3 Aussagenlogik

3
Aussagenlogik
• Rechnen mit Wahrheitswerten: true ( wahr“) und false ( falsch“).
”
”
• Die Objekte, mit denen wir hantieren, sind Aussagen, also Dinge, denen
wir eindeutig einen Wahrheitswert zuordnen können. Zur Bezeichnung für
Aussagen nehmen wir Großbuchstaben A, B, C, . . .
• Die Verknüpfungen von Aussagen liefern neue Aussagen. Art der Verknüpfungen
im Folgenden.
• Die Negation ist der einfachste Operator, da er nur einen Operanden hat:
A
¬A
false true
true false
• Andere Operationen auf {0, 1}. Rechnen ”modulo”: Wenn bei einer Operation der zulässige Zahlbereich verlassen wird, dann verschiebt man das
Ergebnis wieder in den zulässigen Bereich.
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
Für {0, 1} rechnet man praktisch ”modulo 2”. 1 + 1 = 2 = 0 modulo 2. Diese
Art zu rechnen ist für praktische Probleme meist nicht sehr hilfreich, aber
mathematisch sehr nützlich!
• Maximum und Minimum als Operator auf {0, 1}.
max 0 1
0
0 1
1
1 1
und
min 0 1
0 0 0
1 0 1
• Konjunktion – Die Und-Verknüpfung“:
”
A
B A∧B
false false false
false true false
true false false
true true true
• Oder-Verknüpfung“ – Disjunktion.
”
A
B A∨B
false false false
false true true
true false true
true true true
• Die Implikation ( Aus A folgt B’”):
”
A
B A⇒B
false false
true
false true
true
true false false
true true
true
4
• Eine weitere Verknüpfung (von den 2 = 16 möglichen Verknüpfungen zweier
Aussagen) ist die Äquivalenz :
A
B A⇔B
false false
true
false true
false
true false false
true
true true
• Einfachere Gesetzmäßigkeiten lassen sich einfach durch Aufstellen der Wahrheitstafeln für die vorkommenden Teilausdrücke zeigen.
Z.B. ist für beliebige A und B der Ausdruck A ⇔ B gleichwertig mit (A ⇒
B) ∧ (B ⇒ A):
A
B A ⇒ B B ⇒ A (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) A ⇔ B
false false
true
true
true
true
true
false
false
false
false true
true false false
true
false
false
true true
true
true
true
true
Eine Implikation A ⇒ B lässt sich auch ausdrücken als (¬A) ∨ B:
A
B
¬A (¬A) ∨ B A ⇒ B
false false true
true
true
true
true
false true true
true false false
false
false
true true false
true
true
• Rechenregln für Wahrheitswerte:
– Zwei Kommutativgesetze (kennen wir von + und ·):
A∧B = B∧A
A∨B = B∨A
(3.1)
(3.2)
– Zwei Assoziativgesetze (auch wie bei + und ·):
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
(3.3)
(3.4)
– Zwei (!) Distributivgesetze:
(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
(A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
(3.5)
(3.6)
– Die de morganschen Regeln:
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
(3.7)
(3.8)
– Weitere Regeln:
¬(¬A) = A
A∧A = A
A∨A = A
(3.9)
(3.10)
(3.11)
• Mehrwertige Logik (Fuzzy Logic): Betrachte nicht nur true und false, sondern
z.B: true, undetermined und false. Dreiwertige Logik. Allgemeiner: Wahrheitswert a mit 0 ≤ a ≤ 1. Definiere dann die Operatoren allgemeiner:
a ∧ b := a · b, ¬a := 1 − a, a ∨ b := a + b − a · b oder
a ∧ b := min(a, b), a ∨ b := max(a, b).
Aufgaben
3.1 Bestätige durch Wahrheitstafeln das erste Distributivgesetz (3.5) und die
erste de morgansche Regel (3.7).
3.2 Zeige die Äquivalenz von A ⇒ B und (¬B) ⇒ (¬A)
a) Mittels Wahrheitstafeln
b) Durch Umformen (zweckmäßig ist hier, die zweite Form in die erste
umzuformen, aber andersrum geht’s natürlich auch).
3.3 Zeige noch einmal, dass A ⇔ B gleichwertig ist zu (B ⇒ A) ∧ (A ⇒ B),
diesmal aber mit den Rechenregeln: Setze für ⇒ die Formulierung mit ¬
und ∨ ein, und wende die Rechenregeln an, um eine zu A ⇔ B äquivalente
Formel zu bekommen, die wieder nur ¬, ∧ und ∨ verwendet.
3.4 Ein logischer Ausdruck, der (unabhängig von den Werten der darin vorkommenden Variablen) immer den Wert true hat, heißt Tautologie — z.B. der
Ausdruck A ∨ (¬A).
Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien?
a) (A ∧ C) ∨ (A ∧ ¬C)
b) ¬(A ∧ ¬A) ∨ (B ∧ C)
c) ((A ∨ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B)) ∧ ((A ∨ ¬B) ∧ ¬(¬A ∧ B))
d) (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬B)
e) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
3.5 Bei einem Verstoß gegen ein mathematisches Gesetz (welches, ist hier egal)
kommen drei stadtbekannte Gauner A, B und C als Täter infrage — einer
alleine oder mehrere zusammen. Der Polizei liegen zwei Aussagen vor:
• Wenn A unschuldig ist, ist B schuldig.
• Wenn B unschuldig ist, sind sowohl A als auch C schuldig.
Da die Polizei ihre Informanten kennt, weiß sie, dass die erste Aussage wahr,
die zweite Aussage aber falsch ist. Wer ist’s gewesen?
Hier gibt es mal wieder verschiedene Lösungswege – man kann z.B. logische
Ausdrücke für die Aussagen aufstellen und umformen, man kann die Aufgabe
aber auch graphisch lösen, indem man sich ein Venn-Diagramm für drei
Mengen A, B, C aufmalt:
Nun legt man fest, dass der Bereich innerhalb von z.B. A bedeutet, dass A
schuldig ist etc., hat so alle möglichen Kombinationen von Schuld/Unschuld
der drei Kandidaten vor sich und kann mittels der Aussagen solange Bereiche
ausschließen, bis nur noch ein Feld übrig ist.
3.6 Wenn man im Ganovenrätsel den Lösungsweg mit dem Venn-Diagramm
rückwärts geht, kann man recht einfach ein eigenes Logikrätsel erfinden. Man
beginnt mit einem Venn-Diagramm für drei Mengen A, B und C und wählt
dann einen beliebigen Bereich aus. Jetzt muss man nach nicht zu einfachen
Aussagen suchen, die dafür sorgen, das alle Bereiche außerhalb des gewählten
Bereichs nicht mehr in Frage kommen. Sobald man die logischen Ausdrücke
zusammengestellt hat, lässt man sich eine nette Geschichte dazu einfallen,
indem man jeder Menge eine Bedeutung gibt (z.B. A = Der FC Bayern
”
wird Meister.“). Design your Logikrätsel!