BWB-2-2013-Th-Exoplanet-Zoe-LOESUNG

Öst. Physikolympiade 2013
BWB-2
Villach
Exoplanet
( Lösungsvorschlag )
Einige Daten zu diesem System:
Zentralstern 8799 im Sternbild Pegasus: Teff=7430 K, R8799 = 1,3. Rsonne, M8799 =1,5.Msonne
Planet c: T = 1100 K, in der Atmosphäre konnte eindeutig CO nachgewiesen werden.
Der Radius des Planeten wird auf 85000 km geschätzt.
Aufgaben:
a) Bestimme den Abstand von 8799c von seinem Zentralstern sowie seine Umlaufszeit
( Hinweis: es kann angenommen werden, dass die Bildebene der Planetensystemebene
entspricht)
Aus dem Bild kann über eine einfache Maßstabsrechnung der Bahnradius auf 36 - 38 AE
geschätzt werden.
Annahme: Kräftegleichgewicht: Zentripetalkraft= Gravitation
𝑚𝑣 2
𝑟
=𝐺
𝑚𝑀
𝑟2
Annahme: kreisförmige Planetenbahn ==> 𝑣 =
2𝜋𝑟
𝑇
Daraus ergibt sich T zu 5,6.109 s ( bei 36 AE), d.h. die Umlaufszeit beträgt ca. 178 Jahre.
b) Welche "Solarkonstante" spürt man auf 8799c ?
Annahme: Zentralstern ist ein Schwarzer Strahler, abgestrahlte Leistung: 𝑃 = 𝜎𝐴𝑇 4
P=1,78.1027 W, das ist ungefähr das 300-fache der Sonnenleistung.
𝑃
1,78.1027
Einstrahlung pro m² in 36 AE Entfernung: 𝑆𝑜𝑙𝑎𝑟𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐴 = 4𝜋.(36.1,5.1011 )² =4,9 W/m²
Eine "Solarkonstante" von 5W ist ein geringer Wert. Der hohe IR-überschuss bedeutet, dass
die Planeten noch heiße Gaskugeln sind.
c) Gib eine Abschätzung für den minimalen Radius von 8799c auf Grund der Tatsache, dass
CO in seiner Atmosphäre nachgewiesen werden konnte. Das System ist noch jung und im
Entstehen, d.h. die Planeten sind als gasförmig zu betrachten.
Es empfiehlt sich, den Minimalradius als Funktion einer mittleren Dichte zu berechnen, auf
mm-Papier zu zeichnen und zu interpretieren. Wird der CO-Gehalt in der Atmosphäre stabil
bleiben ?
( Vereinfachung: CO kann als ideales Gas betrachtet werden, monoatomar,
Molare Masse 28 g)
Zunächst wird die Fluchtgeschwindigkeit vom Planeten berechnet:
1
2
𝑚𝑣 2 =
𝐺𝑀𝑚
𝑟
, m Molekülmasse
2𝐺𝑀
==> 𝑣 = √
𝑟
, 𝑀=
4𝜋𝑟 3
3
. 𝜌, ρ ist eine mittlere Dichte
8𝜋
==> 𝑣 = √ 3 𝐺𝜌𝑟 2
Auf Grund der Annahme des idealen Gases gilt:
1
2
beide Seiten mit NA multipliziert, ergibt:
3𝑅𝑇
Mmolv2=3RT ==> 𝑣 = √𝑀
𝑚𝑜𝑙
Durch Gleichsetzen von v ergibt sich:
𝑟𝑚𝑖𝑛 = √
3
𝑚𝑣 2 = 2 𝑘𝑇
9𝑅𝑇
8𝜋𝐺𝑀𝑚𝑜𝑙 𝜌
1000000
100000
Radius in km
10000
Radius von HR8799c
kritischer Radius für CO
1000
100
0.0
2000.0
4000.0
6000.0
8000.0
Dichte in kg/m³
CO wird, abgesehen von chemischen Veränderungen der Atmosphäre, auf HR8799c erhalten
bleiben. Bei allen realistischen mittleren Dichten liegt der kritische Radius weit unter dem
tatsächlichen Radius.