Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
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Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Definition: Unter der n-ten Potenz einer beliebigen reellen Zahl a versteht man das n-fache Produkt von a mit sich selbst Man schreibt an = b Dabei heißt a die Basis, n = 1, 2, 3, . . . Der Exponent p und b der Potenzwert So ist zum Beispiel a1 = a, a2 = a · a, a3 = a · a · a, . . . Für n = 0 legt man fest: a0 = 1 mit a ≠ 0 33 Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten • Es ist leicht einzusehen und mit Hilfe der Definition der Potenz zu beweisen,, dass für beliebige reelle Basen a, b und positive ganze Exponenten m, n gilt 34 Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten • Die Potenzgesetze g kann man auf umzuformende Ausdrücke,, die ganzzahlige Exponenten enthalten anwenden • Beispiele: 35 Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten • Bei der Addition und Subtraktion von Potenzen ist zu beachten,, dass nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten zusammengefasst werden können • Beispiele: 36 Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten • Schließlich sei noch darauf hingewiesen, g , dass zwischen Basis- und Potenzvorzeichen zu unterscheiden ist. Potenzen mit positiver Basis haben stets einen positiven Potenzwert, während Potenzen mit negativer Basis bei geraden Exponenten positiv, und bei ungeraden Exponenten negativ sind. • Also gilt: 37 Potenzen und Wurzeln Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Definition: Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist diejenige nichtnegative Zahl b, für die gilt Man schreibt Dabei D b ih heißt ißt a der d R Radikand, dik d n d der W Wurzelexponent l t und dbd der W Wurzelwert l t (Wurzel) 38 Potenzen und Wurzeln Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten • • • • Für g gerades n = 2,, 4,, 6,, . . . existiert bei a < 0 keine Wurzel b,, weil eine gerade Potenz von b immer nichtnegativ ist Für gerades n und positives a hat die Gleichung bn = a grundsätzlich zwei reelle Lösungen. g So hat zum Beispiel p die Gleichung g b2 = 4,, also n = 2 und a = 4, die Lösungen b1 = 2 und b2 = -2. Um die Rechenoperation des Radizierens eindeutig zu gestalten, muss man sich für eine Lösung entscheiden. Man g gibt der p positiven Lösung g den Vorzug. g Für ungerades n = 1, 3, 5, . . . Und a ≥ 0 hat bn = a immer eine eindeutige nichtnegative Lösung, also b ≥ 0. Für ungerades n und negatives a hat bn = a immer eine eindeutige negative Lösung, also b < 0. So hat zum Beispiel die Gleichung b3 = -8 die eindeutige Lösung b = -2. 39 Potenzen und Wurzeln Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten • • Man muss also für g gerade n = 2,, 4,, 6,, . . . die Forderung g a ≥ 0,, b ≥ 0 unter allen Umständen stellen, weil sonst die Wurzel entweder überhaupt nicht existiert oder mehrdeutig wäre. Für ungerades g n = 1,, 3,, 5,, . . . Könnte man auf beide Forderungen g verzichten. Man hätte dann allerdings den Nachteil, für alle möglichen Fälle viele verschiedene Wurzelgesetze aufstellen zu müssen. Ferner wäre eine Einordnung g der Wurzelgesetze g in die Potenzgesetze g sehr schwierig. g Daher trifft man auch bei ungeraden Wurzelexponenten n die Festlegungen und schreibt zum Beispiel für die eindeutige Lösung -2 von b3 = -8 nicht , sondern 40 Potenzen und Wurzeln Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten • Im Zusammenhang g mit den erwähnten Voraussetzungen g sei auf den Trugschluss hingewiesen. Die Quadratwurzel ist für alle reellen Zahlen a definiert. Für nichtnegative a wäre der Ausdruck gültig, während man für negative Zahlen a nach einem negativen Wurzelwert erhielte was der Voraussetzung b ≥ 0 wiederspricht. Im konkreten Fall käme man bei der Anwendung des Ausdrucks zu solchen Widersprüchen wie z.B. • Man hat also richtig zu schreiben: 41 Potenzen und Wurzeln Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten • Aus der Definition der Wurzel kann man die Gültigkeit g der folgenden g Wurzelgesetze für m, n = 1, 2, 3, . . . und a, b ≥ 0 herleiten: 42 Potenzen und Wurzeln Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten • Man erkennt,, dass die Wurzelgesetze g den Potenzgesetzen g ähnlich und mit ihnen vergleichbar sind. Tatsächlich lassen sie sich aus den Potenzgesetzen herleiten, wenn man Potenzen mit rationalem Exponenten in folgender Weise definiert: für a ≥ 0, n = 1, 2, 3, …, m = 1, 2, 3, … • Beispiel: 43 Potenzen und Wurzeln Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten • Die Beziehung g kann auch auf nichtpositive p m ausgedehnt g werden,, wobei entsprechend gilt: 44 Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung 45 Potenzen und Wurzeln Übungsaufgaben Bitte lösen Sie die Aufgaben auf dem zweiten Übungsblatt! 46 Logarithmen Begriff des Logarithmus • Zur Definition des Logarithmus g c = log gb a einer p positiven Zahl a zu einer positiven von eins verschiedenen Logarithmen-Basis b geht man von folgender Gleichung aus: Definition: U t dem Unter d L Logarithmus ith c einer i positiven iti reellen ll Z Zahl hl a zu einer i positiven, iti von eins verschiedenen reellen Basis b versteht man diejenige reelle Zahl c, mit der die Basis b zu potenzieren ist, um a zu erhalten. Man schreibt dafür 47 Logarithmen Begriff des Logarithmus • Beispiele p 48 Logarithmen Begriff des Logarithmus • Beispiele p 49 Logarithmen Begriff des Logarithmus • Folgerungen g g • Für die spezielle Basis b = 10 bzw. b = e = 2,71828 . . . verwendet man folgende Symbole: • Man nenn lg a den dekadischen Logarithmus von a und ln a den natürlichen Logarithmus von a 50 Logarithmen Logarithmengesetze • Es lassen sich folgende g Logarithmengesetze g g ableiten,, die für beliebige, g , aber bei allen Logarithmen gleiche Basis b > 0, b ≠ 1 und für positive Zahlen x > 0, y > 0 gelten: 51 Logarithmen Logarithmengesetze • Das Herleiten dieser Formeln aus den Potenzgesetzen g stellt eine empfehlenswerte Übung zur Vertiefung des Logarithmus-Begriffes dar: auf folgende Weise: ist gleichwertig mit D Daraus ffolgt l t mittels itt l d des P Potenzgesetzes: t t 52 Logarithmen Logarithmengesetze • Mit Hilfe der Logarithmengesetze g g kann der Logarithmus g eines relativ kompliziert zusammengesetzen Ausdrucks auf Logarithmen einfacher elementarer Ausdrücke zurückgeführt werden und umgekehrt. • Beispiel 53 Logarithmen Logarithmengesetze • Man kann Logarithmen g zu einer Basis b in Logarithmen g zu einer beliebigen g anderen Basis d umrechnen: Durch Logarithmieren der Gleichung zur Basis d folgt: 54 Logarithmen Logarithmengesetze • Zur Umrechnung g von dekadischen Logarithmen g in natürliche Logarithmen g und umgekehrt setzt man b = 10, d = e bzw. b = e, d = 10 und erhält so: 55 Logarithmen Zusammenfassung • Für a,, b,, x,, y, d >0 reell und a,, b,, d ≠ 0 g gilt: 56 Logarithmen Übungsaufgaben Bitte lösen Sie die Aufgaben auf dem dritten Übungsblatt! 57
