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Gleitkommaarithmetik
Erhöhen der Genauigkeit
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
124
Guard‐Bit, Round‐Bit und Sticky‐Bit
Bei der Darstellung der Addition und Multiplikation haben wir vereinfacht die beim Mantissen‐Alignment rechst heraus geschobenen Bits einfach abgeschnitten. Zum Beispiel:
Mantissen‐Alignment um 5 Stellen
10111001000111011010110
Mantisse
In Wirklichkeit (z.B. IEEE 754 Spezifikation) wird zur Steigerung der Genauigkeit etwas geschickter vorgegangen. Obiges Beispiel:
Mantisse
Rechenoperationen finden auf dieser erweiterten Mantisse statt.
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
125
Quiz
Wir betrachten 8‐Bit Mantissen. Es seien die folgenden beiden binären Zahlen zu addieren.
1 , 100 0110 * 26
+ 1 , 011 1010 * 22
Wie sehen Mantisse, Guard‐Bit, Round‐Bit und Sticky‐Bit nach dem Mantissen‐Alignment aus?
1 , 100 0110 * 26
8‐Bit‐Mantisse
1 , 011 1010 * 22
8‐Bit‐Mantisse
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
126
IEEE 754 Rounding‐Modes
Mantisse M
+ / −
Synonym
Ergebnis
Round
toward
+∞
Ceil
Kleinster Wert nicht kleiner als M Round
toward
−∞
Floor
Größter Wert nicht größer als M
Round
toward
0
Truncate
Genau M
Round
to
nearest
G
Beispiel 21,7
R
S
Beispiel ‐21,7
Wert, der am nächsten zu M liegt
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
127
IEEE Rounding‐Modes: Round to Nearest
Mantisse
G
R
S
Eingabe
Form bei Tie Rundung
Mantisse|000
Same
Mantisse|001
Down
Mantisse|010
Down
Mantisse|011
Down
Mantisse|100 ...0|100
Down
(Tie)
...1|100
Up
Ergebnis M
M = Mantisse
M = Mantisse
M = Mantisse
M = Mantisse
M = Mantisse
M = Mantisse + 1
Mantisse|101
Mantisse|110
Mantisse|111
M = Mantisse + 1
M = Mantisse + 1
M = Mantisse + 1
Up
Up
Up
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
128
Quiz
Was ist das Rundungsergebnis bei Round‐to‐Nearest für folgende Instanzen von „8‐Bit‐Mantisse | Guard‐Round‐Sticky“?
A.) 0000 1101 | 110
GRS
B.) 0011 0011 | 100
Richtung
001
Down
010
Down
011
Down
100
C.) 0101 0101 | 010
Mantisse
...0
Down
...1
Up
101
Up
110
Up
111
Up
Übersicht zu Round‐to‐Nearest
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
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Beispiel für die Genauigkeitssteigerung
Wir betrachten 8‐Bit Mantissen. Zu addieren sei:
1,100 0110 * 26 (dezimal
= 99,0000)
+ 1,011 1010 * 22 (dezimal
=
5,8125)
(Summe dezimal = 104,8125)
Das Mantissen‐Alignment und GRS‐Bits kennen wir schon, also:
Rechnung: Mantisse|GRS
Mantisse
11000110|000
11000110
+ 00001011|101
+ 00001011
----------------------11010001|101
11010001
Rundung:
11010010
ohne 11010001
Ergebnis: 1,1010010 * 26
1,1010001 * 26
Dezimal :
105,0
104,5
Also hat man mit GRS‐Bits und Rundung einen Abstand von 105,0 –
104,8125 = 0,1875. Ohne GRS‐Bits und Rundung ist der Abstand 104,8125 – 104,5 = 0,3125.
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
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Denormalized‐Numbers
Kleinste mit IEEE754 Single‐Precision darstellbare normalized Zahl > 0:
1,000 0000 0000 0000 0000 0000 * 2−126
Der Exponent −127 ist für die 0 reserviert; die Fraction ist dabei 0:
.,000 0000 0000 0000 0000 0000 * 2−127
Warum die Fraction für Exponent −127 nicht sinnvoll nutzen?
Eine Denormalized‐Number der Form
.,000 1010 1110 1000 1111 0011 * 2−127
bedeutet:
0,000 1010 1110 1000 1111 0011 * 2−126
Somit, kleinste mit IEEE754 Single‐Precision darstellbare Zahl > 0:
0,000 0000 0000 0000 0000 0001 * 2−126 = 1,0 * 2−149
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131
Quiz
Was ist mit denormalized Numbers bei IEEE 754 Double‐Precision die kleinste darstellbare Zahl > 0?
Erinnerung:
IEEE 754 Double‐Precision:
Fraction: 52 Bits
Exponent‐Bias: 1023
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
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Webseiten‐Tipp zum Üben
users‐tima.imag.fr/cis/guyot/Cours/Oparithm/english/Flottan.htm
Floating point numbers format
Rounding to the nearest
Addition and subtraction
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
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Zusammenfassung und Literatur
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
134
Zusammenfassung
• Rechnerarithmetik endlich und stimmt damit nicht exakt mit Arithmetik über reellen Zahlen überein
– Häufig Approximation realer Zahlen
– Assoziativgesetzt gilt z.B. nicht
– Hat Konsequenz auf paralleles rechnen
• Beschränkter Zahlenbereich
– Overflow, Underflow
• Wichtigste Entwicklung über die Jahre
– Zweierkomplement und IEEE 754
– In jedem modernen Computer so
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
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Quiz
Annahme es gäbe ein 16‐Bit IEEE 754 Floating‐Point‐Format mit 5 Bits für den Exponenten. Welcher Zahlenbereich wird durch dieses Format abgedeckt?
20
A: 1.0000 0000 00 *
bis 1.1111 1111 11 * 231, 0
C: +/‐ 1.0000 0000 00 * 2‐14
bis +/‐ 1.1111 1111 11 * 215,
+/‐ 0, +/‐ 1, NaN
B: +/‐ 1.0000 0000 0 * 2‐14
bis +/‐ 1.1111 1111 1 * 215
+/‐ 0, +/‐ 1, NaN
D: +/‐ 1.0000 0000 0 * 2‐15
bis +/‐ 1.1111 1111 1 * 214,
+/‐ 0, +/‐ 1, NaN
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
136
Literatur
[PattersonHennessy2012] David A. Patterson und John L. Hennessy, „Computer Organization and
Design“, Fourth Edition, 2012
2.4 Signed and Unsigned Numbers
2.6 Logical Operations
3.1 Introduction
3.2 Addition and Subtraction
3.3 Multiplication
3.4 Division
3.5 Floating Point
3.6 Parallelism and Computer Arithmetic: Associativity
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
137
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