Präsentation
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Von Jens‐Uwe Zenß Motivation Geschichtliches zur FEM Einsatzmöglichkeiten der FEM Warum gerade diese Methode bei der Erzeugung von kontinuierlichen Modellen ? Auflistung interessanter praktischer Anwendungs‐ beispiele Ziele der Präsentation: ‐ Grundlegendes Verständnis für Arbeitsweise der FEM vermitteln ‐ Vorteile der FEM gegenüber anderen Methoden herausarbeiten ‐ Verbreitung in der Praxis Gliederung •Kontinuierliche Simulation und kontinuierliche Modelle •Geschichte und Einsatzgebiete der FEM •Erläuterung der FEM an einem Beispiel •Notwendige Grundlagen der Statik •Aufgabenstellung •Analytische Berechnung •Lösung mittels FEM •Praktische Anwendungsbeispiele •Automobilindustrie •Luft‐ und Raumfahrt •Bauwesen / Restaurierung / Anlagenbau •Fazit – Vorteile der FEM •Quellen‐ und Literaturnachweis Kontinuierl. Simulation u. kontinuierl. Modelle Kontinuierliche Simulation Experimentieren mit kontinuierlichen Modellen Unendlich viele Zustandsbetrachtungen pro Zeitintervall Kontinuierliches Modell Abbildung eines realen Systems (meist auf Grundlage naturwissenschaftlicher Gesetze) mittels Differentialgleichungen in einem kontinuierlichen Modell Differentialgleichungen oft leicht formulierbar aber mathematisch komplex Lösungsverfahren für Differentialgleichungen analytisch oder numerisch. Finite‐Elemente‐Methode ist ein numerisches Lösungsverfahren. Geschichte und Einsatzgebiete der FEM 1960 R.W. Clough „The finite element in plane stress analysis“ Erstmalige Verwendung des Ausdrucks 1969 O.C. Zienkiewicz „The Final Element Method in Structural and Continuum Mechanics“ – Grundlagenwerke 1971 „The Final Element Method in Engineering Science“ Bezeichnung FEM wurde zum Allgemeingut Geschichte und Einsatzgebiete der FEM 1990 Prozesssimulation Biologie / Physik Medizintechnik Geophysik 1980 Elektronik / Mikromechanik 1970 1960 Konsumgüterindustrie Chemische Industrie / Kunststoff Maschinenbau Automobilbau Schiffbau / Offshorebau Bauwesen / Anlagenbau Luft‐ und Raumfahrt Anwendungsgebiete Erläuterung der FEM an einem Beispiel Notwendige Grundlagen der Statik Resultierende Kraft Ersetzung mehrerer an einem gemeinsamen Punkt angreifender Kräfte Fi durch Vektoraddition. WL2 F2 FR AP2 AP1 Teilkräfte WLR F2 FR F1 WL1 F1 FR Vereinfachung F2 F1 Analog lassen sich Kräfte auch in linear unabhängige Teil‐ kräfte zerlegen. Somit kann mit Hilfe einer Linearkombination mit n Einheitsvektoren in einem n‐dimensionalen Raum jede beliebige Kraft dargestellt werden. Erläuterung der FEM an einem Beispiel Notwendige Grundlagen der Statik Parallele Kräfte können so nicht zusammengefasst werden. Diese werden auf eine Wirkungslinie parallel verschoben. Die Verschiebung einer Kraft ist im Bild unten beschrieben. Das entstehende Moment (durch das Kräftepaar) ist mit M = F * l beschrieben. WL2 WL1 F WL2 F WL1 WL2 F F Kräftepaar l F l WL1 M = F⋅l l Erläuterung der FEM an einem Beispiel Notwendige Grundlagen der Statik Gleichgewicht von Kräften und Momenten Eine allgemeine ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft FR und das resultierende Moment MR gleich Null sind. n → : ∑ Fix = 0 i =1 n ↑ : ∑ Fiy = 0 i =1 n A : ∑ MiA = 0 i =1 Erläuterung der FEM an einem Beispiel Notwendige Grundlagen der Statik Gruppen paralleler Kräfte können nun zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden. Dabei ist der Schwerpunkt, dass heißt der Punkt, an dem die Summe aller Momente der parallelen Teilkräfte null ist. Die gleichen Überlegungen lassen sich auch auf kontinuierliche Flächenlasten anwenden. Erläuterung der FEM an einem Beispiel Aufgabenstellung Es soll eine Haltekraft für eine Flächenlast bestimmt werden, so dass sich der starre Körper im Gleichgewicht befindet. x Als starrer Körper sei hier ein Balken mit elliptischer Grundfläche angenommen mit Länge 80 LE, maximale Breite 40 LE, einem Loch mit Durchmesser 20 LE und einer bestimmten (für die Lösung der Aufgabenstellung nicht relevanten) Dicke. Als Flächenlast sei p(A) = p(x,y) = p(x) gegeben: Erläuterung der FEM an einem Beispiel Aufgabenstellung Als Kurve dargestellte Flächenlast für p0 = 1, Schnitt entlang der x‐Achse Erläuterung der FEM an einem Beispiel Analytische Berechnung Die analytische Lösung besteht hier „einfach“ in der Lösung der Integralgleichungen für die Berechnung des Schwerpunktes (xs,ys) und der Resultierenden Kraft R. Für die Haltekraft H gilt dann einfach H = ‐R (mit der gleichen Wirkungslinie wie R) Erläuterung der FEM an einem Beispiel Analytische Berechnung Analog lässt sich für ys auch mittels Lösung der Integralgleichung ein Ergebnis finden, doch ist dieses schon wegen der Symmetrie entlang der x‐Achse bekannt: Ys = 0 Für die resultierende Kraft R gilt: Erläuterung der FEM an einem Beispiel Analytische Berechnung Damit ist nun die Größe (‐R) und der Angriffspunkt S (1,127 , 0) der Haltekraft H bekannt. Anmerkung: Schon mit Hilfe dieses kleinen Beispiels ist zu erkennen, wie schwer es werden kann, über analytische Berechnung komplexere Differential‐/Integralgleichungen kontinuierlicher Modelle zu lösen. Für spezielle Gleichungen mag es gute analytische Lösungsverfahren geben, für die meisten Aufgaben sind jedoch numerische Rechenverfahren wie die FEM die bessere Lösungsmethode. Erläuterung der FEM an einem Beispiel Lösung mittels FEM 1. Schritt: geometrische Umsetzung des Modells ‐Zerlegung des Körpers in kleine geometrisch einfache Elemente x Vereinfachung im Modell: ‐Nur quadratische Elemente des selben Typs ‐keine Behebung „Treppenraster“ am Rand ‐Vorteil: einfachste Berechnung des Flächeninhalts eines finiten Elements Erläuterung der FEM an einem Beispiel Lösung mittels FEM Umsetzung am Programmbeispiel in Haskell: isInModel ::(Double,Double)­>Bool isInModel (x,y) = isInEllipse (x,y) && isNotInCircle (x,y) && isNotOutOfRange (x,y) where isInEllipse (x,y) = (x/60)^2+(y/40)^2<=1 isNotInCircle (x,y) = (x+20)^2+y^2>=100 isNotOutOfRange (x,y) = x>=(­40) && x<=40 finiteElemIsInModel::Double­>(Double,Double)­>Bool finiteElemIsInModel lFE (x,y) = foldl (&&) True (map isInModel [(x,y),((x+lFE),y),(x,(y+lFE)),((x+lFE),(y+lFE))]) Erläuterung der FEM an einem Beispiel Lösung mittels FEM Mögliche Formen von finiten Elementen: Linien‐ (Stab‐) Elemente Flächenelemente Volumenelemente Erläuterung der FEM an einem Beispiel Lösung mittels FEM 2. Ersetzen der Differential‐/Integralgleichungen durch lokale Ansatz‐ funktionen in den finiten Elementen p(x+lFE,y+lFE) p(x,y+lFE) p(x+lFE,y) p(x,y) FFE lFE lFE Randbedingungen! Kontinuierlicher Übergang der Ansatz‐ Funktionen! Erläuterung der FEM an einem Beispiel Lösung mittels FEM Umsetzung am Programmbeispiel in Haskell: p::(Double,Double)­>Double p (x,y) = cos (pi/80*x) ­­Flächenlast fFE::Double­>(Double,Double)­>Double fFE lFE (x,y) = 0.5*lFE*lFE*((p (x,y)) + p (x+lFE,y)) ­­resultierende F in FE fresult::[(Double,Double,Double)]­>Double fresult feList = sum (map (\x@(xs,ys,f)­>f) feList) ­­resultierende F aus ­­allen F in FE xs::[(Double,Double,Double)]­>Double ­­x­Koord. des Schwerpkt. xs feList = (sum (map (\x@(xs,ys,f)­>xs*f) feList))/fresult feList Erläuterung der FEM an einem Beispiel Lösung mittels FEM Programmvariante 1 makeFEList::Double­>[(Double,Double,Double)] makeFEList lFE = helpFEList (­40,0) lFE [] where helpFEList (x,y) l feList |x>40 = feList |y>40 = helpFEList (x+l,0) l feList |finiteElemIsInModel lFE (x,y) = helpFEList (x,(y+l)) l (feList ++ [((x+l/2),(y+l/2),fFE l (x,y))]) |otherwise = helpFEList (x,(y+l)) l feList resultFEM::Double­>(Double,Int,Double,Double) resultFEM lFE = (lFE, length (makeFEList lFE), xs (makeFEList lFE), (­2) * fresult (makeFEList lFE)) Erläuterung der FEM an einem Beispiel Lösung mittels FEM Programmvariante 2 makeFELine y lFE = helpFELine ((­40),y) lFE [] where helpFELine (x,y) l list |x>40 = list |finiteElemIsInModel lFE (x,y) = helpFELine ((x+l),y) l (list ++ [((x+l/2),(y+l/2),fFE l (x,y))]) |otherwise = helpFELine ((x+l),y) l list resultFEM2::Double­>(Double,Int,Double,Double) resultFEM2 lFE = (lFE, foldl (+) 0 (map length (map (\x­>makeFELine x lFE) [0,lFE..40])), xs (map (\x­>((xs x),0,(fresult x))) (filter (/=[]) (map (\x­>makeFELine x lFE) [0,lFE..40]))), (­2) * sum (map fresult (map (\x­>makeFELine x lFE) [0,lFE..40]))) Erläuterung der FEM an einem Beispiel Lösung mittels FEM Ergebnisse: Anzahl Länge FE der FE 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 ‐ 664 2716 11004 44302 177792 712314 ‐ xs H 1,312 1,256 1,197 1,162 1,145 1,136 1,127 ‐3505,25 ‐3585,2 ‐3630,27 ‐3653,29 ‐3664,83 ‐3670,4 ‐3675,88 rel. Fehler zu rel. Fehler zu Verfahren berechnetem berechnetem xs H 0,164 0,046 FEM1+2 0,114 0,025 FEM1+2 0,062 0,012 FEM2 0,031 0,006 FEM2 0,016 0,003 FEM2 0,008 0,001 FEM2 ‐ ‐ analytisch Praktische Anwendungsbeispiele Automobilindustrie sehr starke Verbreitung Zunächst unterstützender Einsatz bei der Konstruktion einzelner Baugruppen Später Simulation Karosseriesteifigkeit, Umströmungssimulationen … Immer rasantere Entwicklung bei virtuellen Crashsimulation 1997 Einrichtung Virtual‐Reality‐Lab bei GM aufgrund Studie Einsparpotential (ca. 750000US‐$ pro Crash‐Test) Praktische Anwendungsbeispiele Automobilindustrie Heutiger Stand bei AUDI: Werkseigener Hochleistungsrechnerverbund mit 320 Rechnern und einer Rechenleistung von über 15 Teraflop Schnellster Computer in Automobilindustrie, zählt zu den 150 schnellsten Computern weltweit 5000 Simulationen pro Woche Durch Simulationen wird sichergestellt, dass vor Aufbau eines ersten Proto‐ typs die Sicherheitsstandarts nahezu sichergestellt sind. Praktische Anwendungsbeispiele Bauwesen / Restaurierung / Anlagenbau Probleme: ‐ Besonders hohe Sicherheitsanforderungen an Bauwerken ‐ Bauwerke stellen Unikate dar ‐ Unterschiedlichste Anforderungen je nach Standort (Erdbebenfestigkeit, Windkräfte, Umströmungsbedingungen …) Eines der populärsten Beispiele für ungenügende Betrachtung von Umströ‐ mungsbedingungen ist der Einsturz der Tacoma‐Hängebrücke 1940 Entgültiger Nachweis der Ursache erst 1992 mittels FEM‐berechneter Simulation Fazit – Vorteile der FEM Ansatzfunktionen nur über Teilgebiete (finite Elemente) Zu berechnende Unbekannte sind deutbare physikalische Koeffizienten. Genauigkeitssteigerung durch feinere Aufteilung des Modells, nicht durch höhere Ansatzfunktionen Besondere Eignung für diskontinuierliche Strukturen Modularer Aufbaumöglichkeit der FEM, computergerecht und leicht erweiterbar. Immer einfachere Umsetzung (mittlerweile automatische Generierung des geometrischen Modells, universelle Einsatzmöglichkeiten, Erreichen immer höherer Genauigkeiten durch stetig steigende Rechenleistung, riesiges Ein‐ sparpotenzial in Konstruktion und Entwicklung aber auch bei den Produktionsabläufen führen zu weiter Verbreitung der FEM. Zeitersparnis ist mittlerweile existenzieller Wettbewerbsfaktor. Quellen‐ und Literaturnachweis [1] Einführung in die Mechanik, Baalke, Springer‐Verlag Heidelberg 2006 [2] FEM‐Anwendungen, Statik‐, Dynamik‐ und Potenzialprobleme mit professioneller Software lösen, P. Groth, Springer‐Verlag Heidelberg 2002 [3] FEM für Praktiker – Band 1: Grundlagen, Günter Müller, Clemens Groth, 7. Auflage, expert Verlag 2002 [4] Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure, 3. Aktualisierte und erweiterte Auflage, Ulrich Gabbert, Ingo Raecke, Carl Hanser Verlag 2007 [5] Technische Mechanik 1, Statik, Gross/Hauger/Schnell, 5. Auflage, Springer‐Verlag Heidelberg 1995 [6] http://www.auto‐motor.at/Auto/Autos‐Neuwagen/Automarken‐ Automodelle‐Neuigkeiten/Audi‐News/Audi‐Crashtest‐Computer.html Ende Fragen?
