Trigonometrie, 1. Teil TR1

Trigonometrie, 1. Teil
Mathematik
TR1
T. Hunziker, dipl. math., dipl. ML
www.hunziker.jimdo.com
Okt 14
Hilfsmittel: Formelsammlung GBMS, Taschenrechner
Schlussresultate wenn nötig auf 2 Dezimalen runden
Einführung
Das Wort Trigonometrie bedeutet „Dreiwinkelmessung“, oder allgemein „Dreiecksberechnung“.
Wenn von einem Dreieck drei Stücke (z.B. Seiten oder Winkel) gegeben sind, dann können wir das
Dreieck konstruieren. Dagegen ist es uns bislang nicht möglich, die fehlenden Stücke zu berechnen.
Diese Aufgabe übernimmt die Trigonometrie. Der Einfachheit halber beschränken wir uns zunächst
auf rechtwinklige Dreiecke.
Die Trigonometrie als Bindeglied zwischen Winkeln und Strecken
Zieht man in einem rechtwinkligen Dreieck ABC zur Kathete a
Parallelen a1 ,a2 usw., so entstehen rechtwinklige Dreiecke
AB1 C 1 , A B2 C 2 . Diese Dreiecke haben allesamt gleiche Gestalt,
das heisst sie sind einander ähnlich.
Die Seitenverhältnisse in diesen Dreiecken sind gleich. So gilt
etwa:
a
a
a
= 1 = 2.
c
c1
c2
Dieses Seitenverhältnis ist durch den Winkel  eindeutig
bestimmt. Man kann ein solches Seitenverhältnis deshalb als eine Funktion des Winkels
betrachten, und zwar als trigonometrische Funktion von  .

Durch die Trigonometrie kann man also Winkel mit Streckenverhältnissen identifizieren und
umgekehrt. Auf diese Weise kommt man über die metrische Geometrie der Ebene, die hauptsächlich
nur Beziehungen zwischen Strecken kennt, hinaus. Man denke an die Satzgruppe des Pythagoras, die
nur Aussagen über Beziehungen zwischen Strecken macht.
Sinus, Kosinus und Tangens
In einem rechtwinkligen Dreieck heisst die einem spitzen
Winkel gegenüberliegende Kathete seine Gegenkathete (Gk),
die andere seine Ankathete (Ak).
a
Gegenkathete
(Gk) von a
Ankathete (Ak) von a
sin α =
:
Gk von α
Hyp
●
Sinus des Winkels
●
Cosinus des Winkels
:
cosα =
Ak von α
Hyp
●
Tangens des Winkels
 : tan α =
Gk von α
Ak von α
Gk = Gegenkathete
[lies:'Sinus Alpha' oder 'Sinus von Alpha']
(Steigung)
Ak = Ankathete
Hyp = Hypotenuse
Aufgabe 1
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der
Kathete a = 3 cm und der Hypotenuse c = 6 cm.
(siehe Abbildung rechts).
C
a) Berechnen Sie mit dem Satz von Pythagoras
die Seite b (auf 2 Dezimalen runden).
b
b = .................. cm
A
b) Messen Sie mit dem Geodreieck die Winkel:
=..............
 =
a = 3 cm


B
c = 6 cm
=..............
......................
c) Welches ist die Ankathete von
Welches ist die Ankathete von
?
?
Welches ist die Gegenkathete von
Welches ist die Gegenkathete von
?
?
d) Berechnen Sie nun den Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels  auf zwei verschiedene Arten:
einerseits, indem Sie die Seitenverhältnisse ausrechnen, und andererseits, indem Sie auf dem
Taschenrechner direkt die Winkelfunktionen abrufen. Füllen Sie die Tabelle aus:
sin
Berechnung per
Seitenverhältnis

sin α =
cos

tan

G
=
H
Berechnung per
Taschenrechner
Aufgabe 2
Ergänzen Sie die Tabelle:
Dreieck
Winkel
ABC

ADC


BCD
1
Gegenkathete
p
Ankathete
h
Hypotenuse
b
sin
cos
tan

2
C
1 2
b
p
b
h
b
p
h
a
h
A

p
q
c
D
 B
Aufgabe 3
Wie hoch ist eine Tanne, wenn ihr Schatten s = 27.5 m lang ist
und die Sonnenstrahlen unter dem Winkel  = 38.5° einfallen?
Berechnen Sie mit dem Taschenrechner.

Aufgabe 4
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig. Berechnen Sie alle fehlenden Seiten und Winkel, sowie den
Flächeninhalt des Dreiecks.
C

a=45.2m;  =98°
b
a
h


A
Aufgabe 5
Ein Rhombus hat eine Seitenlänge von s = 9.4 cm.
Einer der vier Innenwinkel misst 58°.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rhombus.
c
B
Aufgabe 6
Welche Steigung in Prozent hat eine Strasse mit einem Steigungswinkel von
a) 5°
b) 20°
d) 70°
e) a°
c) 45°
Aufgabe 7
a) Zeichnen Sie rechts ein regelmässiges Fünfeck
mit einem Umkreisradius von 3 cm.
b) Berechnen Sie die Seitenlänge s und den
Flächeninhalt A des Fünfecks!
Aufgabe 8
Gegeben: Ein Rechteck mit der Diagonale d und dem Winkel α (siehe Abbildung)
Gesucht: der Flächeninhalt A des Rechtecks. Gesucht ist eine möglichst einfache Formel für A, bei
gegebenem d und α!
d
a