Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
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Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Jahrgang 8 G- Kurs Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung Wenn dieses Symbol erscheint, musst du die Taste drücken, damit es weitergeht Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber malgenommen wird: 4³ = 4 · 4 · 4 125 = 12 · 12 · 12 · 12 · 12 68 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 77 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl. Hier ist die Hochzahl immer die 2. 42 = 4 · 4 122 = 12 · 12 62 = 6 · 6 Wir erinnern uns: Beim Quadrat ist die Fläche immer A = a · a = a² A a a Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils auszuschreiben: Beispiel: 43 · 4 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44 44 · 4 = 45 Einmal „·4“ mehr, also … Das geht doch auch direkt!? Das gilt, auch wenn es nicht „·4“, sondern „das Vierfache von“ heißt: Das Vierfache von 47 = 48 Das Vierfache, also „·4“! 4·4·4·4·4·4·4 ·4 also 8 mal Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für „+“ , „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und zuletzt Strichrechnung. Beispiel: (4 + 3)²+ 2 · 5 = 72 +2·5= 14 14 +2·5= + 10 = 24 Zuerst KLammer Dann Potenz Dann „·“ und „:“ Dann „+“ und „-“ Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Es gibt noch andere Auffälligkeiten! 34 · 35 =3·3·3·3·3·3·3·3·3 Aha, ich muss also nur = 39 4 + 5 = 9 rechnen 34 · 35 = 34+5 =39 Das ist ‚ne Rechenregel! Das ist ja viel weniger Arbeit! 74 · 78 = 74+8 = 712 Mit Buchstaben: xm · xn = xm+n Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Eine weitere besondere Potenz ist die Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer die 10. 102 = 10 · 10 = 100 103 = 10 · 10 · 10 = 1000 107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000 Bei genauer Betrachtung fällt auf, das die Hochzahl immer der Anzahl der Nullen entspricht! Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Übrigens 1 = 100 10 = 101 100 = 102 1000 = 103 10000 = 104 100 000 = 105 1000 000 = 106 10 000 000 = 107 100 000 000 = 108 1 000 000 000 = 109 10 000 000 000 = 1010 100 000 000 000 = 1011 1 000 000 000 000 = 1012 10 000 000 000 000 = 1013 100 000 000 000 000 = 1014 1 000 000 000 000 000 = 1015 10 000 000 000 000 000 = 1016 100 000 000 000 000 000 = 1017 Zehn Hundert JG 9 Eins Tausend Zehn- Tausend Hundert-Tausend Millionen Zehn- Millionen Hundert-Millionen Milliarden Zehn- Milliarden Hundert-Milliarden Zehn- Billionen Billionen Hundert-Billionen Billiarden Zehn- Billiarden Hundert- Billiarden Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 10 00000000 = 109 100000000 = 108 10000000 = 107 1000000 = 106 100000 = 105 10000 = 104 1000 = 103 100 = 102 10 = 101 Neu! 1 = 100 Über die Hochzahl 10-1 = 0,1 können wir auch 10-2 = 0,01 kleine Zahlen 10-3 = 0,001 definieren! 10-4 = 0,0001 10-5 = 0,00001 Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg verschoben wird! Wir kennen: Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den Rechenschritt „:10“ Wenn wir „:10“ als Bruch ausdrücken, können wir schreiben: 1 = 10 = 0,1 1 -2 Und weiter gilt 10 = 10 · 10 = 0,01 1 -3 10 = 10 · 10 · 10 = 0,001 .. und so weiter! 10-1 Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt also an, wie oft durch 10 geteilt wird. Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken ! 268900000000000 11 Nullen, (11 Kommastellen)! = 2689 · 1011 = 268,9 · 1012 = 26,89 · 1013 = 2,689 · 1014 Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle ! Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken ! 0,0002689 4 Kommastellen = 2,689 · 10-4 = 26,89 · 10-5 = 268, 9 · 10-6 = 2689 · 10-7 Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle, aber in die andere Richtung!! Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Du bist jetzt hier: 1 Potenzen 2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Quadratwurzel Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht: Beispiel: 5² = 5·5= 25 Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber malgenommen das Ergebnis ergibt. ?·?= 16 Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise: 2 ? = 16 Man sagt dazu: „Wurzel“, hier „Wurzel 16“. Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Quadratwurzel Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse Beispiel: 2 16 = 4 denn 4 · 4 = 16 2 9 = denn 3 · 3 = 9 2 3 25 = 5 denn ..... Andere Zahlen gehen nicht glatt auf: 2 8 = 2,8284271247461900976033774484194... 2 5 = 2,2360679774997896964091736687313.. Potenzen Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit JG 9 Quadratwurzel Die Wurzel gilt nicht als Term, also „Rechenanweisung“, sondern als Zahl. Man könnte also schreiben: 1, 2, 2 9, 2 16, 5, 6, 7, 8, 2 81, 10, 11, = oder: 2 1, 2, 3, 4, 2 Es ist also nicht nur Damit liegt die Zahl ... und die Zahl 25, 6, 7, 8, 9, 2 100, 11, = 2 9 = 3 sondern 2 9 2 7 (= 2,64575131106459...) 2 9 ist 3 usw. zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4. zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3. Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Quadratwurzel Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer Wurzel eine „glatte“ Zahl ergibt: Beispiel: aber: 2 16 = 4 2 36 = 6 2 1600 = 40 2 3600 = 60 2 160 = 12,64911064 aber: 2 360 = 18,97366596 16000 = 126,4911064 2 36000 = 189,7366596 2 Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen!
