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Körper
Stefan Ruzika
Mathematisches Institut
Universität Koblenz-Landau
Campus Koblenz
24. April 2016
Stefan Ruzika
§2: Körper
24. April 2016
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Gliederung1
1
Schulstoff
2
Körper
Definition eines Körpers
Beispiele von Körpern
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Polynome
Der Fundamentalsatz der Algebra
1 In diesem Kapitel behandeln wir nur das Notwendigste. Eine detailliertere Einführung in die
Theorie der Körper bieten z. B. die Vorlesungen Grundlagen der Mathematik C“ oder Diskrete
”
”
algebraische Strukturen“
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Erinnerung: Die reellen Zahlen R
Hier: keine formale Einführung der reellen Zahlen (
struktur-mathematischer Sicht:
Analysis), aber ein Blick aus
Auf den reellen Zahlen R gibt es zwei Verknüpfungen: Addition und eine Multiplikation:
+ : R × R → R,
· : R × R → R,
(a, b) 7→ a + b und
(a, b) 7→ a · b
Für diese Verknüpfungen gelten die folgenden Rechenregeln:
1
∀a, b, c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)
2
∀a ∈ R : 0 + a = a
3
∀a ∈ R ∃(−a) ∈ R : (−a) + a = 0
4
∀a, b ∈ R : a + b = b + a
5
∀a, b, c ∈ R \ {0} : (a · b) · c = a · (b · c)
6
∀a ∈ R \ {0} : 1 · a = a
7
∀a ∈ R \ {0} ∃a−1 ∈ R : (a−1 ) · a = 1
8
∀a, b ∈ R \ {0} : a · b = b · a
9
∀a, b, c ∈ R : a · (b + c) = a · b + a · c
Distributivgesetz I
10
∀a, b, c ∈ R : (a + b) · c = a · c + b · c
Distributivgesetz I
Stefan Ruzika
Assoziativgesetz der Addition
Neutrales Element der Addition
Inverse Elemente der Addition
Kommutativgesetz der Addition
Assoziativgesetz der Multiplikation
Neutrales Element der Multiplikation
Inverse Elemente der Multiplikation
Kommutativgesetz der Multiplikation
§2: Körper
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Körper
Verallgemeinerung
Achtung: Großer Abstraktionssprung!!!
Alle Mengen zusammen mit zwei Verknüpfungen, die diese Rechenregeln erfüllen,
sollen fortan Körper heißen.
Das muss man erst mal verdauen!
Alle Mengen!
Die Verknüpfungen sind beliebig!
Wichtig ist nur, dass diese 10 strukturellen Eigenschaften erfüllt werden!
Großes Ziel: Studiere ALLE solche Gebilde/Strukturen auf einmal und triff
Aussagen, die für ALLE diese Strukturen gelten (und nicht nur für die reellen oder
rationalen Zahlen).
Eine wahnsinnig cool Idee! Wer sich das überlegt hat, hätte den Nobelpreis
verdient . . . wenn’s den denn für Mathematiker gäbe . . .
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Körper
Definition: Körper
Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen
+ : K × K → K,
· : K × K → K,
(a, b) 7→ a + b und
(a, b) 7→ a · b
heißt Körper, wenn gilt:
1
K zusammen mit der Addition + ist eine abelsche Gruppe, d.h. es gilt
I
I
I
I
2
...
3
...
∀a, b, c ∈ K : (a + b) + c = a + (b + c)
∃0 ∈ K ∀a ∈ K : 0 + a = a
∀a ∈ K ∃(−a) ∈ K : (−a) + a = 0
∀a, b ∈ K : a + b = b + a
Stefan Ruzika
§2: Körper
Assoziativgesetz
Neutrales Element
Inverse Elemente
Kommutativgesetz
der
der
der
der
Addition
Addition
Addition
Addition
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Körper
Körper
Definition: Körper
Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen
+ : K × K → K,
· : K × K → K,
(a, b) 7→ a + b und
(a, b) 7→ a · b
heißt Körper, wenn gilt:
1
2
...
Für alle a, b ∈ K ∗ := K \ {0} gilt a · b ∈ K ∗ und K ∗ mit der Multiplikation ·
ist eine abelsche Gruppe, d. h.
I
I
I
I
3
∀a, b, c ∈ K ∗ : (a · b) · c = a · (b · c)
∃1 ∈ K ∗ ∀a ∈ K : 1 · a = a
∀a ∈ K ∗ ∃(a−1 ) ∈ K ∗ : (a−1 ) · a = 1
∀a, b ∈ K ∗ : a · b = b · a
Assoziativgesetz
Neutrales Element
Inverse Elemente
Kommutativgesetz
der
der
der
der
Multiplikation
Multiplikation
Multiplikation
Multiplikation
...
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Definition eines Körpers
Körper
Definition: Körper
Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen
+ : K × K → K,
· : K × K → K,
(a, b) 7→ a + b und
(a, b) 7→ a · b
heißt Körper, wenn gilt:
1
...
2
...
3
Es gelten die Distributivgesetze, d. h für alle a, b, c ∈ K gilt:
a · (b + c) = a · b + a · c
Stefan Ruzika
und
§2: Körper
(a + b) · c = a · c + b · c
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Körper
Definition eines Körpers
Einfache Eigenschaften
Satz 1
Sei K ein Körper und seien a, b, x, x̄ ∈ K beliebig. Dann gilt:
a) 1 6= 0
b) 0 · a = a · 0 = 0
c) a · b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
d) a(−b) = −(ab) und (−a)(−b) = ab
e) x · a = x̄ · a und a 6= 0 ⇒ x = x̄
Beweis
siehe Tafel
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Beispiele von Körpern
Beispiele
Beispiel 2
F2 = ({0, 1}, +, ·) mit den Verknüpfungen
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
ist ein endlicher Körpera .
aF
steht für field; Verbindung zu den Vorlesungen DAS bzw. Modul 4: F2 = Z/2Z
Beispiel 3
a) (Q, +, ·) ist ein Körper.
b) (R, +, ·) ist ein Körper.
c) Man überlege sich, warum (Z, +, ·) kein Körper ist.
d) (C, +, ·) ist ein Körper, den wir jetzt kennenlernen werden.
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen
Definition 4
Der Körper der komplexen Zahlen C ist definiert durch:
{(a, b) : a, b ∈ R}, +, ·
wobei die Verknüpfungen + und · definiert sind durch:
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Beispiel 5
a) (1, 2) + (3, 4) = (4, 6)
b) (1, 2) · (3, 4) = (1 · 3 − 2 · 4, 1 · 4 + 2 · 3) = (−5, 10)
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Real- und Imaginärteil
Bemerkung 5.1
Sei z = (a, b) ∈ C. Die Notation (a, b) heißt Paarschreibweise.
a = Re(z) Realteil von z
b = Im(z) Imaginärteil von z
Es gilt:
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
(a, 0) · (c, 0) = (a · c, 0)
R ⊂ C, d.h. C ist Erweiterung von R
Beachte: Anordnungaxiome gelten in C nicht mehr!
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Geometrische Interpretation der Addition
Im(z)
Beispiel 6
(3, 1) + (1, 2) = (4, 3)
i
1
Stefan Ruzika
Re(z)
§2: Körper
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Summenschreibweise a + bi
Rechne:
(0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
Definition 7
Die Zahl i := (0, 1) nennen wir imaginäre Einheit.
Rechne:
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi
Paarschreibweise
Summenschreibweise
Beispiel 8
(2 − 3i)(3 − 4i)
6 − 8i − 9i + 12i 2
6
17
2 − 3i
=
=
=− − i
2
2
3 + 4i
(3 + 4i)(3 − 4i)
3 +4
25 25
Stefan Ruzika
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Der Betrag |z| und seine geometrische Interpretation
Definition 9
Sei z = (a, b) = a + bi ∈ C. Der Betrag von z ist definiert als:
p
|z| := a2 + b 2
Im(z)
Beispiel 10
i
|z
+
√ 16
|=
1
a
Stefan Ruzika
9=
5
(4,3)
Sei z = (4, 3).
p
|z| = a2 + b 2
√
= 16 + 9
b
Re(z)
§2: Körper
=5
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Polarkoordinaten
Im(z)
Beobachtung 11
z
Zahl z = (a, b) eindeutig
bestimmt durch
|z |
1
b
i
2
ϕ
1
Stefan Ruzika
a
Re(z)
§2: Körper
Betrag |z|
( Abstand“)
”
Argument ϕ
( Drehwinkel“)
”
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Polarkoordinaten
Beobachtung 12
Es gilt:
a = |z| cos ϕ
Im(z)
z
|z
Beobachtung 13
Jeder komplexen Zahl a + bi 6= 0 kann
man durch
|
b
i
a
= cos ϕ,
|z|
ϕ
1
a
b = |z| sin ϕ
Re(z)
b
= sin ϕ
|z|
einen Winkel ϕ ∈ [0, 2π[ eindeutig
zuordnen.
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Polarkoordinaten
Definition 14
Sei 0 6= z ∈ C. Das Paar (|z|, ϕ) nennt man die Polarkoordinaten von z.
Zur Umrechnung von bzw. in Polarkoordinaten (a 6= 0):
p
a = |z| cos ϕ
|z| = a2 + b 2
b
b = |z| sin ϕ
tan ϕ =
a
Merke:
z = (a, b) = a + i b = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|e i ϕ
Stefan Ruzika
§2: Körper
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Geometrische Interpretation der Multiplikation
Euler:
z = |z| · (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = |z| · e i ϕ
Im(z)
Beobachtung 15
Es gilt:
z1 · z2 = |z1 | · |z2 |e i (ϕ1 +ϕ2 )
Beispiel 16
2
135
195
◦
3
◦ 2
◦
60
Re(z)
3
Stefan Ruzika
§2: Körper
Sei:
π
z1 = 32 · e i 3 , z2 = 2 · e i
Dann ist:
π
3π
z1 · z2 = 32 · 2 · e i ( 3 + 4 )
13π
= 3 · e i 12
3π
4
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Körper
Ein spezieller Körper: C – die komplexen Zahlen
Konjugiert komplexe Zahl
Definition 17
Sei z = a + bi ∈ C. Dann heißt die Zahl
z = a − bi ∈ C
die zu z konjugiert komplexe Zahl.
Satz 18
Es gelten folgende Rechenregeln für x, y ∈ C, x = a + bi:
i) x + y = x + y
ii) x · y = x · y
iii) x ∈ R ⇔ x = x
iv) x · x = a2 + b 2 und damit:
Stefan Ruzika
√
x ·x =
√
a2 + b 2 = |x|
§2: Körper
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Körper
Polynome
Polynome
Im Folgenden sei K Körper und t eine Variable.
Definition 19 (Polynom)
Ein Polynom p mit Koeffizienten a0 , . . . , an ∈ K , an 6= 0 ist ein Ausdruck der
Gestalt:
p(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + . . . + an t n .
Mit K [t] bezeichnen wir die Menge all solcher Polynome mit Koeffizienten in K .
Sind alle Koeffizienten ai = 0, dann nennt man das Polynom Nullpolynom.
Definition 20 (Grad eines Polynoms)
Der Grad von p ist definiert als
(
−∞
deg p :=
max{i ∈ N : ai 6= 0}
Stefan Ruzika
§2: Körper
falls p = 0
.
sonst
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Körper
Der Fundamentalsatz der Algebra
Der Fundamentalsatz der Algebra
Die wichtigste Existenzaussage für Nullstellen von Polynomen macht der folgende
Satz 21 (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes Polynom p ∈ C[t] mit deg p > 0 hat mindestens eine Nullstelle.
Dieser Satz wurde von Carl Friedrich Gauß erstmals 1799 bewiesen. Es gibt sehr
viele Beweise für diesen Satz, die aber alle Hilfsmittel aus der Analysis oder
anderen Bereichen benutzen. Wir wollen daher auf einen Beweis im Rahmen der
Vorlesung verzichten.
Theorem 22
Jedes Polynom p ∈ R[t] mit deg p ≥ 1 gestattet eine Zerlegung
p = a · (t − λ1 ) · . . . · (t − λr ) · g1 · . . . · gm ,
wobei a, λ1 , . . . , λr reell sind, a 6= 0 und g1 , . . . , gm ∈ R[t] normierte Polynome
vom Grad 2 ohne reelle Nullstellen sind.
Stefan Ruzika
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