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Zur Erinnerung
Stichworte aus der
18. Vorlesung:
Spezifische Wärmekapazität
Spezifische Molwärme idealer Gase: Cp und CV
CV = ½ f R
CP = CV + R
Spezifische Molwärme von Festkörpern
(Dulong-Petit’sches Gesetz)
Cmol = 3 R
Experimentalphysik I SS 2010
18-1
Wärmekapazität von Festkörpern
Wärmekapazität C:
ΔQ = C ΔT = ν Cmol ΔT
mit ν = m / M = m / (NA ATeilchen)
∆Q =
m Cmol ∆T
N A ATeilchen
Masse m für alle Proben gleich,
Temperaturerhöhung ΔT gleich,
Cmol fast gleich, aber
AAl < ACu < APb (im Verhältnis 27 : 63,5 : 207),
so dass
ΔQAl > ΔQCu > ΔQPb.
Experimentalphysik I SS 2010
18-2
Energieumsatz bei Phasenübergängen
Wenn Evib > EBindung → schmelzen, verdampfen
ΔQ → Aufbrechen von Bindungen
Kondensation: Bildung von Bindungen
EBindung für Bindung A-B auf C übertragen
Experimentalphysik I SS 2010
18-3
Schmelzen, Verdampfen
Zufuhr von Energie ΔQ → T steigt.
Wenn <Evib> ≈ EBindung → Viele Bindungen brechen auf.
Wenn Schmelzvorgang begonnen hat: T = const. im Körper
(durch Wärmeleitung) bis Material vollständig geschmolzen.
Experimentalphysik I SS 2010
18-4
Schmelzen, Verdampfen
Energieverteilung NT(E)
festgelegt durch T.
Bindung wird gelöst für Teilchen mit E > EB, deren Anzahl
∞
N =
*
T
∫ NT ( E ) dE
EB
Wenn Energiezufuhr gestoppt: Schmelzen/Verdampfen
endet erst wenn
∞
∞
∫ NT ( E ) dE << ∫ NT ( E ) dE
1
EB
Experimentalphysik I SS 2010
0
0
18-5
Schmelzen, Verdampfen
Spezifische
Schmelzwärme λS:
Spezifische
Verdampfungswärme λV:
Experimentalphysik I SS 2010
Energie, die zum Schmelzen von 1 kg eines Stoffes
nötig ist:
Qschmelz[J] = λS[J/kg] ·m [kg]
Energie, die zum Verdampfen von 1 kg eines Stoffes
nötig ist:
Qverdampf[J] = λV[J/kg] ·m [kg]
18-6
Wärmetransport
Jeder sich selbst überlassene Körper mit der Temperatur
TK tauscht mit seiner Umgebung so lange Energie aus,
bis er die gleiche Temperatur TU wie seine Umgebung hat
thermisches Gleichgewicht
⇒
Konvektion:
Wärmeleitung:
durch Transport makroskopischer Volumina:
(Gase und Flüssigkeiten)
durch Transport einzelner Teilchen
Wärmeleitung in Gasen
durch Kopplung von Schwingungen und
Energietransport im FK (bei Metallen i.w. durch
Elektronen)
Wäremstrahlung:
Experimentalphysik I SS 2010
durch Strahlung (einziger Mechanismus im
Vakuum)
18-7
Wärmetransport durch Konvektion
Erwärmung „von unten“
T(a) >T(b) → da dρ/dT<0
ρ(a)<ρ(b) → Auftrieb
→ untere Schichten steigen auf
→ Durchmischung durch Konvektion
Experimentalphysik I SS 2010
18-8
Wärmetransport durch Konvektion
Seewind:
Tiefdruckgebiet:
Experimentalphysik I SS 2010
18-9
Wärmeleitung
nur Energietransport,
kein Massentransport,
T1 und T2 < T1 durch
Kontakt mit „Wärmereservoirs“
fixiert.
angenommen: Wärmestrom nur in
x-Richtung, nach einiger Zeit
stationärer Fall:
dQ
= const.
dt
∂T
dQ
⇒
= −λ ⋅ q ⋅
∂x
dt
[λ ] = W m −1 K −1
⇒
Wärmeleitzahl:
Experimentalphysik I SS 2010
18-10
Wärmeleitung in Metallen
Metall: „freie“ Elektronen
hohe elektrische Leitfähigkeit
Elektronen: geringe Masse, starke Wechselwirkung mit
Atomrümpfen
→ dominanter Beitrag der Elektronen zur Wärmeleitung
(Metall)
Gute Wärmeleiter sind auch gute elektrische Leiter.
Zusammenhang von Wärmeleitzahl λ und elektrischer
Leitfähigkeit σ:
Wiedemann-FranzGesetz:
experimentell λ = a ⋅ T ⋅ σ
Theorie:
Experimentalphysik I SS 2010
a=
π 2 k2
⋅
3 e2
18-11
Wärmeleitung in Metallen
Cu:
Stahl:
gute Wärmeleitung
TA steigt an, ΔQ fließt schnell nach E →
TE steigt bald nach Beginn der Zufuhr an
schlechte Wärmeleitung, ΔQ fließt nur
langsam nach E → TA steigt stark an,
Verluste auf maßgeblicher Zeitskala, durch
Ableitung in Umgebung: → TE steigt kaum an
t
Wärmemenge:
dQ
dt
dt
0
∆Q1 (t ) = ∫
Gleichgewicht (ΔQ1 = ΔQ2 ) wird für Stahl, wg. schlechterer
Wärmeleitung i. vgl. zu Kupfer, erst bei höherer T erreicht
Experimentalphysik I SS 2010
18-12
Wärmeleitung in Metallen
Experimentalphysik I SS 2010
18-13
Wärmeleitung in Flüssigkeiten
Experimentalphysik I SS 2010
18-14
Wärmeleitung in Gasen
Ohne Diffusion:
Mit Diffusion:
dW
= κ (T1 − T2 ) κ ≡ Wärmeübergangszahl
dt
dW
dT
=λ⋅
dt
dx
λ ≡ Wärmeleitfähigkeit λ =
1 f ⋅k ⋅ v
12 σ
Transport von Energie:
kleine Masse
→ großes <v>
Draht glüht im oberen Bereich weniger stark, da dort höhere
Dichte von H2, daher bessere Wärmeleitung
Experimentalphysik I SS 2010
18-15
Wärmestrahlung
Strahlungsgesetze:
hier nur: elementare Zusammenhänge
entwickelt von Max-Planck um 1900:
war ein Schlüssel für die
Entwicklung der Quantenmechanik
Aussagen über:
Variation von Intensität und Spektrum
der Abstrahlung von einer Oberfläche mit der
Temperatur
sowie
Abhängigkeit von Oberflächen-Beschaffenheit
Experimentalphysik I SS 2010
18-16
Wärmestrahlung
Wärmetransport
durch Strahlung:
Körper T = TK, Wandung T = TU
Hochvakuum: kein T-Ausgleich durch Wärmetransport
über Atome/Moleküle
Energietransport durch elektromagnetische Strahlung
dadurch Ausgleich: TK → Tm und TU → Tm
im thermischen Gleichgewicht muss ebensoviel Leistung
(Strahlung) absorbiert wie emittiert werden.
Experimentalphysik I SS 2010
18-17
Wärmestrahlung
Abhängigkeit von der
Oberflächenbeschaffenheit:
abgestrahlte Leistung I(T) = dW(T)/dt
Beobachtung: Idunkel/rauh(T) > Ihell/blank(T)
I(T2) > I(T1) für T2 > T1
Experimentalphysik I SS 2010
18-18
Wärmestrahlung
von Fläche dF in
Raumwinkel dΩ [pro m2
>> 1 Sterad] abgestrahlte Leistung dW/dt:
Emissionsvermögen
E*(T):
Absorptionsvermögen
A(T):
[E * (T )] =
dW
= E * (T ) ⋅ dF ⋅ dΩ,
dt
A=
Wabsorbiert
Wauftreffend
J
S ⋅ m 2 ⋅ Sr
A ist dimensionslos!
es gilt (Beobachtung):
E * (T )
= K (T )
A(T )
Verhältnis ist nur von T abhängig!
Schwarzer Körper:
Experimentalphysik I SS 2010
A(T) = 1 für alle Frequenzen (Wellenlängen)
18-19
Wärmestrahlung
Realisierung eines
schwarzen Körpers:
Realisierung einer Fläche mit den Eigenschaften
„schwarzer Körper“ im Sinne der Strahlungsgesetze:
kleines Loch in der Wandung eines Hohlraumes
schwarzer Körper = Fläches des Loches
Das spektrale Emissionsvermögen E* eines schwarzen
Körpers ist identisch mit der spektralen Strahlungsdichte
S* der Hohlraumstrahlung.
Experimentalphysik I SS 2010
18-20
Wärmestrahlung
Strahlungsformel von
Max Planck:
Max Planck um 1900:
spektrale Energiedichte
der Startpunkt zur Entwicklung der Quantenmechanik
Aussagen über: Temperatur-Variation von Intensität und
Spektrum der Abstrahlung einer Oberfläche
sowie
Abhängigkeit der Strahlung von der OberflächenBeschaffenheit
Experimentalphysik I SS 2010
18-21
Wärmestrahlung
Strahlungsformel von
Max Planck:
8π ν 2
ρ (ν ) = 3 ⋅ hν ⋅
c
1
e
hν
kT
Statistisches
Gewicht
−1
Besetzungswahrscheinlichkeit W(ν,Τ)
Energie pro Quant hν
ρ (λ ) =
8π hc
λ5
1
⋅
e
hc
kTλ
−1
ρ(λ) bzw. ρ(ν):
spektrale Energiedichte
ρ(λ)dλ bzw. ρ(ν)dν:
Energiedichte im SpektralInterval dλ bzw. dν
Zunahme des Integrals über K(λ) geregelt durch:
Stefan-Boltzmann-Gesetz
Verschiebung des Maximums geregelt durch: Wien’sches
Verschiebungsgesetz
Experimentalphysik I SS 2010
18-22
Wärmestrahlung
Stefan-Boltzman:
dW
= σ ⋅ S ⋅T 4
dt
S = strahlende Fläche,
σ = 5.77·10-8 W/(m2 K4)
dW
(A = 1 m 2 , T = 300 K ) = 470 W
dt
dW2
dW
= 10 ⋅ 1
dt
dt
z.B. T2 = 300 K (27 °C ), T1 = 533 K (260 °C )
T2 = 1,77 ⋅ T1 ⇒ T24 = 10 ⋅ T14 , ⇒
Wien‘sches
Verschiebungsgesetz:
Experimentalphysik I SS 2010
λmax ⋅ T = b
dI (λ )
= 0 für λ = λmax , b = 2,8978 ⋅10 −3 m K
dλ
λmax (300 K ) = 10 µm
18-23
Konsequenzen der Wärmestrahlung
Lichtmühle:
Übertrag von Photonen-Impulsen ??
Experimentalphysik I SS 2010
18-24
Konsequenzen der Wärmestrahlung
Lichtmühle:
Übertrag von Teilchen-Impulsen
Experimentalphysik I SS 2010
18-25
Konsequenzen der Wärmestrahlung
Photonenimpuls:
E ph = h ⋅ν =" m ph "⋅c 2
p ph =" m ph "⋅c =
Z ph =
F=
dn photon
dt
∆p
∆t
=
h
h ⋅ν
c
⋅
=
λ
c2
Experimentalphysik I SS 2010
Photonenimpuls
pro Zeiteinheit auftreffende Photonen
⇒ Fblank = 2 Z ph
∆F = Fblank − Fschwarz = Z ph
⇒
Photonenenergie
h
λ
, Fschwarz = Z ph
h
λ
h
λ
Drehung schwarze Seite voran
18-26
Konsequenzen der Wärmestrahlung
Teilchenimpuls:
Teilchen aus dem Gasvolumen landen auf der Fläche der
Drehflügel mit Impuls <p>
p = m ⋅ v(Tgas )
Kraftübertrag beim „Landen“ identisch für beide Seiten:
F
landen
d planden
=
= Z ph ⋅ m ⋅ v(Tgas )
dt
Kraftübertrag beim „Starten“:
Start mit v(TOberfläche ) : Tschwarz > Tblank ≈ Tgas
F start = Z ph ⋅ m ⋅ v(TOberfläche )
start
start
⇒ Fschwarz
> Fblank
⇒
Experimentalphysik I SS 2010
Drehung schwarze Seite rückwärts
18-27
Wärme-Isolierung
Strahlungsabschirmung und Verwendung von
Materialien mit geringer Wärmeleitung
Experimentalphysik I SS 2010
18-28
Die Hauptsätze der Wärmelehre
Thermodynamisches
Gleichgewicht:
Zustandsgrößen:
die Verteilungsfunktionen FT(X)
(X = Energien, Impulse, etc. ) sind durch T festgelegt
{Z} = (p, V, T) beschreiben
– im thermodynamischen Gleichgewicht –
den Zustand des Systems (eindeutig)
Zustand ist stationär, wenn für die
Zustandsgrößen Z gilt dZ/dt = 0
Hauptsätze:
Beschreibung der Änderung der Zustandsgrößen p, V
und T bei Aufnahme/Abgabe von Energie
zunächst betrachtet: ideales Gas
Experimentalphysik I SS 2010
18-29
Die Hauptsätze der Wärmelehre
1. Hauptsatz:
(alternative
Formulierungen)
Die Gesamtenergie (inklusive Wärmeenergie) bleibt
bei einem Prozess erhalten.
Es gibt keine Maschine, die mehr Energie erzeugt als
eingesetzt wird (es gibt kein perpetuum mobile 1. Art).
Diese Aussage ist nicht beweisbar, reine Erfahrungssache!
2. Hauptsatz:
(alternative
Formulierungen)
Der Wirkungsgrad η (η = nutzbare Arbeit/eingesetzte
Energie) einer Wärmekraftmaschine ist η < 1
Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, deren
Wirkungsgrad höher ist als derjenige der Carnot
Maschine
Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine,welche ohne
Energiezufuhr ein Wärmereservoir abkühlt und die dabei
entzogene Energie vollständig in mechanische Energie
umwandelt (kein perpetuum mobile 2. Art)
3. Hauptsatz:
Experimentalphysik I SS 2010
Es ist prinzipiell unmöglich, den absoluten Nullpunkt
der Temperatur zu erreichen.
18-30
Grundlagen, Definitionen und Bezeichnungen
Zustandsgleichung:
Innere Energie:
Arbeit:
p ⋅V = ν ⋅ R ⋅ T
∂U
1
U = ⋅ν ⋅ f ⋅ R ⋅ T , CV =
∂T V
2
dW = − p ⋅ dV
Kompression: dV < 0 → dW > 0
→ dem System zugeführte Energie (Arbeit) wird positiv
gerechnet
Expansion: dV > 0 → dW < 0
→ vom System geleistete Arbeit wird negativ gerechnet
Zustandsänderungen:
Bezeichnung von Zustandsänderungen:
T = const. → isotherm
p = const. → isobar
V = const. → isochor
Experimentalphysik I SS 2010
p(ν,V,T)
18-31
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
(Erhaltung der Energie)
1. Hauptsatz:
ΔU = ΔQ + ΔW
Die Erhöhung der inneren Energie ist gegeben durch die
zugeführte Wärmemenge ΔQ und die durch mechanische
Arbeit ΔW zugeführte Energie
Expansion: ΔW < 0, Kompression: ΔW > 0
1. Hauptsatz für
ideales Gas in
differentieller Form:
in differentiellen Größen geschrieben:
dU = dQ - p dV
(1.Hauptsatz, ideales Gas)
gilt nicht allgemein für „reales“ Gas, da z.B. Δp durch ΔN
(Kondensation, Verdampfung) nicht berücksichtigt
Experimentalphysik I SS 2010
18-32
Erster Hauptsatz: Konsequenzen
Isochorer Prozess:
dU = dQ − p ⋅ dV
isochorer Prozess: dV = 0 → dU = dQ
zugeführte Wärmeenergie geht vollständig in die
Änderung der inneren Energie
dQ = dU = CV ⋅ dT , ⇒ CV =
Isobarer Prozess:
Enthalpie H:
∂U
∂T V
dp = 0 ⇒ dQ = dU + p ⋅ dV
dQ = C p ⋅ dT
Def.: H = U + p ⋅ dV ,
dH = dU + p ⋅ dV + V ⋅ dp
dQ = dH (für dp = 0) C p =
Bezogen auf ein Mol:
p
H = U + p ⋅V = U + R ⋅ T
Cp =
Experimentalphysik I SS 2010
∂H
∂T
∂H
+ R = CV + R
∂T V
H = „Maß für die Energie eines
therodynamischen Systems“
18-33
Erster Hauptsatz: Konsequenzen
Isothermer Prozess:
dU = 0 ⇒ dQ = p ⋅ dV
Wärmeleitung
To
enger Kontakt mit
Wärmereservoir
T im Kolben und im
Reservoir gleich
po, Vo, To
∆Q
Kompressionsarbeit
∆W =
∫ p dV
To
po+∆p, Vo+ ∆V, To
Experimentalphysik I SS 2010
Wärmemenge ∆Q = ∆W
wird über Wärmeleitung
an Reservoir abgeführt
bis TKolben = To
18-34
Erster Hauptsatz: Konsequenzen
Isothermer Prozess:
dU = 0
⇒ dQ = p ⋅ dV
1
R ⋅ T0
mit
V
V2
V2
 V2 
1
W = − ∫ p ⋅ dV = − R ⋅ T0 ∫ dV = − R ⋅ T0 ⋅ ln 
V
 V1 
V1
V1
dQ ⇔ dW
p ⋅ V = R ⋅ T0
⇒
p=
V 
W = R ⋅ T0 ⋅ ln 1 
 V2 
Experimentalphysik I SS 2010
18-35
Erster Hauptsatz: Konsequenzen
Adiabatischer
Prozess:
dQ = 0 ⇒ dU = − p ⋅ dV
R ⋅T
V
dV
dT
= −R∫
CV ⋅ ∫
V
T
dU = − p ⋅ dV = CV ⋅ dT
p=
dV
⇒
V
CV ⋅ ln T = − R ⋅ ln V + const.
⇒ CV ⋅ dT = − R ⋅ T ⋅
ln T CV + ln V R = const.
T CV ⋅ V
Poisson‘sche
Gleichungen/AdiabatenGleichungen:
T ⋅V
(C p −CV )
κ −1
κ
C p −CV
= const.
CV
⇒
κ=
= const.
p ⋅ V = const.
Experimentalphysik I SS 2010
ln (T CV ⋅ V R ) = const.
⇒
da
T=
T ⋅V
Cp
CV
f
=
2
f
CV
R+R
2
R
= const.
=
f +2
f
p ⋅V
R
18-36
Erster Hauptsatz: Konsequenzen
Adiabatischer
Prozess:
In der Thermodynamik bedeutet: „adiabatisch“ meist
„schneller Prozess“, damit ΔQ (Verlust durch
Wärmeleitung) klein.
Später (in Quantenmechanik) bedeutet „adiabatisch“ oft
„langsamer Prozess“ (kein Energieverlust durch
Übergang in anderen Energiezustand)
(immer: ΔQ = 0 !)
Experimentalphysik I SS 2010
18-37
Isothermer und adiabatischer Prozess
p=p(V):
Isothermen und
Adiabaten in einem
p-V-Diagramm
isotherme Änderung:
adiabatische Änderung:
p ⋅ V = R ⋅ T0
⇒
pisotherm (V ) =
p ⋅ V = const.(= p0 ⋅ V0
κ
κ
)
⇒
R ⋅ T0
V
p0 ⋅ V0κ
padiabatisch (V ) =
Vκ
p(V) Druck ändert sich mit V bei adiabtischem Prozess
(dQ = 0) schneller als bei isothermem Prozess (dU = 0),
da:
dV < 0: Kompressionsarbeit, T steigt → p steigt
dV > 0: Expansionsarbeit, T sinkt → p sinkt
Experimentalphysik I SS 2010
18-38
Isothermer und adiabatischer Prozess
Isothermer Prozess:
Vorgang (ΔV) „langsam“:
ΔW: Kompressions-/Expansionsarbeit
ΔQ: Erwärmung/Abkühlung
⇒ vollständiger Ausgleich durch Wärmebad
adiabatischer
Prozess:
Vorgang (ΔV) „schnell“:
ΔW: Kompressions-/Expansionsarbeit
ΔQ: Erwärmung/Abkühlung
⇒ kein Ausgleich durch Wärme-Abfuhr/-Zufuhr
T1 ⋅ V1κ −1 = T0 ⋅ V0κ −1
z.B. :
 V0 
⇒ T1 = T0 ⋅  
 V1 
V0
= 10, κ ( N 2 ) = 7 = 1,4
5
V1
⇒ T1 = T0 ⋅100, 4 = T0 ⋅ 2,5
Experimentalphysik I SS 2010
κ −1
T0 = 293 K
⇒ T1 = 736 K
18-39
Kreisprozesse
p1, V1, T1
p1
p2
p4
p3
p2, V2, T1
p3, V3, T2
Ein thermodynamisches System durchläuft verschiedene
Zustände mit unterschiedlichen Zustandsgrößen und kehrt
in den Ausgangszustand (identische Zustandsgrößen)
zurück.
Es gibt reversible und irreversible Kreisprozessse
Experimentalphysik I SS 2010
18-40