1.3 Irrationale Zahlen
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1 Reelle Zahlen 1.3 Irrationale Zahlen Was dich erwartet Probleme, bei denen als Ergebnisse Wurzeln auftreten, waren bereits den gyptern und den Babyloniern vor mehreren tausend Jahren bekannt. Sogar einfache quadratische Gleichungen wurden gelst. Allerdings wurden nur solche Aufgaben behandelt, die „aufgingen“, d. h. deren Ergebnisse rationale Zahlen waren. Wahrscheinlich sind die gypter und die Babylonier auch auf Aufgaben gestoßen, die nicht „aufgingen“. Jedoch finden wir dazu aus der Zeit der alten gyptischen und babylonischen Kulturen nichts Schriftliches. Die mathematischen Texte der Griechen, die uns ab 600 v. Chr. berliefert sind, belegen eine intensive Beschftigung mit der „Irrationalitt“. Wir wollen uns in diesem Abschnitt damit beschftigen, was an den irrationalen Zahlen so besonders ist. Dabei erfahren wir sozusagen auf den Spuren der Griechen, wie man entsprechende Eigenschaften zeigen und beweisen kann. Aufgaben n1 Wo liegt pffiffiffi 2 auf der Zahlengeraden? a) Beschreibe die nebenstehende Konstruktion ausgehend von der Zahlengeraden. b) Begrnde, wieso die Diagonale in einem Quadrat mit pffiffiffi der Kantenlnge 1 cm die Lnge 2 cm hat. c) Finde mit der Konstruktion pffiffiffi gleichen pffiffiffiffiffiffi die Lage von 8 ð 18Þ auf der Zahlengeraden. n2 pffiffiffi Lsst sich pffiffiffi 2 als Bruch schreiben? Man kann 2 zwar konstruieren und so die Lage auf der Zahlengeraden finden. Aber bereits im 5. Jahrhundert vor Christus drngte sich den Griechen der Verdacht pffiffiffi auf, dass es keinen Bruch gibt, der den Wert 2 hat. pffiffiffi a) Zwischen Zahlen liegt 2? pffiffiffi welchen natrlichen Fr griechische Mathematiker und 3 pffiffiffi b) Hat 2 denselben Wert wie 2 ? Du kannst dies durch Rechnen oder Philosophen war 2 keine Zahl, durch berlegen ohne zu rechnen berprfen. man konnte sie noch nicht einmal c) Whle pffiffiffi vier gekrzte Brche zwischen 1 und 2, die als „Kandidaten“ „aussprechen“, d. h. mit einem fr 2 infrage p kommen. berprfe deine Vermutung. Was stellst du ffiffiffi Bruch benennen. fest? Lsst sich 2 als Bruch schreiben? Begrnde deine Entscheidung. n3 Die Abbildung zeigt den Funktionsgraphen zu y ¼ x2 . pffiffiffi a) Die Abbildung pffiffiffizeigt, wie man 4 ermitteln kann. Lies ebenso fr 6 einen Nherungswert auf der x-Achse ab. pffiffiffi b) Begrnde mithilfe des Graphen, wieso a fr a < 0 nicht existiert. 20
