pruefung - TU Ilmenau

TU Ilmenau
Institut für Mathematik, Diskrete Mathematik
Jens Schreyer
Aufgaben zur Prüfung Spieltheorie
Aufgabe 1
Gegeben sei das folgende Spiel:
L
O
M
U
M
7
7
2
2
9
7
0
3
9
10
5
8
R
10
5
2
3
3
4
(a) Man bestimme die Maximin- und Minimax-Strategien beider Spieler sowie die
zugehörigen Auszahlungswerte v1 , w1 , v2 und w2 .
(b) Welche Aktionsprofile sind paretoeffizient?
(c) Welche Aktionsprofile sind Stackelberg I bzw. Stackelberg II Lösung?
(d) Man reduziere die Aktionsmengen der beiden Spieler durch iterierte Elimination strikt dominierter Aktionen.
(e) Man gebe alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien an.
(f) Man gebe alle Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien inklusive der erwarteten Auszahlungen an.
(g) Man gebe ein korreliertes Gleichgewicht an, bei dem die erwarteten Auszahlungen beider Spieler höher sind als im gemischten Gleichgewicht.
1
Aufgabe 2 (Stein, Schere, Papier, Echse, Spock)
Wir betrachten folgendes Spiel: Zwei Spieler wählen unabhängig voneinander eine der Optionen Stein, Schere, Papier, Echse oder Spock. Wählen beide das gleiche,
so endet das Spiel unentschieden. Wählen beide unterschiedlich so gilt:
Schere schneidet Papier.
Papier bedeckt Stein.
Stein zerquetscht Echse.
Echse vergiftet Spock.
Spock zertrümmert Schere.
Schere köpft Echse.
Echse frisst Papier.
Papier widerlegt Spock.
Spock verdampft Stein.
Stein schleift Schere.
Der Gewinner bekommt vom Verlierer jeweils eine Auszahlung von einer Geldeinheit
(Euro/Dollar/Gold/Latinum).
(a) Man zeige, dass es sich bei dem Spiel um ein antagonistisches Spiel handelt
und bestimme den Wert des Spieles und der gemischten Erweiterung.
(b) Man überführe das Problem des Auffindens einer optimalen gemischten Strategie in ein lineares Optimierungsproblem.
(c) Man bestimme alle (reinen und gemischten) Nash-Gleichgewichte des Spiels.
(d) Man berechne ein Nash-Gleichgewicht des Spiels, das entsteht, wenn die Auszahlung verdoppelt/verzehnfacht wird, falls einer der beiden Spieler Spock
anwendet.
Aufgabe 3 (Triell)
Drei Revolverhelden Eli, Lee und Clint treffen in einem Triell aufeinander. Eli trifft
ein anvisiertes Ziel mit 50%iger Wahrscheinlichkeit, Lee mit 75%, und Clint trifft
immer. Es werden folgende Regeln vereinbart:
Eli, Lee und Clint geben nacheinander je einen Schuss auf einen Gegner ihrer Wahl
ab, bis nur noch einer am Leben ist oder die Munition aus ist.
Man modelliere das Spiel als Extensivformspiel mit Zufallsspieler und bestimme ein
teilspielperfektes Gleichgewicht, falls
(a) jeder zwei Schuss hat
(b) Die Munition unbegrenzt ist
Als Auszahlung sei angenommen, dass das Überleben mit 1 und der Tod mit 0 bewertet wird.
2
Aufgabe 4
Die vier Gemeinden Hintertupfingen, Vordertupfingen, Kleinkleckersdorf und Großkleckersdorf brauchen neue Kläranlagen. Es stehen verschiedene Varianten zur Verfügung:
• Jede Gemeinde könnte für 3 Mio Euro eine eigene Anlage bauen lassen. Hintertupfingen könnte die bestehende Anlage auch für 2.5 Mio Euro modernisieren.
• Eine Anlage für Hinter- und Vordertupfingen oder für Groß- und Kleinkleckersdorf kostet 4 Mio Euro.
• Eine Anlage für eine andere Kombination von 2 Ortschaften kostet wegen der
größeren Entfernung 5 Mio Euro
• Eine Anlage für drei der Ortschaften kostet 6 Mio Euro
• Eine Anlage für alle Ortschaften kostet 7 Mio Euro.
Es muss nun entschieden werden, was getan wird und wie anfallende gemeinsame
Kosten aufzuteilen sind.
(a) Modellieren Sie die Situation als kooperatives Spiel!
(b) Ist das Spiel superadditiv?
(c) Ist das Spiel konvex?
(d) Benutzen Sie den Shapley-Wert, um eine Aufteilung der Kosten der zu bauenden Anlage(n) zu ermitteln!
(e) Ist dieses Ergebnis im Kern des Spiels?
Aufgabe 5
Man beweise folgende Aussagen:
(a) Der Kern eines kooperativen Spiels (N, v) ist konvex, d.h.
∀x, y ∈ Kern(v), ∀λ ∈ (0, 1) : λx + (1 − λ)y ∈ Kern(v)
(b) Der Shapley-Wert eines konvexen kooperativen Spiels liegt im Kern.
Hinweis: Zur Beantwortung von (b) verwende man (a) und betrachte zu jeder Permutation σ ∈ Sn die Imputation xσ = (xσ,1 , ..., xσ,n ) mit xσ,i = v(Kσ,i ) − v(Kσ,i \ {i})
3