Übung 4 - Uni Kassel

Übungszettel 4
Theoretische Elektrodynamik - WS 2014
Übungszettel 4 - Ein Ellipsoid, zwei Drähte und drei Punkte
(Abgabetermin: 05.11.2014)
Aufgabe 1 - Drei Punktladungen (10 Punkte)
Betrachte eine Ladungsverteilung, die aus einer Punktladung (Ladung q) am Ort (0, 0, a) und zwei weiteren Punktladungen (jeweils Ladung −q) an den Orten (0, ±a, 0) besteht.
(a) Bestimme das Potential Φ (~r) für große Abstände |~r| |a| bis zur zweiten Ordnung (der Term ∼
nullte Ordnung).
1
r
ist die
~ (~r) für große Abstände |~r| |a| bis zur ersten Ordnung.
(b) Bestimme das elektrische Feld E
Aufgabe 2 - Elliptische Ladungsverteilung (20 Punkte)
(a) Skizziere die Ladungsverteilung
(
ρ0 ,
ρ (~r) =
0,
x2 +y 2
a2
+
z2
b2
≤1
sonst,
für a, b > 0.
(b) Wir führen elliptische Koordinaten (r, θ, ϕ) mit den Parametern α, β, γ > 0 ein,
x
= αr sin θ cos ϕ,
y
= βr sin θ sin ϕ,
z
= γr cos θ.
Zeige, dass das Volumenelement in elliptischen Koordinaten sich als
dV = αβγr2 sin θdrdθdϕ
schreiben lässt.
Hinweis: Das Volumenelement ist gegeben durch die Jacobi-Determinante der Koordinatentransformation, also
dV = |det J| drdθdϕ,
 ∂x ∂x ∂x 

J =
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r
∂θ
∂y
∂θ
∂z
∂θ
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
∂ϕ

.
(c) Finde eine Wahl für den Parametersatz (α, β, γ), sodass sich die Ladungsverteilung ρ (~r) in besonders einfacher
Form in den elliptischen Koordinaten schreiben lässt.
(d) Bestimme das Dipolmoment und das Quadrupolmoment der Ladungsverteilung aus Teilaufgabe (a). Was
passiert für a = b und warum?
Hinweis: Folgendes Integral ist hilfreich,
ˆ π
4
sin3 θ dθ = .
3
0
1
Übungszettel 4
Theoretische Elektrodynamik - WS 2014
Aufgabe 3 - Zwei Drähte (30 Punkte)
(a) Bestimme die räumliche Ladungsverteilung ρ (~r) für zwei parallele, unendlich lange Drähte im Abstand 2a
mit a > 0 wie unten in Abbildung 1 gezeigt.
(b) Zeige, dass sich das Potential Φ (~r) unter der Randbedingung Φ ~0 = 0 (überprüfe dies!) folgendermaßen
schreiben lässt,
!
2
λ
(y + a) + z 2
.
Φ (~r) =
ln
2
4π0
(y − a) + z 2
Benutze dazu ...
(i) ... den Satz von Gauß in Zylinderkoordinaten.
Hinweis: Betrachte zunächst das Potential eines einzelnen Drahtes entlang der x-Achse und benutze dem
Koordinatensystem angepasste Zylinderkoordinaten.
´ ρ(~r0 ) 3 0
1
(ii) ... die Formel Φ (~r) = 4π
|~
r −~
r 0 | d r und integriere in kartesischen Koordinaten.
0
Hinweis: Substituiere mit dem Sinushyperbolicus. Benutze die hypertrigonometrische
Identität
´∞
cosh2 x − sinh2 x = 1. Es ist hilfreich, das unbestimmte Integral in x-Richtung −∞ . . . dx zunächst als
√
´L
Grenzwert limL→∞ −L . . . dx zu schreiben. Benutze dann die Identität arsinh (x) = ln x + x2 + 1
und erinnere dich an die Logarithmusgesetze!
(c) Zeige, dass die Äquipotentialflächen {~r ∈ R : Φ (~r) = Φ0 } folgende Gleichung erfüllen,
2
(y − σa) + z 2 = σ 2 − 1 a2 ,
2
4π0 Φ0
+1
wobei σ = κκ2 −1
und κ2 = e λ . Was für geometrische Objekte sind die Äquipotentialflächen? Skizziere
eine Äquipotentialfläche für Φ0 =
6 0 sowie die Äquipotentialfläche für Φ0 = 0.
Abbildung 1: Zwei Drähte
2