Wellen und Dipolstrahlung

Wellen und Dipolstrahlung Lösungen
Florian Hrubesch
18. März 2010
1 Multiple Choice Aufgaben
1.1 Polarisation von Wellen, Kreuzen Sie die richtigen Aussagen
an
Es handelt sich um elektromagnetische Wellen im Vakuum.
• Die Wellen sind transversal.
◦ Das E und das B Feld sind nicht in Phase.
◦ Der Poynting Vektor ist antiparallel zum Wellenvektor.
• E,B und Wellenvektor stehen senkrecht aufeinander
1.2 Mit welcher Ordnung fällt der Poyntingvektor der
Dipolstrahlung ab?
~∝r
◦ S
~ ∝ 13
◦ S
r
~∝
◦ S
1
r
~∝
• S
1
r2
2 Wellengleichung im Vakuum
Leiten Sie aus den Maxwellgleichungen im Vakuum die Wellengleichung her.
Hinweis: Benutzen Sie die folgende Vektoridentität:
~ ·A
~ −∇
~ 2A
~
~ ×A
~ =∇
~ ∇
~ × ∇
∇
(1)
1
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten:
~ ·E
~ =0
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×B
~ = µ0 0 ∂ E
∇
∂t
(2)
(3)
Wir wenden jetzt die Rotation auf 3 an:
~
~ × ∇
~ ×E
~ = −∇
~ × ∂B
∇
∂t
∂
~ ∇
~ ·E
~ −∇
~ 2E
~ =−
~ ×B
~
∇
∇
∂t | {z }
| {z }
(4)
(5)
~
~ E=0
~
∇·
E
=µ0 0 ∂∂t
2~
~ 2E
~ = µ0 0 ∂ E
∇
∂t2
(6)
3 Proportionalität der Amplituden des E- und B-Feldes
Leiten Sie aus den Maxwellgleichungen in Materie (Nichtleiter!) die Bedingung für die Proportionalität der E- und B-Felder für ebene Wellen her.
Die Proportionalität folgt aus der Gleichung:
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
(7)
Mit dem Ansatz für planare Ebene Wellen:
~ = E0 ei(kz−ωt)~ex
E
(8)
erhält man:
~
∂B
~ × ~ex ei(kz−ωt)
= E0 ∇
∂t
~
∂B
−
= ikE0 ei(kz−ωt)~ey
∂t
Z
~ = −ikE0~ey ei(kz−ωt) = k E0~ey ei(kz−ωt)
B
ω
−
(9)
(10)
(11)
4 Strahlungsdruck der Sonne auf die Erde
Gehen Sie davon aus, dass die Erde alle auf Sie einfallende Strahlung absorW
biert. Die Intensität der Auf der Erde eintreffende Strahlung is in etwa 1300 m
2
Florian Hrubesch
2
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Welchen Druck übt das einfallende Sonnenlicht aus? Vergleichen sie diesen
Druck mit dem Atmosphärendruck.
Aus der Vorlesung:
P =
W
1300 m
I
2
≈ 4.3 · 10−6 P a
=
8
c
3.0 · 10 ms
(12)
Der Atmosphärendruck beträgt 1000hP a. Der Druck den das Licht ausübt ist
also verschwindend gering.
5 Senkrechter Einfall von Wellen auf einen Leiter
Die allgemeinen Randbedingungen beim Übergang von einem Medium in das
nächste sind:
~ ⊥ − 2 E
~ ⊥ = σf
1 E
1
2
~⊥ − B
~⊥ = 0
B
1
2
~ 1k − E
~ 1k = 0
E
1 ~k
1 ~k
~ f × n̂
B1 − B
=K
µ1
µ2 2
(13)
(14)
~ f und
Mit der freien Oberflächenladung σf , dem freien Oberflächenstrom K
der Normale auf die Grenzfläche n̂. Betrachten sie nun eine vom Vakuum
senkrecht auf eine Leiter mit Leitfähigkeit σ fallende Elektromagnetische Welle.
a) Stellen Sie E und B Feld der einfallenden, reflektierten und transmitierten Welle auf.
~ e0 ei(ke z−ωt)
~ e (z, t) = E
~ e0 ei(ke z−ωt)
~ e (z, t) = ke ~ez × E
(15)
E
B
ω
−ke i(−ke z−ωt)
~
~
~
~
(16)
~ez × Er0 ei(−ke z−ωt)
Er (z, t) = Er0 e
Be (z, t) =
ω
~ t (z, t) = E
~ t0 ei(k̃t z−ωt)
~ t (z, t) = k̃t ~ez × E
~ t0 ei(k̃t z−ωt)
E
B
(17)
ω
b) Zeigen Sie dass keine Oberflächenladungen existieren. Hinweis: EMWellen sind transversal.
Bei transversalen Wellen ist das E-Feld parallel zur Ausbreitungsrichtung 0. Aus der Randbedingung für das senkrechte E-Feld Folgt also:
~ 1⊥ − 2 E
~ 2⊥ = 0
σf = 1 E
(18)
c) Ausgehend davon, dass keine Oberflächenströme existieren, leiten Sie
die Amplituden der reflektierten und transmitierten Wellen her.
Florian Hrubesch
3
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Wir starten mit den Randbedingungen:
1 ~k
1 ~k
B1 − B
=0
µ1
µ2 2
~ 1k − E
~ 2k = 0
E
(19)
Und erhalten:
Ee0 + Er0 = Et0
k̃t
ke
(Ee0 − Er0 ) =
Et0
µ1 ω
µ2 ω
k̃t µ1
Ee0 − Er0 =
Et0 = β̃Et0
ke µ2
!
1 − β̃
Er0 =
Ee0
1 + β̃
2
Et0 =
Ee0
1 + β̃
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
d) Um genauer aussagen zu können, was tatsächlich bei der Reflektion an
Leitern passiert, muss man die Wellenzahl k̃ im Leiter kennen. Setzen
sie dazu die Lösung für Wellen in Leitern in die Wellengleichung im Leiter ein. Gehen sie nur bis zur Bestimmungsgleichung für k̃ 2 vor. Wie
wäre ab hier das weitere vorgehen?
Zunächst die Wellengleichung und deren Lösung im Leiter (Nur E-Feld):
2~
~
~ 2E
~ − µ ∂ E − µσ ∂ E = 0
∇
∂t2
∂t
~
~ 0 ei(k̃z−ωt)
E(z, t) = E
(25)
(26)
Einsetzen liefert:
~ 2E
~ = −k̃ 2 E
~ 0 ei(k̃z−ωt)
∇
~
∂E
~ 0 ei(k̃z−ωt)
= −iω E
∂t
~
∂ 2E
~ 0 ei(k̃z−ωt)
= −ω 2 E
∂t2
k̃ 2 = µω 2 + iµσω
(27)
(28)
(29)
(30)
Um an k̃ = k+iκ zu gelangen quadriert man k̃ und erhält durch Vergleich
der rellen und imaginären Anteile Bestimmungsgleichungen für k und
κ
Florian Hrubesch
4
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
e) Die Lösungen für k̃ = k + iκ lauten:
! 12
σ 2
k=ω
1+
+1
ω
! 12
r
r
σ 2
µ
1+
−1
κ=ω
2
ω
r
µ
2
r
(31)
(32)
Was passiert, wenn die Leitfähigkeit des Leiters gegen unendlich geht?
Was können sie über Phase der einfallenden und transmitierten Welle
sagen?
Wenn σ gegen unendlich geht, geht k̃ gegen unendlich und somit auch
β̃. Für die reflektierte und transmitierte Amplitude gilt also mit 23 und
24:
Er0 = −Ee0
Et0 = 0
(33)
6 Polarisation der transmitierten und reflektierten
Welle in Abhängigkeit der einfallenden Welle
In der Vorlesung wird davon Ausgegangen, dass einfallende, reflektierte und
transmitierte Welle alle gleich Polarisiert sind. Zeigen Sie, dass dies so sein
muss. Hinweis: Setzen Sie die Polarisation der reflektierten und der transmitierten Welle einer Senkrecht entlang der z-Achse einfallenden, in x-Richtung
polarisierten Welle wie folgt an:
~nt = cos θt~ex + sin θt~ey
~nr = cos θr~ex + sin θr~ey
(34)
(35)
Aus den Randbedingungen im Vakuum erhalten wir die folgenden Bestimmungsgleichungen:
Ee0~ex + Er0~nr = Et0~nt
Ee0~ey − Er0 (~e×~nr ) = βEt0 (~ez × ~nt )
(36)
(37)
Die y-Komponente von Gleichung 36 ergibt:
Er0 sin θr = Et0 sin θt
Florian Hrubesch
(38)
5
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Während die x-Komponente von Gleichung 37 ergibt:
Er0 sin θr = −βEt0 sin θt
(39)
Beide Gleichungen können gleichzeitig nur für θr = θt = 0 erfüllt werden.
Damit ist die reflektierte und die transmitierte Welle genauso polarisierte wie
die einfallende Welle.
7 Brechung von Wellen mit beliebigem Einfallswinkel
Eine Welle aus Medium 1 trifft unter dem Winkel θ zur Flächennormale auf
Medium 2. Die Grenzfläche sei die x-y Ebene. Das elektrische Feld sei parallel
zur Einfallsebene polarisiert. Die Einfallsebene sei O.b.d.A die x-z Ebene.
a) Stellen Sie die Amplituden der transmitierten und der reflektierten Welle
durch die der einfallenden Welle dar. Hinweis: Randbedingungen! Hincos θt
weis 2: Führen Sie α = cos
und β = µµ21 cc21 ein.
θe
Die Wellenfunktionen der einfallenden, refleketierten und transmitierten Wellen sind:
~ e (~r, t)
~ e (~r, t) = E
~ e0 ei(~ke ·~r−ωt)
~ e (~r, t) = 1 ~eke × E
(40)
E
B
c1
1
i(~kr ·~
r−ωt)
~
~
~
~
Er (~r, t) = Er0 e
Br (~r, t) =
~ekr × Er (~r, t)
(41)
c1
~ t (~r, t) = E
~ t0 ei(~kt ·~r−ωt)
~ t (~r, t) = 1 ~ekt × E
~ t (~r, t)
E
B
(42)
c2
Aus der Vorlesung wissen wir, dass die komplexen Exponentialfunktionen alle gleich sind. Die Randbedingung liefern uns also:
~ e0 + E
~ r0 = 2 E
~ t0
1 E
(43)
z
z
~ e0 + B
~ r0 = B
~ t0
B
(44)
z
z
~ e0 + E
~ r0
~ t0
E
= E
(45)
x,y
x,y
1 ~ 1 ~
~
Be0 + Br0
=
Bt0
(46)
µ1
µ2
x,y
x,y
Die B-Felder haben keinen z-Anteil, Gleichung 44 liefert also keine Informationen. Die Gleichung 43 wird zu:
1 (Ee0 sin θe − Er0 sin θr ) = 2 (Et0 sin θt )
Florian Hrubesch
(47)
6
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Aus Gleichung 45 folgt:
Ee0 cos θe + Er0 cos θe = Et0 cos θt
(48)
Und Gleichung 46 liefert (B-Felder alle in y-Richtung und parallel zur
Mediengrenze)
1
1
(Ee0 − Er0 ) =
Et0
µ 1 c1
µ2 c2
Nun führen wir α =
cos θt
cos θe
und β =
µ1 c1
µ2 c2
(49)
ein und erhalten:
Ee0 − Er0 = βEt0
Ee0 + Er0 = αEt0
(50)
(51)
Das so entstehende Gleichungssystem können wir wieder nach der reflektierten und der transmitierten Amplitude lösen:
α−β
Er0 =
Ee0
(52)
α+β
2
Ee0
(53)
Et0 =
α+β
b) Es gibt einen Einfallswinkel, bei dem keine reflektierte Welle existiert
(Er = 0). Stellen Sie diesen Winkel durch die Brechungsindizes und β
dar.
Damit es keine reflektierte Welle gibt, muss die Amplitude der reflektierten Welle verschwinden. Dies ist der Fall für α = β.
cos θt
cos θe
cos2 θt
cos2 θe
1 − sin2 θt
2
n1
1−
sin2 θe
n2
=β
(54)
= β2
(55)
= β 2 − β 2 sin2 θe
(56)
= β 2 − β 2 sin2 θe
(57)
1 − β2
sin2 θe = 2
n1
− β2
n2
Florian Hrubesch
(58)
7
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
8 elektrische Dipolstrahlung
a) Ausgehend von dem retardierten elektrischen Potential (Gleichung 66)
aus der Vorlesung. Führen Sie der Reihe nach die angegebenen Näherungen durch und entwickeln sie die betreffenden Ausdrücke jeweils in
erster Ordnung um schließlich auf Gleichung 67 zu kommen.
Wir starten mit:

Φ(~r, t) =
q0 
4π0
cos ω t −
|~
r−a~ez |
c
|~r − a~ez |
cos ω t −
−
|~
r+a~ez |
c
|~r + a~ez |

(59)

Der Ausdruck, den wir entwickeln können ist:
1
|~r ± a~ez | =
q
p
2a
a2 2
2
2
(~r ± a~ez ) = ~r ± a~r · ~ez + a = r 1 ±
cos θ + 2
r
r
2
(60)
Nun setzen wir Näherung 1 (a << r) an:
1
1
(1 + x)n = 1 + nx + (n − 1)nx2 + (n − 2)(n − 1)nx3 + O(x4 )
2
6
(61)
Wir wollen die Näherung in 1. Ordnung betrachten. Wir erhalten also:
a
|~r ± a~ez | ≈ r 1 ± cos θ
(62)
r
1
1
a
≈
1 ∓ cos θ
(63)
|~r ± a~ez |
r
r
Und für die einzelnen Terme des Potentials:
a
±q0
r ωa
(1 ± cos θ) cos ω t −
±
cos θ
r
c
c
|r {z }
(64)
O(1/r2 )
±q0
r ωa
cos ω t −
±
cos θ
r
c
c
(65)
In Gleichung 64 wurde im Endeffekt schon die dritte Näherung eingebaut. Man kann den Ausdruck auch stehen lassen und zum Schluss
nähern. Mit den Additionstheoremen für cosinus:
ωa
ωa
±q0 r r cos ω t −
cos
sin
cos θ ∓ sin ω t −
cos θ
(66)
r
c
c
c
c
Florian Hrubesch
8
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Nun setzen wir die zweite Näherung (a <<
entsprechenden cos und sin:
±q0 r cos ω t −
∓ sin ω t −
r
c
c
)
ω
an und entwickeln die
r ωa
cos θ
c
c
Eingesetzt in das retardierte Potential erhält man:
−2q0 ωa cos θ
r V (r, θ, t) =
sin ω t −
4π0 c
r
c
r
−p0 ω cos θ
sin ω t −
=
4π0 c
r
c
(67)
(68)
(69)
b) Berechnen Sie ausgehend von den Potentialen für das Strahlungsfeld
die zugehörigen elektrischen und magnetischen Felder. Berechnen Sie
damit den Poynting Vektor. Beschreiben Sie die Abstrahlcharakteristik
des Dipols.
~ = ∂V ~er + 1 ∂V ~eθ
∇V
(70)
∂r r ∂θ
−p0 ω
1
r ω
r sin θ
r =
cos θ − 2 sin ω t −
− cos ω t −
~er − 2 sin ω t −
~eθ
4π0 c
r
c
rc
c
r
c
(71)
Mit Näherung 3 kann man den 1. und den 3. Term vernachlässigen:
r p0 ω 2 cos θ
~
cos
ω
t
−
(72)
∇V ≈
4π0 c2
r
c
~
∂A
µ0 p0 ω 2
r =−
cos ω t −
(cos θ~er − sin θ~eθ )
(73)
∂t
4πr
c
~
∂A
µ0 p0 ω 2 sin θ
r ~
~
E = −∇V −
=−
~eθ
(74)
cos ω t −
∂t
4π
r
c
Für das B-Feld müssen wir noch die Rotation von A berechnen:
∂
∂A
1
r
~ ×A
~=
(rAθ ) −
~eφ
∇
r ∂r
∂θ
µ0 p0 ω 2 ω
r sin θ
r =−
sin θ cos ω t −
+
sin ω t −
4πr
c
c
r
c
Florian Hrubesch
(75)
(76)
9
W ELLEN
UND
D IPOLSTRAHLUNG
Der zweite Term fällt wieder durch Näherung 3 weg und wir erhalten:
2
sin
θ
r µ
p
ω
0
0
~ =−
cos ω t −
~eφ
(77)
B
4πc
r
c
Der Poynting Vektor ist nun:
2
µ p ω 2 sin θ 1
r
0
0
~=
~ ×B
~ =
S
cos ω t −
E
~er
µ0
c
4π
r
c
(78)
Der Dipol strahlt am stärksten für θ = 0 und überhaupt nicht für θ =
π/2.
c) Berechnen Sie mit Hilfe des Poynting Vektors (Gleichung 72) die vom
Dipol in den gesamten Raum abgestrahlte Leistung.
Wir müssen zunächst den Poynting Vektor über die Zeit Mitteln:
D E µ p2 ω 4 sin2 θ
0 0
~ =
~er
S
32π 2 c
r2
Z D E
2 4
~ · d~a = µ0 p0 ω
P =
S
12πc
Florian Hrubesch
(79)
(80)
10