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Technische Universität Berlin
Institut für Energie- und Automatisierungstechnik
Fakultät IV: Elektrotechnik und Informatik
Supplement zu
Grundlagen der Elektrotechnik
im Internet
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch
Grundlagen der Elektrotechnik
1.
GLEICHSTROMLEHRE
1.1
3
OHM’SCHE WIDERSTAND
3
1.1.1
Einleitung
3
1.1.2
Physikalische Grundlagen
7
1.1.2.1 Stromstärke und Geschwindigkeit der Strömung
1.1.2.2 Elektrische Spannung
1.1.3
10
Einfacher Stromkreis
10
1.1.3.1 Ohm’sches Gesetz
10
1.1.3.2 Elektrischer Widerstand
11
1.1.3.3 Klemmenspannung und Leitungswiderstand
12
1.1.4
2.
8
Kirchhoff’sche Gesetze
13
1.1.4.1 Kirchhoff’sche Knotenregel
13
1.1.4.2 Parallelschaltung von Widerständen
14
1.1.4.3 Kirchhoff’sche Maschenregel
15
1.1.4.4 Reihenschaltung von Widerständen
16
1.1.4.5 Schiebewiderstand ohne Belastung
17
1.1.4.6 Schiebewiderstand mit Belastung
18
1.1.4.7 Vorwiderstand
19
1.1.4.8 Strommesser
20
1.1.4.9 Spannungsmesser
21
1.1.4.10
Spannungs- und Strommessung
22
1.1.4.11
Wheatstone’sche Brückenschaltung
23
1.1.5
Induktionsgesetz
25
1.1.6
Selbstinduktion und Induktivität
27
1.1.7
Stromanstieg in der Spule
29
1.1.8
Energie in der Spule
31
1.1.9
Rotatorische Spannungserzeugung
32
1.1.10
Transformator
34
1.1.11
Wirbelströme
37
WECHSELSTROMLEHRE
2.1
GRUNDBEGRIFFE
40
40
2.1.1
Vorkommen und Arten von Wechselströmen
40
2.1.2
Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
43
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Grundlagen der Elektrotechnik
2.2
KOMPLEXE RECHNUNG
47
2.2.1
Komplexe Zahlenebene
47
2.2.2
Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen
51
2.3
KOMPLEXE RECHNUNG AN ZWEIPOLEN
52
2.3.1
Widerstand
52
2.3.2
Kondensator
54
2.3.3
Spule
57
2.3.4
Leistungsbegriffe in komplexer Darstellung
60
LITERATURVERZEICHNIS:
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64
Seite 2
Grundlagen der Elektrotechnik
1. Gleichstromlehre
1.1 Ohm’sche Widerstand
1.1.1 Einleitung
Zunächst sind einige Grundbegriffe zu erklären:
Stromkreis: Weg des elektrischen Stromes
Spannungsquelle: Ursache des elektrischen Stromes
Problem: Wie kann man die Wirkung des elektrischen Stromes sichtbar machen?
Hilfe: Oftmals ist es hilfreich, die Wirkung des elektrischen Stromes mit begreifbaren
physikalischen Größen zu vergleichen. So gilt z.B. der Energieerhaltungssatz, der sich in
unterschiedlichen Erscheinungsformen beschreiben lässt:
•
Energie der Bewegung: Wkin =
1
1
m ⋅ v 2 bzw. Wrot = J ⋅ ω 2
2
2
Wkin ....Kinetische Energie der geradlinigen Bewegung mit der Einheit Joule
[ J = N ⋅ m = m 2 ⋅ kg ⋅ s −2 ]
m .......Masse [ kg ]
v .....Geschwindigkeit [ m / s ]
Wrot ....Kinetische Energie einer rotierenden Kugel um den Kugelschwerpunkt [ J ]
J .....Massenträgheitsmoment [ kg ⋅ m 2 ]
ω .....Winkelgeschwindigkeit mit der Einheit Radiant je Sekunde
[ rad / s = m ⋅ m −1 ⋅ s −1 ]
Frage: Woher kommt der Strom?
Antwort: Für Anwendungen im Bereich kleiner Leistungen können Batterien (Akku-
mulatoren) bzw. Solarzellen eingesetzt werden.
Frage: Woher kommt der Strom für großtechnische Anwendungen?
Antwort: Aus Spannungs- oder Stromquellen, z.B. Torbogeneratoren
Der ein-bzw dreiphasige Wechselstromgenerator sind typische Spannungsquellen.
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Grundlagen der Elektrotechnik
Man muss auch zwischen einer realen und einer idealen Quelle unterscheiden.
Eine ideale Spannungsquelle liefert eine Spannung, die unabhängig vom entnommenen
Strom ist. Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist null.
Eine ideale Stromquelle liefert einen Strom, der unabhängig von der anliegenden Spannung
ist. Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist unendlich groß.
Frage: Was ist Elektrotechnik?
Antwort: Zur Elektrotechnik zählt alles, was die physikalischen Wirkungen von elektrischen
Ladungen nutzt. Das Problem daran ist, dass man Ladungen nicht sieht. Deshalb braucht man
Theorie und Modellvorstellungen.
Unsere heutige Technik beruht im wesentlichen auf den Leistungen der Werkstofftechnik,
Mikroelektronik, Elektronik, Leistungselektronik und der elektromechanischen Energiewandlertechnologie.
Übrigens: Die Elektroindustrie in der Bundesrepublik hat im Jahr 2001 "125.000.000.000"
EUR umgesetzt. Dazu gehören die Branchen Energietechnik, Antriebstechnik, Kommunikationstechnik, Datentechnik, Mess- und Automatisierungstechnik, Hausgeräte, Bauelemente,
Fahrzeugelektronik, Unterhaltungselektronik, Beleuchtung und Medizintechnik.
Frage: Welche Regelung bzw. Vorschriften existieren für die Elektrotechnik?
Antwort: Zu den technische Regelwerken für die Elektrotechnik gehören im wesentlichen
DIN VDE/VDI-Normen sowie weitere Regelwerke und Richtlinien z.B. IEC Vorschriften.
Dabei sind für “Elektrotechnische Anlagen“ nicht alle einzelnen Normen und Richtlinien
relevant, so dass für den Anlagenbetreiber durchaus ein Problem der richtigen Auswahl
besteht. Die folgenden DIN-Normen bzw. die DIN VDE/VDI-Normen sind eine kleine
Auswahl (DIN: Deutsches Institut für Normung e.V.).
Hier ist eine kleine Auswahl aus den DIN VDE/VDI-Normen, die im Juli 2002 veröffentlicht
wurden:
VDE 0102:2002-07
Kurzschlussströme in Drehstromnetzen
Berechnung der Ströme.
Norm-Nr: DIN EN 60909-0 VDE-Klass.: VDE 0102.
VDE 0641 Teil 12:2002-07
Leitungsschutzschalter für Hausinstallationen und ähnliche Zwecke, Leitungsschutzschalter
für Wechsel- und Gleichstrom (AC und DC).
Norm-Nr: DIN EN 60898-2 VDE-Klass.: VDE 0641 Teil 12.
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Grundlagen der Elektrotechnik
VDE 0682 Teil 431:2002-07
Arbeiten unter Spannung, Phasenvergleicher für Wechselspannungen von 1 kV bis 36 kV
Norm-Nr: DIN EN 61481 VDE-Klass.: VDE 0682 Teil 431.
VDE 0820 Teil 10:2002-07
Geräteschutzsicherungen, Leitfaden für die Anwendung von Geräteschutzsicherungen
Norm-Nr: DIN EN 60127-10 VDE-Klass.: VDE 0820 Teil 10.
VDE 0845 Teil 4-2:2002-07
Blitzschutz - Telekommunikationsleitungen, Leitungen mit metallischen Leitern
Norm-Nr: DIN EN 61663-2 VDE-Klass.: VDE 0845 Teil 4-2.
VDE 0847 Teil 4-4:2002-07
Elektromagnetische Verträglichkeit (EMV), Prüf- und Messverfahren - Prüfung und Störfestigkeit gegen schnelle transiente elektrische Störgrößen/Burst
Norm-Nr: DIN EN 61000-4-4 VDE-Klass.: VDE 0847 Teil 4-4.
VDE 0855 Teil 300:2002-07
Funksende-/-empfangssysteme für Senderausgangsleistungen bis 1 kW, Sicherheitsanforderungen
Norm-Nr: DIN VDE 0855-300 VDE-Klass.: VDE 0855 Teil 300.
VDI 2243, Ausgabe:2002-07
Recyclingorientierte Produktentwicklung.
VDI/VDE 3527, Ausgabe:2002-07
Kriterien zur Gewährleistung der Unabhängigkeit von Sicherheitsfunktionen bei der Leittechnik-Auslegung.
VDI 4471 Blatt 4, Ausgabe:2002-07
Warensicherungssysteme - Kompatibilität von elektronischen Artikelsicherungssystemen
(EAS) - Radiofrequente Technologie.
VDI 6012 Blatt 3, Ausgabe:2002-07
Dezentrale Energiesysteme im Gebäude – Brennstoffzellen.
VDE 0530/DIN 57530
Umlaufende elektrische Maschinen Teil 1-8.
DIN VDE 0100 Teil 726
Elektrische Ausrüstung von Hebezeugen.
DIN VDE 0100 Teil 510
Auswahl und Errichtung elektrischer Betriebsmittel; Allgemeines; vde-verlag, Berlin.
DIN VDE Teil 520
Kabel, Leitungen und Stromschienen; vde-verlag, Berlin.
DIN VDE 0100 Teil 523
Bemessung von Leitungen und Kabel; Mechanische Festigkeit; Spannungsfall und Strombelastbarkeit; vde-verlag, Berlin.
DIN VDE 0100 Teil 540
Auswahl und Errichtung elektrischer Betriebsmittel, Erdung, Schutzleiter, Potentialausgleichsleiter; vde-verlag, Berlin.
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Grundlagen der Elektrotechnik
DIN VDE 0100 Teil 732
Hausanschlüsse in öffentlichen Kabelnetzen; vde-verlag, Berlin.
DIN VDE 0102
Berechnung von Kurzschlussströmen in Drehstromnetzen; vde-verlag, Berlin.
Ferner werden von der „International Electrotechnical Commission“ (IEC) Zahlreiche
Vorschriften herausgegeben: z.B. (IEC 34-2) Rotating electrical machines.
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Grundlagen der Elektrotechnik
Bauelemente: Neben den Spannungs- und Stromquelle sind der Widerstand und die Indukti-
vität (Spule) und der Kondensator in der Gleichstrom- und Wechselstromtechnik von Bedeutung.
Abbildung 1.1.1.: Ausgewählte Bauelemente und Kennzeichen in der Elektrotechnik
1.1.2 Physikalische Grundlagen
Ladungsträger: Metallische Leiter: Negativ geladene Elektronen: Masse me = 9,1 ⋅10−31 kg ,
Ladung e = −1, 6 ⋅10−19 As (Elementarladung).
Atom: Kern mit positiven Protonen, Hülle mit negativen Elektronen, sie sind im Ladungs-
gleichgewicht.
Elektronengas: Frei bewegliche Elektronen in Metallen bewegen sich analog zu Molekülen
in Gasen.
Elektronenleitung: Bei elektrischem Stromfluss bewegen sich die Elektronen mit sehr
geringer “Driftgeschwindigkeit“; von einigen cm/s!
Löcherleitung: Durch Auffüllen von Elektronenfehlplätzen (Löcher) bei Halbleitern.
Bewegungsrichtung entgegengesetzt zur Strömung der Elektronen.
Ionenleitung: Drift von ein- oder zweiwertig positiven oder negativen Molekülen in Gasen
oder Flüssigkeiten.
Stromrichtung: Historisch festgelegt, von der positiven Klemme ( + ), der Quelle, zur
negativen ( − ) Klemme.
Elektronenströmung: Entgegengesetz der “Stromrichtung“.
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Grundlagen der Elektrotechnik
MKSA-System: Das international vorgeschriebene Einheitssystem SI (Systeme Inter-
national) enthält 7 Basiseinheiten, die in (Tab. 1.1) aufgelistet sind .
Dezimale Vorsilben: Für die praktische Schreibweise werden in der Elektrotechnik die
bekannten Buchstaben aus (Tab. 1.2) verwendet.
1.1.2.1 Stromstärke und Geschwindigkeit der Strömung
Elektrischer Strom: Drift eines Elektronengases durch einen metallischen Leiter.
Ruhezustand: Je ein Metallatom des Gitters gibt etwa 1 Elektron in das “Elektronengas“ ab.
In jedem cm3 des Gitters sind rund 1023 Elektronen in ungeordneter Bewegung.
Größe
Einheit
Symbol
1. Länge
Meter
m
2. Masse
Kilogramm
kg
3. Zeit
Sekunde
s
4. Stromstärke Ampere
A
5. Temperatur Kelvin
K
6. Stoffmenge Mol
Mol
7. Lichtstärke
cd
Candela
Tabelle 1.1.: Internationales Einheitssystem SI
Kleiner 1
atto
Größer 1
10−18
a
Exa
1018
E
femto 10−15
f
Peta
1015
P
pico
10−12
p
Tera
1012
T
nano
10−9
n
Giga
109
G
micro 10−6
µ
Mega
106
M
milli
10−3
m
Kilo
103
k
zenti
10−2
c
Hekto
102
h
dezii
10−1
d
Deka
101
D
Tabelle 1.2.: Dezimale Vielfache und Teile
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Grundlagen der Elektrotechnik
Abbildung 1.1.2.: Leiterstück als Zylinder mit der Querschnittsfläche A und der Länge l
Leiterstück: Bei N Elektronen ergibt sich eine Strömung der Ladungsmenge ∆Q = − N e ,
bei der das letzte Elektron bei der Geschwindigkeit v die Zeit ∆t braucht, um die Länge l
zu durchlaufen.
Stromstärke: Für das Leiterstück aus (Abb. 1.1.2.) ist der Betrag der Stromstärke
I=
∆Q N e nV e
=
=
∆t
∆t
∆t
(1.1.2)
mit n = N / V der Konzentration der Ladungsträger. Mit V = A . l ist
I=
n Al e
∆t
(1.1.2)
Mit der Geschwindigkeit v = ∆l / ∆t ergibt sich dann
I = n e Av
(1.1.3)
Division durch den Querschnitt A liefert die Stromdichte J in A / m 2
J=
I
= nev
A
(1.1.4)
woraus sich die Geschwindigkeit der Elektronen ergibt
v=
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J
ne
(1.1.5)
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Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.2.2 Elektrische Spannung
Ladungsdruck: Ursache für die Bewegung der Elektronen, die als elektrische Strömung
sichtbar wird, ist eine elektrische Spannung, die über den Quotienten Arbeit / Ladung
definiert ist
Spannung U =
Elektrische ArbeitW  Nm Ws VAs

=
=
=
=V 
Ladung Q
As
 As As

(1.1.6)
mit der Einheit Volt [V ]
Richtung: Die Richtung der Spannung entspricht der Bewegung einer positiven Probeladung.
Spannungsquelle: Spannung anzubieten ist das Merkmal einer Spannungsquelle; dabei
braucht noch kein Strom zu fließen. Erst eine Spannungsquelle in einem geschlossenen
Stromkreis erzeugt einen Strom.
Spannungsreihe: Kleinverbraucher: 2 V, 4 V, 6 V, 12 V, 24 V, 60 V;
Niederspannung: 110 V, 230 V, 400 V;
Hochspannung: 6 kV, 10 kV, 20 kV, 30 kV, 110 kV, 220 kV, 400 kV.
1.1.3 Einfacher Stromkreis
1.1.3.1 Ohm’sches Gesetz
Stromstärke: Die pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt hindurchtretende Elektronenanzahl
ist proportional der Spannung (Ursache). Bei fester Spannung ist sie umgekehrt proportional
dem Widerstand, der dem Strom entgegenwirkt.
Ohm’sches Gesetz: Spannung U und Stromstärke I sind über den Widerstand R verknüpft
U = RI
(1.1.7)
Dies ist ein zentrales Gesetz in der Elektrotechnik.
Widerstand: Aus einer Umformung des Ohm’sches Gesetzes ergibt sich der Widerstand zu
R=
U
I
[Ω]
(1.1.8)
Leitwert: Der Reziprokwert des Widerstandes G = 1/ R hat die Einheit Siemens [S].
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Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.3.2 Elektrischer Widerstand
Frage: Was ist ein Widerstand?
Antwort: Er kann als Hindernis für den Strom interpretiert werden
Metallischer Draht: Experimentell kann man feststellen:
•
Längerer Draht: Spannung muss den Strom über eine längere Strecke treiben,
d.h. der Widerstand nimmt zu
•
Dickerer Draht: Elektronen finden mehr Platz, d.h. der Widerstand nimmt ab
• Verschiedene Materialien: Unterschiedliche elektrische Leitfähigkeit κ , bzw.
• unterschiedlicher spezifischer Widerstand ρ führt zu unterschiedlichem Widerstand
bei gleicher Geometrie.
Berechnung: Durch Messung findet man den Zusammenhang für einen Draht der Länge l
mit dem Querschnitt A und der Leitfähigkeit κ .
R=
ρl
A
=
l
(1.1.9)
κA
Temperaturabhängigkeit: κ bzw. ρ werden i.a. für eine Temperatur von 20° C spezi-
fiziert und mit einem linearen Temperaturbeiwert α 20 und einem quadratischen β 20 versehen.
Der Widerstand bei einer beliebigen Temperatur T, also einer Differenz ∆T = T − 20° C
berechnet sich dann zu
R = R20 (1 + α 20 ∆T + β 20 (∆T ) 2 )
(1.1.10)
Widerstand: Spezifischer Widerstand ρ , Leitfähigkeit κ , Temperaturbeiwerte α 20 und β 20
sind charakteristische Kenngrößen von Metallen bei 20°C (siehe Tab. 1.3) .
Werkstoff
κ 20
ρ 20
Ω mm
m
20
α 20
−3
Sm
mm 2
10 K
β 20
−1
10−6 K −2
Silber
0,016
62,5
3,6
0,7
Kupfer
0,017
58
4,3
0,6
Gold
0,022
45,2
3,8
0,5
Aluminium 0,027
37
4,3
1,3
Blei
0,21
4,75
3,9
2,0
Eisen
0,1
10
6,5
6,0
Platin
0,098
10,5
3,5
0,6
Tabelle 1.3.: Kenngrößen von verschiedenen Metallen
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1.1.3.3 Klemmenspannung und Leitungswiderstand
In (Abb. 1.1.3) kann die Hin- und Rückleitung zwischen dem Verbraucher und dem Generator
zu einem Leitungs-Widerstand zusammen gefasst werden.
Abbildung 1.1.3.: Verbraucherwiderstand RV (z.B. Glühlampe), Generator G, Hin- und Rückleitung RL / 2
Stromkreis: In allen Teilelementen des unverzweigten Stromkreises ist der Strom gleich
groß. Mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes erhalten wir den Spannungsabfall am Verbraucher
UV = I RV
(1.1.11)
und in der Hin- und Rückleitung zusammen
U L = I RL
(1.1.12)
Die Summe der beiden Teilspannungen ist gleich der Klemmenspannung
U G = U L + UV
(1.1.13)
Merke: Die folgende Bezeichnungen sind für Spannungsquelle üblich:
U G → Generatorspannung
U q → Quellenspannung
U B → Batteriespannung
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1.1.4 Kirchhoff’sche Gesetze
1.1.4.1 Kirchhoff’sche Knotenregel
Knotenregel: Gegeben sei ein idealer Generator (z.B. Kraftfahrzeug-Lichtmaschine), der
gleichzeitig mehrere Verbraucher (z.B. Scheinwerferlampe, Rundfunkgerät und Zündspule)
versorgt, wie in (Abb. 1.1.4) dargestellt .
Für jeden der 4 Knotenpunkte (1), (2), (3) und (4) ist der hineinfliessende Strom gleich dem
hinausfliessenden Strom. Es gilt daher z.B. für Knoten (1)
I = ( I1 + I 2 + I 3 ) = I1 + ( I 2 + I 3 )
(1.1.14).
Abbildung 1.1.4.: Schaltung zur Knotenregel
1. Kirchhoff’sches Gesetz: Ganz allgemein gilt:
∑I
ab
= ∑ I zu
(1.1.15)
Knotenpunkt: Die Summe aller in einen Knoten hineinfliessenden Ströme ist gleich der
Summe aller abfließenden Ströme. Die Bezugsgröße ist die Spannung zwischen den Knotenpunkten.
Ersatzwiderstand: Der Ersatzwiderstand RE in der (Abbildung1.1.5) ist der Widerstand, den
man anstelle der drei Widerstände R1 , R2 und R3 in den Kreis schalten muss, damit der
Generator denselben Strom abgibt wie vorher (siehe Abb. 1.1.5) .
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Grundlagen der Elektrotechnik
Abbildung 1.1.5.: Parallelschaltung und Ersatzwiderstand RE
1.1.4.2 Parallelschaltung von Widerständen
Spannungsabfall: Es gilt mit dem Ohm’schen Gesetz:
U1 = I1 R1 ⇒ I1 =
U1
R1
U 2 = I 2 R2 ⇒ I 2 =
U2
R2
U
U 3 = I 3 R3 ⇒ I 3 = 3
R3
U q = I q RE ⇒ I q =
(1.1.16)
Uq
RE
Nach der Knotenregel (Gl. 1.1.15) ist I q = I1 + I 2 + I 3 und somit
Uq
RE
=
U1 U 2 U 3
+
+
R1 R2 R3
(1.1.17)
Da U q = U1 = U 2 = U 3 ist, kann die Spannung eliminiert werden
1
1
1
1
= +
+
RE R1 R2 R3
(1.1.18)
Parallelschaltung: In einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstandes
gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände.
Parallelleitwerte: Verwendet man in (Gl. 1.1.18) statt der Widerstände die Leitwerte
Gi = 1/ Ri , so ergibt sich einfacher
GE = G1 + G2 + G3
(1.1.19)
Anwendung: Beim Stromteiler (siehe Abb. 1.1.6) mit 2 parallelgeschalteten Widerständen
R1 und R2 an der Spannung U gilt: I1 = U / R1 und I 2 = U / R2 oderU = I1 R1 und U = I 2 R2 .
Gleichsetzen liefert
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I1 R2
=
I 2 R1
(1.1.20)
Seite 14
Grundlagen der Elektrotechnik
Abbildung 1.1.6.: Stromteiler
1.1.4.3 Kirchhoff’sche Maschenregel
Maschenregel: Bei einer Zusammenschaltung von Widerständen in Reihe, wie in (Abb.
1.1.7), ist die überall gleiche Bezugsgröße der Strom I .
An den einzelnen Widerständen entsteht der Spannungsabfall U1 = I R1 , U 2 = I R2 und
U 3 = I R3 Mit einem willkürlichen festgelegten Richtungssinn in der Masche (geschlossener
Stromkreis) ist die Summe aller Spannungen Null oder
U q = U1 + U 2 + U 3 = I R1 + I R2 + I R3
= I ( R1 + R2 + R3 )
(1.1.21)
= I ⋅ RE
Abbildung 1.1.7.: Reihenschaltung und Ersatzwiderstand
2. Kirchhoff’sches Gesetz: Allgemein gilt für jede Masche
∑U
i
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qi
=∑I ⋅R
(1.1.22)
i
Seite 15
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Masche: Die Summe aller Quellenspannungen ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle
in der Masche. (Bezugsgröße ist der Strom).
Ersatzwiderstand: Definition siehe Parallelschaltung
Spannungsabfall: Es gilt mit dem Ohm’schen Gesetz:
U1 = I1 R1
U 2 = I 2 R2
(1.1.23)
U 3 = I 3 R3
U q = I RE
1.1.4.4 Reihenschaltung von Widerständen
Nach der Maschenregel (Gl. 1.1.22) ist U G = U1 + U 2 + U 3 und somit
I RE = I R1 + I R2 + I R3
(1.1.24)
Da I durch alle Widerstände fließt, kann der Strom eliminiert werden:
RE = R1 + R2 + R3
(1.1.25)
Reihenschaltung: In einer Reihenschaltung ist Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand)
gleich der Summe der Einzelwiderstände.
Anwendung: Beim Spannungsteiler (siehe Abb. 1.1.8) mit 2 Widerständen R1 und R2 in
Reihenschaltung gilt: I = U1 / R1 und I = U 2 / R2 mit den Spannungsabfällen
U1 und U 2 an den jeweiligen Widerständen. Gleichsetzen liefert
U1 R1
=
U 2 R2
(1.1.26)
Umstellen dieser Gleichung nach der Teilspannung U 2 = f ( R1 , R2 , U ) liefert ein bekanntes
Ergebnis
U1 =
R1
U2 = U − U2
R2
(1.1.27)
Abbildung 1.1.8.: Spannungsteiler
Auflösen nach U ergibt
R

R + R2
U =  1 + 1 U 2 = 1
U2
R2
 R2 
(1.1.28)
und damit das Ergebnis für einen Spannungsteiler
U2 =
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R2
U
R1 + R2
(1.1.29)
Seite 16
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1.1.4.5 Schiebewiderstand ohne Belastung
Frage: Was ist ein Schiebewiderstand?
Antwort: Ein variabel in zwei Anteile teilbarer Widerstand.
Die Bauform kann linear (Schiebewiderstand) oder rund (Potentiometer) sein,
Wesentliches Merkmal sind drei Anschlüsse, wobei über zwei (gleichfarbig oder außenliegend) der komplette Widerstand und über den dritten Anschluss (andersfarbig oder in der
Mitte) der Abgriff zugänglich ist.
Schiebewiderstand: In der Praxis macht man häufig Gebrauch von einem Widerstand mit
einem Schleifkontakt zur Realisierung eines variablen Widerstandswertes.
Ausgangsspannung: Nach (Gl. 1.1.26) sind die von den Enden bis zum Schleifkontakt
zählenden Spannungsabgriffe in (Abb. 1.1.9) proportional zur abgegriffenen Widerstandslänge. Es gilt 0 ≤ a ≤ 1 und somit U a = 0 für a = 0 und U a = U für a = 1 .
Abbildung 1.1.9.: Schiebewiderstand (Potentiometer)
Aus (Gl. 1.1.26) ergibt sich direkt
Ua a R
=
=a
U
R
(1.1.30)
a ist ein Maß für die Verschiebungsstrecke (oder den Drehwinkel).
Logarithmischer Widerstand: Bei gleichen Drehwinkeln nimmt der Widerstand in Dekaden
zu (1 bis 10 Ω , 10 bis 100 Ω , 100 bis 1000 Ω , usw.).
Anwendung: In der Rundfunktechnik als Lautstärkeregler. Aufgrund der ebenfalls
logarithmischen Charakteristik des Ohres erscheint dann bei gleichen Drehwinkeln die Lautstärke entsprechend linear zuzunehmen.
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Seite 17
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1.1.4.6 Schiebewiderstand mit Belastung
Belastung: (Gl. 1.1.30) ist nur gültig ohne Belastung des Schleifers. Die Charakteristik ändert
sich, wenn entsprechend (Abb. 1.1.10) aus dem Abgriff ein Strom entnommen wird.
Abbildung 1.1.10.: Potentiometer mit Belastung
Ua
= f a , R , RV
U
(
Gesucht:
)
(1.1.31)
Ströme: Die Ströme sind I a = U a / Ra = U a / a R und I v = U v / R v = U a / R v
Weiterhin gilt für die Stromsumme
I = I a + Iv =
Ua Ua
+
a R RV
(1.1.32)
Spannungen: Andererseits ist
U = U ′ + U a und U ′ = I R (1 − a )
(1.1.33)
Wir erhalten damit
U = I R (1 − a ) + U a = (
Ua Ua
+
) R (1 − a ) + U a
a R RV
(1.1.34)
Division durch U a ergibt den Quotienten
U  1
1 
=
+
 R(1 − a) + 1
U a  a R RV 
RV + a R
a RV
R (1 − a) +
=
a ⋅ R ⋅ RV
a RV
=
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(1.1.35)
( RV + a R)(1 − a ) + a RV
a RV
Seite 18
Grundlagen der Elektrotechnik
Und somit für den Kehrwert
a RV
Ua
=
U ( RV + a R)(1 − a ) + a RV
=
a
1
( R V + a R − a RV − a 2 R + a R V )
RV
a
=
1+ a
=
(1.1.36)
R
R
− a2
RV
RV
a
R
1+ a
(1 − a )
RV
Spezialfall: Falls kein Verbraucher angeschlossen ist ( RV = ∞ ), so folgt R / RV = 0 und
wir erhalten damit wieder das Ergebnis von (Gl. 1.1.30).
1.1.4.7 Vorwiderstand
Vorwiderstand: Ein Schiebewiderstand kann auch als Vorwiderstand für einen Verbraucher
(z.B. Glühlampe) eingesetzt werden, um eine Spannungsanpassung vorzunehmen
(siehe Abb. 1.1.11) .
Abbildung 1.1.11.: Schaltung zum Vorwiderstand
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Seite 19
Grundlagen der Elektrotechnik
Verbraucherspannung: Der beiden Widerständen gemeinsame Strom I erzeugt den
Spannungsabfall UV = I RV . Der Strom berechnet sich zu I = U 0 / Rges = U 0 / (a R + R V ) .
Daraus erhalten wir
UV min :
UV =
U0
U0
RV =
R
a R + RV
a +1
RV
(1.1.37)
Für Ra = R (bei a = 1) erhalten wir den unteren Wert der Verbraucherspannung
zu (analog Spannungsteiler!):
UV =
RV
U0
=
U0
R
+ 1 RV + R
RV
(1.1.38)
Die Verbraucherspannung kann demnach nicht zu Null werden. Speziell für
R = RV wird UV = U 0 / 2 .
UV max :
Für Ra = 0(bei a = 0) erhalten wir den oberen Wert der Verbraucherspannung zu
UV = U 0
(1.1.39)
Problem: Verlustleistung entsteht im Vorwiderstand und geht als Wärme “verloren“.
1.1.4.8 Strommesser
Frage: Was ist ein Strommesser(Amperemeter)?
Antwort: Ein Messgerät zur Erfassung des Stroms und somit ein zusätzlicher Widerstand im
Stromkreis.
Man kann digitale als auch analoge Vielfachmessgeräte einsetzen, die entweder zur Stromoder zur Spannungsmessung verwendet werden können.
Prinzip: Bei üblichen Strommessern ist der Vollausschlag schon bei sehr kleinen Strömen
( µ A) erreicht. Zur Messung größerer Ströme muss der Überstrom am Messwerk über einen
Nebenwiderstand vorbeigeleitet werden (siehe Abb. 1.1.12)
Abbildung 1.1.12.: Realisierung eines Amperemeters mit 4 Messbereichen
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Seite 20
Grundlagen der Elektrotechnik
Beispiel: Ein Messwerk (siehe Abb.1.1.13) habe den inneren Widerstand R i = 333Ω und
einen Vollausschlag beim Strom I 0 = 0,3mA . Es soll ein Strom von I = 6 A gemessen werden.
Abbildung 1.1.13.: Erweiterung des Strommessbereiches
Der Überstrom
I P = I − I 0 = 5,9997 A
muss am Messwerk vorbeifließen. Es tritt nach dem Ohm’schen Gesetz ein Spannungsabfall
U 0 = I 0 R i = 99,9mV
an Messwerk und Nebenwiderstand auf. Damit wird
RP =
U0
= 0, 01665Ω
I − I0
1.1.4.9 Spannungsmesser
Prinzip: Zur Messung kleiner Spannungen muss der Vollausschlag des Spannungsmessers
schon bei sehr kleinen Spannungen ( µ V ) erreicht sein. Bei größeren Spannungen fällt die
Überspannung an einem Reihenwiderstand ab (siehe Abb. 1.1.14) .
Abbildung 1.1.14.: Realisierung eines Voltmeters mit 4 Messbereichen
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Seite 21
Grundlagen der Elektrotechnik
Beispiel: Gegeben sei dasselbe Messwerk mit dem inneren Widerstand R i = 333Ω und Voll-
ausschlag von U 0 = 100 mV (siehe Abb. 1.1.15) . Es soll eine Spannung von U = 220 V
gemessen werden.
Abbildung 1.1.15.: Erweiterung des Spannungsmessbereiches
Die Überspannung
U v = U − U 0 = 219,9V
muss vor dem Messwerk abfallen. Durch Messwerk und Vorwiderstand fließt der Strom
I 0 = 0,3mA
Nach dem Ohm’schen Gesetz ergibt sich dann für den Vorwiderstand:
Rv =
Uv
= 733k Ω
I
Ausführung: Wie beim Strommesser sind mehrere Vorwiderstände über einen Schalter
verfügbar.
1.1.4.10
Spannungs- und Strommessung
Bei messtechnischen Untersuchungen ist zu bedenken:
Strommesser: In Reihe zum Verbraucher, da der Strom in der Serienschaltung überall gleich
groß ist.
Spannungsmesser: Parallel zum Verbraucher, da die Spannung bei einer Parallelschaltung
gleich groß ist.
Strom- /Spannungsmessung: Bei gleichzeitiger Messung von Strom und Spannung eines
Verbrauchers (Leistungsmessung) tritt ein prinzipieller Messfehler auf, da nicht beide
Bedingungen erfüllbar sind. Es sind zwei Schaltungen entsprechend (Abb. 1.1.24) möglich,
deren Auswahl nach den Eigenschaften des Verbrauchers getroffen werden kann.
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Seite 22
Grundlagen der Elektrotechnik
Abbildung 1.1.16.: Spannungsrichtige ( R iV ⟩⟩ RA ) oder stromrichtige ( R i A ⟨⟨ Ra )
Messung am Verbraucher RV
1.1.4.11
Wheatstone’sche Brückenschaltung
Brückenschaltung: Sie besteht entsprechend (Abb. 1.1.17) aus einer Anordnung von vier
Widerständen, von denen je zwei in Reihenschaltung parallel an einer Spannungsquelle
liegen. Derartige Brückenschaltungen werden ebenfalls bei Dioden-Anwendungen eingesetzt.
Abbildung 1.1.17.: Wheatstone’sche Brückenschaltung
Spannungsabfälle: In den Brückenwiderständen R1...R 4 entstehen die Spannungsabfälle
U1...U 4 , wodurch sich i.a. auch eine Spannung U 5 ≠ 0V zwischen den Punkten A und B ein-
stellt.
Anwendung: Die vier Widerstände sind so zu wählen, dass die Brückenspannung U 5 = 0V
und somit I 5 = 0 A wird. Das Ergebnis einer längeren Rechnung (Anwendung von Knoten
und Maschensatz) liefert:
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Seite 23
Grundlagen der Elektrotechnik
I5 =
U 0 ( R 2 R 3 − R1 R 4 )
( R1 + R 3 )( R 2 R 4 + R 5 ( R 2+ R 4 )) + R1 R 3 ( R2 + R 4 )
(1.1.40)
Damit für I 5 = 0
R1
R2
=
R3
(1.1.41)
R4
Praxis:Abb.1.1.18 zeigt die Verwendung als Messprinzip für die Messung von Widerständen.
Prinzip: Das Brückeninstrument M ist möglichst präzise und hat den Nullpunkt in der Mitte.
Der Wert des Widerstandes R1 muss sehr genau bekannt sein. Die Widerstände R 2 und R 4
werden als Teilwiderstände eines Schiebewiderstandes realisiert.
Abbildung 1.1.18.: Bestimmung von Widerständen mit der Wheatstone’schen Brückenschaltung
Messung: Der unbekannte Widerstand R x wird anstelle von R 3 angeschlossen und der
Schleifkontakt solange verschoben, bis das Instrument keinen Ausschlag mehr anzeigt.
Rechnung: Analog zu (Gl. 1.1.41) gilt dann
Rx =
R1 R 4
R2
= R1
l4
l2
(1.1.42)
Hinweis:
•
Bei diesem Abgleichverfahren müssen Längen- und Widerstandsänderungen
sehr genau proportional zueinander sein. Die Quellenspannung U 0 geht nicht ein.
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Seite 24
Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.5 Induktionsgesetz
Experiment: Wird ein Stabmagnet in eine Luftspule mit N Windungen hinein bewegt, so
zeigt ein angeschlossenes Voltmeter einen Ausschlag (Nullpunkt in der Mitte, z.B. Ausschlag
nach rechts) solange der Magnet hinein bewegt wird. Wird der Magnet anschließend wieder
heraus bewegt, zeigt sich am Voltmeter ein Ausschlag in die entgegengesetzte Richtung
(siehe Abb. 1.1.28) .
Abbildung 1.1.28.: Experiment zum Induktionsgesetz
Die Induktion B des Magneten erzeugt beim Einführen in die Spulenfläche A einen zeitlich
veränderlichen Fluss φ . Bei N Windungen der Spule wird
ug = − N
∆φ
∆ψ
=−
∆t
∆t
(1.1.43)
ψ ....Verkettungsfluss
Induktionsgesetz: Bezogen auf eine einzelne Windung erhalten wir mit dem Induktions-
gesetz die Quellenspannung zu
ug = −
∆φ
∆t
(1.1.44)
Neben dem Ohm’schen Gesetz ist dies ebenfalls ein wichtiges Gesetz in der Elektrotechnik.
Anwendung: Verkopplung von zeitabhängigen elektrischen und magnetischen Feldern an
Bauelementen.
Bemerkungen:
•
Es ist eine Relativbewegung von Magnet und Spule notwendig.
•
Die induzierte Spannung ist unabhängig vom Anzeigeinstrument immer dann
vorhanden, wenn sich in einem Raumteil der magnetische Fluss ändert.
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Seite 25
Grundlagen der Elektrotechnik
•
Das Induktionsgesetz ist die Begründung dafür, dass im leeren Raum elektromagnetische Wellen existieren können (zur Übertragung von Rundfunk und Fernsehen).
•
Das Induktionsgesetz verknüpft die Änderung des magnetischen Feldes mit einer
elektrischen Spannung, unabhängig vom Vorhandensein eines Leiters.
Stromkreis: Wird beim Experiment (gemäß Abb.1.1.28) die Spule zu einem Stromkreis
geschlossen, so fließt aufgrund der induzierten Spannung ein Strom. Dieser Strom erzeugt
seinerseits eine magnetische Feldstärke H ’, eine Induktion B ’ und einen Fluss φ ’.
Diese Größen sind alle dem Fluss φ , der den Strom erzeugt, entgegengesetzt.
Wirkung: Die durch den Fluss φ des Magneten induzierte Spannung steigt langsamer an.
Lenz’sche Regel: Der induzierte Strom i wirkt immer der hervorrufenden Flussänderung
entgegen.
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Seite 26
Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.6 Selbstinduktion und Induktivität
Selbstinduktivität: Der Stromfluss durch eine Spule (siehe Abb. 1.1.29) baut ein Magnetfeld
auf, welches mit dem Fluss φ beschrieben wird. Dieser Fluss erzeugt nach der Lenz’schen
Regel eine Induktionsspannung uL , die der den Strom treibenden Spannung U q entgegengesetzt ist.
Abbildung 1.1.29.: Selbstinduktivität einer Spule
Es ist eine reale Spannungsquelle mit Ri ≠ 0 notwendig, damit uL (t = ∞) = 0 und
i (t = ∞) ≠ ∞ wird
Folge: Die Induktionsspannung bremst den Stromanstieg in der Spule.
Berechnung: Vorausgesetz wird eine ideale Luftspule ohne ohm’schen Widerstand. Nach
dem Induktionsgesetz gilt für die induzierte Spannung
uL = N
∆φ
∆t
(1.1.45)
Für den Fluss gilt φ = B A = A µ0 H und mit H = N i / l ergibt sich dann
φ=
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A µ0 N i
l
(1.1.46)
Seite 27
Grundlagen der Elektrotechnik
Eingesetzt erhalten wir
uL =
A µ0 N i
d
N
dt
l
(1.1.47)
Da die einzige zeitabhängige Größe der Strom i ist, können die anderen Parameter als
Konstanten vor das Differential gezogen werden
uL =
A µ0 N 2 di
l
dt
(1.1.48)
Die Konstanten werden zur Induktivität L der Spule zusammengefasst
L=
A µ0 N 2
N2
=
l
Rmagn
(1.1.49)
Rmagn wird als der magnetische Widerstand bezeichnet.
Für die induzierte Spannung erhalten wir damit
uL = L
di
dt
(1.1.50)
Die Einheit der Induktivität ergibt sich zu [ L ] = V s / A = H (Henry).
Eisenkern: Für Luftspulen ist die Induktivität L konstant. Bei Spulen mit Eisenkern geht
zusätzlich die relative Permeabilität µr ein, die von der magnetischen Feldstärke abhängt.
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Seite 28
Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.7 Stromanstieg in der Spule
Abbildung 1.1.30.: Schaltung zur Messung des Stromanstiegs in einer Spule
Einschalten: Nach dem Einschalten (Schließen des Schalters in Abb. 1.1.30.) gilt gemäß der
Maschenregel
U q = uR + uL = i R + L
di
dt
(1.1.51)
und damit
Uq − i R = L
di
dt
(1.1.52)
DGL: Damit erhalten wir eine Differentialgleichung für den Spulenstrom, ähnlich zur
Kondensatoraufladung
di ⋅ L
= dt
Uq − i R
(1.1.53)
Substitution: Mit der Substitution x = U q − i R
ergibt sich dx / di = − R und damit
di = −dx / R . Weiterhin setzen wir τ = t ein und erhalten damit
−
L dx
= dτ
Rx
(1.1.54)
Lösung: Für die Lösung der DGL bestimmen wir die Integrationsgrenzen neu zu:
τ = 0 : i = 0 → x = Uq − 0 ⋅ R = Uq
τ = t : i = i → x = Uq − i ⋅ R
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Seite 29
Grundlagen der Elektrotechnik
Damit erhalten wir den Lösungsweg zu
U q −iR
∫
Uq
t
dx
R
= − ∫ dτ
x
L0
R
= − τ |t0
L
U q − iR
R
=− t
ln
Uq
L
U − iR
ln x |U qq
(1.1.55)
U q − iR = U q e − R t / L
Für den Stromanstieg erhalten wir abschließend mit der Zeitkonstanten τ :
τ = L/R
(1.156)
Es ergibt sich eine formal ähnliche Beziehung wie für den Spannungsanstieg beim
Kondensator
i=
Uq
(1 − e )
R
− t /τ
(1.1.57)
Bemerkungen: 1. Anfangswert des Stromes
i (t = 0) = 0
(1.1.58)
2. Die Spulenspannung ist mit Gl. 1.1.50
uL = L
di
d Uq
=L
1 − e−t / r = U q e−t / r
dt
dt R
(
)
(1.1.59)
3. Anfangswert der Spulenspannung
uL (t = 0) = U q
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(1.1.60)
Seite 30
Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.8 Energie in der Spule
Energiebetrag: Der Energiebetrag dw in einer Spule während einer kurzen Zeitspanne dt
des Stromanstiegs ist
p = u ⋅i
dw = pdt
(1.1.61)
Für die Leistung gilt allgemein p = u i und speziell für den Leistungsumsatz an einer
Induktivität gilt p = iLdi / dt und damit wird
dw = i L
di
dt = iLdi
dt
(1.1.62)
Energie: Durch Integration auf beiden Seiten erhalten wir die magnetische Energie in der
Spule zu
I
W = L ∫ i di
(1.1.63)
1 2
LI
2
(1.1.63a)
0
Daraus folgt
W=
Bemerkung: Dieses Ergebnis gilt nur für eine ideale Spule mit konstanter Permeabilität und
ohne ohm’schen Widerstand.
Anwendungen:
1. Eine Spule wird als Energiespeicher verwendet.
2.Die Spule dient zur Erzeugung von Wechselspannung, Elektrische Wirbelfelder.
3. Spulen werden auch bei Aufbau von elektrischen Messgeräten verwendet (z.B. Dreheisenmessgerät, Drehspulenmesswerk).
4. Parallelresonanzkreis: Eine Spule wird mit einem Kondensator parallelgeschaltet.
Dieses Prinzip benutzt man unter anderem bei dem Bau von Lautsprechern für Stereoanlagen.
5. Spulen werden auch in Fahrraddynamo eingesetzt.
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Seite 31
Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.9 Rotatorische Spannungserzeugung
Spannungserzeugung: Aus dem Induktionsgesetzt kann man das Prinzip zur Spannungs-
erzeugung ableiten, in dem man die zeitabhängige Änderung des Flusses φ .betrachtet:
Realisierung: Es ist eine Relativbewegung des Magneten und der Spule notwendig. Dazu
kann wahlweise ein Magnet zu einer ruhenden Spule oder eine Spule zu einem ruhenden
Magnet bewegt werden.
Praxis: Eine Drahtspule mit rechteckigem Querschnitt, der Länge l und der Breite b rotiert
uv
in einem homogenen Magnetfeld B (siehe Abb. 1.1.31) .
Prinzip: Das Prinzip der rotatorischen Spannungserzeugung:
t = 0 : Die Drahtspule stehe in der Stellung ϕ = 0 , so dass der Fluss φ die größtmögliche
Fläche A = l b durchflutet.
t = t ′ : Nach einer Drehung um den Winkel ϕ0 tritt nur noch ein Teilfluss φ ′ = BA′ in der
Spule auf, mit A′ = A cos ϕ0 .
ϕ = 90° : Die vom Fluss durchsetzte Fläche ist Null.
ϕ ⟩ 90° : Der Fluss tritt in entgegengesetzter Richtung durch die Fläche.
Abbildung 1.1.31.: Prinzip der rotatorischen Spannungserzeugung
Induzierter Fluss: Die Spule rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω , so dass
wegen ϕ = ωt auch A′ = A cos ωt gilt. Damit ergibt sich der zeitabhängige Fluss durch die
Spulenfläche zu
φ ′ = BA cos ωt
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(1.1.64)
Seite 32
Grundlagen der Elektrotechnik
Induzierte Spannung: Mit Hilfe des Induktionsgesetzes erhalten wir die an den Drahtenden
abgreifbare Spannung
u = −uind =
dφ ′ d
= ( BA cos ωt ) = − BAω sin ωt = u$ sin ωt
dt dt
(1.1.65)
Spule: In einer Spule mit N Windungen entsteht die Spannung
u = − N BA ω sin ωt
(1.1.66)
Wir erhalten eine sinusförmige Spannung mit dem Scheitelwert (Spitzenwert der Amplitude)
u$ = N BA ω
(1.1.67)
Realisierung: Für die Praxis ist es notwendig, die Spannung aus der rotierenden Spule auf
feststehende Leitungen zu bekommen. Dazu gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten
(siehe Abb. 1.1.32) :
1. Abgriff mittels Kommutator (Stromwender): Bei der Drehung der Spule wird die Zuordnung der Spulenanschlüsse zu den Leitungen so geändert, dass die Polarität der abgegriffenen Spannung gleich bleibt. Man erhält eine pulsierende Gleichspannung.
2. Abgriff über Schleifringe: Mit der Drehung der Spule ändert sich nicht nur die Amplitude,
sondern auch das Vorzeichen der abgegriffenen Spannung. Man erhält eine Wechselspannung
u
u
ωt
ωt
Abbildung 1.1.32: Abgriff der induzierten Spannung mittels Kommutator oder Schleifringen
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Seite 33
Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.10
Transformator
Aufbau: Bei einem Transformator sind zwei Spulen durch einen gemeinsamen magneti-
schen Kraftfluss miteinander gekoppelt (siehe Abb.1.1.33) . Der in der Primärspule erzeugte
Fluss erzeugt in der Sekundärspule eine Induktionsspannung. Nach dem Induktionsgesetz
kann ein Transformator nur mit Wechselspannung betrieben werden (Änderung des Magnetflusses). In der Praxis werden die Spulen auf einem weichmagnetischen Eisenkern angeordnet
zur Erhöhung des Magnetflusses.
Prinzip: An der Primärspule N1 wird die Wechselspannung u1 angeschlossen, deren Strom i1
das Feld H1 erzeugt. Die damit verbundene Induktion B1 ergibt im Querschnitt einen Fluss φ1 ,
der die Sekundärspule N 2 durchsetzt und dort aufgrund des Induktionsgesetzes die Spannung
u2 und bei geschlossenem Stromkreis den Strom i2 erzeugt.
Abbildung 1.1.33.: Prinzip des Transformators
Leerlauf: Es gilt für die Primärseite:
u1 = − N1
dφ1
dt
(1.1.68)
Mit φ1 = φ2 ist das Übersetzungsverhältnis des Transformators ü :
ü=
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u1 N1
=
u2 N 2
(1.1.69)
Seite 34
Grundlagen der Elektrotechnik
Leistung: Unter der Voraussetzung, dass keine Verluste auftreten, gilt für die Leistungen
p1 = u1 i1 = p2 = u2 i2 und somit
u1 i1 N1
= =
=ü
u2 i2 N 2
(1.1.70)
Die Ströme in den Spulen sind umgekehrt proportional den Windungszahlen.
Praxis: Die Wicklung für die höhere Spannung hat die höhere Windungszahl aus dünnem
Draht und die Wicklung für die niedrigere Spannung hat die kleinere Windungszahl aus
dickem Draht.
Anwendung: Prinzip einer Kraftfahrzeug-Zündspule (siehe Abb. 1.1.34) :
Die KFZ-Zündspule besteht aus einem Eisenkern mit der Wicklung N1 aus wenigen
Windungen dicken Drahtes und der Wicklung N 2 aus vielen Windungen dünnen Drahtes.
Abbildung 1.1.34.: Prinzip einer KFZ-Zündspule
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Seite 35
Grundlagen der Elektrotechnik
Schalter S geschlossen: Der Batteriegleichstrom baut einen magnetischen Fluss im Eisenkern
auf. Kurzzeitiges Öffnen des Schalters durch die Nockenwelle:
Schneller Zusammenbruch von φ . Wegen des hohen Übersetzungsverhältnisses ü = N1 / N 2
kann man Spannungen zwischen 6 und 30kV erhalten, die durch einen Funkenüberschlag
an der Zündkerze das Benzin-Luft-Gemisch zur Explosion bringen.
Kondensator C dient zur Funkenlöschung am Schaltkontakt.
Bemerkungen:
1. Um bei Transformatoren möglichst geringe Verluste zu haben, verwendet man Dynamoblech, das eine geringe Fläche unter der Hystereskurve hat.
2. Zur Übertragung von elektrischer Energie wird mit Transformatoren eine Hochspannung
erzeugt, die beim Verbraucher wieder heruntertransformiert wird.
3. Zur galvanischen Trennung von Schaltungsteilen mit verschiedenen Spannungspegeln
kann ein Transformator zur Signalkopplung verwendet werden.
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Seite 36
Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.11
Wirbelströme
Induktion: Zur Erzeugung von Induktionsspannungen sind keine Leiter erforderlich!
In jedem Volumen, in dem sich ein magnetischer Fluss zeitlich ändert, entstehen induzierte
Spannungen, die bei Vorhandensein von Ladungsträgern einen Stromfluss zur Folge haben.
Bei konstantem Magnetfeld kann ein Wirbelstrom durch Bewegung einer metallischen Platte
in dieser erzeugt werden.
v
Entstehung: Eine Ladung q trete mit der Geschwindigkeit v senkrecht in ein Magnetfeld
uv
uv
v
der Induktion B ein. Aufgrund der Lorentzkraft wird die Ladung senkrecht zu v und B
abgelenkt, bei passender Kraft auf einen Kreis (siehe Abb. 1.1.35) .
Abbildung 1.1.35.: Entstehung von Wirbelströmen
Transformatoren: Im Eisenkern eines Transformators ändert sich der Magnetfluss und nach
dem Induktionsgesetzt werden dann auch Spannungen im Eisenkern induziert. Die Feldlinien
dieser Spannungen sind in sich geschlossen und erzeugen aufgrund der vorhandenen
Ladungsträger Kreisströme im Eisen, so genannte Wirbelströme, die das Material erwärmen.
Man will die Wirbelstromverluste möglichst klein halten, um einen hohen Wirkungsgrad zu
erzielen.
Realisierung: Die magnetischen Bauteile werden nicht als massiver Eisenkern realisiert,
sondern in der Form von dünnen Eisenblechen, die elektrisch isoliert werden durch dünne
Papier- oder Lackschichten und so den Magnetkern bilden. Zusätzlich wird der elektrische
Widerstand der eingesetzten Bleche durch Zugabe von Silizium erhöht.
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Seite 37
Grundlagen der Elektrotechnik
Hochfrequenz: Da die Induktionsspannungen proportional zur Frequenz sind, müssen bei
HF-Transformatoren weitere Schritte zur Reduzierung der Wirbelstromverluste unternommen
werden: Die Eisenkerne werden aus Eisen in Pulverform mit isolierenden thermoplastischen
Kunststoffen gebildet. Man verwendet dazu schlecht leitende Eisenoxidgemische.
Schweißen: Nach dem Energieerhaltungssatz wird bei der Erwärmung eines Bauteils
elektrische oder mechanische Energie in Wärme umgewandelt. Bringt man ein leitendes
Werkstück in die Nähe einer passend geformten Spule, die mit HF erregt wird, so kann die
Wärme zum Schmieden, Löten oder Härten ausreichen.
v
Wirbelstrombremse: Wird eine gut leitende Metallplatte mit der Geschwindigkeit v in
uv
einem konstanten Magnetfeld B bewegt, so werden die freien Elektronen entsprechend der
Lorentzkraft beschleunigt. Außerhalb des Feldes schließen sich die Elektronenströme.
Die Energie der Strömung wird der Bewegungsenergie des Metallteils entnommen,
so dass dieses proportional zu seiner Geschwindigkeit abgebremst wird.
Anwendung:
1. Wirbelstromdämpfung bei Messgeräten im so genannten aperiodischen Grenzfall.
2. Wirbelstromdämpfung bei Energiezählern.
3. Abbremsung der Drehbewegung von Motoren, wobei aber eine Abbremsung auf v = 0
nicht möglich ist. Das erfordert eine zusätzliche Reibungsbremse.
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Seite 38
Grundlagen der Elektrotechnik
2
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Seite 39
Grundlagen der Elektrotechnik
2. Wechselstromlehre
2.1 Grundbegriffe
2.1.1 Vorkommen und Arten von Wechselströmen
Wechselstrom: Der Schwerpunkt der Anwendungen in der Elektrotechnik liegt auf dem
Gebiet der Wechselströme und -spannungen.
Passive Bauteile: Kondensatoren, Induktivitäten und Ohm’sche Widerstände.
Aktive Bauteile: Generatoren, Motoren.
Energietechnik:
•
Die Energieerzeugung erfolgt mit Drehstromgeneratoren für große Leistungen, die in
Kraftwerken von Turbinen angetrieben werden.
90% der elektrischen Energie werden als Wechselspannungsenergie erzeugt und
verteilt.
•
Energietransport über weite Strecken nach Herauftransformation der Spannung
mit einem Transformator.
Wärmeverluste auf den Leitungen nehmen mit zunehmender Spannung ab. z.B.:
Spannungen in Europa 400 kV , in Russland und Kanada 700 kV .
•
Umwandlung der elektrischen in mechanische Energie durch Drehstrommotoren.
Einfache und robuste Motoren, oft mit elektronischer Drehzahlregelung.
•
2
Frequenzwahl: Bahnstromversorgung mit 16 Hz , Europäisches Energienetz im
3
Verbund 50 Hz und USA Energienetz im Verbund 60 Hz .
•
Drehstromnetz: Besondere effektive Energieübertragung in einem Netz von drei mit
einander verketteten Wechselspannungen.
Zwei verschiedene Verbraucherspannungsangebote: 230V und 400V .
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch
Seite 40
Grundlagen der Elektrotechnik
Nachrichtentechnik:
•
Sprache und Musik: 16 Hz − 20kHz .
•
Sprache beim Telefon: 300 Hz − 3400kHz .
•
Nachrichtenübertragung: 10kHz bis 10GHz für Rundfunk, Fernsehen, Funkverkehr,
Navigation in der Luft und auf See, Radar und Telefonverbindungen
(inkl. Nachrichtenverkehr auf Datenleitungen)
•
Funkübertragung: Mit elektromagnetischen Wellen erzeugt durch hochfrequente
Wechselströme.
.
Abbildung 2.1.1.: Beispiele verschiedener Wechselströme
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch
Seite 41
Grundlagen der Elektrotechnik
Sinusförmig: Am einfachsten mathematisch zu behandeln sind sinusförmige Wechselgrößen
nach Teilbild (c) in (Abb. 2.1.1), da bewährte und leistungsfähige Rechenvorschriften
existieren.
Dreieck-/ Rechteckförmig: Diese einfach aussehenden Funktionen im Teilbild (a) und (b)
können mit Hilfe der Fouriertheorie in eine Summe von sinusförmigen Wechselgrößen zerlegt
werden.
Allgemein: Wechselgrößen entsprechend Teilbild (d) können nicht mehr mathematisch
geschlossen sondern nur approximativ durch sinusförmige Wechselgrößen angenähert
werden.
Gemeinsamkeit: Wechselgrößen sind dadurch gekennzeichnet, dass alle Werte periodisch
wiederkehren.
Periodendauer: Der zeitliche Abstand zwischen 2 beliebigen Punkten gleicher Amplitude
mit gleicher Phasenlage wird als Periodendauer T bezeichnet.
Gleichanteil: Reine Wechselgrößen enthalten keinen Gleichanteil, d.h. der zeitliche Mittel-
wert über eine Periode ist Null.
Bemerkung: Im Folgenden werden alle Ausführungen für sinusförmige Wechselgrößen
gemacht wegen des geringeren Rechenaufwands und der großen elektrotechnischen
Bedeutung.
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch
Seite 42
Grundlagen der Elektrotechnik
2.1.2 Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
Sinusförmiger Strom:
Ein sinusförmiger Strom entsprechend (Abb. 2.1.2a) kann beschrieben werden mit
i = $i sin ωt
(2.1.1)
Hierin bedeutet i den augenblicklichen Strom, $i den Scheitelwert des Stromes, und ω die
Kreisfrequenz und t die Zeit
Abbildung 2.1.2.: Ohm’scher Widerstand: a) Strom- und Spannungsverlauf und b) Leistungsverlauf
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch
Seite 43
Grundlagen der Elektrotechnik
Mit der Periodendauer T und der Frequenz f = 1/ T bestimmt sich die Kreisfrequenz zu
ω = 2π f =
2π
T
(2.1.2)
Die Einheit der Kreisfrequenz ist [ ω ] = s −1 und die Einheit der Frequenz ist
[ f ] = s −1 = Hz (Hertz)
Leistung:
Bei der Umrechnung von Wechselgrößen in Gleichgrößen soll die mit der Energieart
verbundene Kenngröße leistungsmäßig zu einer äquivalenten Leistungsberechnung führen.
Die wesentliche Kenngröße für Wechselgrößen wird daher der Effektivwert und nicht der
Scheitelwert sein.
Widerstand:
Ein sinusförmiger Strom (Gl. 2.1.1) führt an einem ohm’schen Widerstand zu einer
Erwärmung unabhängig von der Stromrichtung. Die umgesetzte Leistung am Widerstand
nach dieser Gleichung
P=
W
U2
=U ⋅I = I2 ⋅R =
t
R
(2.1.3)
2
P = $i ⋅ sin 2 (ωt ) ⋅ R
(2.1.4)
wird damit
Der Leistungswert wechselt periodisch zwischen Null und einem Maximalwert P̂ .
Effektivwert:
Aus der Sinuskurve des Stromes wird der Effektivwert ieff so bestimmt, das er genauso groß
ist, wie ein ersatzweise fließender Gleichstromwert, um dieselbe Arbeit zu verrichten.
Es gilt
T
T
0
0
W= P T = ieff2 RT = ∫ P(t ) dt = R ∫ i 2 (t ) dt
(2.1.5)
Bedeutung:
Die schraffierte Fläche unter der Leistungskurve in (Abb. 2.1.2) ist gleich der Rechteckfläche
mit der Höhe P (der mittleren Leistung) und der Dauer T.
Bestimmung des Effektivwertes: Wir erhalten die mittlere Leistung P zu
P=
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T
1 $2
i R ∫ sin 2 (ωt ) dt = ieff2 ⋅ R
0
T
(2.1.6)
Seite 44
Grundlagen der Elektrotechnik
Damit bestimmt sich der Effektivwert zu
ieff = $i
1
T
∫
T
0
sin 2 (ωt ) dt
(2.1.7)
Nebenrechnung: Der Wert des Integrals A bestimmt sich zu
T
T1

A = ∫ sin 2 (ωt ) dt = ∫  (1 − cos ( 2ωt ) )  dt
0
0
2

1 T
= ∫ (1 − cos ( 2ωt ) ) dt
2 0
1
1 T
1
1
sin 2ωT
= T − ∫ cos ( 2ωt ) dt = T −
2
2 0
2
2 ⋅ 2ω
1
1
T
sin 4π = T
= T−
2
2 ⋅ 2π
2
wobei die Beziehung ω = 2π / T verwendet und weiterhin sin 4π = sin 0 = 0 eingesetzt
wurde.
Effektivwerte: Es folgt damit für den Effektivwert
ieff = $i
$i
1 1
⋅ ⋅T =
= 0.707 $i = I
T 2
2
(2.1.8)
Genauso ergibt sich für die sinusförmige Spannung
ueff =
u$
= 0, 707 u$ = U
2
(2.1.9)
Die Effektivwerte werden mit großen Buchstaben abgekürzt, also ieff = I und ueff = U .
Scheitelfaktor: Das Verhältnis
$i u$
= = 2 =ε
I U
(2.1.10)
wird als Scheitelfaktor bezeichnet.
Dieser hat bei sinusförmigen Wechselgrößen den Wert ε sin us = 1, 414 .
Andere Kurven: Weitere Werte für Scheitelfaktoren mit anderen Kurvenformen sind:
•
Rechteckförmiger Verlauf → ε rechteck = 1
•
Dreieckförmiger Verlauf → ε dreieck = 3 = 1, 73
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Seite 45
Grundlagen der Elektrotechnik
Messgeräte: Handelsübliche Messgeräte sind für die Effektivwertmessung bei Wechsel-
grössen auf einen Scheitelfaktor von
2 = 1, 414 geeicht. Bei der Messung anderer Wechsel-
grössen ergeben sich aufgrund der unterschiedlichen Werte für den Scheitelfaktor Fehler bei
der Messung von Effektivwerten.
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Seite 46
Grundlagen der Elektrotechnik
2.2 Komplexe Rechnung
2.2.1 Komplexe Zahlenebene
Imaginäre Zahl: Senkrecht zur reellen Achse wird eine zweite Achse errichtet mit der
Einheit j 2 = −1 wodurch sich die komplexe Zahlenebene ergibt.
Komplexe Zahl: Eine komplexe Zahl besteht aus einem reellen Teil a und einem imaginären
Teil jb .(siehe Abb. 2.2.1)
r = a + jb
(2.2.1)
Abbildung 2.2.1.: Darstellung der komplexen und konjugiert komplexen Zahl
Konjugiert komplexe Zahl: Zu der komplexen Zahl r lässt sich eine konjugiert komplexe
Zahl definieren
*
r = a − jb
(2.2.2)
Winkel: Die Winkel ϕ und ϕ * der komplexen Zahlen mit der reellen Achse sind
b
a
−b
ϕ * = arctan
a
ϕ = arctan
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(2.2.3)
Seite 47
Grundlagen der Elektrotechnik
Betrag: Für den Betrag der komplexen Zahl oder die Länge des Zeigers gilt
*
r = r = r = a 2 + b2
(2.2.4)
Komponenten: Der Zusammenhang zwischen den Komponenten und dem Winkel ergibt sich
zu
a = r cosϕ
b = r sinϕ
(2.2.5)
Zusammenfassung: Wir erhalten damit als gleichwertige Darstellungen
r = a + jb = r cos ϕ + r j sin ϕ
= r (cosϕ + j sinϕ )
(2.2.6)
Euler: Die Euler’schen Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Sinus und
Kosinus und der Exponentialfunktion sind
r = a + jb = r ⋅ e jϕ = r (cos ϕ + j sin ϕ )
(2.2.7)
Da die e -Funktion hier nur als „Träger“ für den Winkel ϕ dient, kann man vereinfachend
schreiben
r ⋅ e jϕ = r ⋅ exp( jϕ ) = r ∠ϕ
(2.2.8)
Winkelfaktor: Der Winkelfaktor e jϕ = ∠ϕ zählt mathematisch positiv (entgegen dem
Uhrzeigersinn). Beispiele für häufige Winkelfaktoren sind
ϕ =0
→ exp( j 0)
= cos(0)
+ j sin(0)
=1
ϕ = π / 2 → exp( jπ / 2) = cos(π / 2) + j sin(π / 2)
= j
ϕ = mπ
= −1
→ exp( jπ )
= cos(π )
+ j sin(π )
ϕ = 3π / 2 → exp( j 3π / 2) = cos(3π / 2) + j sin(3π / 2) = − j
Addition: Für die Addition von zwei Zeigern gilt
r1 + r2 = (a1 + jb1 ) + (a2 + jb2 ) = (a1 + a2 ) + j (b1 + b2 )
(2.2.9)
(siehe Abb.2.2.2.)
Subtraktion: Für die Subtraktion von zwei Zeigern gilt
r1 − r2 = (a1 + jb1 ) − (a2 + jb2 ) = (a1 − a2 ) + j (b1 − b2 )
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(2.2.10)
Seite 48
Grundlagen der Elektrotechnik
Abbildung 2.2.2.: Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
Multiplikation: Für die Multiplikation von zwei Zeigern in Exponentialform gilt
r1 r2 = r1 e jϕ1 r2 e jϕ2 = r1 r2 e j (ϕ1 +ϕ2 )
(2.2.11)
und für die Darstellung in Komponentenform gilt
r1 r2 =(a1 + jb1 ) ⋅ (a 2 + jb 2 )=(a1a 2 - b1b 2 ) + j(a1b 2 + a 2 b1 )
(2.2.12)
Division: Für die Division von zwei Zeigern in Exponentialform gilt
r1
r2
=
r1 e jϕ1 r1 j (ϕ1 −ϕ2 )
= e
r2 e jϕ2 r2
(2.2.13)
und für die Darstellung in Komponentenform gilt
r1
r2
=
(a1 + jb1 ) (a1 + jb1 )(a2 − jb2 ) a1a2 + b1b2
a b −ab
=
= 2
+ j 2 21 12 2
2
(a2 + jb2 ) (a2 + jb2 )(a2 − jb2 )
a2 + b2
a2 + b2
(2.2.14)
Potenzieren: Ein Zeiger wird in die n-te Potenz erhoben
r = (r ⋅ e jϕ ) n = r n e jnϕ = r n ∠ nϕ
n
(2.2.15)
Radizieren: Aus einem Zeiger wird in die n-te Wurzel gezogen
n
r = n r ⋅ e jϕ = n r ⋅ e jϕ / n = n r ∠ϕ / n
(2.2.16)
Differenzieren: Die Differentiation eines Zeigers nach dem Drehwinkel ϕ liefert
dr
d
dr jϕ
d jϕ
=
r ⋅ e jϕ =
e +r
e
dϕ dϕ
dϕ
dϕ
(2.2.17)
Unter der Annahme, dass die Zeigerlänge konstant bleibt, gilt
dr
=0
dϕ
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(2.2.18)
Seite 49
Grundlagen der Elektrotechnik
und damit bekommen wir als Ergebnis
dr
d jϕ
=r
e = r ⋅ j ⋅ e jϕ = j r
dϕ
dϕ
(2.2.19)
Durch die Differentiation wird der Ursprungszeiger mit j multipliziert, d.h. um
den Winkel +90° = −π / 2 (gegen den Uhrzeiger) gedreht.
Integrieren: Die Integration eines Zeigers über dem Drehwinkel ϕ liefert
∫ r dϕ = ∫ r ⋅ e
jϕ
1
1
⋅ dϕ = r ∫ e jϕ ⋅ dϕ = r e jϕ = r = − j ⋅ r
j
j
(2.2.20)
Durch die Integration wird der Ursprungszeiger mit − j multipliziert, d.h. um
den Winkel −90° = −π / 2 (im Uhrzeigersinn) gedreht.
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Seite 50
Grundlagen der Elektrotechnik
2.2.2 Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen
Allgemein: Zur Darstellung von zeitabhängigen Größen sind folgende Kennwerte verwendet
worden
•
Scheitelwert oder Effektivwert
•
Phasenwinkel gegen die Nullrichtung
Zeigerdarstellung: Beim Übergang zu Zeigergrößen ergibt sich der Zusammenhang
Betrag des Zeigers ⇒ Scheitelwert der Wechselgrößen
Phase des Zeigers ⇒ Phasenwinkel der Wechselgrößen
Da die Zeiger mit derselben Frequenz rotieren, bleiben Winkel zwischen verschiedenen
Zeigern erhalten.
Drehfaktor: Die konstante Drehung der Zeiger wird mit dem Drehfaktor
e jωt = ∠ ωt = cos ωt + j sin ωt
(2.2.21)
beschrieben, der den Einheitszeiger auf einem Einheitskreis mit der Winkelgeschwindigkeit
ω umlaufen lässt.
Spannungszeiger: Für einen mit der Winkelgeschwindigkeit ω umlaufender Spannungs-
zeiger mit dem Scheitelwert u$ erhält man dann
u = u$ ∠ ωt = u$ (cos ωt + j sin ωt )
(2.2.22)
Zeitfunktion: Zur Entwicklung einer Zeitfunktion kann dann entweder der Realteil (Kosinus)
oder der Imaginärteil (Sinus) verwendet werden, z.B.
u = Im {u} = u$ sin ωt
(2.2.23)
Phasenwinkel: Führt man einen Phasenwinkel ein, z.B. zwischen dem Strom
{
i = $i sin ωt = Im {i} = Im $i ∠ ωt
}
(2.2.24)
und der entsprechenden Spannung
{
}
u = u$ sin(ωt + ϕ ) = Im {u} = Im u$ ∠ (ωt + ϕ )
(2.2.25)
ein, ist neben dem Drehfaktor ∠ωt = e jωt der Winkelfaktor ∠ϕ = e jϕ zur Beschreibung
notwendig.
Da in der Wechselstromtechnik die Zeitwerte weniger interessant sind, betrachtet man die
Zeiger oft als stillstehende Größen, bei denen der Drehfaktor ∠ωt weggelassen wird.
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Seite 51
Grundlagen der Elektrotechnik
2.3 Komplexe Rechnung an Zweipolen
Zweipole: Bauelemente, die nur zwei Anschlussklemmen haben und keine Spannungsquelle
enthalten, nennt man passive Zweipole. Beispiele sind: (1) Ohm’scher Widerstand, (2) Spule
und (3) Kondensator.
Gleichstrom: Ein Gleichstrom erzeugt (im eingeschwungenen Zustand) an einer Spule
keinen Spannungsabfall und ein Kondensator wirkt als Leitungsunterbrechung. Zeitabhängige
Vorgänge treten nur beim Ein- oder Ausschalten eines Stromes oder einer Spannung auf.
Wechselstrom: Da sich Spannung und Strom periodisch mit der Zeit ändern, ist sowohl die
zeitabhängige Stromänderung bei der Spule als auch die zeitabhängige Spannungsänderungen
beim Kondensator von zentraler Bedeutung.
Idealisierung: Im folgenden werden idealisierte Bauelemente untersucht, d.h.
•
die Spule hat nur ein magnetisches Feld,
•
der Kondensator hat nur ein elektrisches Feld und
•
der Widerstand hat nur ein ohm’sches Verhalten (Wirkwiderstand).
2.3.1 Widerstand
Strom: Liegt an einem Widerstand (siehe Abb. 2.3.1) eine Wechselspannung u, so erhält
man für den Strom den zeitabhängigen Wert
i=
u
u$
= G ⋅ u = sin ωt = G ⋅ u$ ⋅ sin ωt = $i sin ωt
R
R
(2.3.1)
Strom und Spannung am Widerstand sind in jedem Augenblick in Phase, d.h. es tritt keine
Phasenverschiebung ϕ auf.
Abbildung 2.3.1.: Wechselspannung und -strom am Widerstand
In dem Zeigerdiagramm sind u und i parallel zur reellen Achse.
Auf eine komplexe Rechnung kann verzichtet werden, da keine Komponente in Richtung der
imaginären Achse auftritt.
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Seite 52
Grundlagen der Elektrotechnik
Zeitwert: Für den Zeitwert der Leistung P gilt
P = u ⋅ i = i2R =
u2
R
(2.3.2)
Da Spannung und Strom am Widerstand in Phase sind, nimmt die Leistung am Widerstand
entsprechend (Abb. 2.3.2) periodisch von Null (Spannung und Strom sind Null) bis zu einem
Maximalwert (Spannung und Strom sind maximal) zu.
Abbildung 2.3.2.: Leistung am Widerstand
Mittlere Leistung: Anstelle der periodischen Wirkleistung lässt sich eine mittlere Leistung
P definieren, die während der Periodendauer T dieselbe Energie W umsetzt, wie die
schwingende Leistung P (t ) .
T
T
W = PT = ∫ Pˆ sin 2 ωt dt = uˆ $i ∫ sin 2 ωt dt
0
0
(2.3.3)
Nach (Gl. 2.1.6) erhalten wir mit den Effektivwerte U = ueff und I = ieff die mittlere Leistung
P=
zu:
W
U2
= I ⋅U = I 2 ⋅ R =
T
R
(2.3.4)
Ergebnis: Die Wirkleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung.
Die Einheit ist entsprechend der Einführung in der Gleichstromlehre das Watt (W); die
Einheit der Energie ist Wattsekunde (Ws)= J (Joule).
Bemerkung:
u := Spannungszeiger mit Betrag u$
U := Spannungszeiger mit Betrag U = ueff
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Seite 53
Grundlagen der Elektrotechnik
2.3.2 Kondensator
Strom: Wenn am Kondensator (siehe Abb. 2.3.3) die Spannung u anliegt, erhalten wir
ic = C
den Strom
duc
dt
(2.3.5)
Abbildung 2.3.3.: Spannung und Strom beim Kondensator
Für eine sinusförmige Spannung uc = u$ sin ωt ergibt sich
ic = C
d
(uˆ sin ωt ) = C ω uˆ cos ωt
dt
(2.3.6)
Mit der mathematischen Beziehung cos ωt = sin (ωt + π / 2) ergibt sich abschließend
ic = Cω u$ sin(ωt + π / 2)
(2.3.7)
Wenn der Spannungszeiger U auf der positiven reellen Achse liegt, weist der Stromzeiger I
in die Richtung der positiven imaginären Achse.
Zeigerdarstellung: Der Strom ic eilt der Spannung uc um +90° voraus. In der Zeigerdar-
stellung entspricht dieses einer Multiplikation mit + j
I = jω CU
(2.3.8)
Blindleitwert: Wir führen den kapazitiven Blindleitwert ein (analog zu I = GU )
Bc = ω C
(2.3.9)
und erhalten damit (analog zu U = RI )
U=
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I
I
I
=−j
=−j
= j I Xc
ωC
j Bc
Bc
(2.3.10)
Seite 54
Grundlagen der Elektrotechnik
Blindwiderstand: Damit erhalten wir den Betrag des kapazitiven Blindwiderstands zu
Xc =
1
1
=
ω C Bc
(2.3.11)
Bemerkung: Blindwiderstand X c und Blindleitwert Bc sind eine Funktion der Kreisfrequenz
ω (siehe Abb. 2.3.4).
Abbildung 2.3.4.: Phasenwinkel und Frequenzgang des kapazitiven Blindleitwerts und Blindwiderstands
Der Leitwert wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an; der Widerstand geht von
sehr großen negativen Werten aus gegen Null. Die Phasenwinkel ϕ B und ϕ X zwischen Strom
und Spannung sind konstant, d.h. keine Funktion der Kreisfrequenz.
(ϕ = arctan(Im {Z } / Re {Z }))
Leistung: Jeweils nach 90° ist entweder i oder u Null, so dass dann auch die Leistung Null
wird. Der Verlauf der Leistungsschwingung ist in (Abb. 2.3.5) dargestellt.
0 bis T/4: Der Kondensator wird vom Generator aufgeladen mit der Energie
2
1
W = C u$
2
(2.3.12)
T/4 bis T/2: Der Kondensator entlädt die eben aufgenommene Energie in den Generator
zurück.
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Seite 55
Grundlagen der Elektrotechnik
Abbildung 2.3.5.: Kapazitive Blindleistung beim Kondensator
T/2 bis 3T/4: Der Generator liefert die Energie bei umgekehrtem Vorzeichen von Strom und
Spannung.
3T/4 bis T: Die Energie fließt wieder in den Generator zurück.
Ergebnis: Beim idealen Kondensator geht keine Energie verloren (als Wärme oder mechani-
sche Energie), sondern sie pendelt zwischen Generator und Kondensator hin und her.
Wirkleistung: Die Wirkleistung beim Kondensator ist damit
P=0
(2.3.13)
Blindleistung: Man definiert eine kapazitive Blindleistung zu (ϕ = 90°, X c ⟨ 0)
2
2
Qc = U I = U / X c = I X c ⟨ 0
(2.3.14)
Die Einheit der Blindleistung ist “Voltampere reactice“ (Var), zur Unterscheidung von der
Wirkleistung, die die Einheit Watt hat.
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Seite 56
Grundlagen der Elektrotechnik
2.3.3 Spule
Strom: Bei der Spule (siehe Abb. 2.3.6) setzen wir aufgrund der einfachen mathematischen
Behandlung einen kosinusförmigen Strom voraus
iL = − $i cos ωt
(2.3.15)
Abbildung 2.3.6.: Spannung und Strom bei der Spule
Spannung: Wir erhalten die Spannung nach
di
d
= L (−$i cos ωt )
dt
dt
=L ω $i sin ωt = L ω $i cos(ωt − π / 2)
uL = L
(2.3.16)
=u$ sin ωt = u$ cos(ω t - π /2)
Wenn der Spannungszeiger U auf der positiven reellen Achse liegt, weist der Stromzeiger I
in die Richtung der negativen imaginären Achse.
Zeigerdarstellung: Die Spannung uL eilt dem Strom iL um +90° vor (Negative Amplitude
d.h. −180° und −90° Phasenwinkel).
In der Zeigerdarstellung entspricht dieses einer Multiplikation mit + j
U = jω L I
(2.3.17)
Blindwiderstand: Wir führen den Betrag des induktiven Blindwiderstands
X L = ωL
(2.3.18)
ein und erhalten damit
I=
U
U
U
=−j
=−j
= jU BL
ωL
j XL
XL
(2.3.19)
Blindleitwert: Damit erhalten wir den Betrag des induktiven Blindleitwerts zu
BL =
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1
1
=
ωL X L
(2.3.20)
Seite 57
Grundlagen der Elektrotechnik
Bemerkung: Blindwiderstand X C und Blindleitwert BC sind auch hier entsprechend
(Abb. 2.3.7 ) eine Funktion der Kreisfrequenz ω .
Der Widerstand wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an. Der Leitwert geht von
sehr großen negativen Werten aus gegen Null. Die Phasenwinkel ϕ B und ϕ X zwischen Strom
und Spannung sind konstant, d.h. keine Funktion der Kreisfrequenz.
Abbildung 2.3.7.: Phasenwinkel und Frequenzgang des induktiven Blindleitwerts und Blindwiderstands
Leistung: Jeweils nach 90° ist entweder i oder u Null, so dass dann auch die Leistung Null
wird. (Siehe Abb.2.3.8, analog zum Kondensator).
T/4 bis T/2: Die Spule wird vom Generator aufgeladen mit der Energie
W=
1 $2
Li
2
(2.3.21)
T/2 bis 3T/4: Die Spule entlädt die eben aufgenommene Energie in den Generator zurück.
3T/4 bis T: Der Generator liefert die Energie bei umgekehrtem Vorzeichen von Strom und
Spannung.
T bis 5T/4: Die Energie fließt wieder in den Generator zurück.
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Seite 58
Grundlagen der Elektrotechnik
Abbildung 2.3.8.: Induktive Blindleistung bei der Spule
Ergebnis: Auch bei der idealen Spule geht keine Energie verloren, sondern sie pendelt
zwischen Generator und Induktivität hin und her.
Wirkleistung: Die Wirkleistung bei der Spule ist damit
P=0
(2.3.22)
Blindleistung: Man definiert eine induktive Blindleistung zu (ϕ = −90° , X L ⟩ 0)
2
2
QL = U I = U / X L = I X L ⟩ 0
(2.3.23)
Die Einheit der Blindleistung ist “Voltampere reactice“ (Var).
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Seite 59
Grundlagen der Elektrotechnik
2.3.4 Leistungsbegriffe in komplexer Darstellung
Betrachtet wird ein allgemeiner linearer Zweipol von beliebigem inneren Aufbau (Abb.2.4.1).
An seinen Klemmen liege die zeitharmonische Spannung u (t ) und es fließe der Strom i (t )
Abbildung 2.4.1.: Strom und Spannung an den Klemmen eines Zweipols
von der Form:
{
i (t ) = iˆ ⋅ cos(ωt + ϕ ) = Re {iˆ e
} { }
} = Re{I e }
u (t ) = uˆ ⋅ cos(ωt + ϕu ) = R e uˆ e jϕu e jωt = Re U e jωt
i
jϕi
e jωt
(2.4.1)
jω t
(2.4.2)
Dabei wird ein Verbraucherzählpfeilsystem angenommen. Die momentane Leistung p (t )
ist dann:
p (t ) = u (t ) ⋅ i (t )
= uˆ ⋅ iˆ ⋅ cos(ωt + ϕu ) ⋅ cos(ωt + ϕi )
(2..4.3)
Mit dem Additionstheorem
cos( x) ⋅ cos( y ) =
1
( cos( x − y ) + cos( x + y ) )
2
(2.4.4)
wird daraus
1
p(t ) = uˆ ⋅ iˆ ⋅  cos (ϕu − ϕi ) + cos ( 2ωt + ϕu + ϕi ) 
2
(2.4.5)
Entsprechend den Zählrichtungen von u (t ) und i (t ) nimmt der Zweipol im Fall p (t ) ⟩ 0
Leistung auf, im Fall p (t ) ⟨ 0 gibt er Leistung ab.
Wir schreiben den Term cos(2ωt + ϕu + ϕi ) in der Form
cos(2ωt + ϕu + ϕi ) = cos ( 2 (ωt + ϕu ) − (ϕu − ϕi ) )
(2.4.6)
Mit dem Additionstheorem
cos( x − y ) = cos x ⋅ cos y + sin x ⋅ sin y
(2.4.7)
wird daraus
cos(2ωt + ϕu + ϕi ) = cos 2(ωt + ϕu )cos(ϕu − ϕi ) + sin 2(ωt + ϕu )sin(ϕu − ϕi )
(2.4.8)
und nun können wir damit p (t ) schreiben als:
{
}
1
p(t ) = uˆ ⋅ iˆ ⋅ (1 + cos 2 (ωt + ϕu ) ) cos (ϕu − ϕi ) + sin 2 (ωt + ϕu ) sin (ϕu − ϕi )
2
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch
(2.4.9)
Seite 60
Grundlagen der Elektrotechnik
Offenbar besitzt der Term (1 + cos 2(ωt + ϕu )) den Mittelwert 1 und der Term (sin 2(ωt + ϕu ))
den Mittelwert 0. Man bezeichnet die Leistung, die zeitlich im Mittel vom Zweipol aufgenommen wird, als Wirkleistung P . Dem gegenüber steht ein Anteil, der im zeitlichen
Mittel 0 ist, also eine Leistung, die vom Zweipol aufgenommen und zu anderen Zeiten wieder
abgegeben wird. Diesen Anteil bezeichnet man als Blindleistung Q und man schreibt
1
P = p(t ) = uˆ ⋅ iˆ ⋅ cos(ϕu − ϕi ) = ueff ⋅ ieff ⋅ cos(ϕu − ϕi )
2
(2.4.10)
1
Q = uˆ ⋅ iˆ ⋅ sin(ϕu − ϕi ) = ueff ⋅ ieff ⋅ sin(ϕu − ϕi )
2
(2.4.11)
Mit der Zerlegung(Gl. 2.4.10, 11) in Wirk- und Blindleistung kann die Momentanleistung
(Gl. 2.4.9) auch geschrieben werden als
p(t ) = P ⋅ (1 + cos 2(ωt + ϕu )) + Q ⋅ sin 2(ωt + ϕu )
(2.4.12)
In dieser Form erkennt man die Bedeutung der Wirkleistung P als den zeitlichen Mittelwert
der Momentanleistung sowie die Blindleistung Q als die Amplitude des mittelwertfreien
und zeitlich schwankenden Anteils der Momentanleistung p(t ) .
In (Abb. 2.4.2) sind beispielhaft die Funktion u (t ), i(t ), p (t ) sowie der zeitliche Mittelwert
von p(t ) für ϕu − ϕi = 60o dargestellt.
Abbildung (2.4.2) Spannung, Strom und Momentanleistung für
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ϕu − ϕi = 60o
Seite 61
Grundlagen der Elektrotechnik
Zerlegen wir den Strom in (Abb.2.4.3) in einen Anteil, der mit u (t ) in Phase ist und in einem
Anteil, der mit u (t ) um π / 2 nacheilt, so erhalten wir zwei Stromkomponenten:
I wirk und I blind .
Unter Verwendung der komplexen Schreibweise können wir die komplexe Scheinleistung
S = P + jQ =
1
1
⋅ U ⋅ I ∗ = uˆ ⋅ iˆ ⋅ e j (ϕu −ϕi )
2
2
(2.4.13)
definieren, so dass P = Re {S } und Q = Im {S } ist.
Es ist zu beachten, dass der konjugiert komplexe Strom für die Berechnung genutzt werden
muss.
Abbildung (2.4.3) Zerlegung des Stromes in einen Wirk- und einen Blindanteil
Jeder Zweipol kann an seinen Klemmen durch seine Impedanz Z bzw. durch seine
Admittanz Y = 1/ Z beschrieben werden. Verwendet man die Zusammenhänge U = Z ⋅ I
und I ∗ = Y ∗ ⋅ U ∗ , so ergeben sich aus (Gl. 2.4.13) die Formeln für Wirk- und Blindleistung.
1
1 2
1 2
S = U ⋅ I ∗ = iˆ ⋅ Z = uˆ ⋅ Y ∗
2
2
2
(2.4.14)
1 2
1
 1 2
P = Re  U ⋅ I ∗  = iˆ ⋅ Re {Z } = uˆ ⋅ Re {Y }
2
2
 2
(2.4.15)
1 2
1
 1 2
Q = Im  U ⋅ I ∗  = iˆ ⋅ Im {Z } = − uˆ ⋅ Im {Y }
2
2
 2
(2.4.16)
Die Definition (Gl.2.4.13) beinhaltet die Konvention, dass induktive Blindleistung positiv und
kapazitive Blindleistung negativ gezählt wird.
Der Betrag der Scheinleistung errechnet sich mit:
S = P2 + Q2 =
uˆ
iˆ
⋅
= ueff ⋅ ieff
2 2
(2.4.17)
Sie ist das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom.
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An dieser Stelle sei betont, dass die Beträge von komplexen Zeigern in der Hochfrequenztechnik stets Scheitelwerte sind, während im Bereich der Energietechnik üblicherweise mit
Effektivwerten gerechnet wird.
Einheit: Zur besseren Unterscheidung der Leistungsarten erhalten diese unterschiedliche
Massbezeichnungen: [ P ] = W (Watt), [ S ] = V A (Voltampere) und [Q ] = Var (Voltampere
reactive).
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