Grundbildung Analysis

Grundbildung Analysis
Blatt A
WiS 2016/17 — H. Kiechle, S. Koch
Übungsaufgaben
1. Wahr oder falsch? Bitte ankreuzen! Keine Begründung nötig.
Achtung: Falsche Kreuze bringen Minuspunkte.
Wahr
Falsch
In jeder Nullfolge kommt die Zahl 0 wenigstens einmal vor.
Jede Nullfolge ist beschränkt.
arcsin ist streng monoton wachsend
Jede differenzierbare Funktion ist stetig
x−1 hat keine Stammfunktion
Jede stetige Funktion ist differenzierbar
Ist (ak ) eine Nullfolge, so ist die Reihe
P
ak konvergent.
Liegt in x0 ein lokales Extremum vor, so ist die erste Ableitung in
x0 gleich Null.
3n2 + 21
.
n2 + 6
a) Bestimmen Sie den Grenzwert a := lim an .
2. Gegeben sei die Folge (an ) mit an =
n→∞
b) Ermitteln Sie ein n0 mit
|an − a| <
3. Bestimmen Sie alle x ∈ R für die die Reihe
1
50
für alle n ≥ n0 .
∞
X
xk
23k+1
k=0
konvergent ist.
Ist die Reihe konvergent, wenn man x = −8 setzt? Mit Begründung!
4. Gegeben sei der Dezimalentwicklung b = 1.76.
(a) Schreiben Sie b als Reihe aus.
(b) Bestimmen Sie die Bruchdarstellung (ausgekürzt) von b.
5. Bestimmen Sie x:
(a)
logx (8) = 3
(b)
exp(2 ln(x)) = 36 (c) x = arctan(1)
logx (81) = 4
(d)
(e)
exp(2 ln(x)) = 25
Variieren Sie diese Aufgabe mit eigenen Zahlen!
3n + 2
.
n+2
a) Bestimmen Sie den Grenzwert a := lim an .
6. Gegeben sei die Folge (an ) mit an =
n→∞
b) Ermitteln Sie ein n0 mit
|an − a| <
1
30
7. Bestimmen Sie alle x ∈ R für die die Reihe
für alle n ≥ n0 .
∞
X
(−x)k
k=0
3k+1
konvergent ist.
Ermitteln Sie den Grenzwert der Reihe.
8. Beweisen Sie
(a) Wenn die Reihe
∞
X
cj konvergiert, dann ist (cj ) eine Nullfolge.
j=1
(b) Die Reihe
∞
X
1
divergiert.
n
n=1
x2 − 3
.
x−1
(a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f .
9. Gegeben sei die Funktion
f (x) =
(b) Untersuchen Sie, ob f Asymptoten besitzt.
(c) Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung von f .
(d) Untersuchen Sie, ob f Wendepunkte besitzt.
(e) Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten.
(f) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen von f auf dem Intervall [−4, 5] an. Der y -Bereich soll
sich mindestens von −4 bis 6 erstrecken.
(g) Bestimmen Sie die Wertemenge von f (mit kurzer Begründung).
Z
x cos x2 dx
10. Bestimmen Sie
Z
1
11. Berechnen Sie
2
xex dx
−1
Z1 12. Man berechne das bestimmte Integral
1 4 5 2 9
x − x +
4
2
4
dx
0
13. Gegeben sei die Funktion
f (x) = x2 ln x.
(a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f .
(b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f .
(c) Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung von f .
(d) Untersuchen Sie, ob f Extrema besitzt und bestimmen Sie das Monotonieverhalten.
(e) Untersuchen Sie, ob f Wendepunkte besitzt und bestimmen Sie das Krümmungsverhalten.
(f) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen von f auf einem geeigenten Intervall.
Ohne Beweis:
limx→0 f (x) = 0.
(g) Bestimmen Sie die Wertemenge von f (mit kurzer Begründung).
14. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion
g(x) = (x2 − 4) ln x.
Bestimmen Sie
lim g(x) und
x→0
lim g(x)
x→∞