Abkürzungen - Relativityhair

Symbolverzeichnis
generell
Vektoren werden als unterstrichene Symbole oder als Symbole mit einem Pfeil dargestellt:

r = r = r . In der Regel bezeichnet r einen Ortsvektor, r = (x,y,z). Rik , Tik, gik bezeichnen
Tensoren 2. Stufe.
Die Schreibweise f = f(a1,a2,...) deutet an, daß f eine Funktion der Größen a1,a2,... ist.
Verzeichnis der Abkürzungen
a(t) : der Expansionsfaktor, a0 Expansionsfaktor zum Zeitpunkt t0, ai Expansionsfaktor zum
a
Zeitpunkt ti, es gilt die Beziehung 0  (1  z i ) mit der Rotverschiebung zi zum Zeitpunkt ti
ai
Ableitungen
Ableitungen nach der Zeit werden gelegentlich durch einen Punkt symbolisiert:
dR
R ( t )  R ( t ) 
(t )
dt
Bedingte Wahrscheinlichkeit : die bedingte Wahrscheinlichkeit P(2 | 1) ist
P(1 , 2 )
folgendermaßen definiert: P(2 |1 ) 
bzw. etwas informal
P(1 )
P(1 , 2 )
P(2 |1 )d1 
d1
P(1 )
Dichteparameter (density parameter)
b
c
3H 02
8 G
=> 0 

8 G
3H 02 0
0 ist der Dichteparameter, 0 die Massendichte, c die kritische Massendichte, H0 die
Hubble-Konstante zum Zeitpunkt t = t0
i bezeichnet den Dichteparameter zu einem Zeitpunkt ti.
0 
c 
 : Dichtefluktuation, 0 : Dichtefluktuation zum Zeitpunkt t0, i : Dichtefluktuation zum
Zeitpunkt ti,  = (r,t) = r(t), i = (r,ti), 0 = (r,t0)
 ( r , t )  b ( t )
 ( r, t ) 
b ( t )
b(t) : mittlere Dichte des Hintergrundes zum Zeitpunkt t, (r,t) Massendichte zum Zeitpunkt t
 : mittlere Dichtefluktuation, in dieser Arbeit werden in der Regel nur mittlere
Dichtefluktuationen betrachtet, für  ist die Schreibweise <> gebräuchlich. <> wird auch als
Erwartungswert der Dichtefluktuation bezeichnet.
1
     ( r , t )d 3r V : Volumen, hinsichtlich dessen  betrachtet wird
V V
1
EdS : Einstein de Sitter Universum, ein solches Universum ist durch folgende kosmische
Parameter charakterisiert:  = 0,  = 1
Friedmann Lemaitre Gleichungen
 R 2 K 
8G  +  = 3 2  2 
R 
R
   4     3 p )GR  1 R
R
3
3
3 
3 
   R   p R   0
F(r,t) : Gaussförmig verteilte Dichtefluktuation, punktweise definiert
Fs : Gaussförmig verteilte mittlere Dichtefluktuation innerhalb eines Volumens V. Der
Erwartungswert für Fs wird als Null vorausgesetzt, die Varianz ergibt sich über <FsFs> = i2
(s.u.)
Betrachtet man Fs als Zufallsvariable, so ist
 1 Fs 2 
1
P( Fs ) 
exp 
2  die Dichtefunktion der Zufallsvariablen Fs .
2
 2 i 
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zufallsgröße Fs in ein vorgegebenes Intervall [a,b] fällt,
ist P( a  Fs  b)  a P( x )dx
b
aus dem Wert für i ergeben sich mögliche Realisierungen für Fs zur initialen Zeit ti
Gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen 1 und 2 :
(engl. join probability density function)
1 
1
1 T 1
q F q ) mit qT = (1,2), q =  
1/ 2 exp( 
( 2 )(det F )
2
2 
T
1, 2 standard normal verteilte Zufallsvariable, q, q Zufallsvektoren
F-1 inverse Matrix zur Korrelationsmatrix F
1 T 1
1 12  212 i  22
Sei Q = q F q , dann folgt Q = Q(1 , 2 ) 
(i s.u.)
2
1  i2
2
P[1,2] =
Korrelationsfunktionen : zwischen den Größen 1, 2 ist folgende Korrelationsfunktion
definiert: <12> =
mit  02h ( R1 , R2 , t ) 

0 h ,i
( R1 , R2 )

2
 i ( R1 ) i ( R2 )
1
( 2 )
2


0
=: i
P( k , t )W ( R1  k )W ( R2  k )k 2 d 3 k
R1, R2 sind mitbewegte Radien
speziell ergibt sich hieraus: 2(R,t) = 0h(R,R,t)
2
 
Korrelationsmatrix : F = (Fik) =  1 1
 21
12   1

22   i
i 
2
 , det F = 1 - i
1
Mi : initiale Masse, in dieser Arbeit in der Größenordnung 1012 - 1016 Msol
Msol : Masse in Einheiten der Sonnenmasse
P(k,t) : Potenzspektrum (engl: power spectrum), die direkte Übersetzung könnte auch
Energiespektrum lauten, das Potenzspektrum ist definiert als Erwartungswert der Größe
|(k,t)|2 , P(k,t) = <|(k,t)|2> , dabei ist (k,t) die Fouriertransformierte der Dichtefluktuation
(x,t).
In dieser Arbeit wird das CDM Potenzspektrum verwendet. In Anlehnung an /BBKS/ wird die
Dichtefluktuation mit F(r,ti) und die durchschnittliche Dichtefluktuation mit Fs bezeichnet.
R: physikalischer Radius einer kugelförmigen Massenverteilung, Ri initialer physikalischer
Radius, R0 physikalischer Radius zum Zeitpunkt t0, Ri = ri
Rb,i : Hintergrundradius, Radius einer Kugel, die eine Masse Mi umfaßt, mit einer
4
M i    b,i  Rb3,i
Massendichte b,i
3
Rco : mitbewegter Radius (engl: comoving radius)
Definition: R(t) = a(t) x mit dem Expansionsfaktor a(t) und konstanten mitbewegten
R( t i ) Ri
Koordinaten x
(Peebles) => x 

a( t i ) a i
a
R
unter Verwendung von 0  (1  z i ) => x  i (1  z i )
ai
a0
verwendet man die Konvention a0 = 1 so folgt x  Ri (1  zi )
x ist der dem physikalischen Radius Ri entsprechende mitbewegte Radius, hierfür schreibe ich
im folgenden Ri,co => Ri,co = (1 + zi) Ri = R0
Ri : initialer Radius, in der Regel ist Ri = Rb,i
Robertson Walker Metrik
 dr 2

2
2
2
2
2
2
2
2
ds  c dt  R( t ) 
2  r ( d  sin d 
1  kr

dabei kann k die Werte 0, 1, -1 annehmen
 : Massendichte,  = (r,t), i(r) = (r,ti),
 : mittlere Massendichte,  = <  >, in dieser Arbeit werden in der Regel nur mittlere
Massendichten betrachtet
b : Massendichte des Hintergrundes (engl. background density). b,i : Hintergrundichte zum
Zeitpunkt ti , b.0 : Hintergrunddichte zum Zeitpunkt t0
cr : kritische Massendichte, cr,0 : kritische Massendichte zum Zeitpunkt t0, cr,i : kritische
Massendichte zum Zeitpunkt ti
3
i : durch Akkretion von Materie aus der Umgebung erreichte Überdichte einer Kugel mit
ursprünglicher Dichte b,i , im Rahmen dieser Arbeit wird angenommen, daß i = b,i(1 + Fs)
gilt
 : Standardabweichung, i Standardabweichung zum Zeitpunkt ti, 0 Standardabweichung
1 

2
2 3
zum Zeitpunkt t0 ,  2 ( R, t ) 
,
2 0 P( k , t )W ( k  R )k d k ,  i 
2
(1  z i )
i = (R,ti) = i(R)
0h2 = 0h2(R1,R2,t0),  0 h,i 
 ( R, t ) 
1
( 2 )
2


0
 0h
1  zi
P( k , t )W ( R  k )2 k 2 d 3 k
0 = (R,t0) i = (R,ti) i = (1 + zi)-1 0
R wird als mitbewegter Radius vorausgesetzt
P(k,t) ist das Potenzspektrum (CDM power spectrum), W = W(x)
1,2 standard normalverteilte Zufallsvariable, diese Variablen werden in der Regel in
Fs
Fs
folgender Weise verwendet: 1 
, 2 wird über eine bedingte

 i ( Rb,i,co )  i( Rb,i  (1  z i ))
Wahrscheinlichkeit P(2 | 1) bestimmt. Rb,i,co ist der mit dem intitialen Radius Rb,i
korrespondierende mitbewegte Radius (engl: comoving radius), Fs ist die mittlere
Dichteschwankung innerhalb einer Kugel mit Radius Ri, i ist die Standardabweichung zum
Zeitpunkt ti , linear extrapoliert von 0 aus durch i = (1 + zi)-1 0
ti : initiale Zeit, ti ist in der Regel die Zeit, die mit einer Rotverschiebung von zi = 1000
korrespondiert (= Zeit der Rekombination = Rekombinationszeit)
t0 : heutige Zeit
W : Fensterfunktion (engl: window function), in dieser Arbeit wird die Fouriertransformierte
sin x  x cos x
der "top hat" Fensterfunktion verwendet, W(x) := 3
x3
z: Rotverschiebung, zi Rotverschiebung zum Zeitpunkt ti, z0 : Rotverschiebung zum Zeitpunkt
a
t0, z0 = 0, allgemein gilt die Beziehung 0  (1  z i )
ai
(r) : 2 - Punkte Korrelationsfunktion, Potenzspektrum und Korrelationsfunktion sind
Fouriertransformierte, (x) =  d3k <|k|2> eikx =  d3k P(k,t) d3k
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