2 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

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2 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Im ersten Kapitel wurden bereits vereinzelt Wurzeln und Potenzen von reellen
Zahlen berechnet. Aufbauend auf den Regeln für die vier Grundrechenarten werden in diesem Kapitel die Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
besprochen.
2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Ein Produkt gleicher Faktoren kann durch eine Potenz verkürzt dargestellt werden,
z. B. lässt sich der Ausdruck 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 auch als 34 schreiben.
Definition
Eine Potenz ist ein Ausdruck der Form an. Die Zahl a wird Basis oder Grundzahl
genannt, die Zahl n heißt Exponent oder Hochzahl.
Für natürliche Exponenten n ∈ 7 und für alle a ∈ 0 ist die Potenz an wie folgt
definiert:
a n = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
n Faktoren
Für negative ganzzahlige Exponenten gilt für alle a ∈ 0 \ {0}:
a −n =
1
an
=
1
a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
n Faktoren
Zusätzlich wird festgelegt:
a0 = 1 für alle a ∈ 0 \ {0}
Beispiel
a1 = a für alle a ∈ 0
Stellen Sie folgende Ausdrücke durch ein Produkt dar und vereinfachen Sie
soweit möglich.
a) 53
b) (–3)4
c) (–2)–3
d) 4–3
Lösung:
a) 53 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125
b) (–3)4 = (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) = 81
c) (–2)3 = (–2) ⋅ (–2) ⋅ (–2) = – 8
1
d) 4 −3 = 13 = 4 ⋅ 14 ⋅ 4 = 64
4
Potenzen mit negativer Basis und geradem
Exponenten werden positiv.
Potenzen mit negativer Basis und ungeradem
Exponenten werden negativ.
14 r Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Für das Rechnen mit Potenzen mit Exponenten aus 9 gelten die folgenden Gesetze:
Regeln
Potenzgesetze
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die
Exponenten addiert (subtrahiert) und die Basis beibehält:
(1) a n ⋅ a m = a n + m
a ∈ 0; m, n ∈ 9
= an − m
an
am
(2) a n : a m =
a ∈ 0 \ {0}; m, n ∈ 9
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man
die Basen multipliziert (dividiert) und den Exponenten beibehält:
(3) a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n
a, b ∈ 0; n ∈ 9
(4) a n : b n =
an
bn
=
( ab )
n
a ∈ 0, b ∈ 0 \ {0}; n ∈ 9
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die
Basis beibehält:
(5) (a n ) m = (a m ) n = a n ⋅ m a ∈ 0 \ {0}; m, n ∈ 9
Beispiele
1. Wandeln Sie die folgenden Ausdrücke durch Anwendung der Definition
der Potenz in Ausdrücke ohne Potenzen um, vereinfachen Sie diese dann
und begründen Sie damit die Richtigkeit der anwendbaren Potenzgesetze.
a) 43 ⋅ 42
b) 32 ⋅ 52
5
c) 33
2
d) 122
3
3
e) (23)2
Lösung:
a) 43 ⋅ 42 = (4 ⋅ 4 ⋅ 4) ⋅ (4 ⋅ 4) = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 45 = 43 + 2 = 1 024
(Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis)
b) 32 ⋅ 52 = (3 ⋅ 3) ⋅ (5 ⋅ 5) = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) = (3 ⋅ 5)2 = 225
(Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten)
5
3⋅3⋅3⋅3⋅3
c) 3 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 32 = 3 5 − 3 = 9
3
(Division von Potenzen mit gleicher Basis)
d)
12 2
32
=
12 ⋅ 12
3⋅3
= 12
⋅ 12 =
3 3
( 123 )
2
= 4 2 = 16
(Division von Potenzen mit gleichem Exponenten)
e) (23)2 = (23) ⋅ (23) = (2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 2) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 26 = 23 ⋅ 2 = 64
(Potenzieren von Potenzen)