Aufgaben zur Prüfung Spieltheorie

TU Ilmenau
Institut für Mathematik, Diskrete Mathematik
Jens Schreyer
Aufgaben zur Prüfung Spieltheorie
Aufgabe 1
Gegeben sei das folgende Spiel:
L
O
M
U
M
7
8
8
3
5
5
6
5
9
2
4
9
R
10
4
2
2
3
0
(a) Man bestimme die Maximin- und Minimax-Strategien beider Spieler sowie die
zugehörigen Auszahlungswerte v1 , w1 , v2 und w2 .
(b) Welche Aktionsprofile sind paretoeffizient?
(c) Welche Aktionsprofile sind Stackelberg I bzw. Stackelberg II Lösung?
(d) Man reduziere die Aktionsmengen der beiden Spieler durch iterierte Elimination strikt dominierter Aktionen.
(e) Man gebe alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien an.
(f) Man gebe alle Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien inklusive der erwarteten Auszahlungen an.
(g) Man gebe ein korreliertes Gleichgewicht an, bei dem das erwartete Auszahlungsprofil außerhalb der konvexen Hülle der Auszahlungsprofile der NashGleichgewichte liegt
1
Aufgabe 2 (Stein, Schere, Papier, Echse, Spock)
Wir betrachten folgendes Spiel: Zwei Spieler wählen unabhängig voneinander eine der Optionen Stein, Schere, Papier, Echse oder Spock. Wählen beide das gleiche,
so endet das Spiel unentschieden. Wählen beide unterschiedlich so gilt:
Schere schneidet Papier.
Papier bedeckt Stein.
Stein zerquetscht Echse.
Echse vergiftet Spock.
Spock zertrümmert Schere.
Schere köpft Echse.
Echse frisst Papier.
Papier widerlegt Spock.
Spock verdampft Stein.
Stein schleift Schere.
Der Gewinner bekommt vom Verlierer jeweils eine Auszahlung von einer Geldeinheit
(Euro/Dollar/Gold/Latinum).
(a) Man zeige, dass es sich bei dem Spiel um ein antagonistisches Spiel handelt
und bestimme den Wert des Spieles und der gemischten Erweiterung.
(b) Man überführe das Problem des Auffindens einer optimalen gemischten Strategie in ein lineares Optimierungsproblem.
(c) Man bestimme alle (reinen und gemischten) Nash-Gleichgewichte des Spiels.
(d) Man berechne ein Nash-Gleichgewicht des Spiels, das entsteht, wenn die Auszahlung verdoppelt/verzehnfacht wird, falls einer der beiden Spieler Spock
anwendet.
2
Aufgabe 3 Wiederholtes Gefangenendilemma
Wir betrachten folgende Version des Gefangenendilemmas, welches strategisch äquivalent zur in der Vorlesung behandelten Version ist.
G
G
S
S
2
2
0
10
10
0
9
9
• Das Extensivformspiel Γ1 bestehe im 5 maligen Spielen des Spieles. Als Auszahlung erhalten die Spieler die Summe der Auszahlungen in den einzelnen
Spielen. Geben Sie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht für das Spiel an.
Gibt es weitere Gleichgewichte?
• Das Extensivformspiel Γ2 besteht darin, das Spiel rundenweise zu spielen und
nach jeder Runde wird zufällig entschieden, ob eine weitere Runde gespielt
wird. Die Wahrscheinlichkeit für die Fortsetzung des Spiels seie p < 1.
• Das Extensivformspiel Γ3 seie die unendliche Wiederholung des Spieles. Als
Auszahlung bekommt jeder Spieler den Cesàro-Limit der Auszahlungen. (Der
n
P
ak )
Cesàro-Limit einer Folge (ak ) ist definiert als lim n1
n→∞
k=1
2 Typische Strategien im Wiederholten Gefangenendilemma sind:
Tit for Tat: Starte mit S und spiele danach immer die Strategie, die der Gegner in
der letzten Runde benutzt hat. Grim: Spiele solange S wie der Gegner. Wenn der
Gegner einmal G spielt, spiele immer G.
(a) Bestimmen Sie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht für Gamma1 . Gibt es
weitere Gleichgewichte?
(b) Wie groß muß p sein, damit die Kombination aus 2 Tit for Tat Strategien ein
Nash-Gleichgewicht ist?
(c) Zeigen Sie, dass die Anwendung von Tit for Tat oder Grim im Spiel Gamma3
dafür sorgt, dass man mindestens die gleiche Auszahlung bekommt wie der
Gegner. Geben sie 3 verschiedene Nash-Gleichgewichte für Gamma3 an.
3
Aufgabe 4
Die vier Gemeinden Hintertupfingen, Vordertupfingen, Kleinkleckersdorf und Großkleckersdorf brauchen neue Kläranlagen. Es stehen verschiedene Varianten zur Verfügung:
• Jede Gemeinde könnte für 3 Mio Euro eine eigene Anlage bauen lassen. Hintertupfingen könnte die bestehende Anlage auch für 2.5 Mio Euro modernisieren.
• Eine Anlage für Hinter- und Vordertupfingen oder für Groß- und Kleinkleckersdorf kostet 4 Mio Euro.
• Eine Anlage für eine andere Kombination von 2 Ortschaften kostet wegen der
größeren Entfernung 5 Mio Euro
• Eine Anlage für drei der Ortschaften kostet 6 Mio Euro
• Eine Anlage für alle Ortschaften kostet 7 Mio Euro.
Es muss nun entschieden werden, was getan wird und wie anfallende gemeinsame
Kosten aufzuteilen sind.
(a) Modellieren Sie die Situation als kooperatives Spiel!
(b) Ist das Spiel superadditiv?
(c) Ist das Spiel konvex?
(d) Benutzen Sie den Shapley-Wert, um eine Aufteilung der Kosten der zu bauenden Anlage(n) zu ermitteln!
(e) Ist dieses Ergebnis im Kern des Spiels?
Aufgabe 5
Man beweise folgende Aussagen:
(a) Der Kern eines kooperativen Spiels (N, v) ist konvex, d.h.
∀x, y ∈ Kern(v), ∀λ ∈ (0, 1) : λx + (1 − λ)y ∈ Kern(v)
(b) Der Shapley-Wert eines konvexen kooperativen Spiels liegt im Kern.
Hinweis: Zur Beantwortung von (b) verwende man (a) und betrachte zu jeder Permutation σ ∈ Sn die Imputation xσ = (xσ,1 , ..., xσ,n ) mit xσ,i = v(Kσ,i ) − v(Kσ,i \ {i})
4