Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

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Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Definition:
Unter der n-ten Potenz einer beliebigen reellen Zahl a versteht man das
n-fache Produkt von a mit sich selbst
Man schreibt an = b
Dabei heißt a die Basis, n = 1, 2, 3, . . . Der Exponent
p
und b der Potenzwert
So ist zum Beispiel a1 = a, a2 = a · a, a3 = a · a · a, . . .
Für n = 0 legt man fest: a0 = 1 mit a ≠ 0
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Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
•
Es ist leicht einzusehen und mit Hilfe der Definition der Potenz zu beweisen,,
dass für beliebige reelle Basen a, b und positive ganze Exponenten m, n gilt
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Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
•
Die Potenzgesetze
g
kann man auf umzuformende Ausdrücke,, die
ganzzahlige Exponenten enthalten anwenden
•
Beispiele:
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Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
•
Bei der Addition und Subtraktion von Potenzen ist zu beachten,, dass nur
Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten zusammengefasst
werden können
•
Beispiele:
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Potenzen und Wurzeln
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
•
Schließlich sei noch darauf hingewiesen,
g
, dass zwischen Basis- und
Potenzvorzeichen zu unterscheiden ist. Potenzen mit positiver Basis haben
stets einen positiven Potenzwert, während Potenzen mit negativer Basis bei
geraden Exponenten positiv, und bei ungeraden Exponenten negativ sind.
•
Also gilt:
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Potenzen und Wurzeln
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
Definition:
Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist diejenige nichtnegative
Zahl b, für die gilt
Man schreibt
Dabei
D
b ih
heißt
ißt a der
d R
Radikand,
dik d n d
der W
Wurzelexponent
l
t und
dbd
der W
Wurzelwert
l
t
(Wurzel)
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Potenzen und Wurzeln
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
•
•
•
•
Für g
gerades n = 2,, 4,, 6,, . . . existiert bei a < 0 keine Wurzel b,, weil eine
gerade Potenz von b immer nichtnegativ ist
Für gerades n und positives a hat die Gleichung bn = a grundsätzlich zwei
reelle Lösungen.
g
So hat zum Beispiel
p die Gleichung
g b2 = 4,, also n = 2 und
a = 4, die Lösungen b1 = 2 und b2 = -2. Um die Rechenoperation des
Radizierens eindeutig zu gestalten, muss man sich für eine Lösung
entscheiden. Man g
gibt der p
positiven Lösung
g den Vorzug.
g
Für ungerades n = 1, 3, 5, . . . Und a ≥ 0 hat bn = a immer eine eindeutige
nichtnegative Lösung, also b ≥ 0.
Für ungerades n und negatives a hat bn = a immer eine eindeutige negative
Lösung, also b < 0. So hat zum Beispiel die Gleichung b3 = -8 die
eindeutige Lösung b = -2.
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Potenzen und Wurzeln
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
•
•
Man muss also für g
gerade n = 2,, 4,, 6,, . . . die Forderung
g a ≥ 0,, b ≥ 0 unter
allen Umständen stellen, weil sonst die Wurzel entweder überhaupt nicht
existiert oder mehrdeutig wäre.
Für ungerades
g
n = 1,, 3,, 5,, . . . Könnte man auf beide Forderungen
g
verzichten. Man hätte dann allerdings den Nachteil, für alle möglichen Fälle
viele verschiedene Wurzelgesetze aufstellen zu müssen. Ferner wäre eine
Einordnung
g der Wurzelgesetze
g
in die Potenzgesetze
g
sehr schwierig.
g Daher
trifft man auch bei ungeraden Wurzelexponenten n die Festlegungen und
schreibt zum Beispiel für die eindeutige Lösung -2 von b3 = -8 nicht
, sondern
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Potenzen und Wurzeln
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
•
Im Zusammenhang
g mit den erwähnten Voraussetzungen
g sei auf den
Trugschluss
hingewiesen. Die Quadratwurzel
ist für alle reellen Zahlen a definiert.
Für nichtnegative a wäre der Ausdruck gültig, während man für negative
Zahlen a nach einem negativen Wurzelwert erhielte was der Voraussetzung
b ≥ 0 wiederspricht. Im konkreten Fall käme man bei der Anwendung des
Ausdrucks zu solchen Widersprüchen wie z.B.
•
Man hat also richtig zu schreiben:
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Potenzen und Wurzeln
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
•
Aus der Definition der Wurzel kann man die Gültigkeit
g
der folgenden
g
Wurzelgesetze für m, n = 1, 2, 3, . . . und a, b ≥ 0 herleiten:
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Potenzen und Wurzeln
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
•
Man erkennt,, dass die Wurzelgesetze
g
den Potenzgesetzen
g
ähnlich und mit
ihnen vergleichbar sind. Tatsächlich lassen sie sich aus den
Potenzgesetzen herleiten, wenn man Potenzen mit rationalem Exponenten
in folgender Weise definiert:
für a ≥ 0, n = 1, 2, 3, …, m = 1, 2, 3, …
•
Beispiel:
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Potenzen und Wurzeln
Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten
•
Die Beziehung
g kann auch auf nichtpositive
p
m ausgedehnt
g
werden,, wobei
entsprechend gilt:
44
Potenzen und Wurzeln
Zusammenfassung
45
Potenzen und Wurzeln
Übungsaufgaben
Bitte lösen Sie die Aufgaben auf dem zweiten Übungsblatt!
46
Logarithmen
Begriff des Logarithmus
•
Zur Definition des Logarithmus
g
c = log
gb a einer p
positiven Zahl a zu einer
positiven von eins verschiedenen Logarithmen-Basis b geht man von
folgender Gleichung aus:
Definition:
U t dem
Unter
d
L
Logarithmus
ith
c einer
i
positiven
iti
reellen
ll Z
Zahl
hl a zu einer
i
positiven,
iti
von eins verschiedenen reellen Basis b versteht man diejenige reelle Zahl c,
mit der die Basis b zu potenzieren ist, um a zu erhalten. Man schreibt dafür
47
Logarithmen
Begriff des Logarithmus
•
Beispiele
p
48
Logarithmen
Begriff des Logarithmus
•
Beispiele
p
49
Logarithmen
Begriff des Logarithmus
•
Folgerungen
g
g
•
Für die spezielle Basis b = 10 bzw. b = e = 2,71828 . . . verwendet man
folgende Symbole:
•
Man nenn lg a den dekadischen Logarithmus von a und ln a den natürlichen
Logarithmus von a
50
Logarithmen
Logarithmengesetze
•
Es lassen sich folgende
g
Logarithmengesetze
g
g
ableiten,, die für beliebige,
g ,
aber bei allen Logarithmen gleiche Basis b > 0, b ≠ 1 und für positive Zahlen
x > 0, y > 0 gelten:
51
Logarithmen
Logarithmengesetze
•
Das Herleiten dieser Formeln aus den Potenzgesetzen
g
stellt eine
empfehlenswerte Übung zur Vertiefung des Logarithmus-Begriffes dar:
auf folgende Weise:
ist gleichwertig mit
D
Daraus
ffolgt
l t mittels
itt l d
des P
Potenzgesetzes:
t
t
52
Logarithmen
Logarithmengesetze
•
Mit Hilfe der Logarithmengesetze
g
g
kann der Logarithmus
g
eines relativ
kompliziert zusammengesetzen Ausdrucks auf Logarithmen einfacher
elementarer Ausdrücke zurückgeführt werden und umgekehrt.
•
Beispiel
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Logarithmen
Logarithmengesetze
•
Man kann Logarithmen
g
zu einer Basis b in Logarithmen
g
zu einer beliebigen
g
anderen Basis d umrechnen:
Durch Logarithmieren der Gleichung
zur Basis d folgt:
54
Logarithmen
Logarithmengesetze
•
Zur Umrechnung
g von dekadischen Logarithmen
g
in natürliche Logarithmen
g
und umgekehrt setzt man b = 10, d = e bzw. b = e, d = 10 und erhält so:
55
Logarithmen
Zusammenfassung
•
Für a,, b,, x,, y, d >0 reell und a,, b,, d ≠ 0 g
gilt:
56
Logarithmen
Übungsaufgaben
Bitte lösen Sie die Aufgaben auf dem dritten Übungsblatt!
57
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