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XII
Infinit
Fast alle heute lebenden Mathematiker
akzeptieren Cantors transfinite Mengenlehre
als Grundlage der Mathematik.
David Hilbert (1862 - 1943)
Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen,
soll uns niemand vertreiben können.
... seine Theorie der transfiniten Zahlen; diese
erscheint mir als die bewundernswerteste Blüte
mathematischen Geistes und überhaupt eine der
höchsten Leistungen rein verstandesmäßiger
menschlicher Tätigkeit.
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
... so protestiere ich zuvörderst gegen den
Gebrauch einer unendlichen Größe als einer
Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals
erlaubt ist.
Leopold Kronecker (1823 - 1891)
Lehrer Cantors, bezeichnete ihn später als "Verderber der Jugend!"
Henri Poincaré (1854 - 1912)
"Es gibt kein aktual Unendliches, das haben die Cantorianer
vergessen und haben sich in Widersprüche verwickelt."
"Zukünftige Generationen werden die Mengenlehre als eine
Krankheit betrachten, von der man sich erholt hat."
Luitzen E. J. Brouwer (1881 - 1966)
“De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet.“
(Dissertation, 1907)
Hermann Weyl (1885 - 1955)
Nachfolger Hilberts in Göttingen
Die Logik wurde an endlichen Mengen
ausgebildet. Ohne jede Rechtfertigung wird
sie nun auf unendliche Mengen angewandt.
Das ist der Sündenfall der Mengenlehre.
Ludwig Wittgenstein (1889 - 1951)
It isn't just impossible "for us men" to run through the natural
numbers one by one; it's impossible, it means nothing.
You can’t talk about all numbers, because there's no such thing as
all numbers.
Set theory is wrong because it apparently presupposes a
symbolism which doesn't exist instead of one that does exist (is
alone possible). It builds on a fictitious symbolism, therefore on
nonsense.
Paul Lorenzen (1915 - 1994)
... entsteht die christliche Auffassung Gottes
als aktualer Unendlichkeit. In der
Renaissance, besonders bei Bruno, überträgt
sich die aktuale Unendlichkeit von Gott auf
die Welt.
Die endlichen Weltmodelle der gegenwärtigen
Naturwissenschaft zeigen deutlich, wie diese Herrschaft eines
Gedankens einer aktualen Unendlichkeit mit der klassischen
(neuzeitlichen) Physik zu Ende gegangen ist.
Befremdlich wirkt dem gegenüber die Einbeziehung des
Aktual-Unendlichen in die Mathematik, die explizit erst gegen
Ende des vorigen Jahrhunderts mit G. Cantor begann.
Im geistigen Gesamtbilde unseres Jahrhunderts wirkt das
aktual Unendliche geradezu anachronistisch.
Abraham Robinson (1918 - 1974), Schüler
Fraenkels, Begründer der Non-StandardAnalysis: "Infinite totalities do not exist in any
sense of the word (i.e., either really or ideally).
More precisely, any mention, or purported
mention, of infinite totalities is, literally,
meaningless."
Walter Felscher (1931 -2000), Autor eines mehrbändigen
Lehrbuches zur ML: "Was hingegen die Anwendungen der
transfiniten Zahlen in anderen mathematischen Disziplinen
anlangt, so haben sich die Hoffnungen, welche man zunächst
darauf setzte, nur in wenigen, speziellen Fällen erfüllt..."
Solomon Feferman (*1928)
Das aktual Unendliche wird für die Mathematik der
wirklichen Welt nicht gebraucht.
At least to that extent the question "Is Cantor
necessary?" is answered with a resounding "no".
Edward Nelson (*1932)
Eine Konstruktion existiert nicht, bevor sie gemacht wurde;
wenn etwas Neues gemacht wird, dann ist es etwas Neues und nicht eine Auswahl aus einer vorher schon existierenden
Kollektion.
Wenn ich die Aufgabe stelle
37460225182244100253734521345623457115604427833
+ 52328763514530238412154321543225430143254061105
und Sie der erste sind, der sie löst, dann haben Sie
eine Zahl erschaffen, die vorher nicht existierte.
Edward Nelson (*1932)
Eine Konstruktion existiert nicht, bevor sie gemacht wurde;
wenn etwas Neues gemacht wird, dann ist es etwas Neues und nicht eine Auswahl aus einer vorher schon existierenden
Kollektion.
Wenn ich die Aufgabe stelle
37460225182244100253734521345623457115604427833
+ 52328763514530238412154321543225430143254061105
89788988696774338665888842888848887258858488938
Pech gehabt. Diese existierte schon.
William Thurston (1946-2012)
Topologe, Träger der Fields-Medaille
Auf ihrem tiefsten Grunde sind die Fundamente der Mathematik
viel wackliger als die Mathematik, die wir betreiben. Die meisten
Mathematiker akzeptieren Prinzipien, die als Trugbilder bekannt
sind. Es ist zum Beispiel bewiesen, dass es unmöglich ist, eine
Wohlordnung der reellen Zahlen zu konstruieren oder auch nur zu
definieren. Es gibt beträchtliche Evidenz dafür (aber keinen
Beweis) dass wir mit diesen Trugbildern durchkommen, ohne uns
zu verfangen, aber das macht sie nicht richtig.
Mengentheoretiker konstruieren viele verschiedene und sich
gegenseitig ausschließende “mathematische Universen”. Das
erweckt sehr wenig Vertrauen, dass eines von ihnen die richtige
oder die natürliche Wahl wäre.
Philosophisch erfordert ZFC den vagen
Glauben an ein mystisches Universum von
Mengen, das unphysikalisch und zeitlos
existieren müsste (und doch dürften
irgendwie "nicht alle Mengen auf einmal
da sein", um die klassischen Paradoxien
zu vermeiden).
Nik Weaver
(*1969)
Our axioms, if interpreted as meaningful
statements, necessarily presuppose a kind
of Platonism, which cannot satisfy any
critical mind and which does not even
produce the conviction that they are
consistent.
Kurt Gödel
(1906 - 1978)
Doron Zeilberger (* 1950):
Herren Geheimrat Hilbert und Prof. Dr. Cantor
Your "Paradise“ is a Paradise of Fools, and
besides feels more like Hell.
every statement that starts
" for every integer n "
is completely meaningless.
Es gibt überendliche Zahlen von unterschiedlicher Größe.
Es gibt inkonsistente Mengen: Die Menge
aller Mengen müsste ihre Potenzmenge
enthalten und damit mächtiger sein als sie ist.
Bertrand Russell
(l872 - 1970)
Georg Cantor
1845 - 1918
Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten (Barbier).
Löwenheim-Skolem-Paradoxon
Leopold Löwenheim
(1878 - 1957)
Thoralf Albert Skolem
(1887 - 1963)
Jede Theorie wie die Mengenlehre besitzt ein abzählbares Modell,
sofern sie überhaupt ein Modell besitzt, d.h. konsistent ist.
Das Paradoxon von Banach-Tarski
Stefan Banach
(1892 - 1945)
Alfred Tarski
(1902 - 1983)
We are, like Poincaré and Weyl, puzzled by how
mathematicians can accept and publish such
results; why do they not see in this a blatant
contradiction which invalidates the reasoning
they are using?
Edwin T. Jaynes
Presumably, the sphere paradox and the
(1922 – 1998)
Russell Barber paradox have similar
explanations; one is trying to define weird sets
with self-contradictory properties, so of course,
from that mess it will be possible to deduce any
absurd proposition we please.
The Banach-Tarski paradox amounts to an
inconsistency proof
Émile Borel
(1871 – 1956)
Die konstruierbaren Zahlen wie e, p oder L sind abzählbar.
Eine jede Definition ist aber ihrem Wesen
nach eine endliche, d.h. sie erklärt den zu
bestimmenden Begriff durch eine endliche
Anzahl bereits bekannter Begriffe.
"Unendliche Definitionen" (die nicht in
endlicher Zeit verlaufen) sind Undinge.
Wäre der Satz, daß alle "endlich
definierbaren" reellen Zahlen einen Inbegriff
von der Mächtigkeit 0 ausmachen, richtig,
so hieße dies, das ganze Zahlenkontinuum
sei abzählbar, was doch sicherlich falsch ist.
Georg Cantor
(1845 - 1918)
Die konstruierbaren Zahlen wie e, p oder L sind abzählbar.
Es gibt nur abzählbar viele Namen.
a
b
aa
ab
ba
bb
aaa
…
Jede Zahl, die wir individuell bezeichnen, also identifizieren
und in der Mathematik verwenden können, gehört zu einer
abzählbaren Menge.
Hermann Weyl (1885 - 1955)
Die möglichen Kombinationen endlichvieler
Buchstaben bilden eine abzählbare Menge, und da
jede bestimmte reelle Zahl sich durch endlichviele
Worte definieren lassen muß, kann es nur abzählbar
viele reelle Zahlen geben - im Widerspruch mit
Cantors klassischem Theorem und dessen Beweis.
It is this absolute platonism which has been
shown untenable by the antinomies.
If we pursue the thought that each real
number is defined by an arithmetical law,
the idea of the totality of real numbers is
no longer indispensable.
Paul Bernays
(1888 - 1977)
Definiert man die reellen
Zahlen in einem streng
formalen System, in dem nur
endliche Herleitungen und
festgelegte Grundzeichen
zugelassen werden, so
lassen sich diese reellen
Zahlen gewiß abzählen, weil
ja die Formeln und die
Herleitungen auf Grund ihrer
konstruktiven Erklärungen
abzählbar sind.
Kurt Schütte
(1909 - 1998)
Jede wohlgeordnete Menge besitzt eine
Normaldarstellung mit indizierten Elementen.
Es gibt nur abzählbar viele Indizes.
Es gibt überabzählbare Mengen.
Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
Die Menge der geraden Zahlen ist abzählbar unendlich: 0
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
7
14
8
16
9
18
...
...
|{2, 4, 6, …, 2n}| < 2n < |{2, 4, 6, …}| =
0
|{2, 4, 6, …, 2n}| < 2n < |{2, 4, 6, …}| =
0
Mengen gerader Zahlen
{2}
{2, 4}
{2, 4, 6}
{2, 4, 6, 8}
{2, 4, 6, 8, 10}
{2, 4, 6, 8, 10, 12}
...
Jede Menge positiver gerader Zahlen
enthält Zahlen, die größer als die
Kardinalzahl der Menge sind.
0,1 = 10-1
0,11 = 10-1 + 10-2
0,111 = 10-1 + 10-2 + 10-3
…
Diese Folge enthält als Exponenten alle natürlichen Zahlen
in endlichen Anfangsabschnitten.
{1}
{ 1, 2 }
{ 1, 2, 3 }
{ 1, 2, 3, 4 }
{ 1, 2, 3, 4, 5 }
…
Wenn 0 Zahlen existieren, so sind sie in der letzten Spalte
enthalten.
Sind 0 Zahlen in der letzten Spalte enthalten, so sind sie auch im
ganzen Dreieck enthalten.
Zwei Zeilen enthalten niemals mehr als eine der beiden enthält.
{1}
{ 1, 2 }
{ 1, 2, 3 }
{ 1, 2, 3, 4 }
{ 1, 2, 3, 4, 5 }
…
ooo…
o
oo
ooo
…
n
r(n)
___________________
1 0,000111199999...
2 0,123456789123...
3 0,555555555555...
4 0,789789789789...
5 0,010000000000...
...
...
Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein Unmöglichkeitsbeweis
n
r(n)
00000___________________
0000001 0,000...
0000002 0,1000...
0000003 0,11000...
0000004 0,111000...
0000005 0,1111000...
...
...
...
Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein Unmöglichkeitsbeweis
n
r(n)
00000___________________
0000001 0,000...
0000002 0,1000...
0000003 0,11000...
0000004 0,111000...
0000005 0,1111000...
...
...
...
Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein Unmöglichkeitsbeweis
n
r(n)
00000___________________
0000001 0,100...
0000002 0,1100...
0000003 0,11100...
0000004 0,111100...
0000005 0,1111100...
...
...
...
Ohne aktuale Vollendung der Zahl 1/9 = 0,111…
ist die Diagonalzahl in der Liste.
Percy W. Bridgman (1882–1961)
Nobelpreisträger
The ordinary diagonal Verfahren I
believe to involve a patent
confusion of the program and
object aspects of the decimal
fraction, which must be apparent to
any who imagines himself actually
carrying out the operations
demanded in the proof.
In fact, I find it difficult to understand
how such a situation should have been
capable of persisting in mathematics.
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen
Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.3476183
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen
Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.34761831
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen
Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.347618311
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen
Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.347618311312321
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen
Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.347618311312321876760760
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen
Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.347618311312321876760760
Jede findet sich unendlich oft im Rest der Liste.
dn findet sich unendlich oft im Rest der Liste.
Cantor’s "paradise" as well as all modern
axiomatic set theory [AST] is based on the
(self-contradictory) concept of actual infinity.
Cantor emphasized plainly and constantly that
all transfinite objects of his set theory are
based on the actual infinity.
Modern AST-people try to persuade us to
believe that the AST does not use actual
infinity.
A. Zenkin
(1937 – 2006)
It is an intentional and blatant lie, since if infinite sets are
potential, then the uncountability of the continuum becomes
unprovable.
1- + (1-) + (1- + 1-) + (1- + -1 + 1- + 1-) + ...
1 2
3 4
5 6 7 8
Bis zur n-ten Klammer werden 2n Stammbrüche benötigt.
0 Klammern, 20
Stammbrüche
Wohlordnung der rationalen Zahlen {q I 0 < q < 1}
1-, -,
1 -,
1 -,
2 -,
1 -,
1 2-, 3-,
2 3 4 3 5 6 5 4
...
Aktual unendlich viele Transpositionen
 Umordnung der Größe nach wäre möglich.
The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman
Adolf Abraham Fraenkel
(1891 – 1965)
Laurence Sterne
(1713-1768)
Bekannt ist so die Geschichte von Tristram Shandy,
der daran geht, seine Lebensgeschichte zu
schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur
Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein
volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit seiner
Biographie niemals fertig, wenn er so fortfährt.
Würde er indes unendlich lang leben (etwa
„abzählbar unendlichviele“ Jahre), so würde seine
Biographie „fertig“.
„fertig“, es würde dann nämlich jeder
noch so späte Tag seines Lebens schließlich eine
Schilderung bekommen.
5
4
1
2
3
8
1
7 6 5 4 3 2
21
21
4321
4321
654321
654321
87654321
87654321
............
0 (Mengenlehre)
  (Mathematik)
8
1
7 6 5 4 3 2
 (Mengenlehre)
  (Mathematik)
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask
0
1
2
3
4
5
6 …
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask
0
1
2
3
4
ein: (0, 1] aus 1/1
5
6 …
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask
0
1
2
3
4
ein: (0, 1] aus 1/1
ein: (1, 2] aus 1/2
5
6 …
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask
0
1
2
3
4
ein: (0, 1] aus 1/1
ein: (1, 2] aus 1/2
ein: (2, 3] aus 2/1
5
6 …
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask
0
1
2
3
4
5
6 …
ein: (0, 1] aus 1/1
ein: (1, 2] aus 1/2
ein: (2, 3] aus 2/1
… und so weiter
Es sind immer unendlich viele Zahlen im Zwischenspeicher!
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine Supertask
0
1
2
3
4
5
6 …
ein: (0, 1] aus 1/1
ein: (1, 2] aus 1/2
ein: (2, 3] aus 2/1
… und so weiter
Sogar die Zahl der Intervalle ohne Strich wächst ständig!
0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…
0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…
0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…
0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…
0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…
0,737342483465448512090030345234985349854000000000000…
0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…
Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegt stets eine rationale.
II  II
Dezimaldarstellungen von Zahlen
742,25
7
4
2 , 2
5
102 101 100 , 10-1 10-2
Binärdarstellungen von Zahlen
22 21 20 , 2-1 2-2
1
0 1
=4+0+1=5
1
1
0, 1
= 4 + 2 + 0 + 1/2 = 6,5
0, 1 1
= 1/2 + 1/4 = 0,75
0,111111 ... = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1
0,010101... = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3
Der binäre Baum
0,
0
1
0
1
0
1
0 1
0 1
0 1
0 1
Der binäre Baum
0,
0
1
0
1
0
1
0 1
0 1
0 1
0 1
Der binäre Baum
0,
21
01
30
41
05
16
70 18 09 10
1 11
0 12
1 13
0 114
15 16
Die Elementarzelle:
Die Elementarzelle:
2-1 -1=0
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
0
0
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
0
0
1
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0
0
1
0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
0
0
1
1
0 1
0
0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
0
0
1
1
0 1
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0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
0
0
1
1
0 1
0
0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
0
0
1
1
0
0 1
0 1
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
0
0
1
1
0 1
0
0 1 0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0
1
0 1
0 1
0
0 1 0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0
1
0 1
0 1
0
0 1 0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0
1
0 1
0 1
0
0 1 0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0
1
0 1
0 1
0
0 1 0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0
1
0 1
0 1
0
0 1 0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0
1
0 1
0 1
0
0 1 0
1
1
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
Jeder einzelne konstruierte Pfad bedeckt unendlich viele Knoten.
0
1
Nach jedem Konstruktionsschritt ist das Verhältnis
Anzahl der Pfade
0
1
0 1
0 1
0
0 1 0
1
Anzahl der Knoten
1
= 0
Wie viele natürliche Zahlen gibt es?
< 1080 Protonen im Weltall
12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
10100000
Wo existieren mit 1080 Zeichen nicht darstellbare Zahlen?
Verwirklichung des aktual Unendlichen
• Gott ???
• Natur
• Mathematik
Georg Cantor
1845 - 1918
Es gibt keine verschiedenen Unendlichkeiten.
0
0 < 2 = 1?,

,
...
2
Es gibt keine vollendete Unendlichkeit.
0
John Wallis
Das Unendliche ist Richtung, nicht Betrag.

 =  + 1 = 2 = 2
(1616 - 1703)
Ende