¨Ubungen “Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastische
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Übungen “Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastische Prozesse” WS 2015/2016 Institut für Mathematik C Institut für mathematische Strukturtheorie (Math. C) 17. November 2015 26. In einer Lostrommel befinden sich 30 Lose, wobei davon 10 Gewinnlose sind. Es werden 5 Lose gezogen. Sei X die Anzahl der gezogenen Gewinne. (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß sich X vom erwarteten Wert um höchstens 2σ unterscheidet, wenn die Lose mit Zurücklegen gezogen werden. (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß sich X vom erwarteten Wert um höchstens 2σ unterscheidet, wenn die Lose ohne Zurücklegen gezogen werden. 27. In einer großen Warenlieferung befinden sich 300 Computerchips. Zur Qualitätssicherung werden 20 Chips zufällig entnommen und auf Defekte überprüft. Durchschnittlich sind 2% der Chips defekt. Sei X die Anzahl der defekten Chips in der Stichprobe. (a) Wie viele defekte Chips sind in der Stichprobe zu erwarten? Wie groß ist die Varianz von X? (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens zwei Chips in der Stichprobe defekt sind durch i. exakte Rechnung (d.h. Ziehen ohne Zurücklegen), ii. durch Approximation mit Hilfe der Binomialverteilung (d.h. Ziehen mit Zurücklegen). 28. Man betrachte ein Zufallsexperiment, welches mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) zu einem Erfolg führt und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p zu einem Mißerfolg. Das Experiment werde so oft wiederholt, bis das erste Mal ein Erfolg eintritt. Sei X die Anzahl der Fehlversuche und Y die Anzahl der notwendigen Versuche bis zum ersten Erfolg (inkl. des erfolgreichen Versuchs gezählt). Man berechne Var(X) sowie Var(Y ). Hinweis: Man verwende folgende Gleichungen für x ∈ (0, 1): ∞ ∞ k=0 k=2 1 ′′ X k ′′ X k(k − 1)xk−2 . = x = 1−x 29. Man werfe einen Würfel so lange, bis das erste Mal eine 6 gewürfelt wird. Der Einsatz für ein Spiel betrage 5 Euro. Man erhält eine Auszahlung von k Euro, wenn beim k-ten Versuch das erste Mal eine 6 gewürfelt werde. Sei X der Netto-Gewinn(bzw. Verlust) nach diesem Spiel. Man berechne den erwarteten Gewinn, dessen Varianz und Standardabweichung. 30. Beim Roulettespiel setzt ein Spieler immer auf das mittlere Drittel (Zahlen 13 bis 24). Wie oft muß der Spieler mindestens spielen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% mindestens einmal gewinnt?
