Didaktik der Arithmetik

Sylvia Prinz
WS 2008/09
Didaktik der Arithmetik
Übung 8: Stellenwertsysteme II
Abgabe: 3.12.08 (vor d. VL)
Schriftliche Hausaufgabe
8.1
Zahl und Zahlwort
a) Untersuchen Sie die folgenden Aussagen darauf, ob sie Eigenschaften der Zahl oder des
Zahlwortes, d.h. der Folge der Ziffern in einem Stellenwertsystem sind:
(1) x ist fünfstellig
(2) x ist gerade
(3) x ist genau dann gerade, wenn die letzte Ziffer gerade ist
(4) x hat die Quersumme 5
(5) 121 ist immer eine Quadratzahl
(6) x ist ein Vielfaches von 3
b) Vergleichen Sie jeweils die beiden angegebenen Zahlen. Welche ist größer?
(1) 1234518 und 482118
(2) 121212127 und 121212128
(3) 1221223 und 1229
(4) 200010 und 89912
(jeweils mit kurzer Erläuterung)
8.2
Rechnen im b-adischen Stellenwertsystem
a) Notieren Sie die Zahl 178 in den Basen zwei bis zwölf.
b) Rechnen Sie schriftlich im Sechsersystem:
(i) 23456 + 31026
(ii) 230156 • 1436
(iii) 13516 - 2226
(iv) 121246 : 56
c) In welchem Stellenwertsystem ist die Aufgabe jeweils richtig gelöst?
Gibt es mehrere Lösungen?
(3) 2b ⋅10b = 20b
(1) 15b + 2b = 20b
(2) 31b – 2b = 24b
(4) 200b : 10b = 20b
8.3
Teilbarkeitsregeln
Bei den Ihnen bekannten Teilbarkeitsregeln für das Dezimalsystem spielen je nach Teiler die
Endstelle eine Rolle oder mehrere letzte Stellen oder die Quersumme der Zahl bzw. deren
alternierende Quersumme. (vgl.Blatt7)
Bei Wechsel der Basis kann für gleich bleibenden Teiler der Typ der Teilbarkeitsregel
wechseln.
Ein Beispiel für eine Endstellenregel im Sechsersystem ist die folgende:
Eine natürliche Zahl a, geschrieben im Sechsersystem, ist genau dann durch 3 teilbar, wenn
ihre letzte Ziffer durch 3 teilbar ist.
a) Beweisen Sie diese Regel.
b) Begründen Sie deren Gültigkeit durch geeignete Operationen mit Plättchen in einer
Stellenwerttafel.
c) Geben Sie für jede der drei oben genannten Typen von Teilbarkeitsregeln geeignete Teiler
an, auf die diese anzuwenden sind und zwar nacheinander für die Basis 7,
die Basis 9 und die Basis12.
8.4
Zahlenrätsel
Von einer natürlichen Zahl x wird gefordert, dass sie die folgenden Bedingungen erfüllt:
(1) Die Zahl x hat im Dualsystem genau zehn Stellen.
(2) Schreibt man x im Dreiersystem, so steht an der zweiten Stelle (wie üblich von
links gezählt) die Ziffer 1.
(3) Schreibt man x im Vierersystem, so steht an der zweiten Stelle die Ziffer 0.
(4) Die Zahl x hat im Fünfersystem geschrieben genau vier Stellen.
(5) Schreibt man x im Dezimalsystem, so steht an der letzten Stelle die Ziffer 2.
Ermitteln Sie die Zahl x. Gibt es mehrere Lösungen?
Mündliche Vorbereitung
8.5 Kartentrick
Erstellen Sie für ein Ratespiel folgende vier Karten
1
3
5
7
9
11
13
15
2
3
6
7
10
11
14
15
4
5
6
7
12
13
14
15
8
9
10
11
12
13
14
15
Lassen Sie Ihren Spielpartner sich eine Zahl zwischen 1 und 15 merken.
Durch Nennung allein der Karten, auf denen diese Zahl steht, können Sie ihm unmittelbar die
gemerkte Zahl nennen.
a) Wie gehen Sie vor?
b) Wieso funktioniert Ihre Strategie stets?
c) Wie lässt sich dieses Spiel für größere Zahl verändern?