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Fachabituiprüfung 2011 zum Erwerb der Fachhochschulreife an
Fachoberschulen und Berufsoberschulen
MATHEMATIK
Ausbildungsrichtung Technik
Mittwoch, 1. Juni 2011, 9.00 - 12.00 Uhr
Die Schülerinnen und Schüler haben je eine Aufgabe aus den Aufgabengruppen
A und B zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben trifft die Schule.
-2Aufgabengruppe A: Analysis
AI
2
, .
„
x +2ax + l
.
m . ,
Gegeben sind die reellen Funktionen f a : x H
mit a e IR in der
2x + 4a
maximalen Definitionsmenge D a . Der Graph einer solchen Funktion wird mit Ga
bezeichnet.
BE
LO
4
1.1
Geben Sie D a an und bestimmen Sie die Art der Definitionslücke.
6
1.2
Ermitteln Sie, für welche Parameterwerte a die Funktion fa zwei verschiedene
Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle hat, und geben Sie die entsprechenden Nullstellen jeweils an.
1.3
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte fa (x) für |x| -» oo und
bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen G a .
5
1.4
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion fa und ermitteln Sie damit Art und Lage der Extrempunkte des Graphen Ga .
[ Mögliches Teilergebnis: f a '(x) =
(x + 2a)^ —1
=- ]
2(x + 2ar
1.5
Zeigen Sie, dass unabhängig von a der Tiefpunkt Ta (-2a + 1; - a +1) und der
Hochpunkt H a ( - 2 a - l ; - a - 1 ) des Graphen Ga immer denselben Abstand voneinander haben.
1.6
Setzen Sie a = -1 und zeichnen Sie den Graphen G_j mit seinen Asymptoten
für -3 < x < 6 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: 1 LE = 1 cm.
1.7.0
Für a = -1 erhält man nach entsprechender Umformung die Funktion
x
1
f i:XH- +
in ihrer maximalen Definitionsmenge D_i.
_1
2 2x-4
Der Graph G_x begrenzt mit den drei Geraden mit den Gleichungen y = 0, x = k
und x = k + 1 mit k e IR und k > 2 ein Flächenstück A k .
1.7.1
Kennzeichnen Sie für k = 3 das Flächenstück A 3 im Schaubild der Aufgabe
1.6 und zeigen Sie, dass für die von k abhängige Flächenmaßzahl F des Flächenstücks A k gilt:
F(k)=i-(k++ ln—)
y }
2
2
k-2
Fortsetzung siehe nächste Seite
3-
BE
Fortsetzung A I:
1.7.2 Bestimmen Sie den Parameterwert k so, dass die Flächenmaßzahl F ihren absolut
kleinsten Wert annimmt.
2.0
Nach einem Modell des britischen Ökonomen Thomas Malthus kann die Zahl B der
Weltbevölkerung in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden. (Einheiten werden nicht mitgefühlt.)
B(t) = B 0 • e p t , wobei gilt t e IR und t > 0 sowie r e IR und r > 0.
Dabei gibt B 0 die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt t = 0 am 1.1.1800 an und r ist
ein Maß für die Wachstumsrate der Bevölkerung.
Am 1.1.1950 betrug die Weltbevölkerung etwa 3,7 Milliarden Menschen, und am
1.1.2050 werden etwa 9,5 Milliarden Menschen weltweit erwartet.
2.1
Zeigen Sie, dass für die Werte von B 0 und r gilt: B 0 « 0,90 • 109 und r * 9,43 * 10"3
2.2
Stellen Sie die Entwicklung der Weltbevölkerung zwischen 1.1.1800 und 1.1.2050
mit einem geeigneten Maßstab graphisch dar.
2.3
Entnehmen Sie einer entsprechenden Markierung im Diagramm der Aufgabe 2.2 zu
einem beliebigen Zeitpunlct t das Zeitintervall At, für das folgende Bedingung gilt:
B(t + At) = 2*B(t)
Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall At unabhängig vom Zeitpunlct t
ist, und berechnen Sie At auf eine Nachkommastelle gerundet.
2.4
Die natürliche Tragfähigkeitsgrenze der Erde ist der Zeitpunkt t T G , an dem die
Maßzahl der zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel
N(t)= 2,5*107*t + 2,0*109 mit t e l R und t > 0 (t in Jahren)
nicht mehr größer ist als die Zahl der Weltbevölkerung B(t).
(Eine Nahrungsmitteleinheit entspricht zur Vereinfachung dabei einer Bevölkerungseinheit.)
Bestimmen Sie mit Hilfe des Newtonverfahrens den Zeitpunkt t TG . Benutzen Sie
als Startwert t 0 = 210, führen Sie nur einen Näherungsschritt durch, runden Sie das
Ergebnis auf ganze Jahre und geben Sie auch das entsprechende Jahr unserer Zeitrechnung an.
70
-4Aufgabengruppe A: Analysis
All
BE
3 + e 2x
— mit x e IR.
l + e^x
1.0
Gegeben ist die reelle Funktion f : x h )
1.1
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für |x|-»oo und geben Sie
die Gleichungen der Asymptoten an.
1.2
Zeigen Sie, dass die Funktion f keine Nullstellen und ihr Graph keine Extrempunkte
besitzt.
-4e 2 x
[ Teilergebnis: f'(x) =
^—r ]
(l + e 2 x ) 2
1.3
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f, ermitteln Sie die
Koordinaten des Wendepunktes W und stellen Sie die Gleichung der Tangente w an
den Graphen von f im Wendepunkt W auf.
[ Teilergebnis: W(0; 2) ]
1.4
Zeichnen Sie den Graphen von f mit der Tangente w für -3 < x < 5 in ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Maßstab 1 LE = 1 cm.
1.5
Zeigen Sie, dass die Funktion F: x H> 3x - ln(l + e 2 x ) , x e IR, eine Stammfunktion
der Funktion f ist.
1.6.0 Der Graph von f, die Tangente w und die Gerade mit der Gleichung x = u mit u e IR
und u > 2 schließen ein Flächenstück A u ein.
1.6.1 Kennzeichnen Sie für u = 2 das Flächenstück A 2 im Schaubild der Aufgabe 1.4 und
berechnen Sie seine Flächenmaßzahl A.
[ Teilergebnis: A « 0,675 ]
1.6.2 Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren u näherungsweise so, dass das Flächenstück A u gleich große Flächenanteile oberhalb und unterhalb der x-Achse besitzt.
Benutzen Sie u 0 = 4 als Startwert und führen Sie einen Näherungsschritt aus.
2.0
Gegeben ist ferner in der maximalen Definitionsmenge D g eine Funktion
g: x h-> a • ln(bx + c) + 2 , bei der die reellen, von Null verschiedenen Koeffizienten
a, b und c dadurch festgelegt sind, dass der Graph dieser Funktion durch den Punkt
P(0; 2) verläuft, dort die Steigung 1 und an der Stelle x 0 = -1 die Steigung 3
besitzt.
Fortsetzung siehe nächste Seite
5-
BE
8
Fortsetzung A II:
2.1
Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c.
3
2
[ Ergebnis: a = — , b = — , c = l ]
2.2
Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge D g .
2.3
Zeigen Sie, dass die Funktion g streng monoton ist.
2.4
Untersuchen Sie, ob die Funktion h mit
f f (x) für x < 0 (siehe Aufgabe 1.0)
h(x) = <^
[g(x) für x > 0 (siehe Aufgabe 2.0)
an der Nahtstelle x = 0 stetig ist, begründen Sie, dass die Funktionswerte von h an
der Nahtstelle ein Minimum aufweisen, und geben Sie den Winkel an, unter dem die
Graphen der beiden Teilfunktionen an der Nahtstelle aufeinandertreffen.
3.0
Mit Hilfe einer Konvexlinse (Sammellinse) wird von einem selbstleuchtenden, linlcs
von der Linse stehenden Gegenstand auf einem Schirm rechts von der Linse ein reales,
scharfes Bild erzeugt. Der Abstand des Gegenstands von der Linsenmitte heißt dabei
Gegenstandsweite g, der Abstand des Schirms von der Linsenmitte heißt Bildweite b.
Der Zusammenhang zwischen diesen Größen ist durch die Linsenformel — + — = —
g b f
gegeben, wobei mit f die Brennweite der Linse bezeichnet wird. Um ein reales Bild zu
erzeugen, muss die Gegenstandweite größer als die Brennweite sein.
Dieser Versuchsaufbau soll in einem Schaukasten einer Schule gezeigt werden. Die
Brennweite der verwendeten Linse beträgt f = 50 mm. Die Einheit kann für die Berechnungen weggelassen werden.
3.1
Zeigen Sie, dass für den gesamten Platzbedarf a = g + b in Abhängigkeit von der
Gegenstandsweite g folgender funktionaler Zusammenhang besteht:
a(g) = - ^ g-50
70
3.2
Bestimmen Sie eine geeignete Definitionsmenge D a , wenn der Platzbedarf a durch
die Länge des Schaukastens mit 3000 mm begrenzt ist.
3.3
Beweisen Sie, dass es eine Gegenstandsweite g 0 gibt, für die der Platzbedarf a
minimal wird, berechnen Sie g 0 sowie den minimalen Platzbedarf a( g 0 ) und ermitteln Sie, welcher besondere Zusammenhang zwischen g 0 und der zugehörigen
Bildweite b 0 besteht.
Aufgabengruppe B: Lineare Algebra und analytische Geometrie
BI
BE
3 .
1.0
In einem kartesischen Koordinatensystem des IR sind in Abhängigkeit der Variablen
'p-q^
p, q e IR \ {0} die Vektoren a = -P
gegeben.
und b =
P
2p-q
q
1.1
Zeigen Sie, dass unabhängig von der Wahl der Werte für p und q die Vektoren a und b
senkrecht aufeinander stehen.
1.2.0 Setzen Sie nun p = 2 und q = 1 . Daraus ergeben sich mit dem Koordinatenursprung O
die Ortsvektoren a = OA und b = OB für die Punkte A und B.
1.2.1 Bestimmen Sie eine Normalengleichung der Ebene E, in der die Punlcte A und B sowie
der Koordinatenursprung O liegen. Geben Sie die Ebene E auch in Koordinatenform an.
1.2.2
Berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs O von der durch die Punlcte A
und B festgelegten Geraden g.
Bestimmen Sie auch den Punkt L auf der Geraden g, der die geringste Entfernung vom
Ursprung hat.
[ Teilergebnis: L(l; - 0 , 8 ; 1,6) ]
1.2.3
Die Punlcte Sj und S2 liegen auf der Geraden g. Die Strecke [S]S2] bildet die Basis
eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Koordinatenursprung O als Spitze. Dieses
Dreieck besitzt die Flächenmaßzahl AÄ = 2 • -y/4,2 .
Fertigen Sie eine Lageskizze der Punkte O, A, B, L, Sj und S2 an und berechnen Sie
die Koordinaten der Punlcte Sj und S 2 . Runden Sie die Koordinaten der Punkte Sj
und S2 auf zwei Stellen nach dem Komma.
[ Zwischenergebnis: LSj = 2 [
2.0
Die folgenden Gleichungen I, II und III stellen jeweils Ebenen in Koordinatenform dar:
I
X] + x 2 +2x 3 =3
II
x 2 + x 3 =1
III 2 x j - x 2 + X 3 = c , wobei c e IR.
4
2.1
Ermitteln Sie in Abhängigkeit von c die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems.
5
2.2
Bestimmen Sie für c = 3 die Lösung des Gleichungssystems und interpretieren Sie die
gegenseitige Lage der drei Ebenen.
30
-7Aufgabengruppe B: Lineara Algebra und analytische Geometrie
BII
3
BE 1.0
In einem kartesischen Koordinatensystem des IR sind die Punkte P (1; 0; 0),
Q(0;1;0), R(0;0;1) und S k (k;k;k) mit k e IR\ {0} gegeben.
1.1
Berechnen Sie die Werte des Parameters k, für die die gegebenen Punkte eine
dreiseitige Pyramide aufspannen.
1.2
Bestimmen Sie, für welche Werte des Parameters k die Pyramide ein reguläres
Tetraeder, also eine gleichseitige Pyramide ist.
2.0
Methan CH 4 ist eine Kohlenwasserstoffverbindung. Das Molekül hat die
Form eines regulären Tetraeders, in dessen Ecken sich die H-Atome befinden.
Das C-Atom liegt im Punkt C, gleich weit von allen H-Atomen entfernt. Der
Punlct C teilt die Höhen des Tetraeders im Verhältnis 3 : 1 . Die Ecken des
Tetraeders, also die Lage der H-Atome, seien die Punlcte aus 1.0 mit k = 1,
also P(1;0;0), Q(0;1;0), R(0;0;1) und Sj (1; 1; 1).
2.1
Die Punlcte P, Q und Sj liegen in einer Ebene F. Bestimmen Sie eine
Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform.
[ Mögliches Ergebnis: F: Xj + x 2 - x 3 - 1 = 0 ]
2.2
Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders PQ Sj R.
2.3
Der Punlct T ist der Fußpunlct des vom Punlct R auf die Ebene F gefällten Lotes.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes T.
[ Ergebnis:
2.4
T
2 2 1
(TJ-;-)
Berechnen Sie die Koordinaten des C-Atoms.
[ Ergebnis: CtypT*
2.5
30
]
]
Bestimmen Sie den Winkel q> zwischen zwei C-H-Bindungen, also z.B. den
Winkel PC S^