Ferienkurs Quantenmechanik Elektromagnetische Felder und

Elektromagnetische Felder und Näherungsmethoden
Tag 4
(Theoretische Physik III)
10. September 2014
Seite 1
Ferienkurs Quantenmechanik
Sommersemester 2014
Fabian Jerzembeck und Christian Kathan
Fakultät für Physik
Technische Universität München
10. September 2014
Elektromagnetische Felder und Näherungsmethoden
Im Folgenden wollen wir kurz Teilchen in elektromagnetischen Feldern betrachten. Weiterhin werden wir uns genauer damit beschäftigen, wie innerhalb der Quantenmechanik qualitative Aussagen getroen werden können. Dafür betreachten wir verschiedene
Näherungsmethoden, die zur Berechnung von verschiedenen Problemen unerlässilich
sind.
Dieser Ferienkurs kann weder eine komplette Vorlesung behandeln noch ein Buch ersetzen. Es wird versucht einem einführenden Überblick in die Vorlesung zur Quantenmechanik von Prof. Zwerger im SS2014 zu geben. Der Ferienkurs orientiert sich dabei,
sowohl an die Vorlesung vom Herrn Zwerger, wie auch zu Teilen an den Ferienkurs
QM 2013, die Vorlesung von Prof. Ratz im SS2010 und den Büchern zum Grundkurs
Theoretisch Physik 5/1 und 5/2 von Herrn W. Nolting im Springer Verlag.
1 Elektromagnetische Felder
In diesem Abschnitt wollen wir betrachten, wie man ein Teilchen der Masse m mit
der elektrischen Ladung q in einem äuÿeren elektromagnetischen Feld innerhalb der
Quantenmechanik beschreiben kann. Aus der Elektrodynamik errinnern wir uns, dass
man die elektromagnetischen Felder mittels eines skalaren Potentials Φ und dem Vektorpotential A~ beschreiben kann
~ − ∇Φ
~
~ =−∂A
E
∂t
und
~ =∇
~ ×A
~
B
Dabei sollte natürlich beachtet werden, dass sowohl das skalare Potential, wie auch das
Vektorpotential sowohl vom Ort wie auch von der Zeit abhängen kann. Damit können
wir nun die Schrödinger-Gleichung für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld erweitern
1
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Satz 1
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Die Schrödingergleichung für geladene Teilchen in elektromagnetischen Fel-
dern
∂
i~ Ψ(~r, t) =
∂t
(
)
2
1 ~~
~ r, t) + qΦ(~r, t) Ψ(~r, t)
∇ − q A(~
2m i
Für A~ 6= 0 ist Ĥ nicht mehr reell, weswegen die Lösungen der Schrödinger-Gleichung
ebenfalls nicht mehr reell sind. Die Eigenwerte hingegen müssen natürlich reell bleiben.
Es ist zu beachten, dass nicht die elektromagnetischen Felder, sondern deren Potentiale in den Hamilton-Operator eingehen, weswegen die Felder gewisse Eichfreiheiten
besitzen. Deniert man ein Eichfeld Λ(~r, t), dann kann man folgende Transformation
einführen
~→A
~0 = A
~ − ∇Λ
~
A
∂~
Φ → Φ0 = Φ + Λ
∂t
Diese Transformation hat aber nicht nur Auswirkungen auf den Hamilton-Operator,
sondern auch auf die Wellengleichung selbst. Daher muss eine vollständige Eichtransformation auch eine Transformation der Wellengleichung beinhalten.
Satz 2
Eine vollständige Eichtransformation beinhaltet
~→A
~ − ∇Λ
~
A
Φ→Φ+
∂
Λ
∂t
Λ
Ψ → e−iq ~ Ψ
2 WKB-Näherung
Die WKB-Näherung ist ein Lösungsverfahren für quantenmechanische Eigenwertprobleme der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung in einer Dimension. Dabei entwickelt man die Phase nach Potenzen von i~, die in der WKB-Näherung nach dem linearen
Term abgebrochen werden.
Wie bei jeder Theorie und Anwendung muss man sich zunächst einmal im klaren sein,
in welchem Bereich eine Methode anwendbar ist. Dabei wird angenommen, dass das
zu betrachtende Potential sich langsam mit dem Ort ändert und daher durch ein konstantes Potential angenähert werden kann. Dies kann umgeschrieben werden zu
Satz 3
Der Gültigkeitsbereich der WKB-Näherung
dλ(x) << 1
dx 2
(1)
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Dabei ist λ(x) die de Broglie-Wellenlänge, die zum Wellenvektor der WKB-Lösung
k(x) korrespondiert. Es zeigt sich, dass die Lösungsfunktion bei den klassischen Umkehrpunkten divergiert, weswegen die WKB-Näherung dort nicht gültig ist. Neu dabei
ist jedoch, dass die Wellenfunktion in den klassisch verbotenenen Bereich erweitert
werden kann. Die Lösung der WKB-Gleichung ist dann durch die folgende Linearkombination gegeben
Satz 4
Die WKB-Wellenfunktion
´
´
C−
C+
i x dx0 k(x0 )
−i x dx0 k(x0 )
+p
exp x0
exp x0
ΨW KB (x) = p
k(x)
k(x)
(2)
Die Lösung muss dabei so gefunden werden, dass mittels der Konstanten C+ und C−
die WKB-Funktion stetig und dierenzierbar ist. Darüber hinaus muss sie im klassisch
verbotenen Bereich exponentiell abfallen, was bedeutet, dass der Wellenvektor imaginär
wird.
Man kann darüber hinaus noch ein paar Bedingung nden, die aus einer Potentialbetrachtung folgen. Betrachten wir einen unendlichen hohen Potentialtopf, der von 0 bis
a reicht und eine sinusförmige-Wellenfunktion besitzt. Die Wellenfunktion muss hier
gerade an der Potentialbarriere verschwinden (Φ(0) = Φ(a) = 0). Das bedeutet aber
auch, dass das Intergal über die Phase gleich nπ sein muss, also
1
~
ˆ
a
k(x)dx = nπ
0
Eine ähnliche Betrachtung kann man auch für nur keine unendliche hohe Potentialwand
1
~
ˆ
a
k(x)dx = (n − 1/2)π
0
Dabei muss man aber beachten, dass wir keine Aussage über die Potentiallandschaft
zwischen den beiden Barrieren gemacht haben. Diese wird im Allgemeinen nicht verschwinden.
Beispiel: WKB-Methode beim quantenmechanischen Tunnelprozess
3
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3 Variationsmethode
Das Variationsverfahren kann vor allem bei der Abschätzung der Grundzustandsenergie gute Ergebnisse liefern. Diese obere Schranke für den Grundzustand ist für einen
beliebigen Testzustand durch den normierten Erwartungswert gegeben
Satz 5
Die Grundzustandsschranke beim Variationsverfahren
hHi = hΨ|H|Ψi > E0
(3)
Die Testfunktion ist, wie schon erwähnt, vollkommen beliebig, sollte aber in sofern
clever gewählt werden, dass sie mögliche Symmetrien beinhaltet. Anschlieÿend an die
Berechnung des Erwartungswertes macht man eine Extremwertbetrachtung und schätzt
damit den Grundzustand ab.
Beispiel: Helium-Atom mit Variationsmethode
4
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4 Störungsrechnung
Unglücklicherweise kann die Schrödinger-Gleichung nur für sehr wenige Potentiale V (~r)
exakt gelöst werden. Jedoch ist es möglich ein Problem zu betrachten, sofern sich dieses nur als kleine Störung eines bekannten Problems darstellt. Die quantenmechanische
Störungstheorie geht dabei also von einem bekannten Problem mit einer bekannten Lösung aus und betrachtet, wie eine kleine Veränderung des Potentials - also eine kleine
Störung - die Eigenfunktionen und Eigenenergien verschieben. Dies ist nur möglich
für ein Problem, dass weiterhin ähnlich zu dem ungestörten Problem ist, weshalb sich
z.B. die Supraleitung nicht als Störung eines Normalleiters betrachten lässt. Zu deren
Beschreibung betrachten wir den folgenden (zeitunabhängigen) hermiteschen Hamiltonoperator
H = H0 + λH1
Dabei sei H1 eine kleine Störung und λ ein Kontrollparameter, den wir am Ende der
Betrachtungen auf 1 setzen werden. Wir setzen ferner die Energieeigenzustände En(0)
und Eigenzustände Ψ(0)
n des Operators H0 als bekannt voraus
0 (0)
H0 Ψ(0)
n = En Ψn
wobei Ψ(0)
Satz orthonormierter Funktionen bilden sollen, sie also
n einen
D vollständigen
E
(0)
(0)
die Relation Ψm |Ψn = δmn erfüllen.
4.1 Störungstheorie für nicht-entartete Zustände
Unter der Annahme, dass die Eigenwerte En(0) nicht entartet sind, wollen wir Eigenwerte
En und Eigenzustände Ψn zum Hamiltonoperator H nden. Dazu entwickeln wir in
Potenzreihen nach einem eingeführten Parameter λ
En = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + . . .
(1)
2 (2)
Ψn = Ψ(0)
n + λΨn + λ Ψn + . . .
Die Konvergenz des Verfahrens bei λ = 1 bleibt dabei oen und soll an dieser Stelle
nicht diskutiert werden. Für die korrigierten Eigenzustände Ψ(j)
n mit j ≥ 1 wollen
wir fordern, dass sie keine Anteile proportional zu den ungestörten
Eigenfunktionen
D
E
(0)
(j)
enthalten. Demnach fordern wir die Erfüllung der Relation Ψn |Ψn = 0 für alle
j ≥ 1. Um die Störung nun zu behandeln, setzen wir den Potenzreihenansatz bis zur
zweiten Ordnung in λ in die Schrödinger-Gleichung ein und vergleichen dabei Terme
nach Potenzen von λ in aufsteigender Ordnung.
λ1 :
(1)
(0) (1)
(1) (0)
H1 Ψ(0)
n + H0 Ψn = En Ψn + En Ψn
λ2 :
(1)
(0)
(2) (0)
H0 Ψ(2)
n + H1 Ψn = En + En Ψn
5
(4)
(5)
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Bilden wir nun das Skalaprodukt der ersten Gleichung in linearer Ordnung von λ mit
(0)
Ψn , dann führt das auf
(0)
(0)
(1)
(0)
Ψn |H1 |Ψ(0)
+ Ψn |H1 |Ψ(1)
= En(0) Ψ(0)
+En(1) Ψ(0)
n
n
n |Ψn
n |Ψn
|
{z
}
| {z }
| {z }
(0) (1) =0
=1
(0)
En
Ψn |Ψn
| {z }
=0
Durch die Forderung der Orthogonalität zwischen korrigierenden Zuständen und ungestörten Zuständen erhalten wir also ein vereinfachtes Ergebnis und können die Energiekorrektur En(1) explizit angeben
Satz 6
Energieverschiebung in erster Ordnung
(6)
(0)
En(1) = Ψ(0)
n |H1 |Ψn
Wir sehen also, das die Energieverschiebung erster Ordnung identisch dem Diagonalmatrixelement des Störoperators in den ungestörten Zuständen ist. Um die Verschiebung
der Eigenfunktionen in erster Ordnung zu ermitteln, können wir ausnutzen, dass die
Zustände Ψ(0)
n einen vollständigen, orthonormierten Satz an Funktionen bilden. Denn
deshalb können wir die Verschiebungen nach den Eigenzuständen entwickeln
Ψ(1)
n =
X
cm Ψ(0)
m
m6=n
Setzt man diese Entwicklung in Gleichung (4) ein, dann erhält man
H1 Ψ(0)
n +
X
(0) (0)
cm Em
Ψm = En(0)
m6=n
X
(1) (0)
cm Ψ(0)
m + En Ψn
m6=n
Auch hier können wir einen ähnlichen Trick anwenden und diese Gleichung ins Skalarprodukt mit Ψ(0)
k setzen, wobei wir fordern, dass k 6= n ist.
D
(0)
Ψk |H1 |Ψ(0)
n
E
=
X
(0)
cm En(0) − Em
δkm + 0
m6=n
(0)
= ck En(0) − Em
Über die Entwicklung der Verschiebung der Eigenfunktion in erster Ordnung in ungestörte Eigenfunktionen und Kenntnis über die Entwicklungskoezienten können wir
also auch die zu erster Ordnung verschobenen Eigenzustände berechnen.
Satz 7
Entwicklung erste Ordnung der Eigenzustände
D
Ψ(1)
n =
X
m6=n
(0)
(0)
Ψm |H1 |Ψn
(0)
En
6
−
(0)
Em
E
Ψ(0)
m
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Zur Berechnung der Energiekorrekturen in zweiter Ordnung kann man nun die in λ
quadratische Gleichung der Entwicklung betrachten. Multipliziert man diese mit Φ(0)
n ,
dann ergibt sich
(0)
(0)
(0)
(2)
+ En(2) Ψ(0)
= En(0) Ψ(0)
+ Ψn |H0 |Ψ(1)
Ψn |H0 |Ψ(2)
n |H0 |Ψn
n |Ψn
n
n
Hier können wir erneut die Orthogonalität der Eigenzustände ausnutzen. Darüber hinaus können wir der Verschiebung der Eigenzustände in erster Ordnung durch die gerade
abgeleitete Formel ausdrücken, womit wir einen Ausdruck für die Energiekorrektur in
zweiter Ordnung erhalten.
Satz 8
Die Energieverschiebung in zweiter Ordnung
D
E 2
(0)
(0) Ψ
|H
|Ψ
X
m
n
1
En(2) =
(0)
(0)
En − Em
m6=n
Die Energiekorrektur in zweiter Ordung wird also aus dem Betragsquadrat aller Übergangsmatrixelemente gewichtet mit reziproker Energiedierenz berechnet. Insbesondere kann man zeigen, dass die Energieverschiebung in zweiter Ordnung immer negativ
ist.
Das hier angewendete Verfahren zur Berechnung der Energiekorrekturen kann fortgestezt werden, so dass sich allgemein ergibt
Satz 9
p-ten Ordnung
(p−1)
= Ψ(0)
|H
|Ψ
1
n
n
Die Energiekorrektur zur
En(p)
An dieser Stelle sei erwähnt, dass die Störungsreihe keinesfalls konvergent sein muss,
sondern oftmals sogar eine asymptotische Reihe ist, deren erste Terme jedoch trotzdem brauchbare Ergebnisse liefern. Behandlungen von Korrekturen höherer Ordnung
bringen dann kaum noch Verbesserungen. Darüber hinaus können Bindungszustände
eines Störterms nicht durch ungebundene Zustände erhalten werden.
4.2 Störungstheorie für entartete Zustände
Bisher wurde angenommen, dass die ungestörten Energien En(0) nicht entartet sind, dass
also En(0) 6= Em(0) für n 6= m. Im entarteten Fall hat die ungestörte Eigenwertgleichung
(0)
(0)
H0 Ψnj = En(0) Ψnj
7
j = 1, . . . , N
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allerdings mehrere linear unabhängige Lösungen. Der Eigenraum zu En(0) ist dabei N dimensional. In der Störungstheorie des nicht-entarteten Falls hatten wir gesehen, die
Entwicklung in Termen der Art
D
E
(0)
(0)
λ Ψm |H1 |Ψn
(0)
(0)
En − Em
stattndet, was im entarteten Fall allerdings zu Divergenzen führt. Aus diesem Grund
muss anstatt der Ψ(0)
nj ein geeignetes Basissystem verwendet werden, in dem
D
(0)
Ψ(0)
nα |H1 |Ψnβ
E
∝ δαβ
Wir wollen also, dass die Divergenzen verschwinden, falls α = β um so die bereits
bekannte Störungstheorie trotzdem anwenden zu können. Daher soll eine geeignete
Basistransformation durchgeführt werden. Dies erfolgt durch Diagonalisierung des Unterraumes der Eigenzustände Ψ(0)
nj . Dazu betrachten wir die Matrixelemente des Störoperators H1 bezüglich der Basiszustände Ψ(0)
nj
D
(0)
(0)
Ψnj |H1 |Ψnj
E
= H1ij
∗
Diese bilden allerdings eine hermitesche Matrix, da oenbar H1ij = H1ji
gilt. Diese hermitesche Matrix wiederum kann diagonalisiert werden. Das charakteristische Polynom
lautet dann
det H1ij − δij En(1) = 0
wobei die Energiekorrekturen zur ersten Ordnung die Eigenwerte der Matrix darstellen.
(0)
Diese Polynomgleichung hat oenbar N reelle Lösungen für Enα
Beispiel: Schwache Störung des harmonischen Oszillators
8