Die Fakultät - Hochschule Trier

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Kombinatorik – Binomischer Satz
Die Fakultät
•
Definition:
Unter dem Symbol n! (gelesen „n – Fakultät) versteht man das Produkt der
natürlichen Zahlen von 1 bis n.
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n – 2) · (n – 1) · n
Zusätzlich wird definiert 0! = 1
•
Wie aus der Definition der Fakultät hervorgeht
g
g
gilt ((n + 1)!
) = n! · ((n + 1))
84
Kombinatorik – Binomischer Satz
Die Fakultät
•
Beispiele
p
n! für n = 5:
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
0! · 2! · 4! = 1 · (1 · 2) · (1 · 2 · 3 · 4) = 48
85
Kombinatorik – Binomischer Satz
Binomialkoeffizienten
•
Definition:
Unter dem Symbol
(gelesen: „n über k“) versteht man den folgenden
Bruch aus zwei Produkten zu je k Faktoren:
Zusätzlich legt man fest
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Binomialkoeffizienten
•
•
•
•
Die Zahl k ist eine natürliche Zahl,, die gibt
g die Anzahl der Faktoren im
Zähler bzw. im Nenner an.
Im Nenner steht das Produkt der ersten k natürlichen Zahlen.
Die Zahl n ist eine reelle Zahl
Zahl, die gibt den ersten Faktor im Zähler an
an, der
zweite Faktor heißt n-1 , der dritte n-2 usw. bis k-ten Faktor n – k + 1.
Die S
Di
Symbole
b l
wurden
d von L
Leonhard
h dE
Euler
l (S
(Schweizer
h i
M
Mathematiker,
th
tik
Physiker und Astronom) eingeführt und werden deshalb Eulersche Symbole
genannt. Berechnet man die Potenzen eines Binoms, so erhält man die
Symbole
als Koeffizienten vor den einzelnen Summanden
Summanden, weshalb
man sie auch Binomialkoeffizienten nennt.
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Binomialkoeffizienten
•
Beispiele:
p
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Binomialkoeffizienten
•
Eigenschaften
g
der Binomialkoeffizienten
Ist nämlich n eine natürliche Zahl und kleiner als k, so ist null einer der
Faktoren im Zähler.
Beweis: Man erhält durch erweitern des Bruches
mit
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Binomialkoeffizienten
Man erhält daraus weiter, wenn man k durch n – k ersetzt,
Weiter gilt:
•
Man erhält dies indem man aus der Summe auf der linken Seite die
Binomialkoeffizienten als Brüche schreibt, die Brüche addiert, gemeinsame
Faktoren der Summanden im Zähler ausklammert und den Rest
vereinfacht.
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Der binomische Satz
•
•
•
Unter einem Binom versteht man eine Summe aus zwei Gliedern: a + b
Der Binomische Satz gibt an, wie Potenzen eines Binoms (a + b)n mit
natürlichen Zahlen n als Exponenten in Summen entwickelt werden können.
Berechnet man die Potenzen des Binoms a + b für die Exponenten
n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, so erhält man das folgende Ergebnis:
91
Kombinatorik – Binomischer Satz
Der binomische Satz
•
In diesen Summenentwicklungen
g erkennt man Gesetzmäßigkeiten:
g
–
–
–
–
Die Anzahl der Summanden ist um eins größer als der Exponent des Binoms
Alle Summanden enthalten Produkte aus Potenzen von a und b, wobei die Summe der
Exponenten von a und b gleich n ist
B i Anordnung
Bei
A d
der
d Summanden
S
d nach
h fallender
f ll d P
Potenzen
t
von a ((steigenden
t i
d P
Potenzen
t
von
b) sind die Exponenten bei a der Reihe nach n, n-1, … 1, 0 und die Exponenten bei b der
Reihe nach 0, 1, … , n-1, n
Die Koeffizienten der Potenzen des
Binoms bilden das so genannte
Pascalsche Zahlendreieck:
Jede Zahl ist die Summe der beiden schräg
darüberstehenden Zahlen
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Der binomische Satz
•
Schreibt man das Pascalsche Zahlendreieck unter Verwendung
g der
Eulerschen Symbole auf, so erhält man
93
Kombinatorik – Binomischer Satz
Der binomische Satz
•
Unter Verwendung
g der Eulerschen Symbole
y
lässt sich die
Summenentwicklung der Potenz eines Binoms (a + b)n für eine beliebige
natürliche Zahl n aufschreiben:
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Kombinatorik
Die Kombinatorik beschäftigt
g sich mit den Gesetzen der Zusammenstellungen
g
und möglichen Anordnungen von endlich vielen Elementen einer Menge. Es
können Zusammenstellung aller oder eines Teils dieser Elemente betrachtet
werden, die Anordnung der Elemente in den Zusammenstellungen kann eine
Rolle spielen oder nicht, und es können Wiederholungen der Elemente in den
Zusammenstellungen zugelassen werden oder nicht.
Deshalb unterscheidet man drei Arten von Zusammenstellungen (auch genannt
Komplexionen), nämlich Permutationen, Variationen und Kombinationen.
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Kombinatorik - Permutationen
•
Eine Permutation von n Elementen ((ohne Wiederholung)
g) ist jjede
Zusammenstellung, in der die n Elemente in irgendeiner Anordnung
nebeneinander stehen. Unterschiedliche Anordnung der n Elemente
bedeuten stets verschiedene Permutationen.
•
Beispiele
–
–
–
•
Permutation aus den zwei Elementen 1 und 2:
Permutation aus den zwei Elementen a und m:
Permutation aus den drei Elementen 1, 2 und 3:
12
am
123
132
21
ma
213
231
312
321
Die Anzahl Pn der Permutationen aus n voneinander verschiedenen
Elementen ist
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Kombinatorik - Permutationen
•
Jede Anordnung
g von k Elementen,, von denen das i-te Element ni-mal
auftritt, i = 1, 2, …, k, heißt Permutation mit Wiederholung. Die Anzahl der
Elemente in der Peermutation ist dann n = n1 + n2 + … + nk.
•
Beispiel:
–
Die Permutation der zwei Elemente a, b, in denen das Element a einmal und das Element b
zweimal auftritt (k = 2, n1 = 1, n2 = 2, n = n1 + n2 = 1 + 2 = 3)
abb
•
bab
bba
Die Anzahl der Permutationen von k Elementen, von denen das i-te
Element ni-mal
mal auftritt ist
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Kombinatorik – Binomischer Satz
Kombinatorik - Variationen
•
Eine Variation von n Elementen zur k-ten Klasse ((zu je
j k Stück,, k ≤ n)) ist
jede aus k Elementen bestehende Zusammenstellung, die sich aus den
Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge bilden lässt.
•
Beispiele
–
–
•
Die Variationen der drei Elemente a, b, c zur zweiten Klasse sind:
ab
ac
ba
bc
ca
cb
Die Variationen der vier Elemente a, b, c, d zur zweiten Klasse sind:
ab
ba
ca
da
ac
bc
cb
db
ad
bd
cd
dc
Die Anzahl der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse ist
98
Kombinatorik – Binomischer Satz
Kombinatorik - Variationen
•
•
Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse bei denen sich die einzelnen
Elemente bis zu k-mal wiederholen, heißen Variationen mit Wiederholung
Beispiele
–
–
•
Die Variationen der drei Elemente a,, b,, c zur zweiten Klasse mit Wiederholung
g sind:
aa
ba
ca
ab
bb
cb
ac
bc
cc
Die Variationen der vier Elemente a
a, b
b, cc, d zur zweiten Klasse mit Wiederholung sind:
aa
ba
ca
da
ab
bb
cb
db
ac
bc
cc
dc
ad
bd
cd
dd
Die Anzahl der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse mit
Wiederholung ist
99
Kombinatorik – Binomischer Satz
Kombinatorik - Kombinationen
•
•
•
Eine Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse ((k ≤ n)) ist jjede aus k
Elementen bestehende Zusammenstellung, die sich aus den n Elementen
ohne Berücksichtigung der Anordnung bilden lässt.
Die Kombination g
geht aus der Variation hervor,, wenn man die Anordnung
g
nicht beachtet
Beispiele
–
–
•
Die Kombinationen der drei Elemente a, b, c zur zweiten Klasse sind:
ab
ac
bc
Die Kombinationen der vier Elemente a, b, c, d zur zweiten Klasse sind:
ab
ac
ad
bc
bd
cd
Di A
Die
Anzahl
hl d
der K
Kombinationen
bi ti
von n El
Elementen
t zur kk-ten
t Klasse
Kl
iistt
100
Kombinatorik – Binomischer Satz
Kombinatorik - Kombinationen
•
•
Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse,, bei denen sich die
einzelnen Elemente bis zu k-mal wiederholen, heißen Kombinationen mit
Wiederholung
Beispiele
p
–
–
•
Die Kombinationen der drei Elemente a, b, c zur zweiten Klasse mit Wiederholung sind:
aa
ab
ac
bb
bc
cc
Die Kombinationen der vier Elemente a, b, c, d zur zweiten Klasse mit Wiederholung sind:
aa
ab
ac
ad
bb
bc
bd
cc
cd
dd
Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse ist
101
Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen
•
•
Das Summenzeichen hilft dabei eine übersichtliche Form einer Addition zu
erhalten, wenn durch viele Summanden der Ausdruck sehr unübersichtlich
wird
Für zwei natürliche Zahlen (g
(ganze Zahlen)) m und n | m ≤ n g
gilt:
Wobei i alle Werte von n bis m durchläuft und alle ai aufsummiert werden.
i = Summationsindex, m = untere Summationsgrenze,
n = obere Summationsgrenze
102
Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen - Rechenregeln
•
Summen von Summen
Zwei oder mehrere Summen können zusammengefasst (oder getrennt)
werden, indem die einzelnen Glieder a, b jeweils hinter ein eigenes
Summenzeichen geschrieben werden. Beim Zusammenfassen ist aber
darauf zu achten, dass die Summationsgrenzen m und n gleich sind.
103
Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen - Rechenregeln
•
Unterteilen in Teilsummen
Eine einzelne Summe kann in zwei oder mehr Teilsummen aufgeteilt
werden.
Voraussetzung ist aber m ≤ k ≤ n
104
Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen - Rechenregeln
•
Konstante Faktoren vor Summen
Steht vor a ein Faktor c
kann c ausgeklammert werden, denn
Der Faktor kann dann vor das Summenzeichen wandern
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Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen - Rechenregeln
•
Kombination von Summen und Faktoren
Die Summe
kann in Teilsummen aufgeteilt werden, wobei die Faktoren wieder vor das
Summenzeichen wandern.
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Summen- und Produktzeichen
Produktzeichen
•
Ähnlich wie das Summenzeichen wird das Produktzeichen definiert
•
Ein bekanntes Produktzeichen ist „n-Fakultät“
107
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