AP 1998 - Schule Brugg

Abschlussprüfungen an den Bezirksschulen des Kantons Aargau
1998, 1. Serie
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Bestimmungen:
• Jede richtig gelöste Aufgabe wird mit 2 Punkten bewertet.
• Der Lösungsweg muss bei jeder Aufgabe eindeutig ersichtlich sein.
• Berechnungen (Berechnungsterme, algebraische Ausdrücke, Operatordarstellungen), Überlegungsfiguren etc.
gehören auf das abzugebende Blatt. Berechnungen, Überlegungsfiguren etc. auf Notizpapier werden nicht
bewertet.
• Resultate sind sinnvoll zu runden.
• Einheiten bei Resultaten müssen angegeben werden.
• Konstruktionen sind vollständig durchzuführen (z.B. Tangentenkonstruktion mit Berührungspunkten) und kurz zu
beschreiben.
• Falsche Lösungsansätze und ungültige Ergebnisse müssen deutlich als solche gekennzeichnet werden.
• Jede Aufgabe ist mit ihrer Nummer zu versehen. Die Aufgaben dürfen in beliebiger Reihenfolge gelöst werden.
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1.
Vereinfache so weit als möglich:
x2 − y 2
x − y
:
xy
x2
a)
3a2 + 1
2(a + 1)
−
2
a − a
a − 1
b)
2.
a) Löse folgende Gleichung nach x auf:
4
3
7
−
=
x + 1
2x − 2
4x + 4
b) Welche ganzen Zahlen erfüllen gleichzeitig folgende Ungleichungen?
3(x − 3) > 4(x − 3)
3.
und
8 − 30x ≤ 90 − 8x
a) In einer Kirchenbank sitzen mehrere Schülerinnen; jeder stehen 56 cm Platz zur Verfügung. Kämen noch
zwei Schülerinnen hinzu, so wären es nur noch 49 cm. Wie viele sitzen in der Bank?
b) In einem Getriebe greifen zwei Zahnräder ineinander. Eines der beiden hat 48 Zähne und macht 900
Umdrehungen pro Minute. Wie viele Zähne muss das zweite haben, damit es 1‘200 Umdrehungen pro Minute
macht?
4.
Im Bazar von Istambul wird um einen Ledermantel gefeilscht. Der Händler verlangt einen Preis von Fr. 590.-,
während der Käufer nur Fr. 410.- bietet. Die beiden einigen sich so, dass der Händler den Preis um gleich viele
Prozente senkt, wie der Käufer sein Angebot erhöht. Zu welchem Preis wechselt der Mantel seinen Besitzer?
5.
Ein Fabrikant konnte im Jahr 1992 von einem bestimmten Gerät 65 % der Produktion exportieren. Im Jahre 1997
exportierte er nur noch 45 % der Produktion. Weil diese aber um 80 % höher war als 1992, wurden 1997 trotzdem
920 Geräte mehr exportiert. Berechne die Jahresproduktion von 1992.
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1
Abschlussprüfungen an den Bezirksschulen des Kantons Aargau
1998, 1. Serie
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6.
Gegeben ist die Gerade g = AB mit A (2 | 7), B (6 | -2) und h = CD mit C (-3 | 0), D (7 | 4). Konstruiere alle Punkte, von
denen aus die Strecke AD unter einem Winkel von 70° erscheint und von g und h gleichen Abstand haben.
7.
a) Ein senkrechtes Prisma, dessen Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln s = 8 cm und
der Basis b = 10 cm ist, hat die Höhe h = 25 cm. Berechne das Volumen des Prismas auf cm3 genau.
b) Die Höhe eines Zylinders misst 15 cm, sein Rauminhalt 955 cm3 . Berechne die Oberfläche des Zylinders auf
cm2 genau.
8.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit der Seitenhalbierenden sa = 7,2 cm, dem Umkreisradius r = 5,0 cm und dem
Winkel BAC = 35°.
9.
Eine Uhr zeigt 15 Uhr. Nach wie vielen Minuten und Sekunden werden der Minuten- und der Stundenzeiger zum
ersten Mal übereinander stehen?
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2
Abschlussprüfungen an den Bezirksschulen des Kantons Aargau
1998, 1. Serie
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Lösungen: G = Grundmenge, D = Definitionsbereich, HN = Hauptnenner
x2 − y 2
x − y
(x + y)(x − y)
x2
x (x + y)
:
=
⋅
=
2
xy
xy
(x
−
y)
y
x
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1a.
1b.
3a 2 + 1
2 (a + 1)
−
=
2
a − 1
a − a
3a 2 + 1 − 2a 2 − 2a
a2 − 2a + 1
(a − 1)2
a − 1
=
=
=
a (a − 1)
a (a − 1)
a (a − 1)
a
HN = a (a - 1)
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2a.
4
3
7
−
=
x + 1 2x − 2
4x + 4
4 ⋅ 4( x − 1) − 3 ⋅ 2 ( x + 1) = 7( x − 1)
16 x − 16 − 6 x − 6 = 7x − 7
10x − 22 = 7x − 7
3x = 15
| ⋅ HN
G = Q, D = Q \ {± 1},
HN = 4 (x + 1)(x - 1)
| − 7x + 22
| : 3
x=5
L = {5}
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2b.
3 ( x − 3) > 4 ( x − 3)
3x − 9 > 4x − 12
G = Z, D = G
| − 3x + 12
3> x
L1 : x1 < 3
8 − 30x ≤ 90 − 8x
−82 ≤ 22x
| + 30x − 90
| : 22
8
−3 11
≤ x
8
L2 : x2 ≥ −311
L = L1 I L2 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}
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3a.
x · 56 = (x + 2)49
56x = 49x + 98
7x = 98
x = 14
G = N,
x = Schülerinnen
⇒ 14 Schülerinnen
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3
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1998, 1. Serie
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3b.
48 ⋅ 900 = x ⋅ 1200
x = 36
G=N
x = Zähne des 2. Zahnrades
⇒ 36 Zähne
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4.
G = Q+
x = Prozentsatz
410 ⋅ (1 + x) = 590(1 − x)
410 + 410x = 590 − 590x
1000x = 180
| + 590x − 410
| . 1000
x = 0,18
Preis: 410 · 1,18 = 483,80 Fr.
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5.
1997
x
x · 1,8
x · 0,65
x · 1,8 · 0,45
Produktion
Export
G=N
x = Geräte 1992
1992
x ⋅ 0,65 + 920 = x ⋅ 1,8 ⋅ 0,45
920 = x (1,8 ⋅ 0,45 − 0,65)
5750 = x
⇒ Produktion 1992 : 5750 Stück
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h∆ =
7a.
8
8
)8
2
)
− 52 = 39
V =G⋅h
h∆
=
)
10 39
2
≅ 781 cm3
10
⋅ 25 = 780,62…
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7b.
V
955
2
=
= 63
h
15
3
G
r=
= 4,5…
π
G =
)
O = 2 ⋅ G + M = 2G + 2πrh = 551,61…
≅ 552 cm2
⇔ Oberfläche des Zylinders
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9.
x ⋅ 6 − 90 = x ⋅ 0,5
x ⋅ 5,5 = 90
x = Zeit, bis die Zeiger übereinander stehen
x = 16,36
≅ 16′ 22 ′′
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1998, 1. Serie
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6.
Lösungsweg:
1. Winkelhalbierende von g und h → w1, w2
2. Ortsbogen 70° über AD → b
3. b I w1, b I w2 → L1, L2 , L3, L 4
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1998, 1. Serie
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C
8.
A
Lösungsweg:
1. O (M,r) → k
2. Zentriwinkel 70° → B, C
3. O (M a,s a ) I k → A
sa
35°
Ma
70°
M
r
B
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6