4. Kombinatorik *) Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit im

4. Kombinatorik *)
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment
wirkt zunächst einfach. Man muss einfach die Anzahl der
günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle teilen.
Das Feststellen dieser Anzahl ist jedoch nicht immer einfach.
Mit der Abzählung der möglichen Fälle beschäftigt sich die
Kombinatorik.
In der Kombinatorik werden drei wichtige Symbole benötigt:
o n!
o (n)𝒌
𝒏
o
𝒌
*) Das Kapitel folgt dem Skript Statistik (Prof.Baumgarten – FBMN h-da )
1
4. Kombinatorik
4.1 Fakultät
Definition Fakultät n!
Das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen wird mit
bezeichnet:
• n! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • …. • n ( lies „n Fakultät“ )
= n • (n-1) • (n-2) • … • 2 • 1. mit n ∈ N .
• 0! = 1 : Zusätzlich wird 0! = 1 festgelegt.
Für sehr große Werte von n existiert eine gute Näherung, die
Sterling´sche Näherungsformel
n! ≈
𝑛 𝑛2
𝑒
2𝜋𝑛

1
𝑛
lg(n!) ≈ lg( 2𝜋 n ) + n lg ( )
2
𝑒
2
4. Kombinatorik
4.1 Fakultät
Vergleich: n! exakt berechnet mit der Sterling´schen Näherung
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
n!
1
1
2
6
24
120
720
5.040
40.320
362.880
3.628.800
39.916.800
479.001.600
6.227.020.800
87.178.291.200
1.307.674.368.000
Sterling
0,000
0,922
1,919
5,835
23,500
117,989
709,898
4.979,133
39.892,280
359.445,726
3.597.783,310
39.605.582,061
475.566.894,545
6.185.670.943,007
86.639.032.238,525
1.300.101.048.933,810
Abweichung
100,00%
7,81%
4,07%
2,75%
2,08%
1,68%
1,40%
1,21%
1,06%
0,95%
0,85%
0,78%
0,72%
0,66%
0,62%
0,58%
3
4. Kombinatorik
4.1 Fakultät
Bemerkung: Neben n! existiert auch x! mit der
Bildungsvorschrift
x! = x• (x-1)• (x-2)•…•𝜇(𝑥) = Γ (x) („Eulersche“ Gammafunktion)
mit x ∈ R und Γ(𝑥) der Wert der Gammafunktion von 𝑥,
für den nicht ganzzahligen Rest von x .
Beispiel: Γ (5,3) = 5,3 • 4,3 • 3,3 • 2,3 • 1,3 • Γ (0,3)
Γ (0,3) kann man über gelistete Integral berechnen oder über
Wertetafeln durch Interpolation bestimmen.
4
4. Kombinatorik
4.1 Fakultät
Manchmal wird nur das Produkt der k < n größten Zahlen
benötigt.
𝒏 𝒌 = n • (n-1) • (n-2) •…• (n-k+1)
Für n = k ergibt sich wieder n!.
𝒏!
Außerdem gilt 𝒏 𝒌 =
𝒌!
𝒏 𝒌 𝒌!
n•(n−1)•(n−2)•…•(n−k+1)•k!
(=
𝒌!
=
𝒌!
)
Genauso wichtig sind die sogenannten Binomialkoeffizienten..
5
4. Kombinatorik
4.2 Binomialkoeffizienten
Definition: Seien n und k beliebige nichtnegative ganze Zahlen,
𝒏
dann ist der Binomialkoeffizient
(lies: „n über k“ ) durch
𝒌
folgenden Ausdruck definiert
𝒏 𝒌
𝒏
n•(n−1)•(n−2)•…•(n−k+1)
=
=
.
𝒌!
𝒌
𝒌!
𝑛
𝑛
Für k=0 wird
=
= 1 gesetzt.
𝑘
0
Es gelten folgende Regeln:
𝑛
𝑛
𝑛!
o
=
=
𝑘! 𝑛−𝑘 !
𝑘
𝑛−𝑘
𝑛
o
=𝑛
1
𝑛
o
=1
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛+1
o
+
=
𝑘+1
𝑘
6
𝑘+1
4. Kombinatorik
4.2 Binomialkoeffizienten
Anwendungsbeispiele: Pascalsches Dreieck
• der Binomische Lehrsatz
𝑛
𝑛 𝑛−1 1 𝑛 𝑛−2 2
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏) = 𝑎 +
𝑎
𝑏 +
𝑎
𝑏 +…+
𝑎1 𝑏 𝑛−1 +𝑏 𝑛
𝑛−1
1
2
7
4. Kombinatorik
4.3 Multiplikationsprinzip
In der Kombinatorik geht es um die Anordnung und Auswahl von
Objekten aus einer vorgegebenen Menge und die Bestimmung
der Anzahl aller Möglichkeiten. Das wichtigste Prinzip ist das
Multiplikationsprinzip.
Gegeben seien zwei endliche Mengen M und N mit m bzw. n
Elementen, dann gibt es m • n Paare (x,y) mit x ∈ M und y ∈ N.
Das liegt daran, dass man jedem x ∈ M jeweils alle y ∈ N
zuordnen kann.
Seien etwa M = { a, b} und N = {1,2,3}, so gibt es die 2 • 3 Paare
(a,1); (a,2); (a,3); (b,1); (b,2); (b,3).
Dieses Ergebnis lässt sich auf mehr als zwei Mengen
übertragen.
8
4. Kombinatorik
4.3 Multiplikationsprinzip
Beispiel:
Ein Betrieb habe vier Abteilungen mit 8, 12, 9 bzw. 10
Mitarbeitern. Jede Abteilung darf genau ein Mitglied des
Betriebsrats stellen. Dann gibt es
8 • 12 • 9 • 10 = 8.640
mögliche Zusammensetzungen für den Betriebsrat.
9
4. Kombinatorik
4.4 Permutation
Die Veränderung einer Anordnung nennt man Permutation.
Beispiel: Wir wählen ein, zwei oder drei Formen:
1: 1 • 1 = 1
2: 1 • 2 = 2
3: 2 • 3 = 6
Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen
ist n! ( lies „n Fakultät“ ). Das liegt daran, dass man zur Auswahl
des ersten Elements n Möglichkeiten hat, zur Auswahl des
zweiten nur noch (n-1) usw.
Also gibt es nach dem Multiplikationsprinzip n! Möglichkeiten.
10
4. Kombinatorik
4.4 Permutation
Beispiel: An einem Tangokurs nehmen je 12 Damen und
Herren teil. Wieviel mögliche Paarbildungen sind möglich?
Lösung:
Es gibt 12! = 12 • 11! = 479.001.600 mögliche Paarbildungen.
Beispiel: Wie viele „Wörter“ kann man mit den Buchstaben
{ W, I, N, G} bilden?
Lösung:
Es gibt 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 mögliche Wortbildungen.
Beispiel: Wie viele „Wörter“ kann man mit den Buchstaben des
Wortes OTTO, { O, T } bilden?
Lösung:
Es gibt 6 mögliche Wortbildungen, aber nach welcher Formel?
11
4. Kombinatorik
4.4 Permutation
Die Buchstaben des Wortes ANNA kann man nur in sechs
Möglichkeiten anordnen, und zwar
AANN, ANAN, ANNA, NAAN, NANA, NNAA.
Hier zerfallen die n = 4 Elemente in zwei Teilklassen mit je zwei
gleichartigen Elementen. Von den eigentlich n! = 4! möglichen
Anordnungen sind die Permutationen der gleichartigen
Elemente nicht unterscheidbar, es bleiben nur
𝟒!
= 6 unterscheidbare Permutationen übrig. Diese
𝟐!𝟐!
Permutationen heißen Permutationen mit Wiederholung.
Das Beispiel führt zu folgendem Satz
12
4. Kombinatorik
4.4 Permutation
Regel für Permutationen mit Wiederholung:
Gegeben seien n Elemente, die in k Teilklassen mit nicht zu
unterscheidenden Elementen zerfallen. Die einzelnen Klassen
enthalten 𝑛1 , 𝑛2 , … 𝑛𝑘 Elemente. Dann gibt es
𝒏!
𝒏𝟏 ! 𝒏𝟐 !
… 𝒏𝒌 !
( mit n = 𝑛1 + 𝑛2 + … + 𝑛𝑘 )
Permutationen mit Wiederholung.
Beispiel: Aus Sicht der Damen tanzen vier Herren ausge-zeichnet, drei
ganz gut und fünf eher steif. Wieviel Möglichkeiten bleiben jetzt?
Die zwölf Herren zerfallen in drei Gruppen aus tänzerischer Sicht nicht zu
unterscheidenden Herren, damit verbleiben
12! /(3! 4! 5!) = 479.001.600/(6 • 24 • 120) = 27.720 Möglichkeiten.
13
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus wird
eine Stichprobe mit k Kugeln genommen.
Man kann 4 unterschiedliche Verfahren untersuchen.




Wir ziehen die Kugeln ohne Zurücklegen.
Wir ziehen die Kugeln mit Zurücklegen.
Wir ziehen die Kugeln geordnet.
Wir ziehen die Kugeln ungeordnet.
14
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Definition: Kombination
Bei einer Kombination werden aus n verschiedenen Elementen
k Elemente ausgewählt, man nennt die so erhaltene Auswahl
eine Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse.
Wenn Elemente gleicher Art wiederholt, also mehrmals, ausgewählt werden können, nennt man dies eine Kombination mit
(𝑘)
Wiederholungen: C
.
𝑊𝑛
Müssen dagegen die Arten aller Elemente verschieden sein, so
(𝑘)
spricht man von einer Kombination ohne Wiederholung: C .
𝑛
Bei einer Kombination wird die Reihenfolge nicht beachtet.
15
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Definition: Variation
Wenn es auf die Reihenfolge ankommt, nennt man die so
erhaltene Auswahl eine Variation von n Elementen zur k-ten
Klasse.
Wenn Elemente gleicher Art wiederholt, also mehrmals, ausgewählt werden können, nennt man dies eine Variation mit
(𝑘)
Wiederholungen: V
.
𝑊𝑛
Müssen dagegen die Arten aller Elemente verschieden sein, so
(𝑘)
spricht man von einer Variation ohne Wiederholung: V .
𝑛
16
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Standardmodell : Urne mit insgesamt N Kugeln, daraus
Stichprobe mit n Kugeln
Anzahl der
Stichproben
mit Zurücklegen
(mit Wiederholung)
Anzahl der
Stichproben
ohne Zurücklegen
(ohne Wiederholung)
Variation:
mit Berücksichtigung
der Reihenfolge
𝑛𝑘
𝑛!
𝑛−𝑘 !
Kombination:
ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge
𝑛+𝑘−1
𝑘
𝑛
𝑘
Variationen
und
Kombinationen
17
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus
Stichprobe mit k Kugeln
n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 }
11
21
31
41
12
22
32
42
13
23
33
43
14
24
34
44
Kombinationen mit Wiederholung und
mit Berücksichtigung der Reihenfolge:
𝒏𝒌 = 𝟒𝟐 = 16
18
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus
Stichprobe mit k Kugeln
n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 }
11
21
31
41
12
22
32
42
13
23
33
43
14
24
34
44
Kombinationen ohne Wiederholung und
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge :
𝐧!
𝐧−𝐤 !
=
4!
4 −2 !
=
4 • 3 • 2• 1
2
= 12
19
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus
Stichprobe mit k Kugeln
n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 }
11
21
31
41
12
22
32
42
13
23
33
43
14
24
34
44
Kombinationen mit Wiederholung und
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge :
𝟓!
𝟓𝟒𝟑𝟐
4+2−1
𝑛+𝑘−1
5
=
=
=
=
= 10
𝟐!
𝟓−𝟐
!
𝟐
𝟑
𝟐
2
𝑘
2
20
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus
Stichprobe mit k Kugeln
n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 }
11
21
31
41
12
22
32
42
13
23
33
43
14
24
34
44
Kombinationen ohne Wiederholung und
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge :
𝑛
𝟒!
𝟒𝟑𝟐
4
=
=
=
=6
𝟐!
𝟒−𝟐
!
𝟐
𝟐
𝑘
2
21
4. Kombinatorik
4.5 Kombinationen und Variationen
Standardmodell : Urne mit insgesamt n Kugeln, daraus
Stichprobe mit k Kugeln
n = 4, k = 2; Ω = { 1, 2, 3, 4 }
11
21
31
41
12
22
32
42
13
23
33
43
14
24
34
44
Kombinationen mit Wiederholung und
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge :
𝟓!
𝟓𝟒𝟑𝟐
4+2−1
𝑛+𝑘−1
5
=
=
=
=
= 10
𝟐!
𝟓−𝟐
!
𝟐
𝟑
𝟐
2
𝑘
2
22