Ladungsverteilungen und Gauß (Abgabetermin: 05.11

Übungszettel 3
Theoretische Elektrodynamik - WS 2014
Übungszettel 3 - Mehr Ladungsverteilungen und Gauß
(Abgabetermin: 05.11.2014)
Aufgabe 1 - Kreisförmige Ladungsverteilung (10 Punkte)
(a) Bestimme die räumliche Ladungsverteilung ρ (~r) eines homogen geladenen Kreisrings in der x, y-Ebene mit
Mittelpunkt bei (0, 0, 0), Radius R und Gesamtladung Q.
~ K (~r) auf der z-Achse für die Ladungsverteilung ρ (~r).
(b) Bestimme das elektrische Feld E
~ V K (~r) auf der z-Achse für einen homogen geladenen Vollkreis in der x, y-Ebene
(c) Bestimme das elektrische Feld E
mit Mittelpunkt bei (0, 0, 0), Flächenladungsdichte σ und Radius R0 (dies entspricht der Ladungsverteilung
ρ (~r) = σδ (z) θ (R0 − ρ)) mit Hilfe deines Ergebnisses aus Teilaufgabe (b). Was passiert für R0 → ∞?
Hinweis: Die Flächenladungsdichte ist gegeben durch σ = dQ
dA ⇐⇒ dQ = σdA wobei dA = 2πRdR in Bezug auf
~ K dann das differentielle elektrische Feld eines
die Kreisringe mit Radius R aus Teilaufgabe (a) gilt. Wenn dE
´
´
~ V K = dE
~ K = dE~ K dQ =
Kreisrings aus Teilaufgabe (b) ist, so gilt für das elektrische Feld des Vollkreises E
dQ
´ dE~ K
dQ σdA.
Aufgabe 2 - Volumen- und Oberflächenintegrale (28 Punkte)
(a) Skizziere folgende Punktmengen für R > 0 und L > 0,
(i) V1 = ~r = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 ,
(ii) V2 = ~r = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ R2 , |z| ≤ L ,
(iii) V3 = ~r = (x, y, z) ∈ R3 | max (|x| , |y| , |z|) ≤ L .
¸
~ für die drei
(b) Berechne explizit (ohne den Satz von Gauß zu benutzen) die Oberflächenintegrale ∂Vi ~gj (~r) · dA
~
r
Punktmengen aus Teilaufgabe (a) und die beiden Vektorfelder ~g1 (~r) = ~r und ~g2 (~r) = |~r|3 .
Hinweis: Die folgenden Relationen sind hilfreich,
ˆ
t
1
√
,
3 dt =
2
α α2 + t2
(α2 + t2 ) 2
ˆ
1
π
√
= .
6
3
(α2 + t2 ) 2α2 + t2
2α2 + t2
´ ~ · ~gj (~r) d3 r für die drei
(c) Berechne explizit (ohne den Satz von Gauß zu benutzen) die Volumenintegrale Vi ∇
1
√
dt =
1
arctan
α2
√
t
,
arctan
Punktmengen aus Teilaufgabe (a) und die beiden Vektorfelder aus Teilaufgabe (b).
Aufgabe 3 - Gauß I (12 Punkte)
(a) Betrachte die Ladungsverteilung
ρ (~r) = σδ (x)
für σ > 0. Was für ein Objekt repräsentiert diese Ladungsverteilung?
(b) Bestimme das elektrische Feld der Ladungsverteilung ρ (~r) für x 6= 0. Skizziere die x-Komponente des elektrischen Feldes für x 6= 0.
(c) Skizziere das elektrostatische Potential der Ladungsverteilung ρ (~r) für x 6= 0.
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Übungszettel 3
Theoretische Elektrodynamik - WS 2014
Aufgabe 4 - Gauß II (10 Punkte + 6 Zusatzpunkte)
Betrachte die Ladungsverteilung
ρ (~r) = qδ (~r) −
q −αr α2
e
4π
r
mit r = |~r| für α > 0 und q > 0.
(a) Bestimme die Gesamtladung der Ladungsverteilung ρ (~r). Was für ein physikalisches Objekt könnte diese
Ladungsverteilung repräsentieren?
(b) Bestimme das elektrische Feld für die Ladungsverteilung ρ (~r).
(c) Zusatzaufgabe: Bestimme das elektrostatische Potential für die Ladungsverteilung ρ (~r).
Hinweis: Benutze eine nicht ganz offensichtliche partielle Integration.
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