Aufgaben Klasse 12, 3. Blatt

Aufgaben Klasse 12, 3. Blatt
Wiederholung
• Lineare Algebra (Vektoren, Matrizen, Skalarprodukt)
• Grenzwerte, Differential- und Integralrechnung, Taylorreihe, l’Hospital-Regel
• Physik (Newtonsche Axiome, Erhaltungssätze)
Aufgabe 3.1
Ein großes Zahnrad mit 40 Zähnen sei fest installiert. Ein kleines Zahnrad mit 8 dazupassenden
Zähnen bewegt sich an der Peripherie des großen Zahnrades einmal vollständig um es herum.
Wie oft hat es sich um die eigene Achse gedreht?
Aufgabe 3.2 ♣
Beweise für positive ganze Zahlen m und n und positive reelle Zahlen p und q mit m + n ≥ p + q
die Ungleichung
p m q n
·
≤1
m
n
Wann gilt Gleichheit?
Aufgabe 3.3
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2 . In einem Quader mit
den Seitenlängen a, b, c gilt für die Diagonale d2 = a2 + b2 + c2 . Wir betrachten den Satz des
Pythagoras für die inversen Größen:
1
1
1
1
1
1
1
+
=
,
bzw.
+
+
=
a2 b2
g2
a2 b2 c2
h2
Was sind g und h für Größen? Hinweis: Inversion am Kreis!
Aufgabe 3.4
Eine Ebene schneidet im Raum die drei Koordinatenachsen in den Punkten A = (a, 0, 0),
B = (0, b, 0) und C = (0, 0, c).
a) Bereche den Flächeninhalt des Dreiecks 4ABC .
b) Bereche den Abstand des Dreiecks 4ABC zum Ursprung.
Aufgabe 3.5
Gegeben sei die Parabel y = x2 und der Punkt P = (0, b) auf der y-Achse.
a) Berechne die kürzeste Entfernung des Punktes P zur Parabel.
b) Wie kann man die Lösung für einen allgemeinen Punkt P = (a, b) prinzipiell erhalten?
c) Konstruiere die kürzeste Entfernung von P = (a, b) zur Parabel.
Dr. Holger Stephan
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