Druck. Die Bernoulli-Gleichung ist das Integral der Bewegungsgleichung. 1 2 ρ v + ∫ dp + ρ g z = const 2 Spezifische Energie in (m/s)2 Die auf die Masseneinheit bezogene Gesamtenergie eines Teilchens: Die Summe aus der kinetischen Energie, der von den äußeren Kräften herrührenden potentiellen Energie und der durch die inneren Druckkräfte wirkenden Druckenergie, hat für alle Teilchen des Fluids auf einer Stromlinie denselben Wert. Die Bernoulli-Gleichung gilt für stationäre Strömungen inkompressibler Flüssigkeiten, bedingt gilt sie für kompressible Flüssigkeiten (Gase). Im Fall der viskosen Strömungen muss die Gleichung verändert werden! Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 52 Hydrodynamik und Aerodynamik: Grundgleichungen der Stromfadentheorie Die Bernoulli-Gleichung angewendet auf zwei Punkte 1 und 2: 1 2 p1 1 2 p2 v1 + + g z1 = v2 + + g z2 2 2 ρ ρ Quelle: Korschelt, Lackmann Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 53 Ausströmen aus einem Behälter, Anwendung Bernoulli: Torricelli Behandlung eines inkompressiblen Falls mit Verfolgung des Stromfadens von der Flüssigkeitsoberfläche 1 bis zum Austritt 2. 1 1 ρ v12 + p1 + ρ g z1 = ρ v2 2 + p2 + ρ g z2 2 2 v1 ≈ 0 Ist der Querschnitt 1 viel größer als der Querschnitt 2: h1 2 v1 A2 = << 1 v2 A1 p1 + ρ g z1 = v1 ≈ 0 h2 Quelle: Zierep, Bühler 1 ρ v2 2 + p2 + ρ g z2 2 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 54 Ausströmen aus einem Behälter, Anwendung Bernoulli: Torricelli Unabhängigkeit vom Betrag der Geschwindigkeit von der Richtung des Ausflusses v= 2 ρ ( p1 − p2 ) + 2 gh Zwei Sonderfälle: Fall 1: Torricellische Formel p1 = p2 v2 = 2 gh Es entsteht wegen der fehlenden Reibung dieselbe Geschwindigkeit wie im freien Fall aus der Höhe h und der Anfangsgeschwindigkeit v1 = 0. Zu bemerken: v2 ist von der Ausflussrichtung unabhängig. Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 55 Ausströmen aus einem Behälter Zwei Sonderfälle: Fall 1: Ist der Ausfluss ohne die Wirkung eines Überdruckes, d.h., ohne Einfluss von der Schwerkraft gilt: v2 = 2 ρ 2 ( p1 − p2 ) = ρ ∆p p2 p1 Beispiel: ∆p = 10 mbar = 103 Pa ρ = 1,226 kg m3 v2 = 40 km m ≈ 140 h s Beachtliche Geschwindigkeit bei der kleinen Druckdifferenz. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 56 Ausströmen aus einem Behälter Zwei Sonderfälle: Fall 2: Bei größeren Drücken muss die Kompressibilität Gasdynamik berücksichtigt werden. 1 2 ( v1 − v22 ) + 2 mit v1 = 0: p2 v2 = 2 ∫ p1 p2 ∫ p1 dp ρ + ρg( z2 − z1 ) = 0 0 p2 p1 dp ρ Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 57 Ausströmen aus einem Behälter Zwei Sonderfälle: Fall 2: Bei größeren Drücken muss die Kompressibilität Gasdynamik berücksichtigt werden. Wenn Isentropie vorausgesetzt wird, dann gilt für die Geschwindigkeit: vmax = 2 κ R κ −1 m T1 = 2c p ⋅ T1 Unter Atmosphärenbedingungen gilt dann: p2 p1 5 N p = 1 bar = 10 1 κ = 1,40 m2 kg p2 = 0 ρ1 = 1,226 3 m m vmax = 750 s Hier ist die Kompressibilität wirksam und für das Inkompressible gibt es keine Analogie. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 58 Ausströmen aus einem Behälter vmax = 2 κ R κ −1 m T1 = 2c p ⋅ T1 Hier ist die Kompressibilität wirksam und für das Inkompressible gibt es keine Analogie. Die obere Gleichung zeigt: vmax ∝ T1 Steigt weil der Kessel warm wird Übergang auf leichte Gase: vmax ∝ 1 m Beispiel: Übergang von O2 auf H2 liefert für die Geschwindigkeit den Faktor 4. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 59 Ausströmen aus einem Behälter, Anwendung Bernoulli: Venturi-Effekt Kontinuitätsgleichung und Bernoulli-Gleichung: Kontinuitätsgleichung Da der Massenstrom konstant bleibt, muss bei der Verjüngung vom Querschnitt die Geschwindigkeit zunehmen. Venturi-Effekt v1 dm = v1 A1 = v2 A2 = const m& = dt v2 Bernoulli-Gleichung Nimmt die Geschwindigkeit zu, dann nimmt der Druck ab. mit ρg·z1 und ρg·z2 = Null 1 1 ρ v12 + p1 = ρ v2 2 + p2 2 2 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 60 Ausströmen aus einem Behälter, Anwendung Bernoulli: Venturi-Rohr Kontinuitätsgleichung und BernoulliGleichung: dm = v1 A1 = v2 A2 = const dt 1 1 ρ v12 + p1 = ρ v2 2 + p2 2 2 m& = p1 − p2 = ( ρURohr − ρ Fluid )g∆h Quelle: Paul A. Tipler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 61 Ausströmen aus einem Behälter, Anwendung Bernoulli: Venturi-Rohr Messung der Durchflussgeschwindigkeit von Fluiden. Eine Flüssigkeit mit ρFl strömt durch das Rohr mit Querschnitt A1. Das Rohr verjüngt sich (Querschnitt A2). Beide Rohrteile sind mit einem U-Rohr verbunden. Das U-Rohr ist mit einer Flüssigkeit der Dichte ρU gefüllt. Kontinuitätsgleichung Die Strömungsgeschwindigkeit v2 in A2 ist größer als die Strömungsgeschwindigkeit v1 in A1. Bernoulli-Gleichung Da die Geschwindigkeit v2 im Querschnitt A2 größer ist als die Geschwindigkeit v1 in A1, ist der Druck p2 im Querschnitt A2 geringer als der Druck p1 im Teil A1. Quelle: Paul A. Tipler Die Druckdifferenz erzeugt einen Höhenunterschied im U-Rohr-Manometer. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 62 Verschiedene Druckbegriffe und Messung p0 Bernoulli-Gleichung bei ρ const: Pdyn : pstat : 1 p + ρ v2 + ρgz = const 2 p = pstat Statischer Druck : v2 pdyn = ρ 2 Druck im Staupunkt = Ruhedruck oder Gesamtdruck Dynamische Druck Statische Druck Dynamischer Druck Kopplung zwischen Druck und Geschwindigkeit in jedem Punkt des Geschwindigkeitfeldes. Spezialfall: Umströmungsproblem ohne Strömungsfeld längst der Staustromlinie: 1 1 p∞ + ρ v∞2 = p + ρ v2 = const = p0 2 2 Gesamte Druck p0: p ges = pstat + pdyn variabler Punkt Anströmung ∞ Zu beachten ist, wenn die Strömung durch Ansaugen Staupunkte aus einem Kessel oder aus der Atmosphäre zustande kommt, muss der Ruhedruck p0 durch den Druck im Kessel bzw. in der Atmosphäre ersetzt werden. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 63 Verschiedene Druckbegriffe und Messung Drucksonde, zur Messung des statischen Drucks. Der statische Druck wird an der Öffnung im Mantel des Rohres abgegriffen und durch kommunizierende Röhren oder ein anderes Element welches den Druck abnehmen kann, gemessen. Quelle: Stöcker Pitot-Rohr, zur Messung des statischen und dynamischen StauDrucks, den Gesamtdruck. Der Druck entsteht an der Mündung eines gegen die Strömungsrichtung zeigenden Rohres. Quelle: Stöcker Prandtlsches Rohr, vereinigt das Pitot-Rohr und die Drucksonde. Sie misst den dynamischen Druck (Staudruck) als Differenz von Gesamtdruck und statischem Druck. Ist die Dichte bekannt, dann kann aus dem dynamischen Druck pdyn die v= Strömungsgeschwindigkeit v berechnet werden. 2 pdyn / ρ Quelle: Stöcker Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 64 Messung des statischen Druckes Messung des statischen Druckes pstat mit Hilfe einer Wandbohrung oder einer statischen Sonde. Es entsteht in beiden Fällen eine Grenzschicht gegeben durch δ im Bild. Wandbohrung Es sind Löcher angebracht zur Abnahme des Druckes und auf dem Umfang verteilt, die etwas vom Anfang des Rohres entfernt sind, damit die Strömung abklingen kann. Mit dieser Methode kann der Druck der Außenströmung bestimmt werden. Statische Sonde Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 65 Messung des dynamischen Druckes (Staudruck) Messung des dynamischen Druckes: v pges = pdyn + pstat pges = pges − pstat = pdyn 1 2 ρ v + pstat 2 Quelle: Zierep, Bühler v= 2 ρ pdyn ρ : Dichte des strömenden Mediums Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 66 Ausströmen aus einem Behälter: Torricelli p2 →0 p1 lässt sich so realisieren: p1 fest und evakuieren des Behälters p2 = 0 Es kommt zum Einströmen des Vakuums Quelle: Zierep p2 fest und Kessel aufladen p1 → ∞ Ausströmen des Gases Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 Quelle: Zierep, Bühler 67 Gasdynamik: Strömung in der Lavaldüse, Eigenschaften Ausbreitungsgeschwindigkeit Schall a und ein kompressibles Medium. Kleine Störungen der Zustandsgrößen in einem ruhenden, kompressiblen Medium. Beispiel: Stoßwellenrohr: Membran (entfernen) Ruhe Verdünnung Verdichtung Hochdruckteil Ruhe Niederdruckteil Entfernung der Membrane führt zur Verdichtung im Niederdruckteil und eine Verdünnung im Hochdruckteil. Handelt es sich um kleine Störungen, so läuft die Strömung mit Schallgeschwindigkeit. p + dp Verdichtung ρ + dρ dc p a ρ Ruhe c=0 Instationärer Vorgang p + dp ρ + dρ -a + dc p ρ -a Stationärer Vorgang Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 68 Gasdynamik: Strömung in der Lavaldüse Wir wenden die Gleichungen der Stromfadentheorie Bernoulli- und Kontinuitätsgleichung an. Und ohne Beweis ergibt sich: a2 = dp ∂p = dρ ∂ρ s Die Schallgeschwindigkeit ist an die Druck und Dichteänderung im Medium gebunden. Gehört zur Druckstörung ∆p eine kleine Dichteänderung ∆ρ dann ist das Medium inkompressibel und die Schallgeschwindigkeit a ist groß. Beispiel: Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten: Wasser ∼1500 m/s Beispiel: Schallgeschwindigkeit im Festkörper: Aluminium ∼5110 m/s a : Schallgeschwindigkeit Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 69 Gasdynamik: Strömung in der Lavaldüse p + dp Verdichtung ρ + dρ dc p a ρ Ruhe c=0 Instationärer Vorgang a2 = p + dp ρ + dρ -a + dc p ρ -a Stationärer Vorgang dp ∂p = dρ ∂ρ s Ist die Dichteänderung groß, dann ist das Medium kompressibel und die Schallgeschwindigkeit a ist gering. Beispiel: Schallgeschwindigkeit in Gasen: Luft ∼347 m/s Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 70 Gasdynamik: Strömung in der Lavaldüse Mit der isentropen Zustandsänderung: ℜ : κ R : m : a : p ρ = p1 ρ1 Spezifische (spezielle) Gaskonstante Allgemeine Gaskonstante Molmasse Schallgeschwindigkeit ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit a: ∂p p R a = = κ = κ T ρ m ∂ρ s 2 vmax ∝ T1 und vmax ∝ 1 m Hier ergeben sich noch einmal die Abhängigkeiten von vmax, die schon hergeleitet worden sind. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit a von der Molmasse ist groß. Zum Beispiel: Für T = 300K (siehe untere Tabelle). Gas O2 N2 m in g/mol 32 28,016 2,016 a in m/s 330 353 1316 Luft H2 ~29 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 347 71 Gasdynamik: Strömung in der Lavaldüse Die Schallgeschwindigkeit ist geeignet als Bezug für alle kompressible Strömungen. Das Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit ist eine charakteristische Größe und wird als Machsche Zahl bezeichnet. Diese Zahl wurde 1928 von Ackeret eingeführt. v = M = Machsche Zahl a M <1 Unterschallströmung M >1 Überschallströmung Sonderfälle: M 2 << 1 Inkompressible Strömung M 2 >> 1 Hyperschall M2 ≈1 Schallnahe Strömung Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 72 Gasdynamik: Strömung in der Lavaldüse Mit Euler: v = M = Machsche Zahl a a2 1 ∂p 1 dp dρ a2 dρ ∂v v =− =− =− ρ ∂x ρ dρ dx ρ dx ∂x 1 dρ 1 dv = −M 2 ρ dx v dx Die relative Dichteänderung ist der relativen Geschwindigkeitsänderung längst des Stromfadens proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist M2. Für M2 << 1 ist die rel. Dichteänderung << als die rel. Geschwindigkeitsänderung. Für M2 >> 1 ist die rel. Dichteänderung >> als die rel. Geschwindigkeitsänderung. Bei M2 = 10 ist der Proportionalitätsfaktor 100. Bei inkompressiblen Flüssigkeiten M2 << 1 überwiegt die Änderung der Geschwindigkeit die der Zustandsgrößen p, ρ, T erheblich. Im Hyperschall M2 >> 1 ist der Fall umgekehrt. In Schallnähe sind die Änderungen in etwa gleich groß. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 73 Gasdynamik: Strömung in der Lavaldüse Einfluss des Querschnittes auf die Strömungsgeschwindigkeit: 1 dp 1 dv 1 dA + + =0 ρ dx v dx A dx mit Kontinuitätsgleichung 1 dρ 1 dv = −M 2 ρ dx v dx 1 dv 1 1 dA = 2 v dx M − 1 A dx Qualitative Diskussion der Strömung in der Düse Verengung Für M < 1 verlangt es dA/dx < 0 Für M > 1 verlangt es dA/dx > 0 Erweiterung Für M = 1 verlangt es dA/dx = 0 Konstanter Querschnitt Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 74 Gasdynamik: Strömung in der Lavaldüse Qualitative Diskussion der Strömung in der Düse Für M < 1 verlangt es dA/dx < 0 Verengung Für M > 1 verlangt es dA/dx > 0 Für M = 1 verlangt es dA/dx = 0 Erweiterung Konstanter Querschnitt M<1 M =1 M >1 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 75 Gasdynamik: Strömung in der Düse und im Diffusor Düse, Kanalverengung in Strömungsrichtung zur Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit. Anwendung: Zum Beispiel Turbinen. Diffusor, Kanalerweiterung. Umkehrung einer Düse. Die Energie aufgrund der Geschwindigkeit der anströmenden Flüssigkeit wird in Druckenergie umgewandelt. Anwendung: In Strömungspumpen. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 Verengung Erweiterung 76 Reibungskräfte in fluiden Medien Bewegt sich ein Körper durch ein fluides Medium mit einer relativ geringen Geschwindigkeit v, kann angenommen werdn, dass die Reibung proportional zur Geschwindigkeit ist. FR = − Kη v K η FAuftr : Geometriekoeffizient : Viskositätskoeffizient : Auftrittsarbeit Stocksche Gesetz K hängt von der Gestalt des Körpers ab und wird Mit Hilfe von aufwendigen Rechnungen bestimmt. Im Fall einer Kugel mit Radius R ist K: K = 6π R Der Viskositätskoeffizient hängt von der inneren Reibung des flüssigen Mediums ab. Reibungskräfte zwischen verschiedenen Schichten der Flüssigkeit bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Die innere Reibung wird Viskosität genannt. ma = F − Kη v Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 FAuftr FR ρ η F = mg - FAuftr 77 Reibungskräfte in fluiden Medien ma = F − Kη v Ist die Kraft konstant, dann führt die Beschleunigung a zu einer ständigen Steigerung der Geschwindigkeit v und zu einer Zunahme in der flüssigen Reibung. Die Zuhnahme der Reibung führt zur Abnahme der Beschleunigung a. K η FAuftr FAuftr F = Kη v Es kommt zu keiner weiteren Zunahme der Geschwindigkeit mehr und die flüssige Reibung wird durch die ausgeübte Kraft ausgeglichen. Das Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit vL in Kraftrichtung weiter. vL = : Geometriekoeffizient : Viskositätskoeffizient : Auftrittsarbeit F Kη Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 FR ρ η F = mg - FAuftr 78 Reibungskräfte in fluiden Medien Unter Berücksichtigung des Auftriebes und nach Archimedes, gilt dann für die Grenzgeschwindigkeit: vL = F Kη vL = m m' : Masse Körper : Masse verdrängte Flüss. ( m − m' )g Kη Ist die Dichte eines Körpers viel größer als die der Flüssigkeit, kann die Korrektur vernachlässigt werden. Einheiten: η= Ns m 2 = 1Pa ⋅ s Der Viskositätskoeffizient von Flüssigkeiten nimmt mit steigender Temperatur ab. Der Viskositätskoeffizient von Gasen nimmt mit steigender Temperatur zu. Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 FAuftr FR ρ η F = mg - FAuftr 79 Stromlinien Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 80 Strömungstypen: Laminare- und turbulente Strömugen Beobachtung zweier Strömungszustände: Qualitativ von Hagen beschrieben, von Reynolds quantitativ analysiert. Ein zähes Medium strömt mit der Geschwindigkeit v durch ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt. Der Volumenstrom kann durch eine Drossel geändert werden. Ist die Reynoldszahl klein, dann ist die Strömung laminar. Die makroskopische Strömung erfolgt in parallel laufenden Schichten. Mikroskopisch: Unregelmäßiger Impulsaustausch zwischen einzelnen Schichten untereinander ⇒Ursache für die innere Reibung (Viskosität). Farbe RE = vd ηkin < 2300 laminar v, ηkin d Reynolsche Farbfadenversuch Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 81 Strömungstypen: Laminare- und turbulente Strömugen Ist die Reynoldszahl groß, dann ist die Strömung turbulent. Makroskopischer, sichtbarer Austausch. Instationäre, wirbelartige Zufallsbewegung. Reynolds hat den Übergang der laminaren- zur turbulenten Strömung, den so genannten Umschlag untersucht und festgestellt: Der Umschlag hängt von der Kennzahl vd/ηkin ab. Die laminare Strömung wird bei Erreichen einer höheren Reynolds-Zahl instabil, gegenüber kleinere Störungen und geht in eine turbulente Strömung über. Farbe RE = vd ηkin > 2300 turbulent v, ηkin d Reynolsche Farbfadenversuch Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 82 Laminare Rohrströmung:Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren : Schubspannung : Dynamischer Viskositätskoeff. τ ηdyn Hagen-Poiseuille-Strömung: Die Rohrströmung ist ausgebildet, d.h., das Geschwindigkeitsprofil ändert sich in x–Richtung nicht. Eine Druckdifferenz in Strömungsrichtung hält die Bewegung aufrecht. Es gilt: π r 2 p1 − π r 2 p2 − τ 2π r l = 0 v(r) R τ = ( p1 − p2 ) p1 r ∆p dv r = −ηdyn = 2l 2l dr p2 r x 1 τ ist eine lineare Funktion von r. l 2 Impulssatz auf laminare Strömung im Kreisrohr Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 83 Laminare Rohrströmung:Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren Hagen-Poiseuille-Strömung: τ = ( p1 − p2 ) : Schubspannung : Dynamischer Viskositätskoeff. τ ηdyn r ∆p dv r = −ηdyn = 2l 2l dr τ ist eine lineare Funktion von r. v(r) R dv ∆p 1 =− r dr l 2ηdyn p1 r x Integration mit Berücksichtigung von r = R, v = 0: 2 r ∆p R2 r 2 v( r ) = 1 − 2 = vmax 1 − 2 R l 4ηdyn R p2 1 l 2 Impulssatz auf laminare Strömung im Kreisrohr Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 84 Laminare Rohrströmung:Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren vm 2 r ∆p R2 r 2 v( r ) = 1 − 2 = vmax 1 − 2 R l 4ηdyn R vmax |τ| Parabolische Geschwindigkeitsverteilung vmax Auf der Rotationsachse durch Rotation gilt für den Volumenstrom dV/dt: Geschwindigkeit und Schubspannung bei laminarer Strömung im Kreisrohr R 2 dV & r vmax 2 vmax = V = vm A = ∫ vdA = ∫ vmax 1 − 2 2π rdr = π R =A dt 2 2 R r =0 1 vm = vmax 2 Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 85 Laminare Rohrströmung:Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren Darstellung für den Volumenstrom: 4 1 pR π ∆ V& = vm A = vmax A = 2 8 lηdyn Es ergeben sich folgende Proportionalitäten: V& ∝ ∆p und V& ∝ R4 Diese Aussagen werden als Hagen-Poiseuille-Gesetz bezeichnet Medizin: Verkleinerung von R kann zur drastischen Reduktion von V& führen. Typisch für laminare Strömungen: ∆p ∝ l und ∆p ∝ v Der Druckabfall ist eine lineare Funktion der Rohrlänge Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 86 Laminare Rohrströmung:Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren Es gilt (ohne Beweis): λlam D ∆p = ρ 2 λlam = ReD = vm 2 l λlam D ηkin vm ∆p : : : : : Verlustkoeff. Im Rohr Durchmesser Rohr Kinematische Viskosität Mittlere Geschwindigkeit Druckdifferenz 64 ReD vm ηkin Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 87 Turbulente Rohrströmung:Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren Die turbulente Strömung zu behandeln ist schwieriger als im Fall der laminaren Strömung. Oft aber reicht es auch, wenn die zeitlichen Mittelwerte bekannt sind. Die Strömung soll ausgebildet sein. Kontrollbereich turbulente Strömung im Kreisrohr Es besteht ein Gleichgewicht zwischen Druck- und den Wandschubspannungen: π R2 p1 − π R2 p2 − τ w 2π Rl = 0 ∆p = p1 − p2 = τ w ∆p = ρ 2 l cm2 D λturb 2l R Nur experimentell ermittelbar. Quelle: Zierep, Bühler Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil im Kreisrohr Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 88 Rohrströmung:Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren Verlustkoeffizient λ als Funktion der Reynolds-Zahl Re und der λ : Reibungszahl des Rohres Re : Reynoldszahl Rauhigkeit ks beim Kreisrohr (Nikuradse-Diagramm) R : Radius Rohr ks : Sandkornrauhigkeit Quelle: Zierep, Bühler Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 89 Rohrströmung:Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall in Kreisrohren FL : cw : v : A : 1 FL = cw Aρ v2 2 cw = Widerstandskraft Widerstandsbeiwert Geschwindigkeit der Strömung Durchströmte Fläche FL v2 ρ A 2 Quelle: Zierep, Bühler Widerstandskoeffizient von Kugel, Zylinder und Scheibe als Funktion der Reynolds-Zahl Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2015/2016 90
