Algebra II Blatt 11 - Mathematik, TU Dortmund

Prof. Dr. Franz Kalhoff
Marcel Hoya, M. Sc.
WS 2016/2017
Übungen zur Vorlesung
Algebra II
Blatt 11
Aufgabe 1. Seien (K, v) ein bewerteter Körper mit zugehöriger Wertegruppe
Γ und Bewertungsring A. Zeigen Sie:
(a) Jeder Ring R mit A ⊂ R ⊂ K ist ein Bewertungsring von K.
(b) Ist Γ archimedisch angeordnet, so gibt es keinen Ring R mit A ( R ( K.
(c) Ist K endlich, so gibt es (bis auf Äquivalenz) genau eine Bewertung von
K.
Aufgabe 2. Seien K ein Körper und v, w Bewertungen von K mit zugehörigen
Γv , λv , Av , Kv bzw. Γw , λw , Aw , Kw . Weisen Sie die Äquivalenz der folgenden
Aussagen nach:
(a) Es gilt Av ⊂ Aw .
(b) Es gibt einen o-Homomorphismus π : Γv → Γw und einen konvexen Normalteiler ∆ von Γv so, dass w = π ◦ v gilt und Γv /∆ o-isomorph zu Γw
ist.
(c) Es existiert eine Stelle µ : Kw → Kv ∪ {∞} mit λv = µ ◦ λw , wobei
µ(∞) := ∞ gesetzt wird.
Ist eine der obigen Bedingungen für v und w erfüllt, so heißen v gröber als w
und w feiner als v (echt gröber bzw. echt feiner, wenn zusätzlich Av 6= Aw ).
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Aufgabe 3. Seien (K, v) ein Rang-1 bewerteter vollständiger Körper, a, b ∈ K
und (an )n∈N eine Folge in K. Für ∈ R+ definieren wir den Ball mit Radius ε
um a durch
Bε (a) := {x ∈ K | dv (x, a) ≤ ε}.
Zeigen Sie:
(a) Für alle ε, δ ∈ R+ mit Bε (a) ∩ Bδ (b) 6= ∅ gilt
Bε (a) ⊂ Bδ (b) oder Bδ (b) ⊂ Bε (a).
(b) Die Reihe
ist.
P∞
n=1
an ist genau dann konvergent, wenn (an )n∈N eine Nullfolge
(c) Die Folge (an )n∈N ist genau dann konvergent, wenn (an+1 − an )n∈N eine
Nullfolge ist.
Aufgabe 4. Sei Qp der Körper der p-adischen Zahlen.
(a) Zeigen Sie, dass jede Zahl x ∈ Qp eine eindeutige Darstellung der Form
∞
X
x=
ai pi
i=−m
mit m ∈ Z und ai ∈ {0, 1, . . . , p − 1} hat.
(b) Geben sie eine Darstellung von −1 und
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gemäß (a) für p = 5 an.
Abgabetermin: bis Montag, 23.01.2016 vor der Vorlesung in Briefkasten 3
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