16.9.2016 Aufgabensammlung: Einführung in die mathematischen

Fakultät für Mathematik
Campus Essen
Wieland Wilzek
5.9.-16.9.2016
Aufgabensammlung: Einführung in die mathematischen Denk- und
Arbeitsweisen
1.1
Entscheiden Sie, ob die folgenden Behauptungen wahr oder falsch sind. Begründen Sie
ihre Entscheidung.
a) Es gibt mehr natürliche Zahlen (1,2,3,4, ...) als Quadratzahlen (1,4,9,16,...)?
b) Es gibt mehr natürliche Zahlen als dreistellige Primzahlen?
c) Wenn man zwei abzählbar-unendliche Mengen vereint, erhält man wieder eine
abzählbar-unendliche Menge.
d) Es gibt mehr Elemente im ℝ2 als in ℝ ?
1.2
Wie würden Sie die folgenden Ausdrücke für n∈ℕ definieren?
a) n+∞=? b) −n+∞=? c) ∞+∞=? d) ∞−∞=? e) n⋅∞=? f) −n⋅∞=?
g) ∞⋅∞=? h) ∞⋅(−∞)=? i) ∞
∞ =?
1.3
Zeichnen Sie ein Quadrat mit der Seitenlänge 4cm. Markieren Sie die Hälfte der Fläche
des Quadrates. Von der noch nicht markierten Fläche markieren Sie nun wieder dessen
Hälfte, sodass nur noch ein Viertel der Fläche des ursprünglichen Quadrates übrigbleibt.
Fahren Sie so einige Male fort...
a) Was hat das Verfahren mit der unendlichen Summe
1 1 1 1
+ + + +… zu tun?
2 4 8 16
b) Wird die Summe beliebig groß?
c) Versuchen Sie, das Ergebnis dieses endlosen Prozesses zu beschreiben.
2.1
Königsberg hatte im 18. Jhd.
sieben Brücken.
a) Ist es möglich, die Stadt
abzugehen und dabei jede
Brücke genau einmal zu
benutzen?
b) Welche Bedingung muss
gelten, damit so eine Tour in
einer Stadt möglich ist?
c) Was muss gelten, damit man
bei einer solchen Tour auch
wieder am Startpunkt
auskommen kann?
2.2
Lösen Sie die folgenden mathematischen Probleme.
a) Auf wie viele Nullen endet 1⋅2⋅3⋅…⋅99⋅100 ?
b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung a 2+b2+c 2=ab+ac+bc .
c) Zeigen Sie ohne Verwendung des Taschenrechners, dass √7 1⋅2⋅3⋅…⋅7< √8 1⋅2⋅3⋅…⋅8 gilt.
3.1
Bei einem Spiel werden fünf Murmeln geworfen. Gewonnen hat der, bei dem die Murmeln
am nächsten beieinander liegen.
a) Definieren Sie einen Begriff für Streuung.
b) Vergleichen Sie ihren Begriff mit den Definitionen anderer.
b1) Sind die Definitionen gleichwertig?
b2) Welche Definition ist die beste?
c) In welchen weiteren Situationen kann der Begriff der Streuung passen?
3.2
Konstruieren Sie ein Beispiel für eine Definition, die
a) ungenau ist, b) redundant ist, c) zu umfassend ist und d) nicht umfassend genug ist.
3.3
Beantworten Sie die folgenden Fragen.
a) Ist Null eine gerade Zahl?
b) Ist Null eine natürliche Zahl?
−n
c) Warum definiert man x 0=1 und x =
1
?
xn
1
d) Warum definiert man x 2 = √ x ?
4.1
Handelt es sich bei den folgenden Beispielen um Aussagen?
a) Mia ist 8 Jahre alt. b) Mia mag Mathematik. c) Wieso studiert Mia später Mathematik?
d) ∫ f (x )dx e) ℕ=ℝ f) f (x )∈M g) Π=3,41 h) f (x )=g ( x)⇒ 3=4
4.2
Begründen Sie anschaulich, weshalb die folgenden Zusammenhänge gelten:
a) Der Flächeninhalt eines Quadrates abgeleitet nach der Seitenlänge ist der halbe
Umfang des Quadrates.
b) Wenn a die halbe Seitenlänge des Quadrates ist, gilt für Flächeninhalt und Umfang des
Quadrates: A( a)=4a 2 und A ' (a )=8a=U (a ) .
4.3
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) Das Produkt zweier gerader Zahlen ist durch vier teilbar.
b) Eine Zahl ist durch drei teilbar, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist.
c) Die Summe drei aufeinanderfolgender Zahlen ist durch drei teilbar.
5.1
Das abgebildete geometrische Verfahren kann beliebig lange weitergeführt werden.
a) Wie lang ist der Rahmen um den Kreis in jedem Schritt des Verfahrens?
b) Versuchen Sie sich das Ergebnis dieses endlosen Prozesses vorzustellen. Was
bedeutet dies für den Umfang dieses Kreises? Kann das sein?
c) Decken Sie den Fehler bei diesem Verfahren auf.
d) Was müsste man anders machen, um eine wirkliche Näherung zu erzielen. Wie wird
hier sichergestellt, dass das Verfahren richtig ist?
e) Gibt es eine „unendlichste Figur“, wenn jeder Schritt eine Sekunde dauert?
n
1
f) Gibt es eine „unendlichste Figur“, wenn der n-te Schritt ( ) Sekunden dauert?
2
5.2
Ein weiteres Beispiel für ein Paradoxon steht in der Bibel bei Titus 1,12. In der
Übersetzung von Martin Luther heißt es dort: „Es hat einer von ihnen gesagt, ihr eigener
Prophet: Die Kreter sind immer Lügner, böse Tiere und faule Bäuche.“ Dabei geht man
davon aus, dass der zitierte Prophet Epimedines von Kreta ist. Eine moderne Variante des
Paradoxons lautet daher: „Epimenides der Kreter sagte: Alle Kreter sind Lügner. “
a) Angenommen, ein Lügner ist eine Person, die oft aber nicht immer lügt. Kann die
Aussage „alle Kreter sind Lügner“ dann stimmen? Kann die Aussage auch falsch sein?
b) Wenn wir davon ausgehen, dass Lügner immer lügen. Verändert sich die
Beantwortungen der Fragen bei a)?
c) Ein Paradoxon ist ein Befund, der der allgemeinen Erwartung widerspricht. Was war
hier die Erwartung? Versuchen Sie die Aussage so umzuformulieren, dass sie zu der
Erwartung passt.
6.1 Quelle: http://9gag.com/gag/6066420
a) Erklären Sie (nur) in Worten, wie man das abgebildete Verfahren allgemein durchführt.
b) Wenden Sie das Verfahren auf folgende Multiplikationen an:
14⋅21 , 23⋅30 und 32⋅42
c) Was fällt Ihnen bei diesen Aufgaben im Gegensatz zu dem abgebildeten Beispiel auf?
d) Wie muss das Verfahren, was sie bei a) beschrieben haben, gegebenenfalls erweitert
werden, um auch bei den Fällen aus b) zu funktionieren?
e) Begründen Sie, warum das Verfahren funktioniert. Welches mathematische Gesetz wird
hier ausgenutzt?
f) Entscheiden Sie, inwiefern die Position der einzelnen Linien vertauschbar ist. Begründen
Sie ihre Entscheidung.
g) Vergleichen Sie das Verfahren mit dem in Deutschland üblichen Verfahren der
schriftlichen Multiplikation.
h) Kann man das Verfahren auf drei- oder mehrstellige Zahlen erweitern? Falls dem so ist,
berechnen Sie entsprechende Aufgabenbeispiele.
6.2 Quelle: http://9gag.com/gag/a3BpBPe/mind-blowing-math-trick
a) Führen Sie den mathematischen Trick einige Male aus.
b) Warum ist in der Überschrift von einem Trick die Rede?
c) Begründen Sie, warum der Trick funktioniert.
d) Angenommen in der letzten Zeile würde (als naheliegende Verallgemeinerung für
Zahlen mit mehr als zwei Stellen) die Quersumme gebildet werden. Würde der Trick dann
auch für Zahlen größer als 9 funktionieren? Kann man den Trick gegebenenfalls durch
weitere Anpassungen retten?
e) Falls Sie bei c) eine bekannte Regel verwendet haben, versuchen Sie, diese ebenfalls
zu begründen.
7.1
Eine Familie lebt mit ihren Haustieren Strolch, Tiger, Carlo und Maxi unter einem Dach, in
friedlicher Gemeinschaft von Mensch, Hund, Katze, Hamster und Papagei. Maxi ist kleiner
als Tiger, der seinerseits größer ist als der Hund. Carlo ist älter als der Hamster, der sich
mit dem Papagei besser versteht als mit Maxi. Erstaunlicherweise haben der Hamster und
der Papagei keine Angst vor Tiger.
Wie heißen die einzelnen Tiere?
7.2
Ist es möglich die 9 Punkte durch einen Streckenzug zu
verbinden, der nur vier Strecken enthält?
O
O
O
O
O
O
O
O
O
7.3
Zwei gleiche Gläser werden gleich hoch gefüllt. Das eine mit Weißwein, das andere mit
Rotwein. Ein Löffel des Weißweins wird nun in das Glas mit den Rotwein gegeben und
durchmischt. Anschließend wird von diesem Weingemisch wieder ein Löffel in das
Weißweinglas zurückgegeben, sodass beide Gläser wieder gleich gefüllt sind.
Befindet sich nun mehr Weißwein im Rotwein oder mehr Rotwein im Weißwein?
7.4
Wikipedia: „Tic-Tac-Toe (auch: Drei gewinnt, Kreis und Kreuz, Dodelschach) ist ein
klassisches, einfaches Zweipersonen-Strategiespiel dessen Geschichte sich bis ins 12.
Jahrhundert v. Chr. zurückverfolgen lässt. Auf einem quadratischen, 3×3 Felder großen
Spielfeld setzen die beiden Spieler abwechselnd ihr Zeichen (ein Spieler Kreuze, der
andere Kreise) in ein freies Feld. Der Spieler, der als Erster drei Zeichen in eine Zeile,
Spalte oder Diagonale setzen kann, gewinnt. Wenn allerdings beide Spieler optimal
spielen, kann keiner gewinnen, und es kommt zu einem Unentschieden. Das heißt, alle
neun Felder sind gefüllt, ohne dass ein Spieler die erforderlichen Zeichen in einer Reihe,
Spalte oder Diagonalen setzen konnte.“
7.5
Auf den einzelnen Ecken eines regelmäßigen n-Ecks (z.B. eines Oktaeders) werden
Münzen gelegt. Zwei Spieler nehmen abwechselnd entweder eine Münze oder zwei
benachbarte Münzen weg. Gewonnen hat, wer die letzte Münze bekommt.
Gibt es für einen der Spieler eine optimale Gewinnstrategie?
8.1
Jemand behauptet, dass die folgende Formel für alle natürlichen Zahlen nur Primzahlen
produziert: n 2−n+41
a) Probieren Sie systematisch aus, um ein Gefühl für diese Formel zu erlangen.
b) Gibt es besondere Zahlen, für die sich ein Einsetzen in die Formel lohnt?
c) Gilt die Behauptung?
8.2
a) Untersuchen Sie die Formel n 2 (n+1) 2 auf besondere Gesetzmäßigkeiten.
b) Entwickeln Sie eine Formel für 13+2 3+33+...+n3 (Tipp: hier kann a) helfen.)
8.3
Das folgende Problem hat sich so real auf einer Party zugetragen. Der alkoholisierte
Gastgeber erzählt von seinen beiden (zum verwechseln ähnlich aussehenden) Katzen:
„Die Züchterin hatte vier gleich aussehende Katzen. Sie konnte die beiden
Geschwisterpaare selber nicht mehr auseinander halten. Sie hat uns dann einfach zwei
gegeben, also ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir wirklich Geschwister haben 50%.“
(Der Ausdruck des Gastgebers wurde stark angepasst)
a) Hat der Gastgeber Recht? Wie kommt er wohl zu seinem Ergebnis?
b) Simulieren Sie dieses „Zufallsexperiment“ mit 120 Durchläufen. Zu welchen Ergebnis
kommt man so? Wieso ist es angenehm, mit 120 Durchläufen zu rechnen?
c) Berechnen Sie das Ergebnis auch mit Wahrscheinlichkeiten.
8.4
Auf wie viele Arten kann man ein Rechteck der Größe 2x11 mit Dominosteinen der Größe
1x2 pflastern?
9.1
Ein Obsthändler hat eine Kiste Äpfel. Er verkauft einem Kunden die Hälfte seiner Äpfel
und noch einen dazu, dann einem zweiten Kunden die Hälfte der übrig gebliebenen Äpfel
plus einen, dann genauso einem dritten, vierten und fünften Kunden. Am Schluss hat er
noch einen Apfel übrig.
Wie viele Äpfel hatte er am Anfang?
9.2
Sei a≠0 . Unter welcher Bedingung hat die Funktion f (x )=ax 2+bx+c genau eine
Nullstelle?
9.3
Wie viele Dreiecke können in der rechts abgebildeten
Zeichnung identifiziert werden?
9.4
Auf einem Kreis werden n viele Zahlen angeordnet, wobei jede Zahl das arithmetische
a+b
Mittel ihrer beiden Nachbarn ist. (Das arithmetische Mittel ist definiert durch
und
2
beschreibt die geometrische Mitte zweier Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Z. Bsp. ist 1 das
arithmetische Mittel von -1 und 3.)
Welche besondere Eigenschaft haben die Zahlen auf dem Kreis? Begründen Sie diese.