Theoretische Thermodynamik und Elektrodynamik 3. Präsenz

Theoretische Thermodynamik und Elektrodynamik
3. Präsenz- und Hausübung – 2.11.06
3.1 Linienförmige Ladungsverteilung und Metalloberfläche (Herbst 2005, B 2):
Es soll das elektrische Potential untersucht werden, das von einer in z-Richtung linearen
Ladungsverteilung ρ(x, y, z) = ρ1 δ(x−a)δ(y) erzeugt wird. Hierbei ist ρ1 eine konstante
Ladung pro Länge.
a) Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß, dass sich das von ρ(x, y, z) ausgehende
Potential Φ(r, ϕ, z) in folgender Form schreiben lässt:
Φ(R) = −
ρ1
ln(R) + Φ0
2πε0
Dabei ist R der senkrechte Abstand von der linearen Ladungsverteilung.
b) Es werde nun eine unendlich ausgedehnte, ideal leitende, geerdete Metallplatte in
der (y, z)-Ebene angebracht. Welche Randbedingung muss Φ bei x = 0 erfüllen?
Bestimmen Sie mit Hilfe der Bildladungsmethode das Potential im Halbraum
x > 0.
c) Skizzieren Sie qualitativ die elektrischen Feldlinien in der (x, y)-Ebene für x > 0.
In welche Richtung zeigt das elektrische Feld an der Metallplatte?
3.2 Punktladungen vor einem geerdeten Leiter (Frühjahr 2002, 2. Teilaufgabe 1):
a) Eine Punktladung q befinde sich im Ursprung (0,0,0) und eine zweite Punktladung
q ′ im Punkt (0, b, 0). Wie lautet das im Unendlichen verschwindende elektrostatische Potential φ(x, y, z) dieser beiden Punktladungen?
b) Es sei b > 0, q ′ = −αq, 0 < α < 1. Das Potential aus Aufgabe a) hat als Äquipotentialfläche φ(x, y, z) = 0 eine Kugeloberfläche. Bestimmen Sie diese Kugeloberfläche, indem Sie den Radius R und den Mittelpunkt (0,a,0), a > 0, R < ∞ dieser
Kugel bestimmen (Siehe Fig. 1.a)und zeigen Sie q ′ = −qR/a und a(a − b) = R2 .
1
c) Ein Leiter mit verschwindendem Potential habe die Form einer unendlich ausgedehnten Ebene, welche eine Halbkugel-Auswölbung mit dem Radius R hat.
Wählen Sie den Leiter in der (y, z)-Ebene und legen Sie eine Punktladung q in
den Punkt (a,0,0) (Siehe Fig. 1.b)). Bestimmen Sie die Kraft des Leiters auf die
Ladung q.
Anleitung: Benutzen Sie am besten die Lösungsmethode mittels einer geeigneten
Spiegelladung in der Halbkugel plus zweier weiterer Spiegelladungen mit x < 0
und die Resultate aus Aufgabe a) und b).
~ für die
d) Skizzieren Sie qualitativ das Potentialfeld und das elektrostatische Feld E
Anordnung in Aufgabe c).
3.3 Elektrostatische Energie (Herbst 2006, B 1):
Die elektrostatische Energie von N Punktladungen qi an den Orten ~ri ist gegeben durch
U=
N
1 X
qi qj
8πε0 i6=j |~ri − ~rj |
.
(1)
a) Wie hängt dieser Ausdruck mit dem Coulomb–Potential zweier Punktladungen
zusammen, und welcher Arbeit entspricht die Energie U physikalisch?
b) Betrachten Sie nun eine lokalisierte, kontinuierliche Ladungsverteilung mit Ladungsdichte ρ(~r). Wie lautet der Ausruck für die elektrostatische Energie in diesem Fall? Leiten Sie das Ergebnis aus Gleichung (1) durch einen Kontinuumsübergang her.
c) Warum braucht man sich im Falle der kontinuierlichen, nicht–singulären Ladungsverteilung (|ρ(~r)| < ∞) nicht um die Bedingung i 6= j in Gleichung (1) zu
kümmern?
d) Wie kann man die Energie aus Teilaufgabe b) durch die elektrische Feldstärke, die
von der Ladungsverteilung erzeugt wird, darstellen? Verwenden Sie die Poisson–
Gleichung oder das Gaußsche Gesetz.
Nützliche Formeln:
• In Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) gilt:
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
~
∇Φ(r,
ϕ, z) =
~er +
~eϕ +
~ez
∂r
r ∂ϕ
∂z
2
.