Übungsblatt1 zu Analysis/Numerik 1993

Übungen zu Mathematik II
05.05.2017
Blatt 3
12n + 4
.
4n  7
1. Geben Sie zu   0 ein N  an, so dass für n  N gilt: a n  3   .
1) Gegeben sei die Folge mit dem Bildungsgesetz a n 
2. Welche Werte für N  ergeben sich für   0, 01 und   0, 001 ?
3. Was folgt insbesondere aus der Existenz eines solchen N  für jedes   0 ?
2) Gegeben seien Folgen mit nachstehenden Bildungsgesetzen.
2n  3
2n
2
.
a n  (1) n 
 4 ; b n  (1) n 
 4 ; cn 
n 1
n 1
n 1
1. Berechnen Sie jeweils die ersten acht Folgenglieder.
2. Begründen Sie, dass die Folgen (an) und (bn) beschränkt und nicht monoton sind.
3. Zeigen Sie mit der jeweiligen Definition, dass die Folge (cn) nach oben durch 3 beschränkt
und streng monoton fallend ist.
4. Begründen Sie, dass die Folge mit dem Bildungsgesetz a n nicht konvergiert.
5. Bestimmen Sie die Grenzwerte der beiden anderen Folgen, indem Sie Zahlen g1 und g2 als
vermutete Grenzwerte ansetzen und b n  g1 bzw. c n  g 2 so umformen, dass klar ist,
das b n  g1  bzw. c n  g 2  Nullfolgen sind.
3) Geben Sie eine Nullfolge und eine gegen  bestimmt divergente Folge an, so dass das
Produkt der Folgen zwar beschränkt, aber nicht konvergent ist.
4)
5)
1
Begründen Sie, dass aus den Grenzwertsätzen und der Erkenntnis , dass   eine Nullfolge
n
 1 
ist, folgt, dass  k  für alle natürlichen Zahlen k eine Nullfolge ist (kein Beweis durch
n 
vollständige Induktion nötig).
Bestimmen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze die Grenzwerte der Folgen mit nachstehenden
Bildungsgesetzen.
a)
103n 2  53n+41
n2  5
b)
103n 3 103n 2

n 2  5 n  19