Lösungsskizzen zu Blatt 11 - Fachbereich Mathematik

Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik
Winter 2016/17
Janko Latschev
Grundlagen der Mathematik
Lösungsskizzen 11
Präsenzaufgaben
(P20) Größter gemeinsamer Teiler
Bestimmen Sie jeweils den größten gemeinsamen Teiler der angegebenen Zahlen. Überlegen Sie vorher, ob die Bestimmung der Primfaktorzerlegung oder der euklidische Algorithmus effizienter sein wird:
a) 63 und 91
Da 63 = 32 · 7 und 91 = 7 · 13, gilt ggT(63, 91) = 7.
b) 5133 und 2146
Wir nutzen den euklidischen Algorithmus und erhalten
5133 : 2146 =2 Rest 841
2146 : 841 =2 Rest 464
841 : 464 =1 Rest 377
464 : 377 =1 Rest 87
377 : 87 =4 Rest 29
87 : 29 =3,
also ggT(5133, 2146) = 29.
(P21) Polynomdivision in
Q[x]
Polynomdivision mit Rest von Polynomen mit rationalen Koeffizienten funktioniert
praktisch analog zur schriftlichen Division mit Rest natürlicher Zahlen, wobei die Potenzen der Variablen x die Rolle der “Stellen” eines Stellenwertsystems übernehmen.
Bei den Koeffizienten führen wir jeweils eine gewöhnliche Division durch. Quotient und
Rest sind eindeutig, wenn man verlangt, dass der Rest strikt kleineren Grad hat als der
Divisor.
Bitte wenden!
Beispiel:
2
5
(2x2 + 5x + 1) : (3x) = x + Rest 1
3
3
2
2x
0 + 5x
5x
0
Führen Sie die Division mit Rest für folgende Polynome durch:
a) (3x2 + 14x + 2) : (5x + 2) = 35 x +
64
25
Rest
−
78
25 .
b) (18x4 + 12x2 + 5x + 9) : (3x2 + 3x + 8) = 6x2 − 6x − 6 Rest 71x + 57.
Siehe nächstes Blatt!
Übungsaufgaben mit Abgabetermin Mo, 16.01.17, zu Beginn der Vorlesung
(A29) Euklidischer Algorithmus mit Polynomen
(3+2 Punkte)
Den euklidischen Algorithmus kann man in jedem Ring durchführen, in dem die Division
mit Rest erklärt ist, also auch in [x]. Auf diese Weise kann man dann auch einen
größten gemeinsamen Teiler zweier Polynome bestimmen, wobei das Attribut größter
im Sinne von “größtmöglicher Grad” zu verstehen ist. Dieser ist dann allerdings nur bis
auf Multiplikation mit einer von Null verschiedenen rationalen Zahl bestimmt, d.h. es
gibt viele größte gemeinsame Teiler.
Q
a) Bestimmen Sie einen größten gemeinsamen Teiler g(x) der beiden Polynome
p1 (x) = 3x5 + 8x4 + 11x3 + 14x2
und
p2 (x) = 3x3 + 5x2 + 9x + 7.
Wir verwenden den euklidischen Algorithmus. Es gilt
(3x5 + 8x4 + 11x3 + 14x2 ) : (3x3 + 5x2 + 9x + 7) = x2 + x − 1 Rest (3x2 + 2x + 7)
und
(3x3 + 5x2 + 9x + 7) : (3x2 + 2x + 7) = x + 1
Also ist g(x) = 3x2 + 2x + 7 ein größter gemeinsamer Teiler von p1 und p2 .
b) Finden Sie Polynome a(x) und b(x) mit rationalen Koeffizienten, so dass
g(x) = a(x)p1 (x) + b(x)p2 (x).
Diese Polynome können wir direkt aus Teil a) ablesen, denn durch Umstellen der
ersten Gleichung erhalten wir
3x2 + 2x + 7 = (3x5 + 8x4 + 11x3 + 14x2 ) − (3x3 + 5x2 + 9x + 7)(x2 + x − 1)
Wir können also a(x) = 1 und b(x) = x2 + x − 1 wählen.
(A30) Das kleinste gemeinsame Vielfache
(2+2+1 Punkte)
Analog zum größten gemeinsamen Teiler definiert man das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen x und y als die kleinste natürliche Zahl k mit x|k und
y|k. Es wird oft mit kgV(x, y) bezeichnet.
a) Zeigen Sie: Sind
x = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k
und
y = pβ1 1 pβ2 2 · · · pβk k
Bitte wenden!
die Primfaktorzerlegungen von x und y, so gilt1
max(α1 ,β1 ) max(α2 ,β2 )
max(αk ,βk )
p2
· · · pk
.
kgV(x, y) = p1
Sei V das kleinste gemeinsame Vielfache von x und y, d.h. V = ax = by. Jede
Primzahl, welche x oder y teilt, teilt dann auch V . Andere Primfaktoren hat V
nicht: Wäre q eine Primzahl mit q|V , die weder x noch y teilt, so müsste nach dem
Lemma von Euklid q|a und q|b gelten, d.h. a = qa0 und b = qb0 . Dann wäre aber
V0 =
V
= a0 x = b0 y
q
ein kleineres gemeinsames Vielfaches von x und y, im Gegensatz zur Wahl von V .
Wir sehen also, dass V eine Primfaktorzerlegung der Form
V = pγ11 pγ22 · · · pγkk
haben muss. Wäre ein Exponent γi kleiner als das entsprechende Maximum der
beiden in x und y auftretenden Exponenten αi und βi , so könnte V nicht durch
sowohl x als auch y teilbar sein. Also muss γi ≥ max(αi , βi ) für jedes i ∈ {1, . . . , k}
gelten. Da die angegebene Zahl die kleinste ist, die dieses Kriterium erfüllt, ist sie
das kleinste gemeinsame Vielfache von x und y.
b) Zeigen Sie, dass für beliebige natürliche Zahlen x und y die Beziehung
ggT(x, y) · kgV(x, y) = x · y
gilt.
In der Vorlesung haben wir gesehen, dass
min(α1 ,β1 ) min(α2 ,β2 )
min(αk ,βk )
p2
· · · pk
.
ggT(x, y) = p1
Da aber für alle reellen Zahlen a und b die Gleichung min(a, b) + max(a, b) = a + b
gilt, erhalten wir
ggT(x, y) kgV(x, y)
min(α1 ,β1 ) min(α2 ,β2 )
min(αk ,βk )
p2
· · · pk
)
pα1 1 +β1 pα2 2 +β2 · · · pαk k +βk
(pα1 1 pα2 2 · · · pαk k ) · (pβ1 1 pβ2 2 · · · pβk k )
= (p1
=
=
max(α1 ,β1 ) max(α2 ,β2 )
max(αk ,βk )
p2
· · · pk
)
· (p1
= x · y,
wobei die Umformungen jeweils nur durch Umsortieren der Faktoren entstehen.
(
1
Für beliebige ganze (oder auch reelle) Zahlen a, b gilt max(a, b) =
a
b
falls a ≥ b
.
sonst
Siehe nächstes Blatt!
c) Bestimmen Sie kgV(5133, 2146).
In Aufgabe (P20) b) haben wir ggT(5133, 2146) = 29 berechnet. Es folgt also
kgV(5133, 2146) = 5133·2146
= 379842.
29
(A31) Rechnen in
Zp
(1+2+1+1+1+2+2 Punkte)
Sei p eine Primzahl. In dieser Aufgabe untersuchen wir die Gleichung
xp−1 = 1
(1)
Z
Z
im Ring p der Restklassen modulo p. Hier steht 1 für das Einselement [1] ∈
Sei a ∈ teilerfremd zu p.
a) Zeigen Sie, dass die Elemente [a], [2a], . . . [(p − 1)a] in
sind.
Hinweis: Was sagt das Lemma von Euklid?
Zp.
Zp von Null verschieden
Die ganzen Zahlen 1, 2, . . . , p − 1 sind alle nicht durch p teilbar. Die Gleichung
[ka] = [0] in p bedeutet aber, dass die ganze Zahl ka durch p teilbar wäre.
Mit dem Lemma von Euklid würde daraus p|a folgen, im Gegensatz zu unserer
Voraussetzung ggT(a, p) = 1.
Z
b) Folgern Sie daraus, dass diese Elemente auch paarweise verschieden sind.
Z
Wäre [ka] = [`a] in p mit k 6= `, k, ` ∈ {1, . . . , p − 1}, so müsste ka − `a = pq
für ein q ∈ gelten. OBdA können wir k > ` annehmen, und erhalten (k − `) ∈
{1, . . . , p − 1}. Die Gleichung ka − `a = pq bedeutet dann aber [(k − `)a] = [0] in
p , im Widerspruch zu Teil a).
Z
Z
c) Folgern Sie daraus die Kongruenz
ap−1 (p − 1)! ≡ (p − 1)!
mod p.
Z
Da die Elemente [a],[2a],. . . ,[(p − 1)a] in p paarweise verschieden und verschieden
von Null sind, müssen sie gerade die Teilmenge {[1], [2], . . . , [p − 1]} ⊂ p bilden.
Dividiert man also die Zahlen a, 2a, . . . , (p − 1)a durch p, erhält man genau jeden
der Reste 1, 2,. . . , (p − 1) einmal. Das bedeutet aber, dass für das Produkt
Z
ap−1 (p − 1)! = a · (2a) · (3a) · · · ((p − 1)a) ≡ (p − 1)!
mod p
gelten muss.
d) Folgern Sie daraus die Kongruenz
ap−1 ≡ 1
mod p.
Bitte wenden!
Die behauptete Kongruenz ist äquivalent zu [ap−1 ] = [1] in
bewiesene Kongruenz ist äquivalent zu
[ap−1 ] · [(p − 1)!] = [(p − 1)!]
in
Zp, und die in c)
Zp.
(2)
Da p eine Primzahl ist, ist (p − 1)! nicht durch p teilbar, denn alle Primteiler von
(p − 1)! sind kleiner als p. Also ist [(p − 1)!] 6= [0] in p . Nach einer Aussage aus der
Vorlesung hat dann aber das Element [(p − 1)!] in p ein multiplikatives Inverses
[b] ∈ p . Multipliziert man aber beide Seiten der Gleichung (2) mit [b], so erhält
man die gewünschte Behauptung
Z
Z
Z
[ap−1 ] = [1]
e) Wieviele Lösungen hat die Gleichung (1) in
Zp.
in
Zp?
Z
Offenbar gilt [0p−1 ] = [0] 6= [1] in p . Da jede der Zahlen 1, 2, . . . , p − 1 teilerfremd
zu p ist, erfüllen ihre Äquivalenzklassen nach dem bisher gezeigten die Gleichung
(1). Also hat die Gleichung genau p − 1 Lösungen.
f ) Bestimmen Sie für die natürlichen Zahlen a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} jeweils den kleinsten
Exponenten k ∈ mit ak ≡ 1 mod 7.
N
a
k
1
1
2
3
3
6
4
3
5
6
6
2
g) Beweisen Sie: Ist p eine Primzahl und a eine natürliche Zahl und ist k ∈
kleinste natürliche Zahl mit
ak ≡ 1 mod p,
N die
dann teilt k die Zahl p − 1.
Wir führen einen Widerspruchsbeweis.
Teilt k die Zahl p − 1 nicht, so gilt p − 1 = qk + r für ein r ∈ {1, . . . , k − 1}. Aus
ak ≡ 1
mod p
und
(ak )q · ar = aqk+r = ap−1 ≡ 1
mod p
folgt dann aber auch ar ≡ 1 mod p, im Widerspruch zur Wahl von k als kleinster
Exponent mit dieser Eigenschaft.
(A32) Noch ein größter gemeinsamer Teiler
(2 BONUS-Punkte)
Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b, wobei die Deziamldarstellung von a eine Folge von 100 Dreien und die Dezimaldarstellung von b
eine Folge von 60 Dreien ist. Der Lösungsweg muss klar erkennbar sein.