Lineare und Nichtlineare Optimierung 1. ¨Ubungsblatt

Prof. Dr. M. Gerdts
J. Michael
Institut für Mathematik und Rechneranwendung
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik
Herbsttrimester 2013
Lineare und Nichtlineare Optimierung
1. Übungsblatt
Aufgabe 1 : (Aufstellen eines LP)
Drei Gase sollen so gemischt werden, daß das Mischgas möglichst billig wird, sowie einen Heizwert zwischen 1700 und 2000 kcal/m3 und einen Schwefelgehalt von höchstens 2.8 g/m3 besitzt.
Heizwert, Schwefelgehalt und Preis der einzelnen Gase können nachfolgender Tabelle entnommen werden.
Gas
1
2
3
Heizwert [kcal/m3 ]
1000
2000
1500
Schwefelgehalt [g/m3 ]
6
2
3
Preis [Euro]
10
25
20
Formulieren Sie das entsprechende Optimierungsproblem.
Hinweis: Heizwert und Schwefelgehalt des Mischgases setzen sich additiv aus den Anteilen der
gewählten Gase zusammen.
Aufgabe 2 : (Aufstellen und Lösen eines LP)
Ein landwirtschaftlicher Betrieb möchte Kühe und Schafe kaufen und besitzt Stallungen für
50 Kühe und 200 Schafe. Außerdem verfügt er über 72 Morgen Weideland und 10000 Arbeitsstunden jährlich. Eine Kuh benötigt 1 Morgen, ein Schaf 0.2 Morgen Weideland. Für eine Kuh
sind jährlich 150 Arbeitsstunden, für ein Schaf sind jährlich 25 Arbeitsstunden erforderlich. Der
jährliche Gewinn pro Kuh beträgt 250 Euro, der jährliche Gewinn pro Schaf beträgt 45 Euro.
(a) Stellen Sie das zugehörige lineare Optimierungsproblem zur Maximierung des Gewinns
auf.
(b) Skizzieren Sie den zulässigen Bereich und bestimmen Sie grafisch eine Lösung des Problems.
Aufgabe 3 : (Aufstellen und Lösen eines NLP)
Bei der Herstellung von Konserven werden für Boden und Deckel bzw. für den Konservenmantel
verschiedene Materialien verwendet, die c1 = 2 bzw. c2 = 4 Geldeinheiten pro Flächeneinheit
kosten. Zu einem vorgegebenen Volumen V = 10 soll eine passende Konserve hergestellt werden, die möglichst billig ist. Formulieren Sie die Aufgabe als nichtlineares Optimierungsproblem,
plotten Sie die Zielfunktion und bestimmen Sie die Lösung.
Aufgabe 4 : (Ausgleichsrechnung)
Aus einem Messversuch wurden folgende Daten erhalten:
ti −1
1 2
yi −1.3 1.7 6
Dabei wird angenommen, dass die Funktion, die den Messversuch beschreibt von folgender
Form ist:
a)
x1 + x2 t = y(t)
b)
x1 t + x2 t3 = y(t)
Formulieren Sie das dazu gehörende kleinste Quadrate Problem, d.h. bestimmen Sie x =
(x1 , x2 )> , so dass
1
kAx − bk2 → min
2
Skizzieren Sie die Lösungen.
Aufgabe 5 : (Graphisches Lösen von LPs)
Lösen Sie folgende Probleme graphisch.
a)
Maximiere x + y
unter der Nebenbedingung x2 + y 2 ≥ 4x + 4y − 5.75
0.5x + y > 1
b)
Maximiere 5x2 − 10y
unter der Nebenbedingung y + 2x > x2 + 3
y + x ≤ −3
c)
Maximiere x
unter der Nebenbedingung − 1 ≤ x ≤ 2
−1≤y ≤2
Programmieraufgabe 1 : (Lösen von LP mit Matlab/Scilab)
Lineare Optimierungsprobleme können mit den folgenden Programmen gelöst werden:
• MATLAB stellt den Befehl lp (bzw. linprog bei neueren MATLAB-Versionen) zur Lösung von
linearen Optimierungsaufgaben zur Verfügung, siehe auch die Online-Hilfe zur genauen
Handhabung des Befehls.
• Das kostenlose Programm SCILAB kann unter http://www.scilab.org heruntergeladen
werden. SCILAB stellt den Befehl linpro zur Lösung von linearen Optimierungsaufgaben
zur Verfügung, siehe auch die Online-Hilfe zur genauen Handhabung des Befehls.
Machen Sie sich mit einem der Programme vertraut und lösen sie das folgende lineare Optimierungsproblem (oder auch solche aus den übrigen Aufgaben):
Maximiere
250x1 + 45x2
unter den Nebenbedingungen x1 ≤ 50,
x2 ≤ 200,
x1 + 0.2x2 ≤ 72,
150x1 + 25x2 ≤ 10000,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.