EL1: Messbereich erweitern
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Aufgaben Elektrizität Seite 1 EL1: Messbereich erweitern Aufgabenstellung: Durch paralleles Dazuschalten eines Widerstandes von 28 Ω wird der Messbereich eines Strommessers von 5.6 A auf 6 A korrigiert. Wie gross ist sein Innenwiderstand? Lösungshinweis: Der durch den Parallelwiderstand fliessende Strom der Stärke 0.4 A sorgt indirekt für die Erweiterung des Messbereichs. Bei Parallelschaltung ist über beiden Pfaden die gleiche Spannung angelegt. Deshalb ist das Verhältnis der Stromsträrken reziprok zu dem der Widerstände. Lösung:. Ri Ri I = R Ii A Ri = R I = 0.4 A Ii = 5.6 A I R=2Ω Ii Schlüsselwörter: Widerstand, Parallelschaltung, Messbereich eines Ampèremeters Quelle: Physik VIII/MT 87.1 Aufgaben Elektrizität Seite 2 EL2: Innenwiderstand Aufgabenstellung: Verbindet man einen elektrischen Widerstand von 10 Ohm mit einer Spannungsquelle, so misst man zwischen den Klemmen der Quelle eine Spannung von 4.2 Volt. Verdoppelt man den Aussenwiderstand auf 20 Ohm, so steigt die Klemmenspannung auf 4.4 Volt. Berechnen Sie das Verhältnis der Energien, die über dem Innen- und dem Aussenwiderstand freigesetzt werden, wenn der letztere 15 Ohm beträgt. Lösungshinweis: Die Klemmenspannung verringert sich mit der Stromstärke. Falls der Innenwiderstand konstant ist, nimmt die Klemmenspannung linear zur Stromstärke ab. Um die Gerade im Stromstärke-Klemmenspannungs-Diagramm zu bestimmen, genügen zwei Messpunkte. Lösung: U K1 = 0.42 A R1 U K 1 = U 0 − Ri I1 I1 = U K 2 = U 0 − Ri I 2 I 2 = 0.22 A Ri = U K1 − U K 2 =1 Ω I1 − I 2 U 0 = 4.62 V Ri U K 3 = U 0 1 − = 4.33 V Ra + Ri U I 3 = K 3 = 2.88 ⋅10−1 A Ra P = RI 2 Pi Ri 1 = = = 0.0667 Pa Ra 15 Schlüsselwörter: Innenwiderstand, Prozessleistung Quelle: Physik IX/MT 90.1 b Aufgaben Elektrizität Seite 3 EL3: Stromkreis mit zwei Spannungsquellen Aufgabenstellung: Die Zeichnung zeigt einen Stromkreis mit zwei idealen Spannungsquellen. a Um wieviel ändert sich die elektrische Stromstärke durch die beiden Quellen, wenn zwischen den Punkten A und B eine reale Spannungsquelle (Urspannung 4 Volt, Innenwiderstand 1.2 Ohm) mit dem höherem Potential gegen A eingefügt wird? b Wieviel Energie wird über dem Innenwiderstand der realen Quelle freigesetzt? U1 = 10 V, U2 = 20 V, R1 = R2 = 20 Ohm, R3 = 15 Ohm, R4 = 25 Ohm. A R2 U2 R1 + + U1 R3 R4 B Lösungshinweis: Mit Hilfe der Knotensätze die Stromstärken in den einzelnen Zweigen benennen, dann für beide Anordnungen mit Hilfe der Maschensätze ein Gleichungssystem aufstellen und nach den unbekannten Strömen auflösen. Die Leistung für den Innenwiderstand der eingeschobenen Spannungsquelle mit Hilfe der nun bekannten Stromstärke rechnen. Lösung: U1 + U 2 = ∑ RK I ⇒ I = 0.375 A R2 + I1 R1 K U2 + U3 -I 1 I2 + U1 R3 Ri ( I 2 − I1 ) − U 3 − R1 I1 + U1 − R4 I1 = 0 I2 − R3 I 2 + U 2 − R2 I 2 + U 3 − Ri ( I 2 − I1 ) = 0 − ( Ri + R1 + R4 ) I1 + Ri I 2 = U 3 − U1 R4 Ri I1 − ( Ri + R1 + R4 ) = − (U 2 + U 3 ) I1 a I1 = +0.147 A 0.145 A I 2 = +0.668 A 0.671 A I1 = −0.228 A 0.23 A I 2 = +0.293 A 0.296 A b P ( Ri ) = Ri ( I 2 − I1 ) = 0.325 W 0.276 W 2 Schlüsselwörter: Kirchhoffsche Sätze, Prozessleistung Quelle: Physik IX/MT 90.2 b Aufgaben Elektrizität Seite 4 EL4: Widerstand einer Scheibe Aufgabenstellung: Ein Koaxialkabel sei durch eine kreisförmige Scheibe (Aussenradius 8 mm, Innenradius 2 mm, Dicke 1.2 mm, spezifische Widerstand 0.5 Ωmm2/m) kurzgeschlossen. Wie gross ist der Strom, der zwischen den beiden Leitern des Kabels fliesst, wenn dazwischen eine Spannung von 0.1 mV herrscht? Rechnen Sie möglichst genau! Lösungshinweis: Die Scheibe bildet einen Widerstand mit veränderlichem Querschnitt. Folglich muss man die Teilwiderstände abschnittweise berechnen und dann aufsummieren. Wer die Integralrechnung noch nicht beherrscht, muss sich mit einer Näherung begnügen. Lösung: Widersdand pro Kreisring: dR = ρ R= r ρ ln a = 9.193 ⋅10−5 Ω 2π d ri I= U = 1.088 A R dr 2π rd ra − ri −5 Näherung: R = ρ d π ( r + r ) = 7.96 ⋅10 Ω a i U I = = 1.25 A R Schlüsselwörter: Widerstand Quelle: Physik IX/MT 90.3 b Aufgaben Elektrizität Seite 5 EL5: Wechselspannung über Spule Aufgabenstellung: Durch eine supraleitende Spule (Induktivität 125 mH) fliesst ein Wechselstrom der Stärke i = iosin(ωt) mit io = 25 A und ω = 110 s-1 a Wie sieht die Spannungs-Zeit-Funktion aus, die über der Spule gemessen werden kann? b Wieviel Energie wird im Magnetfeld der Spule maximal gespeichert? c Wie gross ist der maximale Energiestrom bezüglich des Systems Spule? Lösungshinweis: Um die Spannung zu berechnen, muss man die Stromstärke-Zeit-Funktion in die Definitionsgleichung für die Induktivität einsetzen. Die vom Magnetfeld aufgenommene Energie heisst auch induktive Energie der Spule. Die Energiestromstärke bezüglich des Systems Spule ist gleich der vom Strom umgesetzte Leistung (Spannung über der Spule mal Stromstärke durch die Spule). Da die Leistung bei einer reinen Induktivität im zeitlichen Mittel verschwindet, nennt man sie auch Blindleistung. Lösung: a u=L di = u0 cos ωt dt mit u0 = Li0ω = 343.8 V b W= 1 2 Li = 39.06 J 2 c IW = ui = u0i0 sin (ω t ) cos (ω t ) = IW ,max = ( Li02ω 2 sin ( 2ω t ) ) 1 Li02ω = 4.297 kW 2 Schlüsselwörter: Induktivität, induktive Energie, Wechselstrom, Blindleistung Quelle: Physik IX/MT 90.4 b Aufgaben Elektrizität Seite 6 EL6: Drei Kondensatoren Aufgabenstellung: Die drei Kondensatoren der untenstehend skizzierten Schaltung wurden getrennt aufgeladen und dann zu einem Kreis zusammengefügt. Welche Spannung misst man über den drei Kondensatoren, wenn der Schalter geschlossen wird? C1 = 20 mF, C2 = 45 mF, C3 = 25 mF, U1 = 50 V, U2 = 10 V, U3 = 20 V. Die Leitungswiderstände sind in der Skizze nicht eingezeichnet. U3 U1 U2 Lösungshinweis: Das Problem lässt sich auf mindestens zwei Arten lösen. Beim mehr technischen Lösungsweg fasst man die linken Kondensatoren zu einem Ersatzsystem mit korrigierter Kapazität und kombinierter Spannung zusammen. Damit reduziert sich das Problem auf den bekannten Fall mit zwei Kondensatoren. Beim zweiten Weg formuliert man neben dem Maschensatz für zwei der drei physisch verbundenen Teilsysteme die Ladungserhaltung. Danach löst man das Gleichungssystem auf. Lösung: U1 '− U 2 '− U 3 = 0 Maschensatz: +Q3 +Q1 -Q1 -Q2 +Q2 U1 -Q 3 Q1 ' Q2 ' Q3 ' − − =0 C1 C2 C3 U3 Ladungserhaltung: Q1 + Q2 = Q1 '+ Q2 ' Q2 − Q3 = Q2 '− Q3 ' Q1 = 1 C U2 Q2 = 0.45 C / Q2 = 0.5 C Q1 ' = 0.822 C 0.8182 C Q2 ' = 0.628 C 0.6818 C Q3 ' = 0.678 C 0.6818 C U i = 41.05 V /13.96 V / 27.13 V 40.91 V /13.64 V / 27.27 V Schlüsselwörter: Ladungserhaltung, Kondensator, Energie Quelle: Physik IX/MT 90.5 b Q3 = 0.5 C Aufgaben Elektrizität Seite 7 EL7: Sieben Widerstände Aufgabenstellung: Berechnen Sie den Gesamtwiderstand zwischen den Punkten A und B, wenn jeder Einzelwiderstand 3 Ω beträgt. A je 3 Ω B Lösungshinweis: Zwischen A und B eine beliebige Spannung anlegen, mit Hilfe der Knotensätze Stromstärken einzeichnen, Maschengleichungen aufstellen, Gleichungssystem lösen. Lösung: 3R ⋅ I1 − R ⋅ I 2 = 0 2 R( I1 + I 2 ) + R ⋅ I 2 - R ⋅ I 3 = 0 I1+I2 R ⋅ I3 - U 0 = 0 1 3 I2 = U0 11R 11R 1 I3 = U 0 R Rrot ( I1 + I 2 + I 3 ) = U 0 I1 = U 0 Rrot = R 11 = R = 2.2 Ω 1 3 + + 1 15 11 11 Schlüsselwörter: Kirchhoffsche Sätze Quelle: Physik VIII/MT 87.3 I1 I2 I3 I1+I2 U0 Aufgaben Elektrizität Seite 8 EL8: Glühbirne mit Vorwiderstand Aufgabenstellung: Eine Glühbirne (4 V, 6 W) ist zusammen mit einem elektrischen Widerstand in Reihe an das 220-V-Netz anzuschliessen. Der Widerstand muss so gross sein, dass die Glühbirne normal brennt. Welche Leistung muss der Heizkörper bei voller Spannung von 220 V bzw. bei vorgeschalteter Lampe aufnehmen? Lösungshinweis: Zuerst den Widerstand der Glühbirne rechnen, dann mit Hilfe der Spannungsverhältnisse den Vorwiderstand bestimmen. Lösung: R1 = U2 2 =2 Ω 3 IW R1 U1 = R2 U 2 R2 = R1 U1 = 144 Ω U2 P = UI 220 V = 1.528 A P = 220V ⋅1.528A = 336.1 W 144 Ω 216 V = 1.5 A P = 216V ⋅1.5 = 324 W 2.) I = 144 Ω 1.) I = Schlüsselwörter: Widerstand, Serieschaltung, Prozessleistung Quelle: Physik VIII/MT 87.4 Aufgaben Elektrizität Seite 9 EL9: Spule Aufgabenstellung: Eine Spule besitzt die Induktivität 0.4 H. Welcher Strom fliesst beim Anlegen einer Wechselspannung von 220 V und 50 Hz, a wenn man den ohmschen Widerstand vernachlässigen darf, b bei einem ohmmschen Widerstand von 80 Ω? Welcher Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung ergibt sich? Lösungshinweis: Zeigerdiagramm für Widerstände (Impedanzen) Lösung: ω = 2π f = 314.16 s-1 a I= U U = = 1.75 A XL ωL b Z = X L2 + R 2 = 149 Ω I= U = 1.476 A, Z ϕ = arctg Schlüsselwörter: Wechselstrom, Zeigerdiagramm Quelle: Physik X/MT 87.1 XL = 57.5° R Aufgaben Elektrizität Seite 10 EL10: Spule II Aufgabenstellung: Liegt an einer Drosselspule eine Gleichspannung von 6 V so ist die Stromstärke 0.3 A. Beim Anlegen einer Wechselspannung von 125 V / 50 Hz fliessen 0.75 A. Zu berechnen sind der Scheinwiderstand, Wirk- und Blindwiderstand, die Induktivität sowie der Phasenwinkel. Lösungshinweis: Zuerst Wirk- und Scheinwiderstand (Impedanz) berechnen, dann Zeigerdiagramm anwenden. Lösung: R= U1 = 20 Ω I1 Z= U2 = 166.7 Ω I2 X L = Z 2 − R 2 = 165.5 Ω L= XL ω = 0.527 H Schlüsselwörter: Wechselstrom, Zeigerdiagramm Quelle: Physik X/MT 87.2 XL = 83.1° R ϕ = arctg Aufgaben Elektrizität Seite 11 EL11: Supraleitende Kondensatoren Aufgabenstellung: Ein Kondensator mit der Kapazität 150 mF wird mit einer Spannungsquelle (250 V) verbunden. Anschliessend wird er wieder abgehängt und beidseits mit einem zweiten, ungeladenen Kondensator (C = 90 mF) verbunden. a Wie gross ist die Spannung über den beiden Kondensatoren am Schluss des Prozesses? b Wieviel Entropie wird beim Verbinden der beiden Kondensatoren erzeugt, wenn die Raumtemperatur 20°C beträgt? c Was passiert, wenn sowohl die Kondensatoren als auch die Verbindungen supraleitend sind? (die Kapazitäten müssten dann auch viel kleiner sein) Lösungshinweis: Beim Ausgleichsprozess bleibt die Ladung erhalten und ein Teil der Energie wird dissipiert (analog zum inelastischen Stoss, Flüssigkeitsbild). Lösung: a Ladungserhaltung: Qvor = Qnach C1U 0 = C1U + C2U U = U0 C1 = 156.3 V C1 + C2 b im elektrischen Prozess freigesetzte Energie W= C1 1 1 1 C1U 02 − ( C1 + C2 ) U 2 = C1U 02 1 − 2 2 2 C1 + C2 Serzeugt = −3 = 1.76 ⋅ 10 J J W = 6 ⋅ 10−6 T K c Es kann sich kein neues Gleichgewicht einstellen, das System bildet einen Schwingkreis. Dies ist theoretisch möglich, da die Verbindungsdrähte eine Induktivität besitzen. Je nach Geometrie wird das System durch Abstrahlung mehr oder weniger gedämpft. Schlüsselwörter: Kondensator, Ladungserhaltung, Energie, Entropie Quelle:Physik XI/MT 87.2 Aufgaben Elektrizität Seite 12 EL12: RL - Kreis Aufgabenstellung: Ein Widerstandselement (3 Ω) und eine ideale Spule (20 mH) sind in Serie an eine Stromquelle angeschlossen. Die Stromstärke steigt zuerst linaer auf 10 Ampère an, bleibt 2 ms lang konstant und schwillt dann wieder ab (Skizze). a Wie gross ist die Spannung über den Klemmen der Quelle zum Zeitpunkt t = 0.002 s? b Wie gross ist dann die Energiestromstärke bezüglich des Widerstands? 5A c Wie gross ist die Spannung über der Quelle zur Zeit t = 5.10-4 s? d Wie gross ist dann die Energiestromstärke bezüglich des Systems Spule? R L I 1 2 3 4 Lösungshinweis: Spannung über dem Widerstand direkt berechenen. Spannung über der Induktivität mit Hilfe der Änderungsrate der Stromstärke bestimmen. Lösung: a U = RI = 30 V b IW = P = UI = 300 W c U = RI + LI = 3Ω ⋅ 5A + 20mH ⋅ 104 As-1 = 215 V d IWSpule = USpuleI = 200V . 5A = 1000 W Schlüsselwörter: Widerstand, Induktivität, Serieschaltung Quelle: Physik IX/MT 88.1 t ms Aufgaben Elektrizität Seite 13 EL13: Spannungsteiler Aufgabenstellung: Ein Verbraucher mit dem Widerstand R1 = 7 Ω wird über einen Spannungsteiler (R2 = 22 Ω und R3 = 310 Ω) an einen Spannungsquelle angeschlossen. Wie gross ist das Verhältnis Energiestromstärke bezüglich des Systems Verbraucher zu Energiestromstärke bezüglich System Spannungsteiler? R3 R1 R2 Lösungshinweis: Leistungsverhältnis mit Hilfe der Stromstärken formulieren, zwei der drei Unbekannten mittels einfacher Beziehungen eliminieren. Lösung: η= R3 R2 R1 P1 I 2R = 2 1 12 P23 I 2 R2 + I 3 R3 I 2 R1 = I1 R2 I 2 = I1 I 3 = I1 + I 2 R I 3 = I1 1 + 1 R2 η= R1 R + R3 1 + 1 R2 R2 2 R1 2 R1 R2 = 7 49 7 + 310 1 + 22 22 Schlüsselwörter: Widerstand, Serieschaltung, Parallelschaltung, Prozessleistung Quelle: Physik IX/MT 88.2 2 = 1.29% Aufgaben Elektrizität Seite 14 EL14: Serieschaltung von Kondensatoren Aufgabenstellung: Ein Kondensator mit der Kapazität 10 µF wird auf 150 Volt aufgeladen. Ein zweiter Kondensator mit der Kapazität 4 µF wird auf 250 Volt aufgeladen. Nach dem Ladevorgang werden die Kondensatoren von der Spannungsquelle getrennt und in der Weise parallel gestellt, dass der Pluspol des einen Kondensators an den Minuspol des anderen kommt. a Berechnen Sie die Ladung und die Energien der beiden Kondensatoren vor dem Zusammenschalten. b Wie gross sind die Ladungen und die Energien nach dem Zusammenschluss? Lösungshinweis: Beim Ausgleichsprozess bleibt die Ladung erhalten und ein Teil der Energie wird dissipiert (analog zum inelastischen Stoss, Flüssigkeitsbild). Lösung: a I. Q = CU = 1.5 ⋅ 10−3 C II. Q = CU = 1 ⋅ 10−3 C 1 CU 2 = 0.113 J 2 1 W = CU 2 = 0.125 J 2 W= b Qtot = 0.510 −3 C, Ctot = 14 µF, U = Qtot = 35.7 V Ctot I. Q = 3.57 ⋅10−4 C W = 6.38 ⋅10−3 J II. Q = 1.43 ⋅10−4 C W = 2.55 ⋅10 −3 J Schlüsselwörter: Kondensator, Ladungserhaltung, Energie Quelle: Physik IX/MT 88.3 Aufgaben Elektrizität Seite 15 EL15: Parallelschaltung von Spannungsquellen Aufgabenstellung: Zwei Spannungsquellen (U1 = 6 V, U2 = 4 V) mit den Innenwiderständen ( R1 = 3 Ω, R2 = 6 Ω) sind parallel U1 U2 verbunden. Ebenfalls parallel dazu ist ein Widerstandsdraht (Länge 4 m, Querschnitt 1.5 mm2, spezifischer Widerstand 0.5 R1 R2 Ωmm2/m) geschaltet. a Wie gross ist die Energiestromstärke bezüglich des Systems reale Spannungsquelle zwei? b Wieviel Energie wird pro Sekunde und pro Kubikmeter Widerstandsdraht im elektrischen Prozess freigesetzt? Lösungshinweis: Widerstand des Drahtes berechnen und mit Hilfe der Kirchhoffsche Sätze Stromstärken bestimmen. Die Energiestromstärke bezüglich eines elektrischen Systems ist gleich der Prozessleistung (Stromstärke durch das System mal Spannung über dem System). Lösung: R=ρ − ( I1 + I 2 ) R + U 2 − I 2 R2 = 0 I1+I2 I1 U1 R U 2 1 + 1 − U1 R = 0.311 A I2 = R1 R2 + ( R + R2 ) R U R + R2 I1 = 2 − I 2 = 1.289 A R R I1 + I 2 = 1.6 A U2 R1 I2 R2 l 4 = Ω A 3 I 2 R2 − U 2 + U1 − I1 R1 = 0 R a U = R ( I1 + I 2 ) = 2.133 V IW = UI 2 = 0.6637 W P = R ( I1 + I 2 ) = 3.413 W ρW = b 2 P MW = 0.569 lA m3 Schlüsselwörter: spezifischer Widerstand, Prozessleistung, Kirchhoffsche Sätze Quelle: Physik IX/MT 88.5 Aufgaben Elektrizität Seite 16 EL16: Elektrischer Schwingkreis Aufgabenstellung: Ein Plattenkondensator (Fläche 2.5 m2, Plattenabstand 3 mm) wird mit einer Spannungsquelle verbunden. Nachher wird die Spannungsquelle entfernt und ein Zylinder (Durchmesser 12 cm, Länge 2.5 m, 5000 Wicklungen) parallel angeschlossen. Mit welcher Frequenz schwingt dieser Schwingkreis? Lösungshinweis: Zuerst aus den Geometriedaten Kapazität und Induktivität bestimmen, dann die Kreisfrequenz des Schwingkreises rechnen. Lösung: ω= 1 LC L = µ0 N 2 C = ε0 π d2 4l A = 7.378 ⋅ 10 −9 F d = 0.142 H ω = 3.088 ⋅ 104 s −1 f = ω = 4.915 ⋅ 103 s −1 2π Schlüsselwörter: Kondensator, Spule, Kapazität, Induktivität Quelle: Physik XIII/MT 88.6 a Aufgaben Elektrizität Seite 17 EL17: RC-Glied Aufgabenstellung: Ein Kondensator (Kapazität 6 µF) wird zuerst mit einer Gleichspannungsquelle (400 V) aufgeladen und dann über einem Widerstandselement (220 Ohm) entladen. a Wie lange dauert es, bis die Kondensatorenladung nur noch 10-4 C beträgt? b Wei stark ist dannn der elektrische Strom? c Wie gross ist dann die Entropieproduktionsrate, wenn das Widerstandselement eine Temperatur von 22°C besitzt? Lösungshinweis: Entladefunktion eines RC-Gliedes formulieren. Stromstärke aus der Bilanz bezüglich des Kondensators berechnen oder mit Hilfe von Kondensatorspannung (gleich Spannung über dem Widerstand) und Widerstand bestimmen. Die Entropieproduktion hängt bei gegebener Temperatur direkt mit der dissipierten Leistung zusammen. Lösung: a Q = Q0 e − t τ Q0 = CU 0 = 2.4 ⋅10−3 C τ = RC = 1.32 ⋅10−3 s t = τ ln Q0 = 4.2 ⋅10−3 s Q b Bilanz: I = −Q = Q0 τ e − t τ = Q τ = 76 mA c freigesetzte Leistung: P = UI = RI 2 = 1.27 W Entropieproduktionrate: ∏ S = P mW = 4.3 T K Schlüsselwörter: Widerstand, Kondensator, Prozessleistung, Entropieproduktion Quelle: Physik XII/MT 88a.5 Aufgaben Elektrizität Seite 18 EL18: Batterien und Lämpchen Aufgabenstellung: Drei 1.5-Volt-Batterien werden mit zwei Glühbirnen gemäss Skizze verbunden. Der Kurzschlussstrom einer einzelnen Batterie beträgt 4.5 A. Auf der linken Glühbirne sind folgende Daten aufgedruckt. 2.5 V, 3 Watt; auf der rechten 2.5 V, 5 Watt. Wir nehmen an, dass die Widerstände der Glühbirnchen leistungsunabhängig sind. Welche Leistung wird in den beiden Glühbirnen der gezeichneten Schaltung umgesetzt? Lösungshinweis: Für eine Batterie (streng genommen ist der Begriff Batterie hier nicht korrekt) aus dem Kurzschlussstrom den Innenwiderstand bestimmen und aus den Nenndaten der Glühbirnen die Widerstände berechnen. Mit Hilfe der Knotensätze die Ströme festlegen, Maschensätze aufstellen und die Stromstärken berechnen. Lösung: Uo Ri I1+I2 I1 Uo Ri R1 I2 Uo Ri Ri = U0 1 = Ω I0 3 R1 = U N U N2 = = 2.083 Ω IN P R2 = 1.25 Ω − I1 Ri − I 2 Ri + U 0 + U 0 − I1 Ri − R1 I1 = 0 I 2 Ri − U 0 − U 0 + I 2 Ri + I 2 R2 = 0 R2 ( R1 + 2 Ri ) I1 + R1 I 2 = 2U 0 I1 R + ( R2 + 2 Ri ) I 2 = 2U 0 I1 = 0.92A I 2 = 1.405 A P1 = R1 I12 = 1.765 W P2 = R2 I 22 = 2.468 W Schlüsselwörter: Widerstand, Prozessleistung, Kirchhoffsche Sätze Quelle: Physik IX/MT 89.1 Aufgaben Elektrizität Seite 19 EL19: Vier Kondensatoren Aufgabenstellung: Der Kondensator 1 mit einer Kapazität von 22 mF wurde auf 240 V aufgeladen. Die anderen Kondensatoren sind ungeladen. Wie gross ist die Kondensatorenergie von 3 nach dem Schliessen des Schalters? Die Kapazitäten der Kondensatoren 2 dis 4 betragen 10 mF, 20 mF, 22 mF. Lösungshinweis: Kapazitäten der Kondensatoren 2 bis 4 durch eine Gesamtkapaziät ersetzen. Mit Hilfe der Ladungserhaltung Endspannung berechnen. Die in Serie geschalteten Kondensatoren besitzen nachher gleiche Ladungen. Lösung: CC 1 1 1 2 = + ⇒ C23 = 2 3 = 6 mF C23 C2 C3 C2 + C3 3 C2 − 4 = C23 + C4 = 28 2 mF 3 C1U 0 = (C1 + C2− 4 )U ⇒ U = U 0 Addition der Spannung U 2 + U3 = U U 2 C3 = U 3 C2 gleiche Ladung C U 3 3 + 1 = U C2 C1 = 104.2 V C1 + C2 − 4 U3 = U = 34.7 V C3 1+ C2 1 W3 = C3U 32 = 12.06 J 2 Schlüsselwörter: Kondensator, Kapazität, Ladungserhaltung, Energie Quelle: Physik IX/MT 89.2 1 2 4 3 Aufgaben Elektrizität Seite 20 EL20: Spule mit Wechselspannung Aufgabenstellung: Eine Supraleitende Spule (Induktivität 31 mH) wird an eine ideale Wechselspannungsquelle angeschlossen. Die Spannung verändert sich harmonisch: u = u0cos(ωt); u0 = 300V, ω = 20s-1 a Wie gross ist die maximale Stromstärke? b Wie stark ist der Strom nach 50 ms, nach 150 ms und nach 300 ms? Lösungshinweis: Spannungsfunktion in die Definitionsgleichung der Spule einsetzen und über die Zeit integrieren. Lösung: u di 1 ⇒ i = ∫ udt = 0 sin ωt dt L ωL u u == 0 sin ωt ωL u=L a i0 = u0 = 483.9 A ωL b t = 50 ms : 407 A t = 150 ms : 68 A t = 300 ms : −135 A Schlüsselwörter: Spule, Induktivität Quelle: Physik IX/MT 89.5 Aufgaben Elektrizität Seite 21 EL21: Wheatestone Aufgabenstellung: In der nebenstehenden Skizze sei zwischen A und C ein Kupferdraht (0.8 mm Durchmesser) eingelötet. Der Draht weise eine Temperatur von 20°C auf. a Wie lang muss dieser Draht sein, damit B und C auf dem gleichen Potential liegen? b Wie gross wird die Spannung zwischen B und C, wenn sich der Kupferdraht auf 50°C erwärmt wird? Die andern Widerstände ändern sich nicht. A 10 Ω 10 V B C 5Ω 100 Ω D Lösungshinweis: Da bei Serieschaltung die Spannung proportional zum Widerstand ist, kann für die abgeglichene Brücke eine einfache Proportion aufgestellt werden. Lösung: a R 10 Ω = x ⇒ Rx = 0.5 Ω 100 Ω 5 Ω R π r2 l = 13.96 m Rx = ρ ⇒ l = x A ρ b R50 = R20 (1 + α ϑ ) = 0.5585 Ω 1. I ACD = U0 = 1.799 A ⇒ U AC = I ACD R50 = 1.0048 V RACD 2. U AB = U 0 10 Ω = 0.909 V ⇒ U BC = 95.7 mV 100 Ω Schlüsselwörter: Widerstand, Serieschaltung, Parallelschaltung Quelle: Physik GS/Test 2.2 Aufgaben Elektrizität Seite 22 EL22: Kochherdplatte Aufgabenstellung: Eine Kochherdplatte, die auf vier Leistungsstufen betrieben werden kann, sei mit einem 39.2 Ohm und einem 63.4 Ohm-Widerstand bestückt. a Mit welcher Schaltung erreicht man die höchste Stufe? b Welche elektrische Leistung wird maximal in der Platte freigesetzt, wenn eine Spannung von 220 V angelegt wird? c Um wieviele Prozent wird die Leistung gesteigert, wenn man von der kleinsten auf die nächst höhere Stufe schaltet. d Wie gross ist die Leistungssteigerung von der zweiten zur höchsten Stufe? Lösungshinweis: Die Widerstände können einzeln, parallel und seriell betrieben werden. Lösung: a R4 = Mit der Parallelschaltung R1 R2 R1 + R2 b P4 = U 2 ( R1 + R2 ) R1 R2 = 1998 W c Serieschaltung: P1 = grosser Einzelwiderstand : U2 R1 + R2 P2 = U2 R2 P2 R1 + R2 = = 1.618 → 61.8% P1 R2 d 2 P4 U ( R1 + R2 ) R2 R1 + R2 = = = 2.617 → 162% P2 R1 R1 R2U 2 Schlüsselwörter: Widerstand, Serieschaltung, Parallelschaltung, Prozessleistung Quelle: Physik GS/Test 2.3 Aufgaben Elektrizität Seite 23 EL23: Drei Kondensatoren II Aufgabenstellung: In der nebenstehend skizzierten Schaltung, werden die Punkte A und B mit einer Spannungsquelle (20 V) verbunden. Dadurch werden die vorher ungeladenen Kondensatoren aufgeladen. a Welche Spannung herrscht dann zwischen den Punkten A und C? b Nachdem die Schaltung von der Spannungsquelle abgekoppelt worden ist, verbindet man die Punkt B und C leitend miteinander. Wie gross ist dann die Spannung zwischen A und B? A 6 mF 2 mF C B 14 mF Lösungshinweis: Das Verhalten von zwei Kondensatoren kann mit einer Ersatzkapazität beschrieben werden. Diese zwei Kondensatoren besitzen nachher die gleiche Ladung. Im zweiten Prozess bleibt die Ladung auf den physisch miteinander verbundenen Gebieten erhalten. Lösung: a C' = 6mF ⋅ 14mF = 4.2 mF ( 6mF + 14mF ) QABC = U 0 C ' = 84 mC U AC = QABC = 14 V 6mF b Gesamtladung im Gebiet A: Q = 2 mF . 20 V+84 mC = 124 mC 2 mF 6 mF 124 mF U AB = Q = 15.5 V 2 mF + 6 mF Schlüsselwörter: Kondensator, Kapazität, Serieschaltung Quelle: Physik GS/Test 2.4 Aufgaben Elektrizität Seite 24 EL24: Drahttetraeder Aufgabenstellung: Sechs gerade Kupferstäbe (Länge 20 cm, Durchmesser 2 mm) sind zu einem regulären Tetraeder zusammengefügt worden. Wie stark sind die elektrischen Ströme, die in den einzelnen Drähten fliessen, wenn zwischen zwei Ecken des Tetraeders eine Spannung von 0.2 V angelegt wird? Lösungshinweis: Ebenes Schaltbild zeichenen und Strompfade analysieren. Achten Sie auf die Symmetrie. Lösung: RD = ρ l = 1.146 ⋅10−3 Ω A I5 = 0 I1 = U = 174.5 A RD I 2,3,4,6 = U = 87.3 A 2 RD Schlüsselwörter: Widerstand, Serieschaltung Quelle: Physik II/GS M1.1 6 3 5 4 2 1 0.2 V Aufgaben Elektrizität Seite 25 Aufgabenstellung: Ein Kondensator (Kapazität 2.5 mF) wird über einen Widerstand (200 kΩ) entladen. Der durch den Widerstand fliessende Strom habe im Moment eine Stärke von 20 mA. 2.5 mF a Wie gross ist die momentan dissipierte Leistung? b Wieviel Energie ist zu diesem Zeitpunkt im Kondensator gespeichert? 200 kΩ EL25: Kondensator entladen Lösungshinweis: Die Stromstärke legt die Spannung über dem Widertstand fest. Die gleiche Spannung liegt auch über dem Kondensator an. Die Energie des Kondensators nimmt quadratisch mit der Spannung zu. Lösung: a U = RI = 4 kW P = UI = RI 2 = 80 W b W= 1 CU 2 = 20 kJ 2 Schlüsselwörter: Widerstand, Kapazität, Prozessleistung, Prozessenergie Quelle: Physik II/GS M1.2 Aufgaben Elektrizität Seite 26 EL26: RL - Schaltung Aufgabenstellung: Durch eine Spule (Widerstand 5 Ω, Induktivität 25 mH) fliesse ein Strom, der in der ersten Millisekunde linear von Null auf fünf Ampère ansteigt und dann konstant bleibt. a Zeichnen Sie das Spannungs-Zeit-Diagramm für das ganze Zeitintervall von zwei Millisekunden. b Wieviel Energie wird der Spule in diesen beiden Millisekunden zugeführt? c Wieviel Energie bleibt im Magnetfeld gespeichert? Lösung: a U R = RI Intervall 1. ms 2. ms U L = LI R 0 - 25 V 25 V L 125 V 0V total 125 - 150 V 25 V b erste Näherung W1 = U1 + U 2 It1 = 344 mJ 2 W2 = U 2 I 2t2 = 125mJ total 469 mJ zweite Näherung für W1 (Zeitschritt 0.2 ms) Summe P/W ∆W/mJ 64 12.8 199 39.8 344 68.8 499 99.8 664 132.8 1770 354.0 c W= 1 2 LI = 312 mJ 2 Schlüsselwörter: Spule; Induktivität, Widerstand, Prozessleistung, Prozessenergie, induktive Energie Quelle: Physik II/GS M1.3 Aufgaben Elektrizität Seite 27 EL27: Zwei Kondensatoren Aufgabenstellung: Zwei identische Kondensatoren (Kapazität 5 mF) werden getrennt auf 20 V und auf 30 V aufgeladen, dann in Serie geschaltet und zum Schluss über einen Widerstand kurzgeschlossen. Beim Zusammenschalten sind die beiden Spannungen gleich gerichtet. Wieviel Energie wird im Widerstand dissipiert? Lösungshinweis: Die Ladung bleibt erhalten und die Spannungen über den Kondensatoren gleichen sich an. Dieser Prozess lässt sich mit Gewinn im Flüssigkeitsbild analysieren. Lösung: Ctot = C1C2 = 2.5 mF C1 + C2 Un = C1U1 + C2U 2 = −5 V C1 + C2 1 1 1 Wdiss = C1U12 + C2U 22 − CtotU n2 2 2 2 = 1 J + 2.25 J − 0.125 J = 3.125 J Schlüsselwörter: Kondensator, Kapazität, dissipierte Energie Quelle: Physik II/GS M1.6 5 mF 5 mF Aufgaben Elektrizität Seite 28 EL28: RL-Schaltung Aufgabenstellung: Eine Spule (Widerstand 5 Ω, Induktivität 25 mH) sei mit einer Spannungsquelle (20 V) verbunden worden? Nach sehr kurzer Zeit ist die Stromstärke auf zwei Ampere gestiegen. a Welche Leistung wird dann in der Spule dissipiert? b Wie gross ist dann die Änderungsrate der magnetischen Feldenergie? 20 V 5Ω 25 mH Lösung: Das Ersatzschaltbild für diese Spule weist eine Induktivität und einen Widerstand auf, die in Serie geschaltet sind. Die Stromstärke legt die Spannung über dem Widerstand fest. Die restliche Spannung fällt über der Induktivität ab. Die Prozessleistung über der Induktivität entspricht der Änderungsrate der magnetischen Feldenergie. a U R = RI = 10 V Pdiss = U R I = RI 2 = 20 W b Wmagn = U L I = (U 0 − U R ) I = 20 W Schlüsselwörter: Widerstand, Induktivität, Prozessleistung Quelle: Physik II/GS E1.1 Aufgaben Elektrizität Seite 29 EL29: LC-Kreis 2.5 mF 12 mH Aufgabenstellung: Ein Kondensator (Kapazität 2.5 mF), der auf 25 V aufgeladen worden ist, wird mit einer idealen Spule (Induktivität 12 mH) verbunden. a Auf welchen maximalen Wert kann der Strom in diesem Schwingkreis anwachsen? b Schätzen Sie die Schwingungsdauer ab, ohne eine fixfertige Formel zu verwenden. Begründen Sie Ihre Abschätzung. Lösungshinweis: Die maximale Stromstärke kann über die totale Energie berechnet werden. Zur Abschätzung der Zeit kann z.B. ein konstanter Entladestrom angenommen werden, der halb so stark ist wie der Maximalstrom. Lösung: c 1 1 CU 2 = LI m2 2 2 C Im = U = 11.4 A L d Q = CU = 6.25 ⋅ 10−2 C T Q 8Q = ⇒T = = 8 LC = 0.044 s Im 4 Im 2 ( korrekter Wert: T = 2π LC Schlüsselwörter: Kapazität, Induktivität, Schwingkreis Quelle: Physik II/GS E1.2 ) Aufgaben Elektrizität Seite 30 EL30: Zwei Kondensatoren II Aufgabenstellung: Zwei aufgeladene Kondensatoren (Kapazität 5 mF, Spannung 20 V, Kapazität 10 mF, Spannung 4 V) werden in Serie geschaltet und über einen Widerstand kurzgeschlossen. Beim Zusammenschalten sind die beiden Spannungen gleich gerichtet. Wieviel Energie wird im Widerstand insgesamt dissipiert? 5 mF 10 mF Lösungshinweis: Die beiden Kondensatoren dürfen trotz ihrer Vorgeschichte durch eine Gesamtkapazität ersetzt werden. Damit reduziert sich das Problem auf ein einfaches RC-Glied. Der alternative Weg ist bei EL27 erklärt. Lösung: Ctot = C1C2 1 = 3 mF 3 C1 + C2 1 2 CtotU tot = 0.96 J 2 Alternative: Q1 = C1U1 = 0.1 C Wdiss = Q2 = C2U 2 = 0.04 C U1' = U 2' = Wdiss = Q1 − Q2 =4V C1 + C2 1 1 C1 (U12 − U1' 2 ) + C2 (U 22 − U 2' 2 ) = 0.96 J 2 2 Schlüsselwörter: Kondensator, Kapazität, dissipierte Energie Quelle: Physik II/GS E1.3 Aufgaben Elektrizität Seite 31 EL31: Klemmenspannung Aufgabenstellung: Eine 12-V-Autobatterie hat einen Innenwiderstand von 0.05 Ohm. Unbeabsichtigt werden die beiden Pole mit einem Kabel (Widerstand 0.2 Ohm) überbrückt. a Wie gross ist dann die Klemmenspannung? b Welche elektrische Leistung wird im Kabel umgesetz? Lösungshinweis: Innenwiderstand und Kabel liegen in Serie an der Urspannung (elektrochemisch aufgebaute Spannung) an. Lösung: Ri R U0 a I= U0 = 48 A Ri + R U K = U 0 − Ri I = 9.6 V b P = U K I = 460.8 W Schlüsselwörter: Widerstand, Serieschaltung, Prozessleistung Quelle: Physik GS/Test 4.3 Aufgaben Elektrizität Seite 32 EL32: Kondensator entladen II S 5 mF 2 kΩ Aufgabenstellung: Ein Kondensator (Kapazität 5 mF) werde mit 20 V aufgeladen und dann über einen Widerstand ( 2 kΩ) entladen. a Wie stark ist der Strom, der im ersten Moment durch den Widerstand fliesst? b Wie lange würde es dauern, bis der Kondensator entladen ist, wenn im zeitlichen Mittel der Strom halb so stark wie zu Beginn des Vorganges wäre? c Nach einer bestimmten Zeit ist die Stromstärke auf fünf Milliampère abgesunken. Wieviel Ladung befindet sich dann noch auf dem einen Teil des Kondensators? Lösungshinweis: Diese Aufgabe enthält elementare Überlegungungen, die Sie ohne Hilfsmittel selber machen sollten. Lösung: a I0 = U0 = 10 mA R b Q0 = CU 0 = 100 mC → t = 2Q0 = 20 s I c U = RI = 10 V → Q = CU = 50 mC Schlüsselwörter: Widerstand, Kondensator, Ladungsbilanz Quelle: Physik GS/Test 4.4 Aufgaben Elektrizität Seite 33 EL33: Vier Kondensatoren II 6 mF 1 II 2 mF I 4 mF IV 2 4 mF III 12 V Aufgabenstellung: Die nebenstehend skizzierte Anordnung sei als Ganzes mit 12 V aufgeladen worden. a Wie gross ist die Spannung, die zwischen den Punkten 1 und 2 gemessen werden kann? b Wieviel Ladung befindet sich insgesamt im Teil III? c Wieviel Energie wird dissipiert, wenn zwischen Punkt 1 und 2 ein Element mit 10 Ohm Widerstand eingebracht wird? Lösungshinweis: Beim Laden ist der Strom durch beide Zweige geflossen. Je zwei Kondensatoren besitzen die gleich Ladung und zusammen die gleiche Spannung. Beim Kurzschliessen bleibt die elektrische Ladung in den Bereichen I, III, II/IV erhalten. Zudem geht die Spannung über dem eingebrachten Widerstand gegen Null. Lösung: a Q = C1U1 = C2U 2 U1 C 2 = U 2 C1 U1 = 3 V U 2 = 9 V U 3 = 6 V U 4 = 6 V ⇒ U12 = 3 V b Q = −Q2 − Q4 = −C2U 2 − C4U 4 = −42 mC c U 2' = U 4' und U1' = U 3' 42 mC = 7 V; 6 mF W = Wvorher − Wnachher ' U 2,4 = = ' U1,3 = 42 mC = 4.2 V 10 mF 1 '2 '2 C1U12 + C2U 22 + C3U 32 + C4U 42 − ( C1 + C3 ) U1,3 − ( C2 + C4 ) U 2,4 ( ) = 16.8 mJ 2 Schlüsselwörter: Ladungserhaltung, Kapazität, kapazitive Energie, Prozessenergie Quelle: Physik GS/Test 4.5 Aufgaben Elektrizität Seite 34 EL34: Spule und Widerstand Aufgabenstellung: In der nebenstehend skizzierten Schaltung fliesst durch die reale Spule (2.5 Ω, 1.5 mH) ein Strom, der in einer Millisekunde von Null auf 5 Ampere anwächst, dann während zwei Millisekunden konstant bleibt und zum Schluss innert zwei Millisekunden wieder auf Null absinkt. a Wieviel Energie wird maximal im Magnetfeld der Spule gespeichert? b Wie sieht das Stromstärke-Zeit-Diagramm für den Nebenwiderstand (4 Ohm) aus? Geben Sie alle relevanten Werte an. c Welche Leistung gibt die angeschlossene Spannungsquelle vier Millisekunden nach Beginn des Vorganges an den Stromkreis ab? 2.5Ω 4Ω 1.5 mH Lösungshinweis: Die magnetische Feldenergie, die Energie der Induktivität, wächst quadratisch mit der Stromstärke. Solange der Betrag der Stromstärke anwächst nimmt das Magnetfeld Energie auf; die Induktivität verhält sich dabei wie ein Verbraucher. Sobald die Stromstärke abschwillt, muss das Magnetfeld Energie abgeben. Damit wird die Induktivität zu einer Energiequelle. Bei Verbrauchern sind Strom und Spannung gleich gerichtet, bei Quellen fliesst der Strom den „Potentialberg“ hinauf. Lösung: a W = 1 2 LI = 18.75 mJ 2 b U = U R + U L = RI + LI I1 = 5 kA/s I 2 = -2.5 kA/s I = 1.875 A bis 5 A 0 bis 1 ms: U = 7.5 V bis 20 V I = 3.175 A 1 bis 3 ms: U = 12.5 V 3 bis 5 ms: U = 8.75 V bis -3.75 V I = 2.1875 A bis -0.9375 A c P = UI tot = 2.5V ( 2.5A + 0.625A ) = 7.81 W Schlüsselwörter: Spule, Widerstand, Induktivität, Prozessleistung Quelle: Physik II/GS EM2.1 Aufgaben Elektrizität Seite 35 EL35: Kondensatorenkreuz Aufgabenstellung:Vier Kondensatoren werden einzeln aufgeladen und zu einem Kreuz zusammengefügt (Skizze). a Welche Spannung misst man über den vier Elementen, nachdem die freien Enden miteinander verbunden worden sind? b Wieviel Energie wird durch das Verbinden dissipiert? 2 mF 5V 1 mF 10 V 4 mF 10 V 5V 6 mF Lösungshinweis: Die Ladung im zentralen Gebiet des Kreuses bleibt erhalten. Nach dem Zusammenschluss verteilt sie sich auf alle Kapazitäten. Lösung: a Ladung im inneren Teil: Q = 40 mC + 30 mC − 10 mC − 10 mC = 50 mC Q 50 mC = 3.85 V U= = C 13 mF b Wdiss = Wvor − Wnach = ( 25 mJ + 200 mJ + 75 mJ + 50 mJ ) − 96.15 mJ = 253.8 mJ Schlüsselwörter: Kapazität, Ladungserhaltung, kapazitive Energie, Prozessenergie Quelle: Physik II/GS EM2.2 Aufgaben Elektrizität Seite 36 EL36: Widerstandsdrähte a Der Heizdraht eines elektrischen Gerätes (220 V/ 400 W) wird um einen Zehntel verkürzt. Um welche Beträge ändern sich die Leistung und die Stromstärke? b Eine Autobatterie erzeugt eine Quellenspannung von 6.15 V und besitzt einen Innenwiderstand von 0.006 Ω. Die Zuleitung zum Anlasser hat einen Widerstand von 0.002 Ω und die Rückleitung über das Auto 0.001 Ω. Beim Anlassen fliesst ein Strom der Stärke 120 A. Wie gross sind dann die Spannungen, die über der Batterie und über dem Motor gemessen werden können? Lösungshinweis: Der Widerstand eines Drahtes ist proportional zu seiner Länge. Der Spannungsabfall über einem Widerstand ist proportional zur Stromstärke. Skizzieren Sie für die zweite Aufgabe ein Schaltbild! Lösung: a U2 U2 →R= = 121 Ω R P R l l R = ρ → 1 = 1 → R2 = 109 Ω A R2 l2 P = UI = I= U R I1 = 1.818 A P1 = 400 W I 2 = 2.02 A I = 0.202 A P2 = 0.36 W P = 44.4 W b U = RI U i = 0.72 V U L = 0.36 V U K = 5.43 V U M = 5.07 V Schlüsselwörter: Widerstand, Serieschaltung, Prozessleistung Quelle: Physik II/GS M3.1 Aufgaben Elektrizität Seite 37 EL37: Drei Kondensatoren II Aufgabenstellung: Drei Kondensatoren werden einzeln aufgeladen und dann in Serie zusammengefügt (Werte siehe Skizze). a Welche Spannung herrscht zwischen den Punkten I und II, nachdem die beiden äusseren Kondensatoren verbunden worden sind? b Wieviel Energie ist infolge der Verbindung dissipiert worden? Lösungshinweis: Nach dem Kurzschluss muss die Summe über alle Spannungen gleich Null sein. Die elektrische Ladung in physisch zusammenhängender Gebiete bleibt erhalten. Lösung: a U1 + U 2 + U 3 = 0 Maschensatz −C1U1 + C2U 2 = 0 Ladungserhaltung I Ladungserhaltung II Maschensatz U2 = −C2U 2 + C3U 3 = −20 mC C2 C 20 mC U2 + U2 + 2 U2 = C1 C3 C3 20 mC 20 V = C2 C2 9 C3 + 1 + C3 C1 b 10 30 V U3 = − V 9 9 1 W = ∑ CiU i' 2 − ∑ CiU i2 = 1.067 J 2 i i U1 = Schlüsselwörter: Kapazität, Ladungserhaltung, dissipierte Energie Quelle: Physik II/GS M3.2 6 mF 10 V I 3 mF 20 V II 4 mF 10 V Aufgaben Elektrizität Seite 38 EL38: Kapazität und Induktivität Aufgabenstellung: Ein Kondensator (Kapazität 2.5 mF) und eine Spule aus supraleitendem Draht (Induktivität 12 mH) werden parallel mit einer Spannungsquelle, die ein dreieckförmiges Signal erzeugt, verbunden. Skizzieren Sie das Stromstärke-Zeit-Diagramm für die beiden Zuleitungen quantitativ richtig (mit Zahlenwerten). 10 V U t 4 ms Lösungshinweis: Das Problem lässt sich mit den Definitionsgleichungen für Induktivität und Kapazität lösen. Beim Kondensator ändert sich die Stromstärke sprunghaft; das Stromsträrke-Zeit-Diagramm weist Rechteckform auf. Das entsprechende Diagramm für die Induktivität besteht aus symmetrischen Parabelbögen. Durch die frei Wahl der Anfangsstromstärke kann das Diagramm bezüglich der Zeitachse eingemittelt werden. Lösung: Q = CU I = Q = CU = ±6.25 A I= U L I 833 A/s 6.25 A dI/dt t 4 8 12 -6.25 A Schlüsselwörter: Kapazität, Induktivität Quelle: Physik II/GS M3.3 ms 4 8 12 ms Aufgaben Elektrizität Seite 39 EL39: Zwei Kondensatoren III Aufgabenstellung: Zwei identische Kondensatoren (Kapazität 5 mF) werden getrennt auf 10 V und auf 30 V aufgeladen, dann in Serie gegeneinander geschaltet und zum Schluss über zwei Widerstände kurzgeschlossen. a Wie gross ist die Endspannung über dem einen Kondensator? b Wieviel Energie ist im kleineren Widerstand dissipiert worden? 10 V 30 V 5 mF 5 mF 10 Ω 2Ω Lösungshinweis: Die totale Ladung der beiden Kondensatoren bleibt erhalten, die beiden Spannungen gleichen sich an. Die Antworten können fast vollständig dem Flüssigkeitsbild entnommen werden. Lösung: a vorher: nachher: Q1 = -50 mC U1 = U2 Q1+Q2 = 200 mC b Wfrei = W1v + W2v -Wn = 0.5 J Wdiss2 = 83.333 mJ Q2 = -150 mC (C1+C2)U = 200 mC U = 20 V Schlüsselwörter: Kapazität, Ladungserhaltung, Prozessenergie, dissipierte Energie Quelle: Physik III/HS M1.4 Aufgaben Elektrizität Seite 40 EL40: Drei Kondensatoren IV Aufgabenstellung: Drei Kondensatoren (12 mF, 30 mF und 8 mF) werden getrennt auf 10 V, 20 V und 30 V aufS1 geladen und dann wie nebenstehend skizziert mit zwei 12 mF 30 V 10 V Widerständen zusammengefügt. a Wieviel Energie wird im kleineren Widerstand umgeS2 8 mF 20 V setzt, wenn der Schalter S1 geschlossen wird? 30 mF b Welche Spannung herrscht über dem kleinsten Kondensator, nachdem der Schalter S2 auch noch geschlossen worden ist? 10 Ω 20 Ω Lösungshinweis: Beim ersten Umschalten bleibt der Kondensator mit der 8mF-Kapazität inaktiv. Die Frage a lässt sich fast vollständig mit Hilfe des Flüssigkeitsbildes lösen. Beim zweiten Schalten gleichen sich alle drei Spannungen an, wobei die Ladung im Gebiet des gemeinsamen Knotens erhalten bleibt. Lösung: a Q12 = C2U 2 − C1U1 = 480 mC 10 V 20 V -120 mC +600 mC U= Q12 = 11.43 V C12 W frei = Qgeflossen ⋅U mittel = 3.857 J Wdiss _ klein = W frei 3 = 1.286 J b U = 240 mC : 50 mC = 4.8 V 30 V 10 V Q123 = C2U 2 − C1U1 − C3U 3 = 240 mC 20 V U= Qtot = 240 mC Q123 = 4.8 V C123 Schlüsselwörter: Kapazität, Ladungserhaltung, Prozessenergie Quelle: Physik III/HS E1.3 Aufgaben Elektrizität Seite 41 EL41: Induktivität Aufgabenstellung: Ueber einem Element mit der Induktivität 2 mH misst man den nebenstehend skizzierten Spannungsverlauf. 2V a Skizzieren Sie qualitativ richtig das zugehörige Stromstärke-Zeit-Diagramm. Zu Beginn des Prozesses fliesse kein Strom durch das Element. b Welche maximale Stärke erreicht der zugehörige 2 V Strom? c Welche Leistung setzt der Strom zum Zeitpunkt 1 ms im Element drin frei? U 1 ms 5 ms t Lösungshinweis: Bei der Induktivität legt die Spannung die Änderungsrate der Stromstärke fest. Indem man diese Funktion über die Zeit integriert, erhält man das Stromstärke-Zeit-Verhalten. Lösung: a u=L i= di dt di u = dt L 1 udt L∫ ( Fläche ) Die Stromstärke wächst in der ersten Millisekunde linear auf ein Ampère an. In den nächsten zwei Millisekunden geht die Stromstärke-Funktion in einen symmetrischen Parabelbogen über. Nachher sinkt die Stromstärke linear auf minus ein Ampère (Rückfluss) ab. b i ( 2 ms ) = 3 mVs = 1.5 A 2 mH c i (1 ms ) = 1 A p = ui = 2 W Die vom elektrischen Strom freigesetzte Leistung entspricht der Änderungsrate der magnetischen Feldenergie. Schlüsselwörter: Induktivität, Prozessleistung Quelle: Physik I/HS E2.4 Aufgaben Elektrizität Seite 42 10 V 10 kΩ Aufgabenstellung: Im nebenstehend skizzierten Kreis wird die Spannung über dem Widerstand (50.0 kΩ) mit einem Voltmeter gemessen, dessen Innenwiderstand 1.0 MΩ beträgt. Der Innenwiderstand der Spannungsquelle beträgt 10.0 kΩ und als Leerlaufspannung wurden mit dem gegebenen Voltmeter 10 Volt gemessen. a Welche Spannung zeigt das Voltmeter an? b Wie gross ist der prozentuale Messfehler? 50 kΩ EL42: Spannungsmessung Lösungshinweis: Zuerst Schaltbilder für beide Anordnungen (Messen der Leerlaufspannung und Messen der Spannung über dem Widerstand) zeichnen. Beim Messen der Leerlaufspannung fällt die Urspannung über dem Innenwiderstand und dem Voltmeter ab. Bei der zweiten Messanordnung können Lastwiderstand und Innenwiderstand des Voltmeter durch einen Gesamtwiderstand ersetzt werden. Der relative Messfehler ist gleich dem Quotienten aus absolutem Messfehler und zu messendem Wert. Lösung: a U = 1 ⋅ 10−5 A U Ri = IRi = 0.1 V R U 0 = 10.1 V I= Rer = RRm = 47.62 kΩ R + Rm Ri U i = Rer U m Ui + Um = U0 Um = U0 Rer = 8.35 V Ri + Rer b ohne Voltmeter: U = U 0 mit Voltmeter: U = U 0 f = R = 8.417 V Ri + R R = 8.35 V Rer + R U = 8.26 ⋅10−3 = 0.83% U Schlüsselwörter: Widerstand, Serieschaltung, Parallelschaltung Quelle: Physik I/HS M3.6 Aufgaben Elektrizität Seite 43 EL43: Leitungsverluste Aufgabenstellung: Beim Anschluss eines elektrischen Ofens an das 220-V-Netz über eine Kupferleitung (spezifischer Widerstand 0.0178 Ohm mm2/m) von 10 m Einfachlänge und 1.5 mm2 Querschnitt sinkt die Spannung über dem Ofen um 2.5 V. Welche Leistung wird im Ofen freigesetzt? Lösungshinweis: Aus Spannungsabfall Stromstärke berechnen. Dann mit der restlichen Spannung Leistung des Ofens bestimmen. Lösung: RKabel = 2 ρ I= l = 0.2373 Ω A 2.5V = 10.53 A P = (U 0 − 2.5V ) I = 2291 W RKabel Schlüsselwörter: spezifischer Widerstand, Prozessleistung Quelle: Physik XI/MT 91.1 Aufgaben Elektrizität Seite 44 EL44: Netzwerk Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Leistungen, die in der untenstehend skizzierten Schaltung im 8 Ohm-Widerstand und in der 12 V Spannungsquelle umgesetzt werden. 1 Ohm 8 Ohm 6V + 2 Ohm 12 V 2 Ohm 4 Ohm + 3 Ohm Lösungshinweis: Mit Hilfe der Knotensätze minimale Zahl von Stromstärken einführen, drei Maschengleichungen aufstellen und Stromstärken berechnen. Die Leistung ist gleich dem Produkt aus hindurchfliessendem Strom und anliegender Spannung. Bei einer negativen Prozessleistung nimmt der Strom vom Element Energie auf (Quelle). Lösung: 4ΩI1 + 2ΩI 2 + 1ΩI 3 = 12V 2ΩI1 − 12ΩI 2 + 8ΩI 3 = −6V 3ΩI1 + 8ΩI 2 − 12ΩI 3 = 6V I1 = 2A, I 2 = 1.5A, I 3 = 1 A P8 χ = 8Ω (1.5A − 1A ) = 2 W 2 P12V = −2a ⋅12V = −24 W Schlüsselwörter:Kirchhoffsche Sätze, Prozessleistung Quelle: Physik XI/MT 91.2 Aufgaben Elektrizität Seite 45 EL45: Spule mit Wechselstrom Aufgabenstellung: Durch eine Spule (Widerstand 4 Ohm, Induktivität 20 mH) fliesst ein Wechselstrom mit einer Frequenz von 50 Hz und einer maximalen Stärke von 4 A. a Wie gross ist die maximale Spannung, die über der Spule gemessen werden kann? b Welche Leistung wird in der Spule im zeitlichen Mittel freigesetzt? Lösungshinweis: Diese Aufgabe setzt keine speziellen Kenntnisse der Wechselstromlehre voraus. Die Lösung soll direkt aus den Grundgleichungen (first principles) abgeleitet werden. Lösung: a i = i0 sin ωt i0 = 4 A ω = 314.16s −1 uR = Ri0 sin ωt uL = Lωi0 cos ωt Extremum u = 0 : ωi0 ( R cos ωt0 − Lω sin ωt0 ) = 0 1 R ϕ0 = ωt0 = 0.567 = 1.805 ⋅10−3 s ω Lω umax = uR ( t0 ) + uL ( t0 ) = 8.592V + 21.2V = 29.8 V t0 = arctg b T T T 2 1 1 2 P = ∫ iudt = fi0 R ∫ sin ω tdt + Lω ∫ sin ω t cos ω tdt = Ri02 = 32 W T 0 0 2 0 Schlüsselwörter: Widerstand, Induktivität, Wechselstrom Quelle: Physik XI/MT 91.3 Aufgaben Elektrizität Seite 46 EL46: Zwei Kondensatoren IV Aufgabenstellung: Ein Kondensator (Kapazität 3 mF) sei mit einer 220 V Gleichspannungsquelle aufgeladen worden. Danach wird dieser mit einem zweiten, ungeladenen Kondensator (1.5 mF) und einem Widerstand (200 kW) verbunden. a Wie gross ist die Spannung über dem zweiten Kondensator 3 mF am Schluss des Ausgleichvorganges? b Wie lange dauert es, bis die Spannung über dem Widerstand auf 100 V gesunken ist? c Welche momentane Leistung wird dann über dem Widerstand freigesetzt? 1.5 mF Lösungshinweis: Mit Hilfe der Ladungserhaltung Endspannung rechnen. Zur dynamischen Beschreibung des Ausgleichsvorganges dürfen die beiden Kapazitäten durch einen Gesamtwert ersetzt werden. Lösung: a Qvorher = Qnachher U 0C1 = u ( C1 + C2 ) ⇒ U = U0 C1 = 146.7 V C1 + C2 b R-C-Glied mit C = C1C2 = 1 mF und τ = 200s C1 + C2 t u = U 0 eτ t = τ ln U0 = 158s 100V c P = ui = u2 = 50 mW R Schlüsselwörter: Widerstand, Kapazität, Prozessleistung Quelle: Physik XI/MT 91.5 Aufgaben Elektrizität Seite 47 EL47: Drahtwürfel Aufgabenstellung: Ein Drahtwürfel (Seitenlänge 10 cm) sei aus Konstantandraht (Durchmesser 1mm, spezifischer elektrischer Widerstand 5·10-7 Wm) gefertigt. Wie stark ist der elektrische Strom, der durch den Würfel fliesst, wenn eine Spannung von einem Volt über der Würfeldiagonalen (AB) angelegt wird? B A Lösungshinweis: Ebenes Schaltbild zeichnen und Ersatzwiderstand bestimmen. Lösung: l = 6.366 ⋅10−2 Ω 2 πr 6U = 18.85 A I= 5R R=ρ Schlüsselwörter: spezifischer Widerstand Quelle: Physik XI/MT 92.1 Aufgaben Elektrizität Seite 48 EL48: Kondensator mit Wechselspannung Aufgabenstellung: Ein Kondensator (Kapazität 10 µF) ist mit einer idealen Wechselspannungsquelle verbunden, deren Wert sich harmonisch verändert u = 10 V·sin(200 s-1·t) a Mit welcher maximalen Stärke fliesst der Strom in den Drähten? b Welche maximale Stärke erreicht der Energiestrom, der zwischen Kondensator und Quelle hin und herfliesst? Lösungshinweis: Diese Aufgabe setzt keine speziellen Kenntnisse der Wechselstromlehre voraus. Die Lösung soll direkt aus den Grundgleichungen (first principles) abgeleitet werden. Lösung: a Q = Cu also ∫ idt = Cu i = Cu = Cωu0 cos ωt i0 = ωCu0 = 40 mA b I w,el = ui = ω Cu02 sin 2ω t I w0 = ω Cu02 2 = 0.1 W Schlüsselwörter: Kapazität, Wechselspannung, Prozessleistung Quelle: Physik XI/MT 92.3 Aufgaben Elektrizität Seite 49 EL49: Vier Kondensatoren Aufgabenstellung: Vier Kondensatoren sind wie nebenstehend skizziert zusammengeschaltet. Solange der Schalter S offen ist, misst man zwischen A und B eine Spannung von 20 V. a Wie gross ist die Spannung zwischen A und B, nachdem der 4µF Schalter geschlossen worden ist? b Wieviel Energie ist durch das Schliessen des Schalters dissi- 1µF piert worden? A 2µF S 3µF B Lösungshinweis: Die in Serie geschalteten Kondensatoren weisen gleiche Ladung auf. Diese Ladung ist gleich Gesamtspannung mal Gesamtkapazität. Beim Schliessen des Schalter S bleibt die Ladung im physisch zusammenhängenden Gebiet erhalten. Lösung: a C1 C2 Q1 -Q1 Q2 -Q2 Q3 -Q3 Q4 Q1 = Q2 = C12U C12 = C1C2 4 = µ F Q1 = 16 µ C C1 + C2 5 Q3 = Q4 = C34U C34 = 6 µF 5 C3 -Q4 C4 U 2' = U 4' also Q2' = 40 µ C Q2' Q4' = C 2 C4 und − Q2' − Q4' = −40 µ C C2 = 10 µ C C4 + C2 U1' = U 3' also Q1' Q3' = C1 C3 Q3 = 24 µ C Q4' = 30 µ C und Q1' + Q3' = 40 µ C 2 1 Q1' = 26 µC Q3' = 13 µ C 3 3 ' Q1 Q2' 2 ' ' = 6 V U2 = = 10V U1 = 3 C1 C2 2 U AB = 16 V 3 einfachere Lösung: C1 , C3 parallel → U13 = Q13 40 µ C 2 = =6 V 3 C13 6µ F C2 , C4 parallel → U 34 = Q24 40µ C = = 10 V 4µ F C24 b W= 1 ( C12 + C34 ) U 2 − ( C13U132 + C24U 242 ) = −6.67 ⋅10−5 J 2 Schlüsselwörter: Kapazität, Ladungserhaltung, Prozessenergie Quelle: Physik XI/MT 92.4 Aufgaben Elektrizität Seite 50 EL50: Reale Spule Aufgabenstellung: Ein reale Spule (Widerstand 4.5 Ohm, Induktivität 20 mH) sei mit einer Stromquelle verbunden. Diese Quelle schickt eine Strom durch, der wie folgt anwächst i = 5A·log(1 + t/0.01s) a Wieviel Energie speichert die Spule zur Zeit t = 0.04 s? b Wie gross ist die Energieänderungsrate des Magnetfeldes zu diesem Zeitpunkt? c Wie gross ist die Entropieproduktionsrate im Spulendraht bei einer Temperatur von 27°C? Lösungshinweis: Die Änderungsrate der Magnetfeldenergie ist gleich der induktiv umgesetzten Leistung. Die Entropieproduktionsrate hängt mit der dissipierten Leistung zusammen. Lösung: a WL = 1 2 Li = 0.122 J mit i ( 0.04 s ) = 5A log 5 = 3.5 A 2 b WL = Lii i = uLi mit i i = i i ( t = 0.04s ) = 43.43 i0 1+ t 0.01s 1 1 0.01s ln10 A WL = 3.036 W s c Pdiss = uR i = Ri 2 = 55 W ΠS = Pdiss W = 0.183 T k Schlüsselwörter: Widerstand, Induktivität, Prozessleistung, induktive Energie, Entropieproduktion Quelle: Physik XI/MT 92.5 Aufgaben Elektrizität Seite 51 EL51: Drei Kondensatoren V Aufgabenstellung: Drei ungeladene Kondensatoren mit den Kapazitäten (2 mF, 6 mF und 4 mF) werden sternförmig zusammengehängt und mit zwei Spannungsquellen verbunden. a Wie gross sind die Spannungen über den drei Kondensatoren? b Wieviel Energie hat die obere Spannungsquelle (10 V) beim Laden abgegeben? 10 V 2 mF 6 mF 4 mF 20 V Lösungshinweis: Die Gesamtladung im sternförmigen Gebiet darf sich beim Laden nicht ändern. Zudem muss die Umlaufspannung für beide Maschen immer gleich Null sein. Die obere Quelle muss die Ladung des einen Kondensators über die eigene Spannung „heben“. Lösung: a Ladungserhaltung.: −Q1 + Q2 + Q3 = 0 Maschengleichung: −U 4 + U1 + U 3 = 0 −C1U1 + C2U 2 + C3U 3 = 0 −U 5 − U 3 + U 2 = 0 U3 = C1U 4 − C2U 5 1 2 1 = −8 V U 2 = U 3 + U 5 = 11 V U1 = 18 V 3 3 3 C1 + C2 + C3 b W = Q1U 4 = C1U1U 4 = 0.367 J Schlüsselwörter: Kapazität, Prozessenergie Quelle: Physik XI/MT 93.3 Aufgaben Elektrizität Seite 52 EL52: Spule III Aufgabenstellung: Durch eine reale Spule (Widerstand 5 Ω, Induktivität 20 mH) fliesse ein elektrischer Strom, der sich in einem bestimmten Zeitintervall gemäss der folgenden Gleichung ändert i = a1t(a2 - t) mit a1 = 5 MA/s2 a2 = 0.002 s a Welche Leistung wird zur Zeit t = 0.0008 s im Widerstand dissipiert? b Wie gross ist dann die Spannung über der Spule? c Mit welcher Rate ändert sich zu diesem Zeitpunkt die magnetische Feldenergie? Lösungshinweis: Stromstärke bzw. zugehörige Änderungsrate bestimmen die Spannung über Widerstand und Induktivität. Die Änderungsrate der magnetischen Feldenergie ist gleich der induktiv umgesetzten Leistung. Lösung: i = a1a2t − a1t 2 t = 0.0008s : i i = a1a2 − 2a1t i = 4.8 A i i = 2 ⋅103 A s a Pdiss = u Ri = Ri 2 = 115.2 W b u = uR + uL = Ri + Li i = 24V + 40V = 64 V c Wmagn = uLi = 192 W Schlüsselwörter: Widerstand, Induktivität, Prozessleistung, induktive Energie Quelle: Physik XI/MT93.4 Aufgaben Elektrizität Seite 53 TM53: Kapazität und Widerstand Aufgabenstellung: Über einem Widerstand (0.5 Ω) und einer Kapazität (5 mF) misst man je den nebenstehend abgebildeten Spannungsverlauf. 2V a Skizzieren Sie die zugehörigen Stromstärke-Zeit-Diagramme. b Welche maximale Stärke erreicht der totale Strom? c Welche Leistung setzt der elektrische Stromkreis zum 2 V Zeitpunkt 1.5 ms in den beiden Elementen drin frei? U 1 ms 5 ms t Lösungshinweis: Beim Widerstand ist die Stromstärke proportional zur Spannung, bei der Kapazität ist die Stromstärke proportional zu Änderungsrate der Spannung. Lösung: a IR = U/R IC = C*dU/dt I 4A 1 4A -10 A b 14 A c PR: 2W PC: -10W Schlüsselwörter: Widerstand, Kapazität, Prozessleistung Quelle: Physik I/HS M2.4 5 t
