Lösungen der Übung 3

Lösungen der Übung 3
Aufgabe 1
Wettbewerb
Kartell
Menge (beide Firmen)
x1 + x2 = (2/3)(c – K)/b
x = ½(c – K)/b
Preis
yw = c – (2/3)(c – K)
ym = c – ½(c –K)
a) yw = c – (2/3)(c – K)
b) yw = c – (2/3)(c – K) < ym = c – ½(c –K) für c > K
c) Wettbewerbspreis: yw = c – (2/3)(c – K) = 1000 – 2/3(1000 – 40) = 360
Kartellpreis: ym = c – ½(c –K) = 1000 – ½(1000 – 40) = 520
Bei einem Kartell wird die Menge x = ½(c – K)/b = ½(1000 – 40)/0,1 = 4800 produziert.
Unter Wettbewerbsbedingungen wird (von beiden Firmen) die Menge
(2/3)(c – K)/b = (2/3) (1000 – 40)/0,1 = 6400 produziert.
Der Erlös (beider Firmen) unter Wettbewerbsbedingungen ist
E = xy – Kx = 6400 ∙ (360 – 40) = 2048000.
Der Erlös des Kartells (beider Firmen) ist
E = 4800 ∙ (520 – 40) = 2304000.
Die Verbraucher zahlen pro Einheit 520 – 360 = 160 mehr als unter Wettbewerbsbedingungen.
D.h. der Schaden der Verbraucher in einer Zeitperiode beträgt 160 ∙ 4800 = 768000.
Aufgabe 2
Lineares Public Good Game (PGG)
N ≥ 2, xi = Beitrag von Spieler i in den kollektive Fonds, k = Ausstattung des Spielers, a mit 1 < a < N ist
der Wachstumsfaktor des Fonds. Ui ist die Auszahlung an Spieler i.
Ui = (k – xi) + [axi/N + a/N ∑𝑁𝑁
𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑥𝑥]
Dabei ist: a) (k – xi) die private Auszahlung, b) axi/N die Auszahlung an i durch seinen eigenen Beitrag
zum Fonds und c) a/N ∑𝑁𝑁
𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑥𝑥 die Auszahlung an i durch den Beitrag der anderen Spieler zum Fonds.
Ui ist maximal für xi = 0 , da axi/N < xi
Lösungen der Übung 4
Aufgabe 1
C
D
C
U-K, U-K
U-K, U
D
U, U-K
0
Bei diesem Spiel handelt es sich mit U > K > 0 um ein symmetrisches 2-Personen-Volunteer’sDilemma (2-VOD)
Bestimmen Sie das gemischte Nash-Gleichgewicht.
Lösung:
p1 ist die Wahrscheinlichkeit der C-Wahl des Zeilenspielers. Es folgt aus dem „Indifferenztheorem“:
U – K = p1 U
Oder: p1* = 1 – K/U mit p1* = gemischte Nash-Gleichgewichtsstrategie. Da das Spiel symmetrisch ist,
wählt der Spaltenspieler im Gleichgewicht auch p2* = 1 – K/U.
Aufgabe 2
C
D
C
U-K1, U-K2
U-K1, U
D
U, U-K2
0
Hier handelt es sich um ein asymmetrisches 2-VOD. Es gilt U > K2 > K1 > 0.
Zeilenspieler 1 ist „stark“ und Spaltenspieler 2 ist „schwach“, da Spieler 1 geringere Kosten hat, das
Kollektivgut U herzustellen.
a) Bestimmen Sie die gemischten Gleichgewichtsstrategien für Spieler 1 und Spieler 2.
Zeilenspieler: U – K2 = p1U → p1* = 1 – K2/U
Spaltenspieler: U – K1 = p2U → p2* = 1 – K1/U
b) Bei welchem Spieler ist die gemischte Gleichgewichtsstrategie kooperativer?
p1* = 1 – K2/U < p2* = 1 – K1/U.
D.h. der „starke“ Spieler, der geringere Kosten hat, kooperiert seltener. Ist das paradox?
Wenn man das Gleichgewicht in gemischten Strategien als rationale Entscheidung betrachten würde,
wäre das Ergebnis paradox. (Überspitzt formuliert: Der Bademeister springt nicht ins Wasser, um das
Kind zu retten, sondern überlässt diese Aufgabe dem Nichtschwimmer“.)
Tatsächlich bietet sich als „Rationalitätslösung“ des Spiels jetzt aber das asymmetrische und Paretooptimale Nash-Gleichgewicht s* = (starker Spieler wählt C, schwacher Spieler wählt D) an. Im
symmetrischen Fall ist eine asymmetrische Lösung ausgeschlossen, da die Lösung nicht von der
Nummerierung der Spieler abhängen sollte.
Aufgabe 3. Berechnen Sie die gemischte Gleichgewichtsstrategie für das symmetrische N-VOD (d.h.
allgemein für das N-Personenspiel. Sie können dafür das „Indifferenztheorem“ benutzen).
𝑁𝑁−1
U – K = U (1 - ∏𝑁𝑁
�𝐾𝐾/𝑈𝑈
𝑗𝑗≠𝑖𝑖 𝑞𝑞𝑞𝑞) → p* = 1 – q* = 1 -
Aufgabe 4. Stein, Schere, Papier. Zeigen Sie, dass die gemischte Strategie, Stein, Schere, Papier mit
einer Wahrscheinlichkeit von je 1/3 zu wählen, ein Nash-Gleichgewicht ist.
p1, p2, p3 = 1 – p1 – p2 sind die gemischten Strategien des Zeilenspielers. Die Auszahlungen sind
entsprechend:
1
0
-1
0
-1
1
-1
1
0
Der Erwartungswert des Zeilenspielers bei der Wahl des Spaltenspielers von Stein, Schere, Papier mit
je 1/3 ist:
E = p1 1/3 – p1 1/3 – p2 1/3 + p2 1/3 – p3 1/3 + p3 1/3 = 0.
Wählt der Spaltenspieler je 1/3 kann der Zeilenspieler sich durch eine Abweichung von je 1/3 nicht
verbessern. Seine Auszahlung ist immer 0. Gleiches gilt für den Spaltenspieler. Daher ist das
Strategienprofil (Wahl von Stein, Schere, Papier mit Wahrscheinlichkeit 1/3) ein Nash-Gleichgewicht.