1. Mathematikschulaufgabe - mathe-physik

Gymnasium
1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Bestimme die Lösungsmenge !
(G =
)
50x2 - 8 = 0
2.
Bestimme Definitions- und Lösungsmenge !
(G =
)
3x
2x + 7
6
−
=
x−2
x+3
x−2
a2 = a. Hat er recht ? Begründung !
3.
Jemand behauptet:
4.
Vereinfache und führe, falls nötig, eine Fallunterscheidung durch:
(−2)( −a2 ) − ( −2a2 )2 − 9a2 + 3a
5.
Gegeben sind die Punkte A ( 0 / 2 ) , B ( 2 / 3 ) , C ( 5 / 4 , 5 ) und D ( 8 / 6 ) .
Durch eine zentrische Streckung wird D auf A und C auf B abgebildet.
Konstruiere das Streckzentrum.
6.
Gegeben sind die eingezeichneten Längen der nicht maßstabsgetreuen Skizze zu
einer zentrischen Streckung mit Streckzentrum Z.
a)
Bestimme den Streckfaktor.
b)
Berechne A ′A ′′ .
c)
Berechne ZB′′ .
GM_A0006 **** Lösungen 2 Seiten
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Löse folgende Gleichung ! (G=R)
( x + 3 ) ⋅ ( x − 5 ) − 6x = −2x ⋅ ( 4 + 2x )
2.
Bestimme Definitions- und Lösungsmenge! (G = R)
1

3⋅x +  1 − x
8,5 − x
4
− 
= 4
x ⋅ ( x + 2)
x+2
x
3.
Gegeben ist der Term T(x) =
1
x +2−x
2
mit G = R
a) Für welche reellen Zahlen ist der Term definiert ?
b) Forme den Term so um, daß der Nenner ohne Wurzel ist.
c) Für welche Einsetzungen erhält man den Termwert
4.
5 ?
Gegeben ist die Strecke [AB] mit AB = 8 cm.
a) Zeichne [AB] und konstruiere den inneren und den äußeren Teilpunkt Ti bzw. Ta,
die die Strecke [AB] im Teilverhältnis τ =
7
3
teilen.
b) Teile die Strecke [AB] mit AB = 8 cm im Verhältnis
5.
5 : 3.
Maria steht am Ufer eines Sees und sieht ein Schiff,
dessen Länge a = 34,8 m ihr bekannt ist. Sie peilt es
mit ihrem Bleistift an, so dass der Stift und das Schiff
genau zur Deckung kommen (die Bleistiftspitze sieht
sie vor der Bugspitze).
Sie misst die Länge des Bleistifts (b = 8 cm) und die
Entfernung von ihrem Auge zur Bleistiftspitze
(e = 42 cm) und behauptet, dass sie aus allen ihr
bekannten Angaben ihre Entfernung von der Bugspitze
errechnen kann.
a) Worauf muss Maria achten, damit sie den Strahlensatz anwenden kann ?
b) Erstelle eine Skizze mit den Angaben und berechne
die Entfernung der Bugspitze zur Bleistiftspitze !
GM_A0067 **** Lösungen 3 Seiten
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
Die Platzhalter in den folgenden Aufgaben seien aus der Grundmenge R so gewählt,
dass alle angegebenen Wurzeln definiert sind.
Gib alle Endergebnisse so weit wie möglich vereinfacht und ohne unnötige Betragsstriche an.
Die Berechnung bzw. Vereinfachung mit dem Taschenrechner wird nicht gewertet.
1.
Berechne !
2
 27 − 8 3   2
1  2
1 
−  −
+
−



=
2   3
12
2   3
2 

2.
Ergänze den Radikanden zu einem vollständigen Quadrat und radiziere !
m4 + m2n2 + ...
3.
Mache den Nenner rational und vereinfache soweit wie möglich !
3a ⋅ ( 3 − b )
3ab − b a
4.
−3
3a
=
b
a) Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Folge von unendlich vielen
Intervallen eine Intervallschachtelung darstellt ?
5
eine Intervallschachtelung an, indem du die ersten vier
3
Intervalle notierst.
b) Gib zu der Zahl
5.
Gegeben sei die Strecke [AB] mit AB = 9 cm.
a) Teile die Strecke [AB] durch den Teilpunkt T im Verhältnis τ = 1,2 !
b) Berechne die Länge der Strecke [TB]. (Runde auf eine Dezimalstelle.)
GM_A0068 **** Lösungen 2 Seiten
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Bestimme die Definitionsmenge der Terme:
a)
2.
x2 + 4
b)
− | 2x + 3 |
(G = ! )
c)
3x + 4
3x − 1
Vereinfache die Terme soweit wie möglich !
a)
(
) (
a+b + b ⋅
a+b − b
)
b)
12a2 + 12ab + 3b2 :
a3b − 2a4
2b2 − 4a2
3ab2
3.
Was versteht man unter der Harmonischen Teilung einer Strecke [AB] ?
Zeichne eine Strecke [AB] der Länge 5,5 cm und teile sie harmonisch im
Verhältnis 3:2.
Achte auf eine saubere Konstruktion !
4.
Berechne die Streckenlängen BC , AE , FG , EG .
Gib bei jedem verwendeten Strahlensatz die Art der Strahlensatzfigur
(V-Figur bzw. X-Figur) und das Zentrum an !
Gegeben: AD || FG, BC || DF, AG = 21 cm
GM_A0076 **** Lösungen 3 Seiten
(Skizze nicht maßstäblich !)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Ermittle das Zentrum Z einer zentrischen Streckung mit m = - 1,5; P ( 2 / 1 )
und P ’ ( 6 / 4 ) durch Rechnung und Konstruktion.
Betrachte anschließend P’ als Zentrum und Z als Bildpunkt von P !
Wie lautet der Streckungsfaktor für diese Abbildung ?
2.
Im Dreieck ABC ist c = 5 cm und hc = 4 cm.
Mittels einer zentrischen Streckung wird das Dreieck ABC auf ein Dreieck A’B’C’
abgebildet, dessen Fläche 80cm2 größer als die des Ausgangsdreiecks ist.
Berechne den Streckungsfaktor m !
3.
Bestimme 8 näherungsweise auf die 5. Stelle nach dem Komma (der Lösungsweg
muß erkennbar sein) !
4.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 6x(x - 2) - (2x - 3)2 = 16
5.
Vereinfache soweit wie möglich:
a ⋅ b5
16y
 x3
a3 x 2 
⋅
:

6 
 3b3 y
27y


GM_A0105 **** Lösungen 3 Seiten
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. Grundmenge ist ! .
1
14x − 6
x
−
=
2
x − 6 36 − x
x+6
2.
Ergänze den Radikanden zu einem vollständigen Quadrat und radiziere.
Das Ergebnis ist in betragsfreier Form anzugeben.
3,61p2 + 2,28 p + "
3.
Radiziere soweit wie möglich, wobei x und y positive reelle Zahlen vertreten.
x6 + x2
200a2
4.
Fasse soweit wie möglich zusammen.
Die Variablen y und z sind positive reelle Zahlen.
y y + y 3 − y z2 + 4y
5.
Die zentrische Streckung SZ; m mit m > 1 bildet [CD] auf [C’D’] ab.
Gegeben sind: ZC' = 4,2 cm, CC' = 1,4 cm, DD' = 2,2 cm, C'D' = 3,6 cm .
Fertige eine Zeichnung an (Skizze genügt) und berechne m, CD und ZD' .
6.
Konstruiere den Urpunkt P, der bei der zentrischen Streckung am Zentrum Z ( 1 / 1 )
mit dem Streckungsfaktor m =
GM_A0113 **** Lösungen 2 Seiten
7
4
auf den Punkt P’(11,5 / 4,5) abgebildet wird.
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Bestimme jeweils die Lösungsmenge
a)
5x + 2y = 9
b)
∧ 2x − 3y = −4
c)
7x − 17y = 11
∧ 4x + 1 = 17y
1
1
x+ y=2
4
8
1
1
∧ y = x+3
6
3
−
2.
In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel 4mal so groß wie der Winkel
an der Spitze.
Bestimme die Innenwinkel des Dreiecks.
3.
Zwei Esel tragen Säcke. Da sagt der eine zum anderen: „Wenn du mir einen Sack
abgibst, dann tragen wir beide gleich viel.“
Der andere Esel erwidert: „Wenn du mir einen Sack abgibst, dann trage ich doppelt
so viel wie du.“
Wie viele Säcke trägt der eine Esel, wie viel der andere ?
4.
Welche Zahlen muss man für den Parameter k jeweils einsetzen, damit das folgende
Gleichungssystem a) genau eine Lösung
b) unendlich viele Lösungen
c) keine Lösung hat ?
3x − 6y + 3k = 0
∧ − x +ky − 2 = 0
GM_A0155 **** Lösungen 2 Seiten
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Bestimme jeweils die Lösungsmenge:
a)
6x − 3y = −9
∧ − 8x + y = 0
b)
15 9
+ = 57
x y
∧
c)
4 6
− = −10
x y
−3(2x + y) = 12
∧ − 2(x + 0,5y + 2) = 0
2.
Bei einem Rechteck ist eine Seite um 3 cm kürzer als die andere. Der Umfang des
Rechtecks ist um 10 cm größer als die 3-fache Länge der kürzeren Seite.
Wie lang sind die Seiten des Rechtecks ?
3.
Für welche rationale Zahl a hat das folgende Gleichungssystem
a) genau eine Lösung,
b) unendlich viele Lösungen,
c)
keine Lösung ?
3x − 6y + 12 = 0
∧ − x + ay − 4 = 0
GM_A0156 **** Lösungen 2 Seiten
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Der Quotient zweier Zahlen ist 3. Vermindert man jede Zahl um 5, so ist der neue
Quotient 4.
Bestimme die beiden Zahlen.
2.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 40 cm. Jeder Schenkel ist 5 cm
länger als die Basis.
Wie lang ist die Basis und wie lang sind die Schenkel ?
3.
Von drei Zahlen ist die erste um 49 größer als die zweite, diese um 4 größer als die
dritte und die Summe aller drei beträgt 3.
Bestimme die drei Zahlen.
4.
Bestimme jeweils die Lösungsmenge:
a)
(x + 4)(y − 3) = (x + 7)(y − 4)
∧ (x − 2)(y + 5) = (x − 1)(y + 2)
b)
3x + 2y + z = 17
∧ 2x − 3y + 2z = −2
∧ 3x + 2y − z = 11
GM_A0166 **** Lösungen 3 Seiten
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Radiziere soweit wie möglich
x5 y3 z4
27 x y
a)
2.
Fasse unter einer Wurzel zusammen und vereinfache.
a)
c)
3.
a
b
b
a
32 z ⋅ 18 ⋅
b)
y
z
5 − 1) ⋅ 3 + 5
27x 2 : 3
2
24
d)
48
32
b)
9−5 3
7−3 3
Welche der nachstehenden Aussagen ist richtig ?
a) Ist p gerade so ist auch p2 gerade
b) Ist p2 gerade, so ist p gerade
c) Ist p ungerade so ist p2 gerade
d) Ist p2 ungerade, so ist p gerade
e) Jeden Bruch der Form
5.
(
Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich
a)
4.
x3 y 4 − x3 y 2
b)
ungerade Zahl
gerade Zahl
Konstruiere die Streckenlänge
GM_A0167 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0167)
kann man kürzen
3 cm im Maßstab 2 : 1.
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Gib über der Grundmenge _ die Definitionsmenge D an !
Bestimme die Lösungsmenge !
4x + 1 = x
4+x
2.
Berechne 54 auf vier Nachkommastellen genau ! Verwende dabei das HeronVerfahren mit dem Startwert x 0 = 6 ! Dein Rechenweg soll nachvollziehbar sein !
3.
Radiziere so weit wie möglich und führe (falls nötig) eine Fallunterscheidung durch !
4x 4 − 2x x 2
(4
)(
6 −3 8 ⋅ 3 6 +2 8
)
4.
Fasse so weit wie möglich zusammen !
5.
Zeichne eine Strecke [AB] der Länge 4,5 cm und teile sie harmonisch im Verhältnis
T = 3 . Berechne zusätzlich die Länge der Teilstücke.
2
6.
Berechne die Streckenlängen x, r, y, z.
Gib bei jedem verwendeten Strahlensatz
die Art der Strahlensatzfigur (V - Figur
bzw. X - Figur) und das Zentrum an !
Gegeben:
AD & FG, BC & DF
y + z = 21cm
GM_A0288 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0288)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Radiziere teilweise und vereinfache: 2 27 + 3 128 − 507 + 578 =
2.
Radiziere und vereinfache:
3.
Stelle rationalen Nenner her und vereinfache:
a)
4.
9x 2 − 9x 2 − 6x + 1 wobei x < 0
12 + 2 3 − 6 ⋅ 1 + 48 =
3
3
3 +1
b)
1
2− 3
=
In der Skizze sind gegeben:
ED & BC, BC = 4, DC = 6,5,
FD = EF = 1,5 und GB = 4,8
a) Berechne:
x = AD, y = FG und z = AF .
b) Untersuche, ob das Viereck AEBD ein
Parallelogramm ist.
(Antwort begründen, evtl. Rechnung)
5.
Berechne s nach unten stehender Skizze !
GM_A0353 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0353)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Vereinfache und radiziere soweit wie möglich (Zwischenschritte angeben!).
a)
16x 2  56x  49
b)
c)
0,00000175
d)
e)
2.




1 
a3
b6  :
c 

bc
a4
3 75  147  4 27  3
Bestimme die Lösungen über der Grundmenge der reellen Zahlen.
a)
3.
81c 2
x2  x
b)
x  5  20  72
Vereinfache so weit wie möglich.
a)
1 5  5  5
5
2 5
b)
24a 6  24a 3 b 2  6b 4
8a 6  2b 4
c)
2
2 3 2
4.
Was sind irrationale Zahlen?
5.
Gegeben ist der Term T(x)  2x  5 .
5  2x
a) Für welche reellen Zahlen ist der Term definiert?
b) Forme den Term so um, dass der Nenner ohne Wurzel ist.
c) Für welchen x - Wert erhält man den Termwert  2 ?
6.
Wie weit ragt ein 24 cm langer Strohhalm mindestens aus einem zylindrischen
Glas heraus, das einen Durchmesser von 6 cm und eine Höhe von 14 cm hat?
Fertige eine Skizze an, vernachlässige bei deiner Rechnung die Wanddicke des
Glases und die Dicke des Strohhalms.
GM_A0686 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0686)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Die Terme sind definiert. Berechne und radiziere teilweise (exakte Ergebnisse, keine
gerundeten Dezimalbrüche).
33p q  66p2 q2  10p5 q
a)
c)

b)
2
x 5 y

2

8a3  5  18a : 2a
Mache zuerst den Nenner rational.
d)
2.
5 r 2 s
2 rs
a
a 1
e)
Die Terme sind definiert. Vereinfache soweit wie möglich, gehe dabei schrittweise vor.
r :
2s
a)
c)
1 x 2
x 1
f)
3
s3 ; r, s  0


32r
b)
 2  a   22
2  a  2
a
3
2
d)
18  4 10

10  2
e)



6  3; a  0

 
a

135 y 2  180 y  60
90 y 2  40

3.
Begründe die Richtigkeit, oder widerlege durch ein Gegenbeispiel.
a) Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist stets irrational.
b) Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist stets irrational.
4.
Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 4 cm , ist der Flächeninhalt des
neuen Quadrats um 136 cm2 größer als der des ursprünglichen Quadrats.
Berechne die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats.
Um wie viel Prozent ist der Umfang des neuen Quadrats länger als der des
ursprünglichen Quadrats ?
5.
Übertrage die Angabe auf dein Lösungsblatt und ergänze die Leerstellen (binomische
Formel).
........  10a 
2
 ........  10ab2  ........
GM_A0687 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0687)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
2.
Vereinfache ohne Taschenrechner soweit wie möglich durch Herstellen von
Quadraten im Radikanden und (teilweises) Radizieren:
a)
16,2
33,8
b)
d)
64  36
e)
a)
x 4 y10
x2 y7
 0,9  10
c)
4 75  5 48
für x, y   
f)
2ab 
1 a 3 b 5 für a, b   
8
1 x 
x
2
4
b)
1 b2  4  2 b
4
9 3
Bestimme die Lösungsmenge (Zwischenschritte, ohne Definitionsmenge!):
a)
4.
4
Radiziere mit Fallunterscheidung, falls nötig: (Variablen aus  )
6
3.
  3
x 2  9x  2  3 x
23 x
b)
9 3 3
 3x
c)
x  4  15
x
3x  27
Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 5 (Längeneinheit 2 cm , Platzbedarf über dem
Zahlenstrahl 5 cm ).
Bestimme durch Konstruktion den Bildpunkt der Zahl
5.
Bestimme mit dem Heron-Verfahren
6.
Ermittle die Lösungsmengen folgender Gleichungen.
a)
18 .
32 auf zwei Nachkommastellen genau.
x2 1 0
b) 3 x 2  1  4
GM_A0688 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0688)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Erkläre den Unterschied zwischen einer rationalen und einer irrationalen Zahl.
2.
Berechne
3.
Löse die folgenden Gleichungen:
a)
b)
4.
 3x  2    x  1  0
 x  3   x  3  5
Berechne:
a)
b)
5.
27 mit dem Heron-Verfahren auf drei Dezimalstellen genau.
 0,09  y 
2
4a2 
16a 
4
Ergänze den Radikanden zu einem vollständigen Quadrat und radiziere:
x 2  12x  ....
6.
Vereinfache so weit wie möglich:
a)
b)
7.
2 x 3 y  y 2 x


x2  4  2

Schreibe den Faktor der vor der Wurzel steht unter die Wurzel, und fasse zusammen:
a)
2b
3
6a 
b) k 
8.
x2  4  2
1
k
Mache den Nenner rational, radiziere teilweise, und vereinfache so weit wie möglich:
a)
b)
a a
a
x y y x
2 xy
GM_A0689 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0689)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Begründe, ob die folgenden Zahlen rational oder irrational sind.
10082
98
a)
2.
1  3a
a0
9a2  27a3
Multipliziere und radiziere so weit wie möglich! Führe, falls nötig, eine
Fallunterscheidung durch.

a16 a  a2
4.
4,49
Vereinfache so weit wie möglich.
3a
3.
b)

Radiziere und fasse so weit wie möglich zusammen! Schreibe das Ergebnis als
Wurzel.
x 4x  9x 3  16x 5 : x x  0
5.
Bestimme die Definitionsmenge.
a)
6.
9  x2
b)
x3
c)
1
x 7
In einem Rechteck sind die Seiten
a  3 cm und b  4 cm , außerdem
gilt AE  BD .
(siehe nebenstehende Skizze).
a) Berechne die Länge der Diagonalen BD .
b) Berechne die Längen BE, DE und AE
7.
Konstruiere auf einem Zahlenstrahl mit Hilfe des
Höhensatzes eine Strecke der Länge 5 cm .
GM_A0690 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0690)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Berechne bzw. vereinfache soweit wie möglich (Nenner rational machen!).
a)
d)
2.
3  40
1
3
5  10
5  10
b)
5 6 8 6
e)

3 2 5

3 2 5

c)
36  64  36  64
f)
3
5
 6 75 
147
25
7
Fasse zusammen, wenn möglich.
a)
63  2 
4
7
b)
180 
121
125
3.
Bestimme die ersten vier Intervalle einer Intervallschachtelung für 8 . Dabei ist für
jedes Intervall eine Begründung für die Festsetzung der Intervallgrenzen zu geben.
4.
Begründe stichhaltig, warum folgende Gleichungen falsch sind.
a)
295929  456  1000
b) 2070701 
5.
a
mit einer ungeraden Zahl a  
2
Sortiere die folgenden Zahlen richtig ein:
(I) 13,36
(II) 0,5 18
(III)
115  9
44
(IIII)
1
29  11
 0,013
…………………….. gehören zu  ohne  , sind also nicht rational.
…………………….. gehören zu  ohne  , sind also rational, aber nicht ganzzahlig.
…………………….. gehören zu  , sind also ganze Zahlen.
6.
Bestimme die Lösungsmenge in der Grundmenge  .
 3x  1
7.
2
  3x  1  34
2
Der erste und zweite Näherungswert einer Wurzel beim Heronverfahren sind die
Zahlen 4 bzw. 3,5. Für welche Wurzel wird das Verfahren durchgeführt?
GM_A0691 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0691)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
2.
Berechne und vereinfache.
2
2
a) 2 x 
b) 2 x :
x
x
2
x
b)
[7; 8]
[2,8; 2,93]
[7,9; 8,91]
[2,89; 2,903]
[7,99; 8,901]
[7,999; 8,9001]
.
.
[2,899; 2,9003]
[2,8999; 2,90003]
.
.
Vereinfache soweit wie möglich:
a)
b)
c)
d)
4.
2x 
Entscheide, ob die nachstehenden Folgen abgeschlossener Intervalle eine
Intervallschachtelung bilden. Begründung!
Gib gegebenenfalls an, welche Zahl eingeschachtelt wird.
a)
3.
c)
a2  4  4a  a2
 2  7  20 
700
für a  0

 ab  b   a2 b  b 
a 1
ohne Taschenrechner!
für a  1, b  0
x x  y
y
x


xy
x y
x y
für x  0, y  0, x  y
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung in G   :
x  2  x  2  10
8x  16 8x  16 x 2  4
5.
Betrachtet wird die Gleichung x 2  50 .
a) Begründe, warum eine Lösung dieser Gleichung irrational sein muss.
b) Konstruiere den Punkt auf der Zahlengeraden, der die positive Lösung dieser
Gleichung darstellt (Mit kurzer Erläuterung).
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Gib die Definitionsmenge D an und bestimme die Lösungsmenge.
4x  1  x für G  
4x
2.
Berechne 54 auf vier Nachkommastellen genau. Verwende dabei den Heronalgorithmus mit dem Startwert x 0  6 . Dein Rechenweg soll nachvollziehbar sein.
3.
Radiziere so weit wie möglich und führe (falls nötig) eine Fallunterscheidung durch.
4x 4  2x x 2
4.
5.
Fasse so weit wie möglich zusammen.
4

6 3 8  3 6 2 8

Gib die Ergebnisse der folgenden Wurzeln ganzzahlig gerundet an.
Der Taschenrechner (TR) darf hierbei verwendet werden.
a)
123
b)
12345
c)
1234567
Welche Gemeinsamkeit haben diese drei Ergebnisse?
6.
Vereinfache das folgende Produkt so weit wie möglich (ohne TR und nachvollziehbar).
6 5 4 3 2 1
7.
Gib für jeden der folgenden Terme den größtmöglichen Zahlenbereich für a an,
damit der Term jeweils definiert ist. Begründe deine Angaben.
a)
8.
a3
b)
a 5
Gib jeweils die Lösungsmenge an.
a)
x 2  144  0
b)
x  0,25  0,16
c)
x2 
1
0
400
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
Voraussetzung zur Bearbeitung der nachfolgenden Aufgaben.
Die Variablen in den Wurzeltermen sind stets so gewählt, dass die Terme definiert sind.
1.
Gib an, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
90 ist eine irrationale Zahl
25 ist eine natürliche Zahl
9
 27   3
3



wahr
wahr
wahr



falsch
falsch
falsch
Der Wert eines Produktes aus zwei irrationalen Zahlen
wahr
falsch
ist stets eine rationale Zahl.

2.
Vereinfache unter der angegebenen Voraussetzung.
Schreibe das Endergebnis ohne Betrag.
0,36a2  3ab  6,25b2  0,49a2
3.
a, b   
Fasse soweit wie möglich zusammen.
1
a) 35  9 3  81 2
4.

b)
3
y 2  3 y 3 : 12 y 5
c)
 32 a 
1
2 4
2
 3 a  a 3  a1
3
Vereinfache soweit wie möglich (Zwischenschritte angeben).
a)
1 x 2  1,21y 2  11 x y
49
35
b)
27b3 c  3bc  3
c)
49 x 2  9y 2
5.
Gib die Definitionsmenge des Terms an und mache anschließend den Nenner rational.
x
x  2,5
6.
Patrick soll folgenden Term vereinfachen. Runden ist dabei nicht erlaubt.
245 a  845 a  320 a  45 a
Er behauptet aber, dass der gegebene Term nicht weiter vereinfacht werden kann,
weil Wurzeln nur dann exakt addiert werden können, wenn sie den gleichen
Radikanden aufweisen.
Nimm Stellung zu Patricks Aussage und vereinfache – wenn möglich – den Term.
7.
Fülle die Lücken so, dass eine wahre Aussage entsteht.
 ______
 ______   _____  4x 2  0,25
2
GM_A0694 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0694)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Radiziere durch Zerlegung in Quadratzahlfaktoren.
209  266  143  221 119
2.
Vereinfache so weit wie möglich. Verwende Betragstriche nur wo sie erforderlich sind.
4 a 2  24 ab  36b2 
3.
4 2 4
a  ab  b2
9
3
für a, b   
Fasse so weit wie möglich zusammen.
9  19  9  19
4.
Mache den Nenner rational und fasse zusammen.
10  2
5 2 2 5
5.
Auf 9 geltende Ziffern genau ist 123456789  11111,1111
Gib nur anhand dieser Angabe die Werte der folgenden Wurzeln auf 9 geltende
Ziffern genau an:
a)
12345,6789
b)
1,23456789
c)
1234567890000
6.
Die Wurzel aus 10 ist annähernd so groß wie die Kreiszahl  .
Um wie viel Prozent weicht der Wert für  vom Wert für 10 ab ?
Gib das Ergebnis auf 0,01 Prozent genau an.
7.
Bildet das folgende Intervall eine Intervallschachtelung? Begründe deine
Entscheidung!
[ 0,49; 0,61]
[ 0,499; 0,611]
[ 0,4999; 0,6111]
.
.
.
GM_A0695 **** Lösungen 1 Seite (GM_L0695)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Vereinfache so weit wie möglich.
a)
2.
15
2x 
b)
3  14


3x  6  3 


15  x  6 

2x  30

Radiziere durch Zerlegung in Quadratzahlfaktoren.
23  3  726
3.
Fasse zusammen.
4
4.
5.
6.
Mache die Nenner rational und fasse zusammen.
a)
3
4  4w 3  16
b)
11
13

8  2 5 9  4 5
Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen.

x y
x
 x y  y2 

x y

5  3x
b)
x 7
x 7
Bestimme über der Grundmenge  die Definitionsmenge und die Lösungsmenge.
a)
6  5x  4x
x
  2x 
2
b)
8.
2
Bestimme die maximale Definitionsmenge des Terms.
a)
7.
3  5  12  10  3  14  75  147  192  45  3
16
4
48
25
x2
2
2
x2  x  5   9
 x 
x2
x2  4
Im Würfel der Kantenlänge a halbieren die Punkte
B und C jeweils die Kanten.
a) Bestimme den Umfang des Dreiecks ABC
in Abhängigkeit von a.
b) Berechne den Umfang des Dreiecks ABC
auf Millimeter gerundet, wenn gilt: a  8,0 cm .
GM_A0696 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0696)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
2.
Berechne!
a)
36  36
b)
3
d)
4 s3  4 s  3
e)
8 2
2
3 3
4.
f)
0,42

0,2
2
0,5
0,5 3
b  0,9209200920009...
c  0,721000...
Radiziere so weit wie möglich und führe, falls notwendig, eine Fallunterscheidung
durch.
a)
49m4 n2
b)
16x 2  25y 2
c)
9a 2  3a  0,25
c)
25x 2  4x  0,04
Mache jeweils den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich.
Welche Bedingungen müssen die Variablen im ursprünglichen und im
umgeformten Term erfüllen, damit er definiert ist?
a)
5.
3
5
c)  x 2  
5
3
Welche der Dezimalbruchentwicklungen stellt eine rationale, welche eine
irrationale Zahl dar? Begründung!
a  3,9977977...
3.
16
a5
a5
b)
4a  36
a 3
Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichung.
4  2x 3  3  x
für G  
GM_A0697 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0697)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
Der Taschenrechner ist nicht zugelassen!
1.
Vereinfache so weit wie möglich und fasse zusammen.
a)
e)
2.
4a 

5b 

abc 2
:
16
5

a

 2 1 
a x  8 b y


7
6 7 
196
7
d)
5a  5b
a2  b2
 y
3
x  0,9 y  0,16 x  

10
16


f)
2
81x 2  144 x 2
b)
9x
b)
Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind
gegeben: h  3,2 cm , q  2,8 cm
(siehe Skizze unten).
Berechne die Längen p und c.
6.
28
c)

x 

16 
3y  3y 18x

2
Radiziere so weit wie möglich. Führe ggf. eine Fallunterscheidung durch.
a)
4.
8  32
2
Verwandle in eine Summe.
a)
3.
1 
 3
b) 


x
 x
25a2  25b2
c)
25x 2  10x  1
5. Gegeben ist ein gleichseitiges
Dreieck ABC. Leite eine Formel zur
Berechnung der Höhe h her.
Berechne die Höhe h für a  6 cm .
Bestimme die Lösungsmenge.
a)
x2
 2x  0
2
b)
1 2
1
x x 0
2
8
c)
1
27
 3  x2 
0
24
8
GM_A0698 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0698)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
Vereinfache soweit wie möglich !
1
⋅ 27 =
3
3, 1 ⋅
1
=
7
a
b3
:
=
3b
27a
2.
Richtig oder falsch ? Korrigiere die falschen Lösungen !
48 = 3 4
500 = 10 5
23 ⋅ 52 ⋅ 73 = 70 14
4 + 36 = 8
63 ⋅ 112 = 12 7
113
44
3.
= 0,5
Fasse soweit wie möglich zusammen !
a)
50
+ 3 147 − 18 − 2 108 =
9
b)
a2 − a ⎛
1 ⎞
− ⎜2 a −
⎟ =
4
3
a −a
a⎠
⎝
2
4.
Mache den Nenner rational und vereinfache soweit wie möglich !
a)
b)
5.
a ∈ \+
x+
3x
2 x
33 − 3a
a + 11
=
=
Gib für alle Variablen in folgendem Term die Definitionsmenge an !
3x + 4
y
+ a6
2
=
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
a) Welche der folgenden Zahlen sind irrational, welche rational ? Begründe Deine
Antwort durch eine geeignete Vereinfachung des Terms.
1
12
3,6
61
4
169
b) Berechne auf Hundertstel gerundet mit dem Taschenrechner
4+
5 + 3⋅ 9
8−
2.
6
Vereinfache so weit wie möglich ! Teilweises Radizieren und Rationalmachen des
Nenners dort wo möglich !
14
5000 ⋅ a8 ⋅ b7
b)
a)
2 + 11
c)
(
)
(
)
10 ⋅ 2 5 − 3 2 + 8 ⋅ 2 10 − 1
3.
Bestimme den Definitionsbereich des Terms T ( x ) = 17 − 4x .
4.
Peter soll zum Punkt A (1 2 ) einen Punkt B ( xB 6 ) so finden, dass der Abstand
AB der beiden Punkte den Wert 5 hat.
Finde durch überlegtes Probieren eine geeignete x - Koordinate xB des Punktes B !
5.
Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen
AB = 8 cm und BC = 5 cm . Ein Kreis um B
mit Radius 8 cm schneidet die Seite [DC]
im Punkt E.
F ist der Fußpunkt des Lotes von C auf [EB] .
a) Berechne die Länge EC und den Flächeninhalt A BCE des Dreiecks BCE.
Welchen Prozentsatz der Rechtecksfläche
macht A BCE aus ?
b) Berechne die Länge FC = h .
Gib h exakt und auf Millimeter gerundet an !
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
Vereinfache so weit wie möglich. Gib deine Rechenschritte an.
a)
b)
c)
2.
3.
(
−2 ⋅ 1 − 3
xy 2 ⋅
(4
)(
)
3 +1
8 − 2x
y2
b +a
)
2
( x, y > 0 )
(a > b)
Schreibe – wenn möglich – ohne Wurzelzeichen:
a)
(1 − 4x )
c)
x2 − y2
e)
2,56 + 10,24 a + 10,24a
2
b)
x2 y2
d)
1 x 2 + 1 y 2 − 1 xy
4
9
3
Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich:
x− x
2 x
Welche Bedingungen muss die Variable erfüllen, damit der
ursprüngliche (bzw. der umgeformte) Term definiert ist ?
5a − 45
a −3
4.
Kürze:
5.
Gib die Definitions- und Lösungsmenge an:
a)
6.
x2 − 4 = 1
b)
x2 − 1 − x − 2 = 0
Grundwissen
In der (nicht maßstäblichen) Abbildung gilt:
AB & CD , [ AB ] ⊥ [BD] , AB = 4 cm ,
ED = 6 cm und BD = 9 cm
Berechne CD sowie den Flächeninhalt
des Dreiecks ABE.
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
7 liegt.
1.
Bestimme ein Intervall der Länge 0,01, in dem die Quadratwurzel
2.
Fasse den Term so weit wie möglich zusammen. Gib das exakte Ergebnis an, nicht
den gerundeten Wert. Die Variablen x und y stehen für positive reelle Zahlen.
3 125x + 2 48y − 18 − 1620x + 75 y =
4
3.
Mache den Nenner rational und vereinfache dann so weit wie möglich:
1
=
2− 3
4.
Radiziere! Schreibe Betragsstriche nur wenn nötig. Im Ergebnis sollen keine Wurzeln
vorkommen, schreibe diese gegebenenfalls als Potenz. Die Variablen stehen für
beliebige reelle Zahlen.
a)
5.
4
x4 y2
=
1296 z 2
b)
4x 2 + 32x + 64 =
Du befindest Dich auf der Spitze eines
Leuchtturms. Deine Augenhöhe ist
30 Meter über dem Meeresspiegel.
In welcher Entfernung siehst du
frühestens die Flagge eines Piratenschiffs,
die 20 m über der Wasseroberfläche weht ?
Der Erdradius beträgt ungefähr 6370 Kilometer.
Gib das Ergebnis als sinnvoll gerundete
Dezimalzahl an !
6.
Wie hoch darf ein 70 cm breiter Schrank
höchstens sein, damit man ihn in einem
2,10 m hohen Kellerraum durch Kippen
aufstellen kann.
Die nebenstehende Skizze zeigt den
Vorgang des Aufstellens.
(Ist der Schrank zu hoch, dann steht er
an der Kellerdecke an)
7.
Die Kathete a eines bei C rechtwinkligen
Dreiecks ABC mißt 16 cm. Seine Höhe h
auf die Hypothenuse c hat die Länge 12 cm.
Berechne die Länge der Seite b.
GM_A0702 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0702)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
2.
Begründe jeweils sorgfältig, ob x eine rationale Zahl sein kann:
a)
x = − 2,6
b)
x = − 72
98
c)
x 2 + 25 = 0
d)
x = 1− 2 1+ 2
(
)(
)
Ermittle die maximale Definitionsmenge des Terms und vereinfache ihn dann soweit
wie möglich:
3 ⋅ x − 2 − 9x − 18 + x 2 − 4
3.
Radiziere teilweise und fasse soweit wie möglich zusammen:
4 432 − 3 300 − 6 50 + 98 =
4.
Für welche reellen Zahlen sind folgende Gleichungen richtig ?
a)
a ⋅ a = a2
b)
x2 = − x
5.
Konstruiere
12 mit Hilfe des Kathetensatzes !
6.
Ausgehend von einem Quadrat mit Seitenlänge s = 4 cm soll ein Quadrat mit
Flächeninhalt 8 cm2 konstruiert werden. Erläutere, inwieweit die Diagonalen
des Ursprungs-Quadrates dabei hilfreich sein können.
7.
Ein gerades, dreiseitiges Prisma mit den Ecken ABCDEF
hat ein gleichschenkliges Dreieck als Grundfläche,
bei dem [ AB ] die Basis ist und C die Spitze.
Der Punkt G ist der Mittelpunkt der Seite [ AB ] .
Es gelte: s = 5 cm , AB = 6 cm , h = 3 cm
a) Begründe anschaulich, dass das Dreieck
∆ GCF rechtwinklig ist.
b) Berechne die Seitenlängen des
Dreiecks ∆ GCF .
c) Bestimme den Abstand d von Punkt C zur
Geraden GF, wenn GF = 5 cm und GC = 4 cm ist.
Hinweis: Skizziere das Dreieck ∆ GCF isoliert !
GM_A0703 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0703)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
a) Ordne - aufsteigend - der Größe nach:
54 ; 3,348; 3,348; 7 9
26
b) Welche Menge ist Teilmenge einer anderen ? Finde alle möglichen Paare:
` 0 , ], _+ , \ +0 , \
2.
Vereinfache ohne Taschenrechner (Zwischenschritte angeben, eventuell radizieren):
a)
3.
⎛
⎞
6 ⋅ ⎜ 20 : 6 ⎟ =
⎝ 21 35 ⎠
b)
45 + 3 2 − 80 =
Ergänze die Summe, so dass der entstehende Term als Quadrat einer Summe oder
Differenz geschrieben werden kann (binomische Formel !) und schreibe das Quadrat
auf:
a)
− 2x 2 + 2x 2
(
2s − 5 t
b)
)
2
+ 0,1− 1 ⋅
4a2 + 4 +
9
2st =
4.
Vereinfache:
5.
Vereinfache durch Rationalmachen des Nenners so weit wie möglich:
a)
6.
5−5 8
45
b)
3+ 2
2− 3
Gib jeweils eine Funktion f(x) an,
a) die bei x = − 2 ihre einzige Nullstelle besitzt.
b) die den Graphen der Funktion y = x + 3 im Punkt P (1 yP ) schneidet.
c) mit der Definitionsmenge D = \ \ { − 2 }
GM_A0704 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0704)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
Das Dreieck ABC ist bei B rechtwinklig.
Die Höhe auf die Seite b werde mit h
bezeichnet, ihr Höhenfußpunkt mit F.
Berechne alle Seitenlängen sowie den
Flächeninhalt des Dreiecks, für AF = 10 cm
und CF = 4 cm .
Achte dabei auf einen nachvollziehbaren Rechenweg und gib alle Ergebnisse
mathematisch exakt an (nicht gerundet, aber so weit wie möglich radiziert).
2.
Bei den folgenden Kurzfragen sollst du jeweils nur die richtige Antwort angeben!
Rechenweg und Begründung sind nicht verlangt.
Ergebnis / Antwort
Wie lautet beim Heron-Verfahren für 80 der
nächste Wert für die Breite, wenn man mit dem
Startwert 8 für die Breite beginnt ?
Gib eine irrationale Zahl zwischen 5,5 und 5,6 an.
Gib zwei verschiedene irrationale Zahlen an, deren
Produkt 6 ergibt.
Bestimme die größtmögliche Menge aller Zahlen x,
x2 = −x
für die gilt:
Wie viele Flächen hat ein Prisma mit einem n-Eck
als Grundfläche ?
3.
Welche Bedingungen müssen für x gelten, damit der Term
x − 2 definiert ist ?
x −4
(Eine Vereinfachung des Terms ist nicht verlangt)
4.
a) Bringe unter eine Wurzel und vereinfache soweit wie möglich! Ist das Ergebnis
eine rationale Zahl ? Begründe !
(
)
7 −1 ⋅ 3 +
7
b) Vereinfache! Gib außerdem an, welche Einsetzungen für die Variablen a und b
erlaubt sind !
7a11
:
b2
a =
63
Blatt 2 beachten !
GM_A0705 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0705)
1 (2)
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Klasse 9 / (G8)
5.
Konstruiere sauber und nachvollziehbar ein Quadrat mit Flächeninhalt 30 cm² !
Irrationale Streckenlängen sollen dabei mit Zirkel und Lineal konstruiert werden !
6.
Zur Messung von Geschossgeschwindigkeiten kann man ein so genanntes
„Ballistisches Pendel“ verwenden.
Das Geschoss wird in einen Plastilinklumpen gefeuert, der an einem Faden
aufgehängt ist. Der senkrechte Abstand des Geschosses bis zum Aufhängepunkt des
Fadens hat die Länge l. Aus dem Höhenzuwachs h, den der Klumpen erreicht, kann
man die Geschossgeschwindigkeit berechnen. Leichter zu messen ist allerdings die
maximale Auslenkung d. (Vergleiche Skizze)
Leite deshalb einen Term h(d) her, mit dem man die Höhe h aus der Auslenkung d
berechnen kann !
GM_A0705 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0705)
2 (2)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
Berechne !
(
)
7 243 − 3,5 32 ⋅ 2 1 27 − 3 2 75 =
4
5
2.
Vereinfache den Term !
(a
3.
− b2
)
(
2 (a + b)
8
:
=
c (a − b)
a 2c − c b 2
)
Bestimme die Definitionsmenge !
a)
4.
2
x2 + 1
b)
2
7 − 0,5x
Mache den Nenner rational und vereinfache !
a)
5+ 3
3−
5
b)
1
1+ 2
5.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung
6.
Quadrate
x 2 − 4x = x + 2 !
a) Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 4 ha. Berechne die Länge seiner Diagonalen !
b) In einem Quadrat beträgt die Länge einer Diagonalen 8 cm.
Berechne den Umfang des Quadrates !
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Gymnasium
1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
Gib die Definitionsmenge der folgenden Terme an:
5 z − 15
a)
2.
a−4
1 + a2
b)
Kreuze richtige Antworten an und ergänze ggf.:
nein, nur dann, wenn a und b selbst irrational sind
nein, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt:
a=
;b =
; a: b=
a : b ist immer
irrational
(I)
ja, denn der Quotient zweier irrationaler Zahlen kann
nie rational sein
ja, denn Summe und Differenz von rationalen Zahlen
sind immer rational
12 + −23 ist rational
13 19
(II)
nein, weil negative Zahlen beteiligt sind
nein, weil 13 und 19 Primzahlen sind
3.
Vereinfache soweit wie möglich ( a, b, c ∈ \ + ):
ab2 ⋅
3c
9c 3
2
( 2a )
4.
Löse die Klammern auf und vereinfache ohne Verwendung des TR:
3 24 + 6 ⋅ 4 3 − 2 =
4
5.
a) Ergänze die Leerstellen so, dass eine binomische Formel angewendet werden
kann.
9c 2 − 66cd + ______ = __________
(
)(
)
b) Vereinfache den Bruchterm
6.
Mache den Nenner rational, kürze falls möglich (kein TR-Ergebnis !).
a)
7.
20p q2 − 5p3
=
4p q3 − 4p2q2 + p3 q
2 s −s =
3 s
b)
5 2 +5 =
5 2 −5
4
x −1+ x +1
a) Für welche reellen Zahlen ist der Term definiert ?
b) Forme den Term so um, dass im Nenner keine Wurzel mehr auftritt.
c) Bestimme diejenige reelle Zahl, für die der Termwert 2 ist.
Gegeben ist der Term T(x) =
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

a)

3


e) 512 : 512   32 


5
9
2 3  10
f)

 
6 7 
6  7  3 5 2 3
2
3
 
2
4
5
 5 3 3 5



:


c)
a
2
b

9a
c)
  3x  5 
2
b3



3
2
2
Gib jeweils die maximal mögliche Definitionsmenge an.
  15  3x 
a)
3.

2
b) 8 3  256 8
10
d)
2.

5  1 1 5
b)
49  a2
2
Ergänze die Leerstellen so, dass eine wahre Aussage entsteht.
4x 2  ........  y 2  ....................
4.
Der Bedarf an Packpapier um ein würfelförmiges Weihnachtspaket einzupacken,
ist um 20% größer, als sein Oberflächeninhalt.
Berechne die Fläche des Packpapiers in m2 , wenn 12 gleiche Weihnachtspakete
einzeln verpackt werden sollen, die ein Gesamtvolumen von 125 dm3 besitzen.
5.
Entscheide bei jeder der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist.
wahr
a a
falsch
für a  
27  2  31 2x
6
2
1
6
2
32
 x   y
2
2
 xy
für x,y  
 169   \ 
6.
Welcher der nachfolgenden Terme gibt den grauen
Flächeninhalt in nebenstehender Figur in m2 an?
a)
15  3  3  3  : 4
b)
c)
152  32
2
d)
e) 15  3 : 4
2
2
GM_A0708 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0708)
f)
15  3 
2
:2
15  3 15  3 
22
15  3 
2
2
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Bestimme wo erforderlich die Definitionsmenge und radiziere so weit wie möglich
G  .
338 
a)
2.
b)
2

c) 

x 
7

4
 6x  

3

y16

361 x 9
d)
Vereinfache so weit wie möglich.
108  48  3 3 
a)
19  3,9  1,3
b)
0,57

3.
Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen.
1 4
b) 3x 6   34
c) x 5  24   103
x  128
a)
2
4.
Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich.
21x  14 x
a)
4x  3x

5 x  10 x
b)
2x

2 x  10 x
5x
5.
Bestimme den Wert für x im nebenstehenden Bild.
1 Kästchen = 1 cm.
Hinweis: Berechne zunächst x 2
6.
Fasse zusammen und gib das Ergebnis
wieder als Wurzel an.
a)
7.
3
x3 x3 x 
b)
 
4
a
5

1
a
a

3
4

3 x
10 x


Übertrage die „Termmauer“ auf dein Lösungsblatt. Führe die in den Kreisen
angegebene Rechenoperation durch, die berechneten Terme sind möglichst
weit zu vereinfachen. Notiere das Ergebnis im entsprechenden Feld darüber.
GM_A0709 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0709)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Ergänze den Radikanden in den folgenden Termen so, dass er als Quadrat einer
Summe oder Differenz geschrieben werden kann, und radiziere.
a)
2.
18x  36x 2  .........
b)
Forme in einen Term ohne Wurzelzeichen um und vereinfache. Gib an, welche
Bedingungen die Variablen erfüllen müssen, damit der Term definiert ist.
Verwende Betragsstriche nur, wenn sie notwendig sind.
a)
3.
121  .......  49x 2
 7a 
2
b)

7a

2
c)
1
z4
d)
0,09 x : 0,49 x y 2
Kürze so weit wie möglich.
3x4  6x3  3x2
, (x  0)
12 x 3  12 x
4.
Fasse so weit wie möglich zusammen.

5.

1 x 2  1 x 2 
 
1 x 2  1 x 2 
x3  x
,
2
x   0; 1 
Gib die Lösungsmenge folgender Gleichung an.
0,5  4x 2  12  6  x  5
6.
Gegeben sind die Punkte A  3 1 ,
B   2,5 5  und C   3 2  .
a) Berechne im Dreieck ABC die Seitenlängen c  AB und b  AC .
b) Stefan sagt, das Dreieck ist bei C
rechtwinklig. Zeige mit einer nachvollziehbaren Rechnung, ob Stefans
Annahme stimmt.
c) Berechne die Länge der Höhe
d  CD im Dreieck ABC.
7.
Heron-Verfahren
a) Gib einen ganzzahligen Startwerte an, der möglichst schnell (also mit wenig
Iterationen) zu einer hohen Genauigkeit bei der Berechnung von 35 führt.
Eine Berechnung von 35 ist nicht erforderlich.
b) Berechne 20 mit dem Heron-Verfahren auf zwei Dezimalstellen. Verwende
als Startwerte x 0  4 und y 0  5 .
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Berechne (radiziere) bzw. vereinfache soweit wie möglich (Nenner rational machen).
a)
d)
2.
7
13 x
13 x
 13 x , x  0
b)
e)
63
c)
3 7
2

3
32
3
f)
38 3
3
 2 48 
45 a  20 a
b)
x2  y2
c)
225 x 2  150 x y  25 y 2
Ergänze den Term so, dass er als Quadrat einer Summe / Differenz geschrieben
werden kann und gib dieses an.
a)
x 6  ..............  196 x 2  .............  ............
b)
4a 2  a x 2  ............  .............  ............
2
2
Erläutere kurz, wie man mit Hilfe des Heron-Algorithmus‘ den Wert von
bestimmen kann.
5.
Bilden die folgenden Intervalle den Beginn einer Intervallschachtelung?
Begründe deine Entscheidung.
a)
b)
[ 6,3; 6,6 ]
[ 8,5; 8,6 ]
7.
2 3
x 3  x  9x
, x0
x
4.
6.
7
Wandle – sofern möglich – den Radikanden in ein Binom um, radiziere teilweise,
und fasse zusammen.
a)
3.
5 7  14
[ 6,39; 6,51]
[ 8,65; 8,66 ]
[ 6,399; 6,501]
[ 8,665; 8,666 ]
[ 6,3999; 6,5001]
[ 8,6665; 8,6666 ]
99
Kreuze richtige Aussagen an (Mehrfachnennungen möglich, Punktabzug bei
Falschnennung).
x 2  x für x  0
Unendliche Dezimalbrüche sind  
x 2  x für x  0
Jede reelle Zahl ist auch eine rationale Zahl
 x 2  0 für x  
Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl
x

y
Irrationale Zahlen sind unendliche Dezimalbrüche
x
y
Ein Schiffsmast wurde auf einem Viertel seiner Höhe vom Sturm geknickt. Seine
Spitze berührt 8 m vom Mast entfernt den Schiffsboden.
Skizziere vereinfacht die Situation und berechne die ursprüngliche Höhe des Mastes.
GM_A0711 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0711)
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1. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Vereinfache und fasse zusammen (radiziere teilweise).
2
a)
2.
a
b) 3 2  45  80
b
 10y x  25 y 2
b)

13  5  13
Mache den Nenner rational und vereinfache soweit wie möglich.
a)
5.

Ziehe unter die Wurzel und vereinfache so weit wie möglich.
5 
4.
96x  63x  24x
Ergänze zu einem Binom.
a)
3.

2
b)
7 3
5
8
c)
5
2x 2  2
x2 1
Schreibe ohne Wurzelzeichen.
a6  6a3  9
6.
Konstruiere auf der Zahlengeraden den Bildpunkt der Zahl
7.
Handelt es sich um eine Intervallschachtelung, wenn man die Folge der Intervalle
sinngemäß fortsetzt? Begründe!
a)
b)
[ 0,49; 0,51]
[  3,51;  3,39 ]
8.
[ 0,499; 0,511]
[  3,501;  3,399 ]
[ 0,4999; 6,5111]
[  3,5001;  3,3999 ]
[ 0,49999; 0,51111]
[  3,50001;  3,39999 ]
.
.
.
.
12,5 .
Ein Quadrat der Seitenlänge 8 cm wird in ein Rechteck verwandelt, indem man
eine Seite um 2x cm verlängert, die andere Seite um x cm verkürzt.
Gib einen Term an, der den Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks in
Abhängigkeit von x beschreibt.
Gib die Definitionsmenge an.
Für welchen x - Wert beträgt der Flächeninhalt des Rechtecks 24 cm2 ?
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