Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK
Dr. Christoph Barbian
e
Mathematik für Studierende der Biologie
und des Lehramtes Chemie
Wintersemester 2007/2008
Erforderliche Vorkenntnisse
In der Beschreibung dieser Veranstaltung ist in der Rubrik Vorkenntnisse ein Grundkurs
Mathematik eingetragen. Jeder von Ihnen (zumindest diejenigen, die im Saarland Abitur
gemacht haben und keinen Leistungskurs Mathematik besucht haben) hat diesen Grundkurs - mehr oder weniger - erfolgreich besucht. Wenn Sie sich (aus welchen Gründen auch
immer) nicht mehr oder nur unscharf an Ihr mathematisches Schulleben erinnern, sollen
Sie in dieser kurzen Mitteilung noch einmal an das Mindestmaß an Vorwissen aufmerksam
gemacht werden, das notwendig ist, um diese Vorlesung erfolgreich abzuschließen.
Erinnern bedeutet hier, dass die angesprochenen Begriffe nicht mehr in allen Einzelheiten
behandelt werden; das bleibt Ihnen selbst überlassen. Und Mindestmaß heißt, dass das
alleine auch nicht ausreichen wird, um erfolgreich zu sein.
Neben der schon angegebenen Literatur gibt es spezielle Bücher zur Vorbereitung auf
Mathematik im Studium. Folgende sind z.B. in unserer Bibliothek zu finden (im sog.
Semesterapparat - bitte die Aufsicht fragen):
• K. Fritzsche, Mathe für Einsteiger
• W. Preuß und G. Wenisch, Lehr- und Übungsbuch Mathematik (Band 1)
Im dtv-Atlas der Mathematik (Band 1 & 2) können Sie recht schnell spezielle Begriffe
nachschlagen.
Mengenlehre
Das Wort Menge ist ein alltäglicher Begriff, jeder hat also eine prinzipielle Vorstellung
davon. Der Mathematiker definiert sie wie folgt:
Eine Menge ist eine Gesamtheit von Dingen oder Objekten, die Elemente dieser
Menge genannt werden.
Eine Menge wird dadurch gegeben, dass man ihre Elemente aufzählt, etwa Mainzelmännchen = {Anton, Bert, Conny, Det, Edi, Fritzchen}, oder sie durch eine Eigenschaft eindeutig beschreibt, etwa Schlimmetage = {Wochentage ; an diesem Wochentag findet die
Vorlesung Mathematik für Biologen statt} . Offenbar hätte man die zweite Menge auch
als Schlimmetage = { Mittwoch } definieren können. Die Menge ohne Element nennt man
die leere Menge, ihr Symbol ist ∅ oder auch (an der Universität eher ungebräuchlich) { }.
Bei der Angabe durch Aufzählung ist zu erwähnen, dass dies zunächst nur für Mengen
mit endlich vielen Elementen sinnvoll möglich ist. Trotzdem kann man auch in bestimmten Fällen unendliche Mengen so beschreiben; zum Beispiel ist klar, welche Elemente die
Menge {2, 4, 6, 8, ...} enthält.
Mengen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet, Elemente mit Kleinbuchstaben.
Die folgenden Symbole und ihre Bedeutung sollten Sie kennen:
(a) A = B: Die Mengen sind gleich, enthalten also dieselben Elemente.
(b) a ∈ A: a ist Element der Menge A; das Gegenteil ist a ∈
/ A.
(c) A ⊂ B: Alle Elemente aus A sind auch Elemente von B (A ist Teilmenge von B).
(d) A ∩ B = {x ; x ∈ A und x ∈ B}.
(d) A ∪ B = {x ; x ∈ A oder x ∈ B}.
(e) A \ B = {x ; x ∈ A und x ∈
/ B}.
(f) Ist B ⊂ A, so schreibt man auch B c = A \ B (Komplement von B in A). Die in der
Schule oft verwendete Bezeichnung B für das Komplement ist eher ungebräuchlich.
Es gelten die folgenden Regeln im Umgang mit diesen Symbolen (A ⊂ B ⊂ C ist kurz für:
A ⊂ B und B ⊂ C):
(a) A ∩ B = B ∩ A und (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Kommutativ- und Assoziativgesetz)
(b) A ∪ B = B ∪ A und (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Kommutativ- und Assoziativgesetz)
(c) A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B
(d) (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C) und (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C) (Distributivgesetz)
Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Die Elemente
der Potenzmenge sind also ihrerseits wieder Mengen. Die Potenzmenge von A = {1, 2, 3}
ist also
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}.
2
Man beachte hierbei, dass A und ∅ stets Teilmengen einer Menge A sind. Weiterhin ist zu
erwähnen, dass {1, 2} und {2, 1} keine verschiedenen Mengen sind, und dass es Mengen
wie {1, 2, 1} nicht gibt. Die Reihenfolge der Elemente ist unwichtig und jedes Element
kommt nur einmal vor. Wollen Sie den Inhalt einer Tasche beschreiben, in der drei gleiche
rote und zwei gleiche weiße Kugeln enthalten sind, müssen Sie den gleichen Kugeln noch
zusätzliche (fiktive) unterscheidende Eigenschaften geben, z.B. nummerieren.
Zu zwei Mengen A und B kann man die sog. Produktmenge A × B definieren als
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B},
also die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente ein Element aus A und
deren zweite Komponente eines aus B ist. (Das Wort geordnet weist darauf hin, dass man
die Komponenten nicht einfach vertauschen darf. Man erhält dann ein anderes Paar.) Für
A × A schreibt man auch A2 . Man kann auch die Produktmenge von drei oder mehr
Mengen bilden. Entsprechend ist dann das Symbol An (n = 1, 2, 3, 4, ...) zu verstehen als
n-faches Produkt von A mit sich selbst.
3
Zahlensysteme
Wir verwenden folgende Bezeichnungen:
(a)
N = {1, 2, 3, ...}, die Menge der natürlichen Zahlen; N0 = N ∪ {0}
(b)
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, die Menge der ganzen Zahlen
(c)
Q = { pq
(d)
R, die Menge der reellen Zahlen
: p ∈ Z und q ∈ N}, die Menge der rationalen Zahlen
Rationale Zahlen lassen sich auch wie folgt beschreiben: Sie sind die Menge aller irgendwann periodischen Dezimalzahlen. Zum Beispiel ist 0,016666... (auch 0,016̄ geschrieben)
eine ab der dritten Nachkommastelle periodische Dezimalzahl (die Periode hat Länge
1
eins; die Zahl entspricht 60
). Perioden müssen nicht aus einer Ziffer bestehen. So ist etwa
4
0,121212... (= 0, 12) die Dezimaldarstellung von 33
.
Die irrationalen Zahlen sind nun alle nicht irgendwann periodischen Dezimalzahlen. Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die reellen Zahlen.
Als wichtige Schreibweisen/Symbole sollten Sie kennen:
(a) xn = x · . . . · x, das n-fache Produkt der reellen Zahl x mit sich selbst (oder die n-te
Potenz von x), wobei n ∈ N0 ist. Dabei gilt x0 = 1 für jedes x ∈ R.
(b) x−n = x1n für x 6= 0 und n ∈ N.
Pk
(c)
j=1 xj = x1 + . . . + xk , die Summe der reellen Zahlen x1 , ..., xk
(d)
Qk
j=1 xj
= x1 · . . . · xk , das Produkt der reellen Zahlen x1 , ..., xk
(e) n! = 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · n, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen (genannt Fakultät
von n). Per Definition ist 0! = 1.
Die grundlegenden Rechenregeln für Potenzen sind:
(i) (x · y)n = xn · y n und
(ii) x−n =
1
xn
x n
y
=
xn
yn
für alle n ∈ N0 und y 6= 0 im zweiten Fall
für jede ganze Zahl n und x 6= 0
(iii) xn · xm = xn+m und
xn
xm
= xn−m für alle m, n ∈ Z und x 6= 0
(iv) (xn )m = xn·m für m, n ∈ Z und x 6= 0.
Der Ausdruck (x + y)n läßt sich nach der binomischen Formel schreiben als
n
(x + y) =
n X
n
j=0
j
xj y n−j ,
wobei für n ≥ j ≥ 0
n
n!
=
j!(n − j)!
j
4
den Binomialkoeffizienten (n über j) bezeichnet. Als Spezialfälle der obigen Formel kennen
Sie (mit n = 2)
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
und
(x − y)2 = (x + (−y))2 = x2 − 2xy + y 2
als erste bzw. zweite binomische Formel aus der Schule.
Als Exponenten (=Hochzahlen) von Potenzen sind auch rationale Zahlen möglich (allerdings muss hierfür im allgemeinen die Basis eine positive Zahl sein). Es gelten dabei die
selben Rechenregeln (i)-(iv) wie bei ganzzahligen Exponenten. Man beachte insbesondere:
√
√
1
1
x 2 = x, x 3 = 3 x usw.
Von besonderer Bedeutung sind folgende Mengen reeller Zahlen, die sogenannten Intervalle
(es seien a, b ∈ R):
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} und (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
• [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} und (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
• (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} und (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}
• [a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a} und (a, ∞) = {x ∈ R : x > a}
Es ist daher (−∞, ∞) = R. Man sagt im ersten Punkt abgeschlossenes bzw. offenes Intervall und im zweiten rechts-offenes bzw. links-offenes Intervall. Die Verwendung umgekehrter eckiger Klammern für offene Intervallgrenzen (etwa ]a, b[= (a, b)) ist an der Universität
eher ungebräuchlich.
5
Funktionen und Abbildungen
Abbildungen (Funktionen) sind ein zentrales Thema der Mathematik. Sind A und B nicht
leere Mengen, so ist eine Abbildung f : A → B eine Zuordnung, die jedem Element aus A
genau ein Element aus B zuordnet. Man schreibt für die Zuordnung von x ∈ A zu y ∈ B
auch x 7→ y oder f (x) = y.
Man beachte bei der Definition die Stelle des Wortes ‘genau’: Jedem x ∈ A wird genau
ein y ∈ B zugeordnet; das heißt, dass nicht etwa x 7→ y1 und x 7→ y2 für y1 6= y2 möglich
ist, ein x kann nicht zwei (oder mehr) Funktionswerte haben. Dagegen kann ein y ∈ B
durchaus als Funktionswert mehrerer x-Werte auftauchen, etwa y = f (x1 ) = f (x2 ).
Man kann eine Abbildung entweder dadurch definieren, dass man die Zuordnung jedes
einzelnen x-Wertes aus A nach B angibt (also eine Zuordnungstabelle), oder man gibt eine
sog. Abbildungsvorschrift an, das ist eine allgemeine Zuordnunganweisung. Zum Beispiel
ordnet die Abbildung
f : R → R,
x 7→ 2x
jedem x ∈ R (= A) den doppelten Wert 2x in
hier nicht möglich.
R (= B) zu. Eine Zuordnungstabelle wäre
Man beachte, dass zur Angabe einer Abbildung neben der eigentlichen Zuordnung bzw.
Zuordnungsvorschrift auch die Mengen A und B gehören!
Folgende Begriffe sollten Sie kennen. Sei f : A → B eine Abbildung.
(a) A heißt Definitionsbereich von f .
(b) f (A) = {f (x) : x ∈ A} heißt Werte- bzw. Bildbereich von f ; er ist eine Teilmenge
von B.
(c) f heißt injektiv, falls aus f (x1 ) = f (x2 ) schon x1 = x2 folgt (d.h. zwei verschiedene
Elemente des Definitionsbereichs werden von f zwangsläufig auf zwei verschiedene
Werte abgebildet).
(d) f heißt surjektiv, falls f (A) = B ist (d.h. jedes Element von B ist Funktionswert
eines (möglicherweise mehrerer) Elementes in A).
(e) f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
6
Betrag und Betragsungleichungen
Bekanntlich kann man kann zwei beliebige reelle Zahlen vergleichen: Es gilt
a≤b⇔b−a≥0
a < b ⇔ a ≤ b und a 6= b.
und
Wir schreiben ferner a ≥ b für b ≤ a und a > b für b < a. Über die Zusammenhänge
zwischen Rechenoperationen und Vergleich sollten Sie insbesondere wissen:
(a) a ≥ 0 und b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 0 und a · b ≥ 0
(b) a ≥ 0 und b ≤ 0 ⇒ a · b ≤ 0
Entsprechendes gilt, wenn man ≥ durch > und ≤ durch < ersetzt.
Der Betrag |x| einer reellen Zahl x ist gegeben durch
(
x falls x ≥ 0
|x| =
−x falls x < 0
und gibt den Abstand von der Zahl x zum Nullpunkt auf der Zahlengeraden an.
Für den Betrag gilt die sog. Dreiecksungleichung: |x + y| ≤ |x| + |y|. Desweiteren ist
|a · b| = |a| · |b|.
Für das Auflösen von Betragsungleichungen ist zu beachten:
|x| ≤ a
⇔
x ≤ a und x ≥ −a
(was natürlich nur für a ≥ 0 möglich ist) und
|x| ≥ a
⇔
x ≥ a oder x ≤ −a.
Man beachte die Verwendung und Bedeutung der Worte und und oder bei diesen Auflösungen!
Beispiel: Die Menge {x ∈ R : |x| ≤ 5} ist gleich der Menge {x ∈ R : x ≤ 5 und x ≥ −5}.
Im 1. Abschnitt über Mengen haben Sie gesehen, was ein und in der Beschreibung der
Menge bedeutet, nämlich einen Durchschnitt. Also
{x ∈ R : x ≤ 5 und x ≥ −5} = {x ∈ R : x ≤ 5} ∩ {x ∈ R : x ≥ −5}
= (−∞, 5] ∩ [−5, ∞) = [−5, 5].
Analog ist
{x ∈ R : |x| ≥ 5} = {x ∈ R : x ≥ 5 oder x ≤ −5}
= {x ∈ R : x ≥ 5} ∪ {x ∈ R : x ≤ −5}
= (−∞, −5] ∪ [5, ∞) = R \ (−5, 5).
Sie sollten sich dies auch am Zahlenstrahl bildlich veranschaulichen!
7
Lineare, quadratische und kubische Gleichungen
Die Lösung der linearen Gleichung ax + b = 0 (a 6= 0) lautet x = − ab .
Für die Lösung der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 gilt mit Hilfe der sog.
quadratischen Ergänzung
p 2
p 2
x2 + px + q = 0 ⇔ x2 + px +
= −q +
2
2
p 2 p2
⇔
x+
− q (binomische Formel)
=
2
4
r
2
p p2
(∗) ⇔ x + =
− q (falls p4 − q ≥ 0)
2 r 4
r
p
p2
p
p2
⇔ x+ =
− q oder x + = −
−q
2
2
r4
r4
p2
p2
p
p
⇔ x=− +
− q oder x = − −
−q
2
4
2
4
Was hier zu beachten ist:
(a) In der Ausgangsgleichung steht vor dem x2 keine Zahl. Eine eventuell auftretende
Vorzahl in einer konkreten Aufgabe muss durch Division erst beseitigt werden; d.h.
aus ax2 + bx + c = 0 wird x2 + ab x + ac = 0 (falls a 6= 0).
√
√
(b) Die Gleichung x2 = a ist gleichbedeutend mit |x| = a (und nicht x = a), was
√
√
nach Definition des Betrages bedeutet: x = a oder x = − a.
(c) Die Wurzel kann nur aus einer nicht negativen Zahl gezogen werden. Bei (∗) kann
2
also nur im Fall p4 − q ≥ 0 weitergerechnet werden, ansonsten ist die Rechnung dort
beendet und die Gleichung hat keine Lösung!
(d) Die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 besitzt demnach
– zwei Lösungen, falls
−q >0
p2
4 −q =0
2
falls p4 − q < 0
– eine Lösung, falls
– keine Lösung,
p2
4
Für kubische Gleichungen der Form x3 + px2 + qx + r = 0 gibt es ebenfalls eine Lösungstheorie. Diese ist aber etwas komplizierter als die der quadratischen Gleichungen und soll
hier nicht präsentiert werden. Hat man aber schon eine Lösung der kubischen Gleichung,
dann kann man die weiteren (falls vorhanden) folgendermaßen finden:
(a) Sei x0 diese eine Lösung der kubischen Gleichung (also x30 + px20 + qx0 + r = 0), dann
führt man eine Polynomdivision durch:
(x3 + qx2 + px + r) : (x − x0 )
ergibt dann ein quadratisches Polynom, sagen wir x2 + ax + b.
(b) Um die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung zu finden, muss man nun noch
x2 + ax + b = 0 lösen.
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Wie findet man aber diese erste Lösung x0 ? Gerade dann, wenn die Koeffizienten der
Gleichung (also die Zahlen p, q und r) ganzzahlig sind, kann man zunächst versuchen, eine
solche Lösung unter den Teilern der Zahl r finden. Man probiert es zunächst mit ±1, dann
mit dem nächstgrößeren Teiler von r (und dem Negativen dieses Teilers) usw.
Beispiel: Löse x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0.
Wir wollen zunächst x = 1 oder x = −1 einsetzen. Beide Zahlen erfüllen die Gleichung aber
nicht. Als nächstgrößeren Teiler von 12 wählen wir nun 2 (bzw. −2 als dessen Negatives).
Tatsächlich löst x = 2 die Gleichung. Also rechnen wir:
(x3 − 3x2 − 4x + 12) : (x − 2) = x2 − x − 6
−(x3 − 2x2 )
−x2 − 4x
−(−x2 + 2x)
−6x + 12
−(−6x + 12)
0
Die Lösungen von x2 − x − 6 ergeben sich mittels quadratischer Ergänzung als x = −2
und x = 3. Die Lösungsmenge der kubischen Gleichung lautet demnach {−2, 2, 3}.
Man beachte, dass die erste Lösung x0 auch wieder eine Lösung der quadratischen Gleichung sein kann, die aus der Polynomdivision hervorgeht. So ist die Lösungsmenge von
x3 − 3x − 2 = 0 die Menge {−1, 2}, wobei die −1 als erste Lösung schnell erkannt wird
und auch die resultierende quadratische Gleichung x2 − x − 2 = 0 löst. Man spricht hier
von einer doppelten Nullstelle.
Die Nullstellen eines quadratischen oder kubischen Polynoms werden zur Linearfaktorzerlegung verwendet. Zum Beispiel ist die Linearfaktorzerlegung von x2 − x − 6 (s. oben)
gegeben durch (x − (−2))(x − 3) = (x + 2)(x − 3).
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Vollständige Induktion
Das sogenannte Prinzip der vollständigen Induktion ist ein Beweisverfahren, das manche
von Ihnen vielleicht aus der Schule kennen. Es wird benutzt, um zu beweisen, dass eine
bestimmte Aussage für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt. Die Idee ist
(1) zu zeigen, dass die Aussage für n = 1 (manchmal auch n = 0) gilt (der sogenannte
Induktionsanfang)
(2) zu zeigen, dass aus der Gültigkeit der Aussage für ein beliebiges n die Gültigkeit der
Aussage für n + 1 folgt (der sogenannte Induktionsschluss).
Beispiel: Zu zeigen ist: Für alle n ≥ 1 gilt
Pn
k=1 k
=
n(n+1)
.
2
Induktionsanfang (n = 1):
linke Seite =
1
X
k=1
k=1
rechte Seite =
1(1 + 1)
=1
2
Also stimmt die Behauptung für n = 1.
Induktionsschluss (n
n + 1): Sei die Behauptung gezeigt für n ∈ N. Unter Benutzung
dieser Voraussetzung wollen wir nun zeigen, dass sie dann auch für n + 1 gilt:
n+1
X
k=1
k=
n
X
!
k
+ (n + 1) =
k=1
=
=
also
n+1
X
k=1
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
(da die Behauptung für n gilt)
n(n + 1) + 2(n + 1)
2
(n + 1)(n + 2)
,
2
k=
(n + 1)(n + 1 + 1)
,
2
was in der Tat die Aussage für n + 1 ist.
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