Aufgabe 1 Mit: r(t) = ( x y ) = ( A sin(ωt) B cos(ωt) ) und

Aufgabe 1
Mit:
µ ¶ µ
¶
x
A sin(ωt)
~r(t) =
=
y
B cos(ωt)
und
∂~r(t)
∂t
∂ 2~r(t)
~a(t) =
∂t2
folgt nach komponentenweisen Ableiten
µ
¶
Aω · cos(ωt)
~v (t) =
−Bω · sin(ωt)
~v (t) =
µ
~a(t) =
−Aω 2 · sin(ωt)
−Bω 2 · cos(ωt)
¶
Die Bahn des Teilchens ist eine Ellipse (A 6= B)
Die Kraft welche das Teilchen auf der Bahn hält muss entgegen dessen Trägheit
wirken
F~ = −m~a(t)
Die kinetische Energie ist:
Ekin =
|~v (t)| =
m
|~v (t)|2
2
p
(Aω cos(ωt))2 + (−Bω sin(ωt))2
nach Einsetzen folgt
Ekin =
m
((Aω cos(ωt))2 + (−Bω sin(ωt))2 )
2
mit
sin2 (ωt) + cos2 (ωt) = 1
ergibt sich letztlich
Ekin =
m 2 2
ω (A − sin2 (ωt)(A2 − B 2 ))
2
1
Die kinetische Energie ist von der Zeit unabhängig wenn A = B ist, also für eine
Kreisbahn
2
Aufgabe 2
a) Gesamtenergie besteht aus Rotation und Translation und entspricht nach
Energieerhaltung der potentiellen Energie:
Emech = Erot + Ekin = mg∆h
∆h = sin(25◦ ) · 1m
m = ρV = ρπr2 l = 2gcm−3 π(1cm)2 20cm = 125, 67g= 0, 126kg
b) Geschwindigkeit bei x = 1m: Rotationsenergie ist:
J 2
ω
2
Erot =
mit Trägheitsmoment für Vollzylinder J:
J=
1 2
mr
2
für die Kreisfrequenz ω gilt beim Rollen:
v
r
ω=
für die Rotationsenergie ergibt sich dann:
Erot =
1 2 v2
1
mr 2 = mv 2
4
r
4
die kinetische Energie des Zylinders ist:
Ekin =
1
mv 2
2
mit:
Erot + Ekin = mg∆h
ergibt sich:
r
v=
4
gh
3
c) Der Drehimpuls
L = Jω
r
4
1
gh
L = mr
2
3
3
Aufgabe 3
a) Körper beginnt zu Rutschen wenn der Betrag der Hangabtriebskraft |F~n |
größer als der Betrag Reibungskraft |F~R | ist:
|F~R | = ²|F~N | = ² cos(α)|F~G | = ² cos(α)mg
|F~H | = sin(α)|F~G | = m g sin(α)
|F~H | > |F~R |
sin(α)|F~G | > ² cos(α)|F~G |
² > tan(α)
α > 16, 7◦
b) Resultierende Kraft |F~a |:
|F~a | = |F~H | − |F~R |
mit
v =a·t
und
|F~a | = ma
ergibt sich
v=t
|F~a |
sin(50◦ ) − ² cos(50◦ )
= tmg
m
m
v = 56, 231ms−1
c)
Berechnung der Wärmemenge einfach über Arbeit = Kraft mal Weg
Zs
(|F~R |ds)
W =
0
W = |F~R |∂s
∆s ist der in t = 10s zurückgelegte Weg
∆s =
a 2
t
2
a = g(sin(50◦ ) − ² cos(50◦ )) = 5, 62ms−2
s = 281, 2m
◦
W = ² cos(50 )10kg · 9, 81ms−2 · 281, 2m = 5, 3kJ
4
Aufgabe 4
a)
Die Bewegungsgleichung lautet:
x(t) = (x0 ) cos(ωt)
cos(ωt) da für t = 0 x(t = 0) = x0 = 1 cm sein sollte alternativ geht auch
x(t) = (x0 ) sin(ωt + π/2)
b)
Ekin =
mit
v(t) =
m
v(t)2
2
∂x(t)
= −x0 ω sin(ωt)
∂t
ist
Ekin =
m 2 2 2
x ω sin (ωt)
2 0
bei x(t) = 0 ist
π
2ω
(n ist eine ganze Zahl) Exemplarisch kann man n = 0 einsetzen
t0 = (2n + 1) ·
t0 =
Ableiten liefert
π
2ω
m
∂Ekin
= x20 ω 2 2 · ω · cos(ωt) sin(ωt)
∂t
2
mit
2 cos(ωt) sin(ωt) = sin(2ωt)
wird
m
∂Ekin
= x20 ω 3 · sin(2ωt) = 0
∂t
2
Die Ableitung wird Null für
π
t0 =
2ω
Das Maximum kann über 2. Ableitung überprüft werden
∂ 2 Ekin
= mx20 ω 4 · cos(2ωt)
∂t2
für
t0 =
5
π
2ω
Ergibt sich
∂ 2 Ekin
= mx20 ω 4 · cos(π) = −mx20 ω 4 < 0
∂t2
also ein Maximum
c) Die Beschleunigung ist an den Umkehrpunkten am größten (hätte gereicht)
a(t) =
∂ 2 x(t)
= −x0 ω 2 cos(ωt)
∂t2
Ableiten und Nullsetzten liefert
∂a(t)
= x0 ω 3 sin(ωt) = 0
∂t
für
nπ
ω
Maximum über 2. Ableitung der Beschleunigung
t0 =
∂ 2 a(t)
= x0 ω 4 cos(ωt)
∂t2
liefert für t = t0 immer einen Wert ungleich 0 also ein Maximum oder Minimum
gleichen Betrages
∂ 2 a(t = t0 )
= ±x0 ω 4
∂t2
6
Aufgabe 5
Berechnung über Formel aus beliebigem Tafelwerk
a)
vKw =
einsetzen liefert:
mLkw vLkw − mLkw vLkw · k
mLkw + mKw
vKw = 33, 23kmh−1 = 9, 23ms−1
b) Energie
∆Ekin =
mKw 2
· vKw
2
Impuls
∆p = mKw · vKw
c)
a=
einsetzen liefert
die Kraft ist
∆vKw
∆t
a = 92, 3m s−2
F = mF ahrer a = 85kg · 92, 3m s−2 = 7, 85kN
7
Aufgabe 6 a) Nach dem Einschalten ist der Widerstand über die Spule unendlich
(der Strom ändert sich abrupt) und über den Kondensator R = 0W
RGes = 10Ω
IA =
U
= 2, 5A
RGes
Nach langer Einschaltzeit wird der Widerstand über der Spule Null und über
dem Kondensator unendlich
RGes = 25Ω
IA =
U
= 1A
RGes
b) gespeicherte Energie
Kondensator
E=
C 2
10µF
U =
· (25V)2 = 3, 125mJ
2
2
Spule
E=
L 2
I = 10mH/2 · (1A)2 = 5mJ
2
c) Leistung:
P = U · I = 25V · 1A = 25W
alternativ
oder
P = I2 · R
P = U 2 /R
8
Aufgabe 7
Wirkungsgrad Carnot-Maschine:
η =1−
Tkalt
Theiß
Theiß = Tkalt + 75K
η =1−
Tkalt
Tkalt + 75K
nach Umstellen ergibt sich
Tkalt =
75K − 75Kη
= 265, 9K
η
Einsetzen liefert direkt
Theiß = 340K
9
Aufgabe 8
Wärmemenge die zum Abkühlen und zum Gefrieren abzugeben ist, muss von
den Eiswürfeln aufgenommen werden.
Ansatz: Wärmemenge zum Gefrieren:
Qg = mw cw ∆T1 + mw qw
Ansatz Qg entspricht der Mindestmenge die vom Eis aufgenommen werden kann
ohne dabei zu schmelzen
Qg = mEis cEis ∆T2
Gleichsetzen und Umstellen führt zu
mEis =
mw (cw ∆T1 + qw )
cEis ∆T2
kJ
, qw = 334 kJ
Einsetzen von (∆T1 = ∆T2 = 20K, mw = 0, 1kg, cw = 4, 19 kg·K
K
führt zu
mEis = 1, 045kg
10
Aufgabe 9
Gesamtausdehnung des Stabs = Ausdehnung des Lineals + gemessene Differenz
∆lLineal = lLineal · ∆T · kStahl
mit
lLineal = 20, 05mm, kStahl = 1, 2 · 10−5 K−1 , ∆T = 250K
ergibt sich
∆lLineal = 0, 06015mm
Gesamtausdehnung des Stabs:
∆lStab = ∆lLineal + (20, 11mm − 20, 05mm)
∆lStab = 0, 1205mm
daraus der Ausdehnungskoeffizient für den Stab:
kStab =
∆lStab
lStab ∆T
kStab = 2, 4 · 10−5 K−1
etwa doppelt so groß wie der für Stahl
Hinweis: die Ausdehnung der gemessenen 60µm kann vernachlässigt werden
11
Aufgabe 10 a)
Bestimmung der Gesamtladung:
Ladungsverteilung:
R2
exp −r/R
r2
Gesamtladung kann durch die Integration gewonnen werden
Z
Qgesamt = ρ(r)dV
ρ(r) = ρm
V
Volumenelement bei spärischen Koordinaten (hatten wir in der Übung)
dV = r2 sin(θ)dθdφdr
Integration
ZR
r2 ρ(r)dr
Qgesamt = 4π
0
ZR
r 2 ρm
Qgesamt = 4π
0
R2
exp(−r/R)dr
r2
ZR
ρm R2 exp(−r/R)dr
Qgesamt = 4π
0
1
Qgesamt = 4πρm R3 (1 − )
e
b)
Feld:
Maxwell Gleichung:
z
²0
Z
~
EdA
=
ρ(r)dV
V
Für inneren Bereich:
Die Ausnutzung der sphärischen Symmetrie führt direkt zu
Z
~ =
²0 4πr |E|
2
ρ(r)dV
V
12
Das rechte Integral stammt aus obiger Gleichung (Feld ist proportional zur
eingeschlossenen Ladung, also bis zum Radius r)
~ = 4πρm R3 (1 − exp(− r ))
²0 4πr2 |E|
R
~ =
|E|
ρm R 3
r
(1 − exp(− ))
2
²0 r
R
Für äußeren Bereich
Feld entspricht dem einer Punktladung mit der Gesamtladung Qgesamt (wurde
auch in der Übung behandelt
~ =
|E|
Qgesamt
4π²0 r2
c)
Die Energie, die aufgewendet werden muss entspricht dem Potentialunterschied
von der Oberfläche zum Abstand von 1m
r=1m
Z
~
q|E(r)|dr
W =
r=R
r=1m
Z
W =
q
r=R
Qgesamt
dr
4π²0 r2
qQgesamt 1
1
W =
(
−
)
4π²0
1m 0, 1m
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Aufgabe 11
induzierte Spannung:
U =−
dΦ
dt
mit
Z
Φ=
BdA
B = konstant und dA senkrecht zu A
Φ=B·A=B·a·b
B = B(t) = B0 sin2 (ωt)
U =−
d
a · bB0 sin2 (ωt)
dt
U = −a · bB0
d
sin2 (ωt)
dt
U = −a · bB0 ω2 sin(ωt) cos(ωt)
U = −a · bB0 ω sin(2ωt)
Maximalwert (vom Betrag ist) bei (sin(2ωt) = ±1)
Umax = a · bB0 ω
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