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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
18 Grundlagen zur Thermodynamik
Vertiefung und Kompetenzüberprüfung
die Begriffe Trommelfell, Brown’sche Bewegung und
akustisches Rauschen (siehe A2
A a und Abb. 2).
Martin Apolin (Stand August 2011)
Thermische Bewegung
A1 Unter einem Random-Walk versteht man einen
Zufallsweg. Nach diesem Prinzip kann man auch
die Brown’sche Bewegung erklären. Du kannst das
mit einfachen Mitteln nachvollziehen. Du brauchst
nur einen Würfel und ein kariertes Blatt (siehe dazu Infobox Random Walk, Kap. 18.1, S. 74, BB6).
BB6)
Eine ähnliche, aber schnellere Methode, um einen
Random-Walk zu visualisieren, ist mit Hilfe von Excel.
Erstelle dazu ein Diagramm mit x- und y-Koordinaten.
Koordinaten.
Starte beim Punkt (0,0) und addiere Zeile für Zeile zu
diesen Startwerten je eine Zufallszahl zwischen -1 und
+1. Stelle diese Zahlen in einem Punkt-Diagramm
Diagramm dar.
Das Ergebnis wird so ähnlich aussehen wie Abb. 1.
Abb. 2: Schwingungsverlauf (links) und Frequenzspektrum
(rechts) eines reinen Tons (a), eines Trompeten- (b) und eines Klavier-Klangs (c) mit jeweils 440 Hz (a1), sowie das Rauschen eines
Wasserfalls (d). (Grafik: Janosch Slama; siehe auch Abb. 14.52, S.
45, BB6).
A3 In welchen Alltagssituationen spielt die thermische
Bewegung von Atomen eine wichtige Rolle? Stichwort:
Haushalt!
A4 In Abb. 3 siehst du einen Militärjet beim Start. Hinter den Triebwerken siehst du das typische Flimmern
von heißer Luft. Einen ähnlichen Effekt kannst du über
einer heißen Straße sehen. Wie kommt dieser zu Stande? Welche Effekte sind daran beteiligt? Welche Rolle
spielt dabei die thermische Bewegung?
Abb. 1: Random-Walk mit Excel. Der Start erfolgte bei (0,0). Es
sind die ersten 150 Zufallsschritte eingezeichnet.
A2 a Was versteht man in der Akustik unter dem Begriff Rauschen? Was könnte „weißes Rauschen“ sein?
Dieser Begriff wurde in Anlehnung an weißes Licht
geprägt. Was ist der Unterschied zu einem Ton und
einem Klang? Erkläre mit Hilfe von Abb. 2.
2
b Superman kann angeblich alles hören! Überlege,
warum es aber auch für ihn eine untere Hörschwelle
geben muss. Eine Hilfe zu deinen Überlegungen sind
Abb. 3: Flimmernde Luft im Abgasstrahl eines Militärjets (Foto:
Matthias Kabel; Quelle: Wikipedia).
A5 Jedes Teilchen in einem System, das im Temperaturgleichgewicht steht, hat ungeachtet seiner Masse im
Schnitt dieselbe kinetische Energie (3/2)∙k∙T (siehe dazu
F23, Kap. 21.4, BB6). Dabei ist T die Temperatur in Kelvin. Thermisches Gleichgewicht bedeutet also, dass die
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Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung.
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
Energie aller Teilchen im Schnitt gleich groß ist (und
nicht die Geschwindigkeit).
a Leite eine Formel ab, die den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Teilchens in Abhängigkeit seiner Masse und der Temperatur beschreibt.
Dazu musst du die in A5 oben angegebene Gleichung
für die kinetische Energie mit der allgemeinen Gleichung Ekin = mv 2/2 gleichsetzen und nach v auflösen.
Welcher Zusammenhang besteht bei konstanter Masse zwischen der Geschwindigkeit eines Teilchens und
der Temperatur? Welcher Zusammenhang besteht bei
konstanter Temperatur zwischen der Geschwindigkeit
eines Teilchens und seiner Masse?
b Schätze die durchschnittliche Geschwindigkeit eines
N2-Moleküls bei 300 K (27 °C) mit Hilfe der gefundenen Gleichung aus A5 a ab. Gib vorher aber einen
Tipp ab. Die Boltzmann-Konstante k hat den Wert
1,38∙10–23 J/K (siehe Kap. 21.3), Stickstoff hat die relative Atommasse 14 u, und die Atommasse u beträgt
1,7∙10-27 kg.
c Um wie viel Prozent erhöht sich die kinetische Energie der Wassermoleküle, wenn man die Wäsche nicht
mit 60 °C, sondern mit 90 °C wäscht? Um wie viel
Prozent erhöht sich dabei die Geschwindigkeit?
d ROBERT BROWN hat
die nach ihm benannte Bewegung 1827 an
Pollenkörnern entdeckt (siehe Abb. 4).
Wie groß ist deren
Abb. 4 (Grafik: Janosch Sladurchschnittliche Bema; siehe auch Abb. 18,1,
Kap. 18,1, BB6)
wegungsgeschwindigkeit, wenn diese eine Masse von 10-12 kg besitzen und
in einem Wassertropfen mit 300 K dahinzittern?
e Warum weist der Mensch keine Brown’sche Bewegung auf? Müsste er nicht auch ständig hin und her
zittern? Argumentiere zunächst ohne Gleichung.
Überlege, welcher proportionale Zusammenhang zwischen v und m besteht. Der Mensch besteht aus etwa
1028 Atomen. Welches v ergibt sich dadurch im Ver-
gleich mit der thermischen Geschwindigkeit von Gasmolekülen? Erstelle dann ein Diagramm für 300 K, in
dem du auf der x-Achse die Masse und auf der y-Achse
die daraus resultierende Geschwindigkeit der Teilchen
aufträgst.
Temperatur
A6 Die folgende Frage klingt zwar blöd, ist aber sehr
schlau, und man kann sie ganz allgemein mit nur zwei
Worten beantworten: Welche Temperatur misst ein
Thermometer?
A7 GALILEO GALILEI wird zugeschrieben, im Jahr 1596 das erste Gerät
zur Temperaturmessung erfunden
zu haben. Das sogenannte Thermoskop (Abb. 5) besteht aus einem
luftgefüllten Glaskolben (A) mit angesetzter Glasröhre (B). Diese Röhre
taucht mit ihrem offenen Ende in ein
mit gefärbtem Wasser gefülltes Vorratsgefäß (C). Erwärmt sich die Luft
im Glaskolben, so dehnt sich diese
aus und drückt die Wassersäule in
der Glasröhre nach unten. Die Höhe
des Wasserpegels wird zur Temperaturanzeige herangezogen. Warum
eignet sich das Thermoskop aber
nicht, um die Temperatur exakt zu
messen, selbst wenn man es eichen
würde?
A8 GALILEO GALILEI stellte auch fest,
dass sich die Dichte von Flüssigkeiten mit der Temperatur ändert. Auf
diesem Prinzip sind die ihm zu Ehren
benannten Galileo-Thermometer
aufgebaut. Er hat diese aber niemals
selbst konstruiert. Wahrscheinlich
stammen sie aus der Mitte des 17.
Jahrhunderts. Sie bestehen aus einem mit einer Flüssigkeit gefüllten
Glaszylinder, in der mehrere Glaskörper schwimmen oder schweben.
Abb. 5: Schematische Darstellung
eines Thermoskops
nach GALILEI (Grafik:
Martin Apolin)
Abb. 6: Ein GalileoThermometer (Foto:
Bob Mc Nillen;
Quelle: Wikipedia)
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
An diesen befinden sich Schildchen mit Temperaturangaben. Die Temperatur wird an der untersten Kugel
der oberen Gruppe abgelesen, in unserem Fall also an
der zweiten Kugel von oben. Versuche qualitativ zu
erklären, wie dieses Thermometer funktioniert.
A9 Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Hilf dir
mit Abb. 7, versuche aber auch zusätzlich, physikalisch
zu begründen! Unter höherem Druck
ein. Wo wird die Gerade, die du durch diese Punkte
legst, die x-Achse schneiden? Überlege zuerst, bevor du
grafisch löst. Kann man das Gas tatsächlich so weit abkühlen, dass es das Volumen 0 bekommt?
Temperatur °C
0
25
50
70
98
h in cm
39
42,6
46
49
53
Tab. 1 zu A10 b
b) kocht Wasser bei höherer Temperatur und Eis
schmilzt ebenfalls bei einer höheren Temperatur.
b Die Gleichung einer Regressionsgeraden (Trendlinie),
die du in Excel durch die Daten legst (siehe Abb. 18 im
Anhang), hat die Form y = 0,1427x + 38,984. Berechne
den Schnittpunkt mit der x-Achse und vergleiche mit
deiner grafischen Lösung.
c) kocht Wasser bei tieferer Temperatur, aber Eis
schmilzt bei einer höheren Temperatur.
Wärme und spezifische Wärmekapazität
a) kocht Wasser bei tieferer Temperatur und Eis
schmilzt ebenfalls bei einer tieferen Temperatur.
d) kocht Wasser bei höherer Temperatur, aber Eis
schmilzt bei einer tieferen Temperatur.
Abb. 7: Phasen des
Wassers in Abhängigkeit von Temperatur
und Druck. Zur besseren Übersicht sind die
Achsen um den
Tripelpunkt sehr stark
gedehnt. Der Druck ist
relativ aufgetragen,
1 entspricht dem
Normaldruck (Grafik:
Janosch Slama; siehe
auch Abb. 20.12,
Kap. 20.3, BB6).
A10 Ein Gasthermometer (Abb. 8) besteht aus einem
Gefäß mit einem dünnen Glasrohr, in das ein bestimmtes Gasvolumen eingeschlossen ist, etwa durch
einen Quecksilbertropfen. Das Gasthermometer wird
nun in ein Glasgefäß mit Wasser gestellt, so dass das
Gas dessen Temperatur annimmt. Die Höhe des Tropfens ist ein Maß für die Temperatur.
A11 Durch Aufwärmen kann man seine Leistungsfähigkeit erhöhen. Eine Person mit 70 kg will durch Laufen
ihre Körperkerntemperatur um 2 °C erhöhen. Eine
Faustregel besagt, dass man beim Laufen pro Kilogramm Körpermasse und pro Kilometer 4,2 kJ an Energie umsetzt. Wie weit musst die Person mindestens laufen, damit sich ihre Temperatur um 2 °C erhöht? Nimm
dazu vereinfacht an, dass der Körper zu 100 % aus
Wasser besteht. Spielt die Masse eigentlich eine Rolle?
Wie lange kann die Körpertemperatur zunehmen?
A12 a Berechne, um wie viel Prozent die potenzielle
Energie absinkt, wenn sich ein Gemisch von Wasser und
Quecksilber entmischt (Abb. 9). Nimm als Nullniveau die
Standfläche an. Berechne dann die absolute Abnahme
der potenziellen Energie in Joule. Dazu musst du Volumen und Masse des Gefäßes abschätzen. Nimm die
Dichte von Quecksilber gerundet mit 14000 kg/m3 an.
Abb. 8: Schematische Darstellung der Funktion eines
Gasthermometers.
a In Tabelle 1 siehst du Messwerte bei verschiedenen
Temperaturen. Trage diese Werte in ein Diagramm
Abb. 9: Wasser und Quecksilber: links vermischt, rechts entmischt (siehe Abb. 5.27; Grafik: Janosch Slama).
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b Reicht die freiwerdende Energie aus, um das GeG
misch nennenswert zu erwärmen? Quecksilber hat eie
ne spezifische Wärmekapazität von 140 J/(kg∙K).
A13 Ein Mensch leistet auf Dauer etwa 100 W
(= 100 J pro Sekunde). Eine ökologisch bewusste PerPe
son möchte Strom sparen und Teewasser durch MusMu
kelleistung zum Kochen bringen. Wie lange müsste sie
auf einem Ergometer fahren, um einen Liter Wasser
von 15 °C zum Kochen zu bringen? Gib einen Tipp
ab, bevor du rechnest.
A14 Versuche qualitativ mit Hilfe des Teilchenmodells
zu erklären, wie durch Reibung Wärme entsteht.
entsteh
A15 Aus welcher Höhe muss ein Wassertropfen (im
luftleeren Raum) fallen, damit er sich beim Aufprall
um 1 °C erwärmt? Nimm dazu vereinfacht an, dass
die Wärme nur im Tropfen bleibt.
A16 Die Temperatur ist ja ein indirektes Maß für die
mittlere kinetische Energie der Teilchen, denn es gilt
Ek=(3/2)∙k∙T (siehe auch A5). Die spezifische Wärme ist
ein Maß dafür, wie viel Joule man in ein System stest
cken muss, um es um 1 °C zu erwärmen, also
c = Q/(m∙∆T). Weil Ekin ~ T gilt, ist die spezifische
Wärme aber auch ein Maß dafür, wie viel Joule man
in ein System stecken muss, um die kinetische Energie
der Teilchen um 1 J zu erhöhen. Wie ist es aber mögmö
lich, das du z. B. 1 Joule in ein System steckst, sich
aber die Wärme nur um 0,5 Joule erhöht? Wo bleibt
der Rest der Energie?
1. Hauptsatz der Wärmelehre,, Energiesatz
A17 Schätze ab, ob man sich von Licht ernähren
kann! Nimm dazu an, dass Lichtatmer in der Lage
sind, in der Haut Photosynthese ablaufen zu lassen.
Für deine Schätzung brauchst du die StrahlungsleisStrahlungslei
tung der Sonne, die am Boden ankommt (Abb. 10).
Nimm dafür eine günstige Gegend an. Weiters musst
du die Körperoberfläche des Menschen schätzen
schätz und
du benötigst den Wirkungsgrad
kungsgrad der Photosynthese,
Photosynthe
der etwa bei 1 % liegt.
Abb. 10:: Die Karte zeigt die durchschnittliche lokale SonneneinSonnenei
strahlung auf der Erdoberfläche (Abb. 37.20, BB7, S. 110).
A18 In Abb. 11 siehst
iehst du links eine Glühbirne mit einer
Leistung von 100 W, rechts den Delorean DMC aus
„Zurück in die Zukunft“ mit 100 kW. Einmal ist die Nettoleistung angegeben, einmal die Bruttoleistung. Was
könnte man unter diesen Begriffen verstehen und welwe
che Leistung
ng ist wie angegeben?
Abb. 11:: Links: Eine alte Glühbirne mit einer Leistung von 100 W
(Foto: KMJ; Quelle: de.wikipedia). Rechts: Der Delorean DMC-12
DMC
mit einer (leicht aufgerundeten) Leistung von 100 kW (Foto: Kevin Abato; Quelle: Wikipedia).
A19 a Die Leistung beim Gehen kann man physikalisch
recht gut abschätzen. Es ist nämlich so, dass bei jedem
Schritt der Körperschwerpunkt ein wenig gehoben
ge
wird
(Abb. 12). Man schaukelt also etwas auf und ab. NatürNatü
lich gibt es sehr unterschiedliche Gehstile, aber
abe gehe für
deine Überlegungen von einer Hebung um 3 cm aus.
Nimm eine Person mit 60 bzw. 80 kg an, schätze die
Schrittlänge mit 70 cm ab und nimm ein gemächliches
Tempo von 1 m/s (3,6 km/h) bzw. ein sehr zügiges
Tempo von 2 m/s an (7,2 km/h). Berechne mit diesen
Werte die Leistung beim Gehen.
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
c Rechne die bei b gefundene Zahl auf die Basis 10 um.
Es gilt 2x = 10log2∙x. Wie viele Nullen hat die Zahl? Kann
man sich diese Zahl vorstellen?
Abb. 12: Bei jedem Schritt wird der Körperschwerpunkt ein
wenig gehoben. Das verursacht den Großteil des EnergieaufEnergieau
wandes beim Gehen (Grafik: Janosch Slama).
b Überlege, ob es sich dabei um eine BruttoBrutto oder eine Nettoleistung handelt (A18).
A20 Du strampelst auf einem Fahrradergometer. Das
Display zeigt 100 W an. Wie viel leistest du gerade?
d Nimm an, du schreibst die Lösungszahl aus A22 c mit
allen Nullen auf. Ist das realistisch? Nimm an, du
schreibst 2 Nullen pro Zentimeter. Wie lange wäre die
Zahl? Wie lange würde das Licht von einem Ende der
Zahl zum anderen benötigen? Die Lichtgeschwindigkeit
c beträgt 3∙108 m/s.
e Wenn man nun die Teilchenzahl immer mehr erhöht
und die Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet, dann
ergibt sich eine so genannte Gauß’sche Glockenkurve –
benannt nach dem „Fürst der Mathematiker“, Carl
Friedrich Gauß. Interpretiere Abb. 14.
2. Hauptsatz der Wärmelehre,, Entropie
A21 a Du hast eine Box mit vier Gasteilchen. NummeNumm
riere diese Teilchen von 1 bis 4 durch. Erstelle eine TaT
belle, in der du alle Möglichkeiten der Verteilung linkslinks
rechts einträgst. Tab. 2 zeigt den Anfang davon.
davon Bei
wie viel Prozent der Beobachtungen wird das Gas
gleichmäßig verteilt sein? Bei wie viel Prozent der BeB
obachtungen wird sich das Gas ausschließlich links beb
finden?
Teilchen
1
2
3
4
links:rechts
Möglichkeiten
links
links
links
links
4:0
1
Tab. 2: Ein
in Teil der Möglichkeiten der Verteilung von 4 Teilchen
in zwei Hälften. Vervollständige diese Tabelle.
b Du hast eine mit Luft
gefüllte Box mit 0 °C unter normalem Druck. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich alle
Moleküle in der linken
Hälfte befinden. Ein Mol
Luft hat bei diesen Bedingungen ein Volumen
von 22,4 l. Ein Mol hat
immer 6∙1024 Teilchen.
Abb. 14:: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen in Abb. 13.
Die Flächen unter den Kurven sind gleich (Grafik: Martin Apolin).
A22 Begründe, dass Schaum
m - etwa von einer Limonade, einem Bier oder einem Schaumbad in einer Badewanne - eine kleinere Entropie hat als die Flüssigkeit,
zu der er sich dann wieder umwandelt.
umwan
A23 Welche der folgenden Aussagen formuliert den 2.
Hauptsatz der Wärmelehre?
a Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges ErE
gebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper
niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
ist
b Es gibt keine Zustandsänderung, deren einzige ErE
gebnisse das Abkühlen eines Körpers ist.
Abb. 13 (Grafik: Janosch
Jan
Slama)
c In einem geschlossenen System kann die Entropie
nicht abnehmen, sie nimmt in der Regel zu. Nur bei rer
versiblen Prozessen bleibt sie konstant.
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
d Es gibt kein Perpetuum Mobile der 2. Art, also keine
Maschine, die Arbeit aus der Umgebungswärme gewinnen kann, ohne dass ein negatives Temperaturgefälle notwendig wäre.
A24 Alle Lebewesen können im Laufe ihres Lebens ihre Entropie konstant halten. Anders gesagt: Der Körper bleibt in Ordnung, er kann sich sogar selbständig
reparieren. Widerspricht das aber eigentlich nicht dem
2. HS der Wärmelehre? Müsste nicht der Körper demnach den größten Zustand der Unordnung einnehmen?
Hilfe zu A1: Um Zufallszahlen zu erzeugen, benötigst
du die Excel-Funktionen „Zufallszahl“. Um einen Random-Walk zu generieren, programmierst du nun sowohl für die x- als auch für die y-Variable:
Zufallszahl()*2-1.
Damit erhältst du eine Zahl zwischen -1 und +1. Diese
neue Zahl musst du zur Zahl in der Zelle darüber addieren (siehe Abb. 15). Dann kopierst du diese Zelle
ganz einfach so oft untereinander wie du willst. Wenn
du die x- und y-Werte nun in einem Diagramm darstellst, wirst du ein Ergebnis erhalten, das ähnlich aussieht wie Abb. 1 (S. 1).
schiedliche Intensität. Daher hat man den Eindruck einer „Tonhöhe“ Beim weißen Rauschen haben alle Frequenzen dieselbe Intensität, ähnlich, wie sich weißes
Licht aus allen Farben gleicher Intensität zusammensetzt. Daher hat man in diesem Fall nicht den Eindruck
einer „Tonhöhe“.
Hilfe zu A2 b: Auf das Trommelfell prallen pausenlos
Myriaden von Luftteilchen und es zittert daher immer auch bei völliger Schall-Stille. Könnten wir noch besser
hören, so könnten wir diese Brown’sche Bewegung des
eigenen Trommelfells hören. Es wäre ein weißes Rauschen, weil alle Frequenzen gleich stark vertreten sind.
Leisere Geräusche würden untergehen. Daher ist die
Untergrenze unseres Hörvermögens durch die
Brown’sche Bewegung beschränkt. Im Übrigen liegt unsere Hörschwelle tatsächlich nur knapp über diesem
theoretischen Wert. Deshalb kann auch Superman
kaum besser hören als wir.
Hilfe zu A3: Wäsche wird in heißem Wasser auf Grund
der höheren thermischen Bewegung der Wassermoleküle sauberer, Zucker, Salz und andere Stoffe lösen sich
in heißem Wasser besser auf.
Hilfe zu A4: Luftflimmern entsteht durch Brechung,
Streuung, Beugung und Reflexion an den Grenzen von
sich bewegenden Luftschichten mit unterschiedlicher
optischer Dichte, die oft temperaturbedingt ist. Abb. 16
zeigt schematisch, wie solche optischen Störungen
durch unterschiedliche Brechung einer Welle erfolgen.
Man kann zwar die thermische Bewegung selbst nicht
sehen. Aber das Flimmern wird unter anderem dadurch
hervorgerufen, dass sich die Luftteilchen sehr schnell
bewegen, sich wärmere und kältere Luft ständig neu
durchmischen und dadurch ein sich schnell veränderndes Muster erzeugen.
Abb. 15: So wird der Random-Walk in Excel erstellt. In der Zelle
D3 wird hier exemplarisch eine neue Zufallszahl erzeugt, die
zur Zelle darüber (D2) addiert wird.
Hilfe zu A2 a: Töne bestehen aus einer einzigen Frequenz und können nur elektronisch erzeugt werden.
Klänge bestehen aus der Überlagerung mehrerer oder
vieler einzelner Töne. Die Höhe des Klanges hängt
vom Grundton ab, sein Gesamteindruck (quasi das
„Timbre des Klanges“) von den Obertönen. Rauschen
beinhaltet alle Frequenzen, diese haben aber unter-
Abb. 16 (Quelle: Max-Planck-Institut für Astronomie)
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
K
K
= = KK =
K
1,044. Die Erhöhung der Geschwindigkeit beträgt also
bloß 4 %. Wie stark erhöht sich die kinetische Energie? Weil Ekin = mv 2/2 ~ v 2 ist, erhöht sich diese um
den Faktor 1,0442 ≈ 1,09, entspricht also 9 %. Zur
Probe mit der anderen Formel gerechnet: =
~. Daraus folgt Ekin2/Ekin1 = T2/T1 = 1,09. Obwohl
sich die Energie der Wassermoleküle also nur um 9 %
erhöht, ist das Waschergebnis bei Kochwäsche doch
überzeugend besser.
Hilfe zu A5 d: Nach = hat das Pollenkorn eine
durchschnittliche Geschwindigkeit von 1,1∙10-4 m/s,
also rund 0,1 mm/s. Das ist unter dem Mikroskop natürlich zu merken.
Hilfe zu A5 e: Es gilt ~1/√ (siehe A5 a). Weil der
Mensch über den Daumen um den Faktor 1028 mehr
Atome hat als ein Gasmolekül, ergibt sich für ihn eine
thermische Geschwindigkeit, die um den Faktor 1014
kleiner ist. In Abb. 17 siehst du den Zusammenhang
zwischen der thermischen Geschwindigkeit bei 300 K
und der Masse exakt berechnet und in einer doppelt
logarithmischen Darstellung. Gasteilchen haben Massen in der Größenordnung von 10-26 kg, der Mensch
etwa 102 kg. Der Massenunterschied beträgt daher 28
Größenordnungen und der Geschwindigkeitsunterschied somit etwa 14 Größenordnungen. Während
Gasmoleküle Geschwindigkeiten in der Größe von 103
m/s besitzen, hat der Mensch bloß 10-11 m/s. Es besitzt
100
1
1E-06
1E-08
1E-10
1E-12
1E-14
1E-16
1E-18
1E-20
Hilfe zu A5 b: Die Masse eines Stickstoff-Moleküls
(N2) ist 2∙14∙1,7∙10-27 kg = 47,6∙10-27 kg. Wenn man
alle bekannten Werte in die Gleichung oben einsetzt,
erhält man für die Geschwindigkeit eines Stickstoffmoleküls bei 300 K (27 °C) 511 m/s, das entspricht also etwa der 1,5-fachen Schallgeschwindigkeit. Weil
diese Bewegung vollkommen zufällig und nicht gerichtet ist, ist sie nicht zu bemerken.
Hilfe zu A5 c: Es gilt nach A5 a:
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
0,000001
0,0000001
1E-08
1E-09
1E-10
1E-11
. Daraus folgen ei-
0,01
. Durch Auf-
1E-22
1E-24
nerseits ~√ und ~1/√.
=
also tatsächlich eine thermische Geschwindigkeit, aber
diese ist einfach nicht zu merken.
1E-26
lösen nach v erhält man = durchschnittliche thermische
Geschwindigkeit [m/s]
Formeln gleichsetzt, erhält man
0,0001
Hilfe zu A5 a: Wenn man die beiden angegebenen
Masse [kg]
Abb. 17
Hilfe zu A6: Seine eigene! Das Thermometer misst
immer seine eigene Temperatur! Wenn es längere Zeit
in Kontakt mit einem Objekt steht, befindet es sich mit
diesem im thermischen Gleichgewicht und misst dadurch auch dessen Temperatur.
Hilfe zu A7: Selbst wenn sich die Temperatur nicht ändert, bringt eine Erhöhung oder ein Absinken des Luftdruckes den Pegel der Wassersäule zum Steigen bzw.
Fallen. Das Thermoskop ist im Prinzip eine Mischung
aus Thermometer und Barometer, also kein reines Temperaturmessgerät.
Hilfe zu A8: Die Flüssigkeit im Glaszylinder reagiert auf
Temperaturänderung mit Dichteveränderung: Steigt die
Temperatur, verringert sich die Dichte der Flüssigkeit.
Die Glaskugeln verändern zwar ebenfalls ihr Volumen,
aber deutlich geringer (etwa um den Faktor 10). Wenn
das nicht so wäre, würden sich die Effekte ja aufheben.
Somit nimmt aber der Auftrieb der Glaskörper bei Temperaturerhöhung ab. Schwebende Glaskörper sinken
herab, schwimmende Glaskörper beginnen zu schweben. Umgekehrt geschieht dies bei Temperaturabnahme. Jede Glaskugel, die aus der Produktion unterschiedliche Masse bzw. Volumen besitzt, wird über ein angehängtes Gewicht genau kalibriert.
Hilfe zu A9: Die richtige Antwort ist d: Unter höherem
Druck kocht Wasser bei höherer Temperatur und Eis
schmilzt bei einer tieferen Temperatur. Im Diagramm in
Abb. 6 kannst du das daran erkennen, dass vom Tripel-
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
punkt ausgehend mit zunehmendem Druck die Siedetemperatur steigt, aber die Schmelztemperatur sinkt.
Aber warum ist das so? Das Volumen des Eises nimmt
ab, wenn es zu Wasser schmilzt. Höherer Druck hilft
bei der Verdichtung und senkt daher den Schmelzpunkt. Das Volumen des Wassers steigt jedoch, wenn
es zu Dampf wird. Höherer Druck verhindert daher die
Ausdehnung, und die Siedetemperatur steigt.
Hilfe zu A10 a: Bei gleichem Druck ist V ~ T. Das Volumen eines (idealen) Gases ist proportional zu seiner
absoluten Temperatur (siehe Abb. 18).. Das nennt man
das Gesetz von Charles. (Anm.: In manchen Büchern
heißt es auch Gesetz von Gay-Lussac;; siehe auch
Kap. 21.2.1, BB6). Die Gerade wird die x-Achse
Achse daher
beim absoluten Nullpunkt schneiden. Kann man das
Gas tatsächlich so weit abkühlen, dass es das VoluVol
men 0 bekommt? Nein! Es wird vorher flüssig oder
fest und wenn nicht, dann werden die Moleküle einei
ander beeinflussen. Der wichtige Gedanke ist jedoch
der, dass sich bei Zimmertemperatur alle Gase so verve
halten, als wenn ihr Volumen bei 0 K verschwinden
würde.
Abb. 18
Hilfe zu A10 b: x = 38,984/0,1427 = 273,189. Das
kommt dem tatsächlichen Wert des absoluten NullNul
punkts schon sehr nahe.
Hilfe zu A11: Wenn wir vereinfacht annehmen, dass
die Person zu 100 % aus Wasser besteht, dann lautet
die Frage so: Wie viel Energie benötigt man, um 70 l
Wasser um 2 °C zu erwärmen? Es gilt: Q = c∙m∙∆t. Die
spezifische Wärmekapazität c von Wasser beträgt
4190 J/(kg∙K),, also rund 4,2 kJ/(kg∙K). Um 70 l Wasser
um 2 °C zu erwärmen, sind daher 4,2∙70∙2 kJ = 588 kJ
notwendig. Eine Person mit 70 kg setzt laut der Faustregel pro Kilometer 70∙4,2 kJ = 294 kJ um. Diese Energie wird letztendlich zu 100 % in Wärme umgewanumgewa
delt. Diee nötige Abwärme ist daher nach 2 km erreicht.
Spielt die Masse eine Rolle? Nein, weil wenn die Person
schwerer ist, dann muss sie zwar mehr Masse aufheiaufhe
zen, setzt dafür aber pro Kilometer mehr Energie um.
Das gleicht sich genau aus. Steigt die Körpertemperatur
Körpertempe
linear an? Nein, weil wenn sie über 43 °C steigen würde, wäre das tödlich. Wenn die Temperatur ansteigt,
regelt der Körper dagegen. Er erhöht die HauttemperaHauttemper
tur und fängt zu schwitzen an. Durch beide MaßnahMaßna
men wird vermehrt Wärme abgegeben.
ab
Hilfe zu A12 a: Weil der KSP von 5 auf 2,8 cm absinkt
(2,2 cm), nimmt die potenzielle Energie der FlüssigkeiFlüssigke
ten um 100∙(2,2/5) % = 44 % ab.
Das zylindrische Gefäß ist 10 cm hoch und hat einen
geschätzten Durchmesser von 5 cm. Der Radius der
Grundfläche ist daher 2,5 cm. Das Volumen des ZylinZyli
2
-4
3
ders ist somit Vzyl = Ah = r πh ≈ 2∙10 m . Die Hälfte
dieses Volumens entfällt auf Wasser, die andere auf
Quecksilber. Die Flüssigkeit hat daher eine Masse von
1,5 kg (1000 kg/m3∙10-4 m3 + 14000 kg/m3∙10-4 m3 =
0,1 kg + 1,4 kg).. Wenn der KSP durch das Entmischen
um 2,2 cm sinkt, sinkt die potenzielle Energie um ∆Ep =
mgh = 0,32 J.
Hilfe zu A12 b: Wasser hat eine spezifische WärmekaWärmek
pazität von etwa 4200 J/(kg∙K). Man braucht also rund
30-mal
mal so viel Energie als bei Quecksilber, um einen Liter Wasser um 1 °C zu erwärmen. Rechnen wir daher
für eine grobe Abschätzung nur mit dem Wasser. Das
Volumen des Wassers macht die Hälfte aus, also 10-4 m3
und seine Masse ist somit 0,1 kg. Q = c∙m∙∆T und daher gilt ∆ = ! = 7,6 ∙ 10%&K.
Diese Temperaturänderung ist nicht zu merken.
Hilfe zu A13: Die benötigte Energiemenge, um 1 l
Wasser von 15 °C auf 100 °C zu erwärmen, beträgt Q
= c∙m∙∆T = 4190∙1∙85 J ≈ 3,6∙
6∙105 J. Wenn die Person
100 J pro Sekunde am Ergometer leistet, dann muss sie
demnach 3,6∙105 J/100 J∙s-1 = 3600 Sekunden lang
fahren. Mit anderen Worten: Um bloß einen Liter Wasser zum Kochen zu bringen, müsste sie eine ganze
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
Stunde am Ergometer schwitzen! Weil natürlich die
Wärme auch an die Umgebung abgegeben wird,
steigt die Zeit noch weiter an.
Hilfe zu A14: Reibung tritt deshalb auf, weil sich die
Moleküle und Atome an den unebenen Flächen der
sich berührenden Gegenstände salopp gesagt verhaken. Es spielt auch die Elektrostatik eine Rolle. Wenn
der Gegenstand weiter geschoben wird, verformen
sich die kleinen Unebenheiten, bis die Kraft so groß
wird, dass sie sich lösen und zurückspringen. Dadurch
beginnen aber die Teilchen an den Grenzflächen stärker zu schwingen – Wärme ist erzeugt worden.
Hilfe zu A15: Beim Fallen wird die Energie Ep = m∙g∙h
frei. Die Energie, um den Tropfen um 1 °C zu erwärmen, beträgt Q = c∙m∙∆T. Wenn man das gleichsetzt,
kann man durch m kürzen und nach h auflösen: h =
(c∙∆T )/g. Du siehst also, dass die Höhe von der Masse
unabhängig ist. Wenn man für ∆T 1 °C einsetzt und
für g 10 m/s2, dann erhält man 419 m!
Hilfe zu A16: Moleküle können nicht nur Translations-, sondern auch Rotationsenergie haben. Außerdem können auch ihre Bestandteile, Atome, Ionen
oder sogar Elektronen gegeneinander schwingen. Jede solche unabhängige Bewegungsmöglichkeit nennt
man einen Freiheitsgrad. Die Anzahl der Freiheitsgrade
hängt vom Aufbau der Moleküle ab. Für die Temperatur spielt aber nur die Translation eine Rolle, nicht die
Rotation. Daher kann die zugeführte Energie in der
Rotation quasi „versickern“ und wird nicht als Temperatur bemerkbar.
Hilfe zu A17: Abb. 9 zeigt, dass die durchschnittliche
Sonneneinstrahlung maximal 300 W/m2 beträgt. Die
Hautoberfläche eines Menschen liegt zwischen 1,5
und 2 m2. Nehmen wir großzügig den höchsten Wert
an. Die Sonne kann aber immer nur eine Seite bestrahlen, also 1 m2. Unter günstigsten Bedingungen
wird daher der Mensch durchschnittlich mit 300 W
bestrahlt. Der Wirkungsgrad bei der Photosynthese
beträgt aber nur rund 1 %. Daher kann der Mensch
nur 3 W = 3 J/s an Energie aufnehmen. Der Tag hat
86.400 s. Der Mensch kann daher rund 260.000 J
oder 260 kJ durch „Lichtatmung“ aufnehmen. Der
Tagesbedarf liegt aber bei etwa 10.000 kJ. Lichtatmung ist daher unmöglich!
Hilfe zu A18: Bei der Glühbirne ist die Bruttoleistung
angegeben. 100 W oder 100 J/s ist die Energie, die tatsächlich in der Glühbirne umgesetzt wird und die vom
elektrischen Strom kommt. Der Wirkungsgrad einer
Glühbirne beträgt nur 5 % (siehe BB5, Tab. 9.2, S. 96).
Die Nettoleistung, also die Lichtabgabe, ist bei einer
100 W-Birne daher nur 5 W. Eine herkömmliche Glühbirne ist also vor allem eine Heizung. Beim De Lorean ist
aber, wie bei jedem anderen Auto, die Nettoleistung
angegeben, also das, was er tatsächlich über die Räder
auf die Straße bringt. Weil der Wirkungsgrad bei einem
Motor um 25 % liegt, ist die tatsächliche Leistung, also
die Bruttoleistung des Motors, etwa viermal so groß
und liegt beim De Lorean daher bei 400 kW (543 PS).
Hilfe zu A19 a: Die Formel für Hebeenergie bzw. Hebearbeit lautet: Ep = WH = m·g·h. Weiters ist Leistung
Arbeit pro Zeit. Die Leistung beim Gehen ist daher He(
+,
bearbeit pro Schrittdauer oder ' = *) = * . Ge-
schwindigkeit ist Weg pro Zeit oder v = s/t. Der Weg ist
in diesem Fall die Schrittlänge, die Zeit die Schrittdauer.
Die Schrittdauer t ist daher Schrittlänge s durch Gehgeschwindigkeit v. Das ergibt in die Formel eingesetzt:
'=
+,
.
=
+,
.
/
Wenn du nun die bekannten Werte
einsetzt, erhältst du die Leistungen, die in Tabelle 3 eingetragen sind.
1 m/s
2 m/s
60 kg
25 W
50 W
80 kg
34 W
67 W
Tab. 3: Gerundete Netto-Leistungen beim Gehen.
Hilfe zu A19 b: Die berechnete Leistung ist eine Nettoleistung. Um auf die Bruttoleistung zu kommen - also
auf das, was der Körper innen drinnen wirklich an
Energie umsetzen muss – ist auch der Wirkungsgrad zu
berücksichtigen. Wenn man diesen mit 20 % annimmt,
ergibt sich dann für die Bruttoleistung folgendes:
1 m/s
2 m/s
60 kg
126 W
252 W
80 kg
168 W
336 W
Tab. 4: Gerundete Brutto-Leistungen beim Gehen.
Hilfe zu A20: Natürlich liegt einem auf der Zunge, dass
man 100 W leistet. Aber das wäre doch zu einfach gewesen?! Um die Frage zu beantworten, musst du dir
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
vorher noch einmal den Begriff Wirkungsgrad in Erinnerung rufen. Du siehst, dass dieser bei Dauerleistungen beim Menschen bei 15 bis 25 % liegt. Das bedeutet umgekehrt, dass 75 bis 85 % der umgesetzten
chemischen Energie sofort in Form von Wärme verloren gehen. Das Ergometer zeigt die abgegebene mechanische Leistung, also die Nettoleistung (siehe A18).
Dein Körper muss aber innen drinnen 75 bis 85 %
mehr leisten, damit unterm Strich 100 W rauskommen. Die Antwort ist daher, dass du tatsächlich etwa
400 bis 670 W leistest, wenn 100 W angezeigt werden.
Hilfe zu A21 a: In Tab. 5 siehst du alle 16 Möglichkeiten, wie sich 4 Gasteilchen auf die beiden Hälften
aufteilen können. In 6 von16 Fällen (das entspricht
37,5 %) ist das Gas gleichverteilt. Bei rund jeder dritten Beobachtung wirst du also diesen Zustand feststellen. Aber nur bei jeder 16. Beobachtung (entspricht
6,25 %) werden sich alle Teilchen links befinden.
Teilchen
4
links:rechts
Möglichkeiten
links
links
4:0
1
links
rechts
links
rechts
links
links
rechts
links
links
3:1
4
rechts
links
links
links
links
links
rechts
rechts
links
rechts
links
rechts
links
rechts
rechts
links
rechts
links
links
rechts
2:2
6
rechts
links
rechts
links
rechts
rechts
links
links
links
rechts
rechts
rechts
rechts
links
rechts
rechts
rechts
rechts
links
rechts
1:3
4
rechts
rechts
rechts
links
rechts
rechts
rechts
rechts
0:4
1
1
2
3
links
links
links
links
links
Tab. 5: Alle 16 Möglichkeiten, wie sich ein Gas mit vier Teilchen auf die zwei Hälften einer Box aufteilen kann.
Hilfe zu A21 b: 1 Liter hat ein Volumen von 1 dm3. In
der Box befinden sich daher 2 Liter Luft. 1 Mol Luft
hat ein Volumen von 22,4 l. Daher befinden sich in
der Box 2 Liter/22,4 Liter/Mol = 8,9∙10-2 Mol und somit 6.1024 Mol-1∙8,9∙10-2 Mol = 5,4∙1023 Teilchen. Die
Wahrscheinlichkeit, dass sich alle Teilchen in der linken
23
Hälfte befinden, ist daher 1 zu 25,4∙10 .
Hilfe zu A21 c: Es gilt 2x = 10log2∙x. Die Wahrscheinlich23
keit beträgt daher 1:101,6∙10 . Die Zahl hat also mehr als
1023 oder 100 Trilliarden Nullen. Diese Zahl ist absolut
nicht vorzustellen!
Hilfe zu A21 d: Wenn du jede Sekunde eine Null
schreibst, dann brauchst du 1,6∙1023 Sekunden. Ein Jahr
hat 60∙60∙24∙365 s = 3,1∙107 s. 1,6∙1023 s entsprechen
daher etwa 5∙1015 Jahren. So lange würdest du schreiben. Das Universum ist grad mal schlappe
1,37∙1010 Jahre alt. Ab hier wird also das Beispiel einigermaßen hypothetisch.
Deine Zahl hat 1,6∙1023 Nullen. Wenn du sie mit 2 Nullen pro Zentimeter aufschreibst, hat sie eine Länge von
rund 1023 cm oder 1021 m. Allgemein gilt v = s /t und
daher t = s /v. Die Zeit, die das Licht braucht, um die
Länge dieser Zahl zu durchfliegen, ist daher
1021 m/(3∙108 m/s) = 3,3∙1012 s. Ein Jahr hat 3,1∙107 s
(siehe oben). Das Licht ist daher rund 100000 Jahre unterwegs. Das ist sehr beeindruckend!
Hilfe zu A21 e: Je mehr Teilchen man in einer Box hat,
desto geringer wird die Wahrscheinlichkeit, dass diese
ungleichmäßig verteilt sind. Der extreme Fall, dass alle
Teilchen in einer Hälfte sind, sinkt dann praktisch auf
null ab. Aber auch starke Schwankungen haben bei
sehr großen Teilchenzahlen eine verschwindend kleine
Chance, weil dann die Kurve sehr schmal und hoch ist.
Kurz: Je mehr Teilchen, desto gleichmäßiger werden
sich diese verteilen, wenn sie sich selbst überlassen sind,
und Abweichungen vom Gleichgewicht werden immer
unwahrscheinlicher. Das Gas nimmt also den Zustand
ein, der am wahrscheinlichsten ist.
Hilfe zu A22: Die heuristische Erklärung, also die mit
Hausverstand ist die: Wenn man wartet, wird aus dem
Schaum wieder von selbst Flüssigkeit. Weil die Entropie
von selbst immer einem Maximum zustrebt, muss deshalb die Flüssigkeit den Zustand der größeren Entropie
bzw. Unordnung haben. Aber warum ist das so?
Schaum besteht aus hohlen Bläschen, quasi aus Kugelschalen. Die Teilchen, aus denen der Schaum besteht,
befinden sich nur in diesen Kugelschalen, aber nicht im
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 18 Grundlagen zur Thermodynamik
Inneren. Schaum weist daher eine größere Ordnung
auf und somit eine kleinere Entropie als die Flüssigkeit.
letztlich nach draußen fließt und den Rest des Universums in Unordnung bringt (siehe Abb. 19).
Hilfe zu A23: Alle Aussagen beschreiben den 2.
Hauptsatz der Wärmelehre.
a Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper
niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
Kommentar: Würde Wärme von selbst von einem
Körper niedrigerer Temperatur auf einen mit höherer
übergehen, wäre nachher die Ordnung größer und die
Entropie kleiner. Das ist aber nach dem 2. HS ausgeschlossen.
b Es gibt keine Zustandsänderung, deren einzige Ergebnisse das Abkühlen eines Körpers ist.
Kommentar: Es ist im Prinzip ähnlich wie bei a – die
Entropie würde dann nämlich sinken.
Abb. 19: Mechanismus, auf dem jedes Leben basiert. In den Körper muss Energie fließen, die benötigt wird, um den niedrigen
Grad an Entropie aufrecht zu halten. Der 2. Hauptsatz der Wärmelehre verlangt zwingend, dass bei diesem Vorgang Wärme frei
wird (Grafik: Janosch Slama).
c In einem geschlossenen System kann die Entropie
nicht abnehmen, sie nimmt in der Regel zu. Nur bei
reversiblen Prozessen bleibt sie konstant.
Kommentar: Das ist quasi die Standarddefinition des
2. HS.
d Es gibt kein Perpetuum Mobile der 2. Art, also eine
Maschine, die Arbeit aus der Umgebungswärme gewinnen kann, ohne dass ein negatives Temperaturgefälle notwendig wäre.
Kommentar: Kein negatives Temperaturgefälle bedeutet, dass alles gleich warm ist. Wenn eine solche
Maschine der Umgebung Wärme entzieht, würde sie
kälter als die Umgebung werden. Es liegt dann derselbe Fall vor wie bei b.
Hilfe zu A24: Der österreichische Quanten-Physiker
und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger argumentierte in einem Buch 1944 sinngemäß folgendermaßen:
Was ist aus Sicht der Physik Leben? Alle Lebewesen
nehmen Energie zu sich. Durch die Freisetzung dieser
Energie im Inneren kann die Entropie des Organismus
auf konstantem Niveau gehalten werden. Daher können wir uns, zumindest bis zu unserem Tod, gegen
den Zerfall wehren. Weil aber die Unordnung im Großen gesehen immer zunimmt, muss während unseres
Lebens die Entropie irgendwo außerhalb unseres Körpers steigen. Der zweite Hauptsatz der Wärmelehre
verlangt daher zwingend, dass Wärme entsteht, die
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