Ü Block Geometrie 2010

VORLESUNG
PROF. J. BÖHM
M AT H E M A T I K
VORKURS ÜBUNG 2
FH KÖLN, F. 10
GUMMERSBACH
Übungen zur Goniometrie, Trigonometrie, Analytischen Geom.
Aufg. 1: Rechnen Sie in Bogen- bzw. Gradmaß um:
a) 15°
b) 225°c) 105°
d) 277,5°
e) 4,24°
f) 31°17’20’’
g) π/4
h) 2
i) 2⋅π + 0,1
j) 13π/4
Hinweis: Kontrollieren Sie die Winkeleinstellung Ihres Taschenrechners und sehen
Sie sich die Definition von °,´,´´ an! Geben Sie nu r so viele tragende Stellen an, wie
die Vorgabe aufweist! Bei e) müssen Sie 4 Nachkommastellen schreiben, auch wenn
die letzte Stelle eine 0 ist.
Aufg. 2: Bestimmen Sie Umfang und Fläche eines a) gleichseitigen und b) eines
gleichschenkligen Dreiecks. Elementare Herleitung mit Seiten a,a,a bzw. a,a,c !
Aufg. 3: Ermitteln Sie die Funktionswerte sin, sos, tan für folgende Winkel:
a) -390°
b) 7,784
c) 11 π/6
d) 47° 15’
Aufg. 4: Bestimmen Sie die Höhe eines Baumes, der 30,0 m von Ihnen entfernt ganz
senkrecht steht! Für den Winkel zwischen der Horizontalen und der Baumspitze
haben Sie 50,0° gemessen. Ihre Augenhöhe beträgt 1, 80m.
Es gibt verschiedene Rechenwege!
Aufg. 5: Bestimmen Sie die übrigen Seiten und Winkel der Dreiecke:
a = 179 m
b = 208,3 m γ = 18,3°
Aufg. 6: Wie groß ist die Resultierende zweier senkrecht zueinander stehender Kräfte von
200 N und 150 N ? Hinweis: sehen Sie die beiden Kräfte als Katheten eines
rechtwinkligen Dreiecks! Eigentlich müßten Sie die Kraftvektoren addieren.
Wenn Sie die trigonometrischen Umkehrfunktionen beherrschen: Welchen Winkel
bildet die Resultierende mit den Komponenten?
Aufg. 7: Ein Rhombus ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich lang sind und die
beiden Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Die Seiten des Rhombus sind
10 cm lang und eine Diagonale mißt 12 cm. Wie lang ist die andere Diagonale?
Aufg. 8: Eine 6 mm dicke Erbse verdeckt gerade den Vollmond, wenn man sie 66 cm vom
Auge entfernt hält. Wie verhalten sich demnach Mond- und Erdradius, wenn die
Mondentfernung 60 Erdradien beträgt?
Aufg. 9: (schwierig!) Lösen Sie A. 4.2.d) aus Schäfer/Georgi! Hinweis: Die Verhältnisse sind
anders, als es in der Skizze aussieht! Schätzen Sie den Wert erst mal über eine
Skizze. Beachte: Auftreffwinkel gleich Abprallwinkel. Verwenden Sie z.B. tan(42°) für
eine unbekannte Hilfsstrecke.
Aufg. 10: Etwas anspruchsvollere Aufgabe der Geometrie (Klasse 10):
Von einem Beobachtungspunkt P, der h=14m über einer Wasserfläche liegt,
erscheint eine Bergspitze unter einem Erhebungswinkel von α=12,5° und ihr
Spiegelbild S im Wasser unter dem Senkungswinkel β=15°.
Wie hoch liegt die Bergspitze über dem Niveau des Sees?
Hinweise: Skizze zuerst!! Verwenden Sie tan(12,5°) und tan(15°) für einen Teil der
Berghöhe und die unbekannte „horizontale Entfernung“ zur Bergspitze!
Aufg. 11: Konstruieren Sie den Schwerpunkt, den Innenkreis und den Umkreis eines Dreiecks.
(keine Werte berechnen!)
Ü BLOCK GEOMETRIE 2010.ODT
S. 1
28.09.2010
VORLESUNG
PROF. J. BÖHM
M AT H E M A T I K
VORKURS ÜBUNG 2
FH KÖLN, F. 10
GUMMERSBACH
Aufg. 12: Die abgebildete Pyramide hat eine quadratische Bodenfläche,
deren Seitenlängen 40m betragen. Die Pyramide ist 50 m hoch.
Wie groß ist die Entfernung von der Spitze zu den Ecken am Boden?
Aufg. 13: Geradengleichungen bestimmen (Form: y=mx+n) :
a) Zwei Punkte gegeben:
P1=(1;2) , P2=(-1;1). Lös: y=x/2 + 1,5
b) Punkt und Winkel gegeben:
P1=(4;4) , α=150° zur x-Achse
Lös.: y= -0,57735x + 6,30940
c) Achsenabschnitte gegeben:
a=-1; b=3.
.
Lös.: y= 3x + 3
Aufg. 14: Geradenschnitt. Bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel von:
Lös: (2;2) ; α=90° .
y = ½⋅x + 1
und y = -2⋅x + 6 .
Aufg. 15: Von einer Kreisfläche (Radius r=10 cm) wird ein Segment der Höhe h=1cm
abgeschnitten. Welche Fläche hat der Rest? Wie lang ist der Bogen des Segments?
Aufg. 16: Zwei Kreise haben Radien 0<r1<r2. Erläutern Sie genau, unter welchen Umständen
(Abstand der Kreise!) sich die Kreise in welcher Form schneiden!
3-5 Fälle unterscheiden !
·
a
h
b
Aufg. 17: Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes von
Pythagoras den Höhen-Satz im rechtwinkligen
Dreieck:
2
h =p·q
q
·
p
c
Aufg. 18: Bearbeiten Sie diese Aufgabe nur, wenn Sie
wissen, wie man aus tan(α)=konst auf α schließen kann (unter Verwendenung von
arctan (bzw. tan-1)!
Aus einer Kreisscheibe mit Durchmesser d soll ein möglichst großes Quadrat
geschnitten werden. Welchen Flächeninhalt hat es?
Wenn Sie mit dem unbestimmten Parameter d noch nicht zurecht kommen, fertigen
Sie erst mal mit d=10 cm eine Skizze an und schätzen Sie die Seitenlänge des
Quadrates. Dann rechnen Sie mit d=10 und anschließend versuchen Sie es mit dem
allgemeinem Symbol d!
Aufg. 19: Ein regelmäßiges Achteck mit Seitenlänge a (zeichen/rechnen Sie z.B. mit a=2cm)
hat welchen Flächeninhalt? Wie groß ist der Winkel zwischen angrenzenden Seiten?
Hinweis: Skizzieren Sie einen Kreis und versuchen Sie darin ein passendes Achteck
hinein zu konstruieren. Der Rest ist Dreieckslehre. Bestimmen Sie zunächst den
Winkel und arbeiten Sie dann z.B. mit dem Sinus- oder Kosinussatz zur Bestimmung
des Kreisradius r!
Ü BLOCK GEOMETRIE 2010.ODT
S. 2
28.09.2010