Experimentalphysik
Werbung
Richard Gebauer Experimentalphysik Stand: 19. Juli 2014 Experimentalphysik - Zusammenfassung Diese Zusammenfassung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Korrektheit. Solltet ihr Fehler finden oder Ergänzungen haben, teilt sie mir bitte mit: [email protected] Für Überschneidungen mit Theoretische Physik bitte diese Zusammenfassung anschauen! 1 1.1 Klassische Mechanik Messungen und Datenauswertung: Statistischer Fehler Mittelwert hXi = X = Standardabweichung σX v u u =t N 1 X Xi N i=1 N 1 X (hXi − Xi )2 N − 1 i=1 σX Fehler des Mittelwerts δhXi = √ N Zentraler Grenzwertsatz Für große Zahl von Messungen entspricht die Häufigkeitsverteilung der Messwerte einer Gaußverteilung (x−µ)2 1 · e− 2σ2 P (x, µ, σ) = √ 2πσ Fehlerfortpflanzung 1.2 Messgröße G = G(x1 , x2 , ..., xn ) von mehreren Variablen abhängig v u n uX ∂G 2 δG = t δx2i ∂x i i=1 Kräfte Kraft Gleichung F~G = m · ~g Bemerkung Gravitation Normalkraft F~N Seilspannkraft F~S auf Planetenoberfläche (g = const.) übt Boden auf Objekt aus mit der Seil o.ä. gespannt wird Federkraft F~F = −k · ~x Rückstellkraft einer ausgelenkten Feder Reibungskraft FR = f = µ · FN Zentripetalkraft F~Z = −m · ω 2 · ~r Corioliskraft F~C = 2 · m · ~v × ω 1.3 entgegen der (potentiellen) Bew.richtung hält Objekt auf Kreisbahn Scheinkraft in rotierendem Bezugssystem Energiediagramme P Da der EES gilt, muss die Summe aller Energien konstant sein: Etot = E = const. Ein Energiediagramm enthält demnach alle in einem System vorkommenden Energieformen, in Abhängigkeit einer vom System abhängigen Größe (z.B. Auslenkung/Höhe/Zeit) 1.4 Systeme von Massepunkten Schwerpunkt ~rcm = 1 M Z Geschwindigkeit ~vcm = Ohne äußere (resultierende) Kräfte, d.h. Z 1 ~r · ρ(~r) · dV M P mi · ~vi = M ~r(m) · dm = d ~rcm dt P~ F = 0, gilt der IES: p~cm = const. Seite 1 von 11 Richard Gebauer 1.5 Stand: 19. Juli 2014 Elastische und inelastische Stöße elastisch inelastisch 1.6 Experimentalphysik Kinetische Energie bleibt erhalten. Es gilt IES und EES. Kinetische Energie wird teilweise in innere Energie umgewandelt. Es gilt nur IES. Rotation Lineare Bewegung Rotation Ortsvektor ~r Kreiswinkel θ Geschwindigkeit ~v Winkelgeschw. ω ~ ⊥ AKreis Beschleunigung ~a Winkelbeschl. α ~= Masse m Beschl. Kraft F~ R Trägheitsmoment J = r2 dm ~ = ~r × F~ = J · α Drehmoment M ~ Impuls p~ ~ =J ·ω Drehimpuls L ~ = ~r × p~ Kinetische Energie Ekin ω2 Rotationsenergie Erot = 21 J~ mit |~ ω| = ω = dθ dt d~ ω dt Satz von Steiner Hat man das Trägheitsmoment JCM bezüglich einer Drehachse 1, die durch den Massenschwerpunkt (CM ) geht, benötigt aber das Drehmoment J2 bzgl. einer 2. (zur 1. parallelen) Drehachse 2, wobei d der Abstand der Drehachsen ist, ergibt sich dieses durch: J2 = JCM + m · d2 Auflistung einiger Trägheitsmomente Objekt Trägheitsmoment Massepunkt m im Abstand r J = m · r2 Hantel (2 Gewichte à m, Abstand Gew. Drehachse je r) J = 2 · m · r2 1.7 Hantel der Länge r mit Drehachse in 1 Gewicht J = 4 · m · r2 Zylinder J= Hohlzylinder J= (Dünner) Stab der Länge L J= Vollkugel J= Kugelschale J= 1 2 2 ·M ·R 1 2 2 · M (R1 + 1 2 12 · M · L 2 2 5 ·M ·R 2 2 3 ·M ·r R22 ) Gravitationsgesetz m1 · m2 F~21 = −G · · ~e21 r2 Potentielle Energie Epot (r) = −G · 1.8 m1 · m2 r Galileitransformation Voraussetzung: Ruhendes System S und Inertialsystem S 0 (d.h. vS 0 = const) und keine relativistische Betrachtung notwendig (vS 0 << c). Zum Zeitpunkt t = 0 liegen die Koordinatenursprünge beider Bezugssysteme aufeinander und die Systeme sind gleich orientiert. Dann gelten folgende lineare Transformationen von S → S 0 : ~r 0 (t) = ~r(t) − ~vS 0 · t ~v 0 = ~v − ~vS 0 Seite 2 von 11 Richard Gebauer 1.9 Experimentalphysik Stand: 19. Juli 2014 Lorentz-Transformation Vorauss.: Gleich wie bei Galileitransformation, nur jetzt relativistisch korrekt (v.a. für v ≈ c), Bezugssystem S 0 bewegt sich relativ zum ruhenden System S in x-Richtung mit Geschw. v. Transformation eines Quadrupels (t, x, y, z) im System S zu (t0 , x0 , y 0 , z 0 ) in System S 0 : t0 = (t − v x)γ ; x0 = (x − vt)γ ; y 0 = y ; z 0 = z c2 mit Lorentzfaktor γ = q 1 1− v2 c2 Addition von Geschwindigkeiten (Beide Geschwindigkeiten in Richtung der x-Achse) Ein Objekt bewegt sich im bewegten System S 0 mit der Geschwindigkeit u0 und S 0 bewegt sich bezüglich eines ruhenden Systems S mit der Geschwindigkeit v. Dann bewegt sich das Objekt bezüglich S mit der Geschwindigkeit u: u0 + v u= 0 1 + uc2v 1.10 Relativistische Effekte Zeitdilatation Uhr im bewegten System erscheint im ruhenden System langsamer T = γ · T0 ⇔ T0 = Längenkontraktion verkürzt Ein bewegter Stab der Länge L’ erscheint im Ruhesystem eines Betrachters L= 1.11 1 ·T γ 1 · L0 ⇔ L0 = γ · L γ Relativistische Dynamik rel. Masse m = γ · m0 mit Ruhemasse m0 Energie Gesamtenergie E = mc2 = E0 + Ekin Ruheenergie E0 = m0 · c2 ; Ekin = E − E0 = (γ − 1) · m0 · c2 1.12 Elastische Verformung Hooke’sches Gesetz beschreibt die Längenänderung eines Materials bei Krafteinwirkung ∆L F 1 = · L A E Reißfestigkeit mit Elastizitätsmodul E in N m2 Charakt. Größe, die angibt, bei welcher minimalen Kraft ein Material reißt σr = Er = N F in 2 A m Volumenänderung bei Zug oder Schub ∆V ∆L ≈ (1 − 2µ) · V L mit Poissonzahl µ(typ. 0, 3) Scherung F ∆L =G· = G · tanα A L mit Schermodul G und Scherwinkel α Seite 3 von 11 Richard Gebauer Torsion Experimentalphysik Verdrehung eines Körpers M =D·θ 1.13 Stand: 19. Juli 2014 mit Richtmoment D und Verdrehwinkel θ Hydrostatik Im Folgenden werden Flüssigkeiten als inkompressibel idealisiert. Druck P = Pascal-Gesetz F A gibt den (statischen) Druck in einer bestimmten Tiefe h einer Flüssigkeit an P (h) = P0 + ρ · g · h mit Oberflächen-/Außendruck P0 Auftrieb entspricht Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (archimedisches Prinzip) FA = g · ρ · V 1.14 Hydrodynamik Idealisierung: Flüssigkeit inkompressibel, keine Viskosität, keine Turbulenzen (Strömungen sind also laminar), konstante Dichte Fluss bleibt nach der Kontinuitätsgleichung erhalten. Φ = A · v = const. Bernoulli-Gleichung macht eine Aussage über eine Erhaltungsgröße der Strömungslehre, aber nicht über deren absoluten Wert (dieser ist vom System abhängig) P +ρ·g·h+ 1 · ρv 2 = const. 2 Druck P , Dichte ρ, Höhe über/unter Bezugsebene h, Strömungsgeschwindigkeit v 1.15 Thermische Eigenschaften von Festkörpern Längenänderung durch Erwärmung ∆L = α · ∆T L mit linearem Ausdehnungskoeff. α Wärmeleitung dQ dT = −λ · A · dt dx mit therm. Leitfähigkeit λ transp. Wärmemenge 1.16 dT dQ , Temp.gefälle dt dx Mechanische Schwingungen Harmonische Schwingung r Rückstellkraft F = −D · s ⇒ s(t) = s0 · cos(ωt + φ0 ) Systemenergie E = 1 · D · ŝ2 2 mit ω = D m mit Amplitude ŝ (= s0 für φ0 = 0) Seite 4 von 11 Richard Gebauer Experimentalphysik Stand: 19. Juli 2014 Mathematisches Pendel mit Näherung für kleine Winkel: sin θ = θ − 1 3 3! θ + O(θ5 ) ≈ θ r Rückstellkraft F ≈ −m · g · θ ⇒ θ(t) = θ0 · cos(ωt + φ0 ) mit ω = g l Gedämpfte Schwingung dX d2 X +λ + kX = 0 dt2 dt r k λ2 − τt · cos(ωt) mit ω = X(t) = X0 · e − m 4m2 2m Lebensdauer τ = mit Reibungskoeff. λ λ Qualitätsfaktor Q = ω · τ DGL: m t Energie E = E0 · e− τ 1.17 Wellen Wellengleichung in 3-Dimensionen 1 ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u 1 ∂2 − − − = 0 ⇔ ( − 4)u(~r, t) = 0 ⇔ u = 0 c2 ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t2 Laplace-Operator 4 = Ausflug: Greensche Funktion 3 2 X ∂ 2 ∂x i i=1 und d’Alembert-Operator = 1 ∂2 −4 c2 ∂t2 (sicher nicht Klausur-relevant) DGL: u(~r, t) = f (~r, t) hat Greensche Fkt.: G(~r, t) = δ(t − |~rc| ) 4π|~r| Spezialfall: Saite mit linearer Massendichte µ u(x, t) = u0 · sin(kx + δ) · cos(ωt + φ) 2π mit Wellenzahl k = λ s Phasen-/Ausbreitungsgeschwindigkeit c = Stehende Wellen s und ω = k F µ F µ (in 1 Dimension) u(x, t) = f (x) · g(t) mit Amplitude f (x) und Zeitabhängigkeit g(t) Es existieren sog. Schwingungsmoden. Bei harmonischen Wellen auf einem Wellenträger der Länge L bspw. gilt: λn = 2L n ;n ∈ N Energie und Intensität dEkin dEpot 1 dE = + = Gesamtenergie pro Längenelement dx dx dx 2 mittlere Leistung hP i = h Seite 5 von 11 dE dx i· dx dt µ ∂u ∂t 2 +F ∂u ∂x 2 ! Richard Gebauer Lautstärke 1.18 Experimentalphysik Stand: 19. Juli 2014 W b 0P hon = b 0dB Hörschwelle Imin (f = 1kHz) = 10−12 2 = m I Lautstärkepegel L = 10 · log10 [P hon] Imin Interferenz von Wellen Superpositionsprinzip lenfunktion. Wenn u1 und u2 Wellenfunktionen sind, dann ist auch u = u1 + u2 eine Wel- Zwei Wellen gleicher Wellenlänge und Amplitude, die sich begegnen/überlagern, interferieren abhängig von ihrer Phasendifferenz ∆φ = φ2 − φ1 unterschiedlich: konstruktive Interferenz ∆φ = 2k · π ; k ∈ Z Amplituden der beiden Wellen addieren sich destruktive Interferenz ∆φ = (2k + 1) · π ; k ∈ Z Amplituden der beiden Wellen löschen sich aus Seite 6 von 11 Richard Gebauer 2 Experimentalphysik Stand: 19. Juli 2014 Elektrodynamik 2.1 Grundlagen Physikalische Größen Größe Zeichen Einheit Ladung Q = ±N · e Ladungsdichte Flächenladungsdichte Linienladungsdichte Strom Stromdichte El. Feldstärke C = As = Coulomb dQ ρ = dV σ = dQ dA λ = dQ dl I = dQ dt I =ρ·v j=A ~ r) ~ E(~r) = F (~ q A·s m3 A·s m2 A·s m A = Ampere R ~ · dA ~ Φe = A E R t1 El. Energie E = t0 U · I · dt RB ~ · d~s El. Arbeit WAB = A q · E El. Fluss El. Spannung El. Leistung UAB = V (~r1 ) − V (~r2 ) = P = Kapazität C = Widerstand R = dW dt Q U U I WAB q = RB A ~ s Ed~ =U ·I = d σe · A Ω= A L Spez. Widerstand ρ = R · ~ Magn. Feldstärke H P = Ohm kg·m3 s2 ·A A m T = Vs m2 = kg A·s2 = T esla 2 kg·m2 A·s2 = W eber kg·m2 = Henry s2 Wb = Tm = V s = A Ladungserhaltung kg·m2 s2 ·A Ωm = ~ = µ0 · H ~ Magn. Flussdichte B R ~ · dA ~ B Magn. Fluss Φm = Induktivität L = A m2 kg·m N V C = m = s3 ·A kg N C·m2 = A·m·s2 2 W s = J = kg·m s2 2 W s = J = kg·m s2 2 V = NCm = kg·m s3 ·A = V olt 2 W = V A = kg·m = W att s3 C A2 ·s4 F = V = kg·m2 = F arad Φm I H= T m2 A = Vs A = Qi = const. Konservative Kraftfelder H F~ d~s = 0, ∇ × F~ = 0, F~ = −∇V Verhalten bei Reihen- und Parallelschaltung Spannung Strom Ladung auf Kondensator Widerstand Kapazität 2.2 Reihenschaltung P Ux = Ui Ix = I1 = ... = In Qx = Q1 = ... = Qn P Rx = Ri P 1 1 Cx = Ci Parallelschaltung Ux = U1 = ... = Un P Ix = Ii P Qx = Qi P 1 1 Rx = P Ri Cx = Ci Maxwell-Gleichungen (im Vakuum) 1.) Gaußsches Gesetz Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes ~ = ρ ∇·E 0 I ~ · dA ~ = QinV (Φe =) E 0 ∂V Seite 7 von 11 Richard Gebauer Experimentalphysik Stand: 19. Juli 2014 2.) Gaußsches Gesetz für Magnetfelder magnetische Felder sind quellenfrei, es gibt keine Monopole (Φm ~ =0 ∇·B I ~ · dA ~=0 =) B ∂V 3.) Induktionsgesetz Änderung der magnetischen Flussdichte führt zu elektrischem Wirbelfeld. Minus wegen Lenzscher Regel ~ ~ = − ∂B ∇×E ∂t I Z ~ · d~s = − d ~ · dA ~ (= − d Φm ) (Uind =) E B dt dt ∂A A 4.) Erweitertes Durchflutungsgesetz Elektrische Ströme führen zu magnetischem Wirbelfeld (Erweiterung des Ampereschen Gesetzes, berücksichtigt aber den Maxwellschen Verschiebungsstrom: 2.Term) ~ ~ = µ0~j + 1 ∂ E ∇×B c2 ∂t I ~ · d~s = µ0 IdurchA + 1 d B c2 dt ∂A 2.3 Z ~ · dA ~ E A Maxwell-Gleichungen in Materie ~ = 0 · r · E ~ Diel. = 0 · E ~ vak Mit elektrischer Flussdichte D ~ ~ ~0 + M ~) und magnetischer Flussdichte B = µ0 · µr · H = µ0 · (H ~ =ρ 1.) ∇ · D ~ =0 2.) ∇ · B H H∂V ~ ~ = − ∂B 3.) ∇ × E ∂t ~ ∂D ~ ~ 4.) ∇ × H = j + ∂t 2.4 ∂V ~ · dA ~ = QinV D ~ · dA ~=0 B R ~ · d~s = − d ~ · dA ~ E B dt A H R ~ · d~s = IdurchA + d ~ · dA ~ H D ∂A dt A H ∂A Elektrostatik Coulombgesetz für zwei punktförmige Ladungen F~ (~r) = Coulomb-Potential 1 Q·q · 2 · ~er 4π0 r für punktförmige Ladungsquellen V (r) = Q 4π0 r Dielektrizitätszahl r charakteristische Eigenschaft eines Dielektrikums (Vakuum: r = 1) Es gilt: r = 1 + χ mit dielektrischer Suszeptibilität χ Plattenkondensator A d 1 1 1 Energie E = CU 2 = Q2 = 0 r V · E 2 2 2C 2 Q U El. Feld E = = 0 r A d Kapazität C = 0 r Seite 8 von 11 Richard Gebauer Experimentalphysik Poisson-Gleichung Stand: 19. Juli 2014 des elektrischen Feldes ∆V = − ∂2 ∂2 ρ ∂2 + + mit Laplace-Operator ∆ = ∇2 = 0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Elektrisches Dipolmoment charakterisiert räumliche Ladungstrennung mit zwei ungleichnamigen Ladungen q und dem Abstand ~l von der negativen zur positiven Ladung p~ = q · ~l Gesamtdipolmoment (Polarisation) P = χ · ED · 0 = N · q · d 2.5 Elektrodynamik Kontinuitätsgleichung dρ ∇~j = − dt Ströme mikroskopisch betrachtet vD : Driftgeschwindigkeit hvi: Mittlere Geschwindigkeit zwischen 2 Stößen Λ: Mittlere freie Weglänge für e− τ : Mittlere Zeit zwischen 2 Stößen Kirchhoffsche Gesetze X Knotenregel: Ii = 0 an jedem Knoten X Maschenregel: Ui = 0 für alle Maschen ohne Spannungsquelle Wheatstonesche Brückenschaltung siehe Übungsaufgabe Auf- und Entladevorgang eines Kondensators mit Zeitkonstante τ = Ro C Aufladen Spannung Strom Ionenwanderung Entladen U (t) = U0 (1 − e −t/τ ) I(t) = I0 e−t/τ U (t) = U0 e−t/τ I(t) = U0 −t/τ R0 e 2 mit Beweglichkeit b [ m Vs] v + = b+ · E und v − = b− · E j ± = (±)q · v ± · n mit Ionenanzahl pro m3 : n 2.6 Statischer Magnetismus Lorentz-Kraft ~ F~L = q · ~v × B Kraft auf Leiter im B-Feld (in der Schule F=IBS) Z ~ ~ F =I· d~l × B P Hall-Effekt Hall-Spannung UH = IB ned Seite 9 von 11 Richard Gebauer Experimentalphysik Stand: 19. Juli 2014 ~ ~ = 1 · ~v × E Magnetfeld einer bewegten Ladung B c2 Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule B = µ0 · Gesetz von Biot-Savart Magnetisches Moment (Magnetfeld von Strömen) Z µ0 d~l × ~r ~ r) = B(~ I 3 4π r auf geschlossener Bahn mit eingeschlossener Fläche A ~= q L ~ m ~m =I ·A 2m Atomar: m ~ m = −µB · Relative Permeabilität N ·I l ~ L ~ [~] mit Bahndrehimpuls L ~ µr = 1 + χm mit Magnetischer Suszeptibilität χm ~ =B ~ 0 + µ0 M ~ = µ0 (1 + χm )H ~ = µ0 µr H ~ B Gaußscher Satz des E-Feldes R Stokescher Satz des B-Feldes R 2.7 ~ ∇EdV = V A H A ~ A ~ Ed ~ A ~= (∇ × B)d H P ~ ~l Bd Zeitabhängige elektrische und magnetische Felder Lenzsche Regel entgegenwirkt. Induktionsspannung erzeugt Strom, dessen magnetische Wirkung der Flussänderung Induktivität einer Spule L = µ0 · Tranformator U2 = − N2 ·A l N2 · U1 N1 Wechselspannung Allgemein und Spezialfall für sinusförmige Spannung X U (t) = Uk sin(kωt + φk ) (= U0 sin(ωt + φ0 ) falls reine Sinusschwingung) k Z 1 T U (t)dt (= 0 für reine Sinusschwingung) Mittelwert: hU i = T 0 s Z 1 T 2 1 Effektivwert: Uef f = U (t)dt (= √ U0 für reine Sinusschwingung) T 0 2 Impedanz (Wechselstromwiderstand, Wechselstrom mit Kreisfrequenz ω) • einer Spule: RL = ω · L • eines Kondensators: RC = 1 ωC • Gesamtwiderstand bei Impedanz RI mit ohmschem Widerstand R: Rx = s • Gesamtwiderstand in einem Serienschwingkreis (R, L und C): Rx = Seite 10 von 11 R2 p R2 + RI2 2 1 + ωL − ) ωC Richard Gebauer Experimentalphysik Maxwellscher Verschiebungsstrom IV = Stand: 19. Juli 2014 ~ d ~ · E) ~ = 0 · A ~ · ∂E = A ~ · ~jV (0 · A dt ∂t Energie der elektromagnetischen Felder Elektrisches Feld Eel = 1 0 E 2 · V 2 Magnetisches Feld Em = 2.8 1 0 E 2 ) 2 ( Energiedichte w = 1 1 2 1 B · V = µ0 H 2 · V 2 µ0 2 ( Energiedichte w = Eigenschaften Elektromagnetischer Wellen Energiedichte Intensität w= ~ B| ~ |E|| µ0 c I =w·c= ~ B| ~ |E|| µ0 ~ ~ ~ = E×B Energiefluss Poynting-Vektor: S µ0 Impuls |P~ | = I w = 2 c c Strahlungsdruck 3 3.1 PS = I E 0 · B0 = c 2µ0 c Ergänzungen Wichtige / Nützliche Größen 2 m Gravitationskonstante G = 6, 67 · 10−11 N kg 2 Masse der Erde mE = 6 · 1024 kg Erdradius RE = 6, 371 · 106 m N Ortsfaktor g = 9, 81 kg Lichtgeschwindigkeit Elementarladung c= √1 0 µ0 = 3 · 108 m s e = 1, 6 · 10−19 C Elektrische Feldkonstante 0 = 8, 85 · 10−12 VAs m Permeabilitätskonstante Vs µ0 = 4π · 10−7 Am Plancksches Wirkungsquantum h = 2π~ = 6, 63 · 10−34 Js Seite 11 von 11 1 1 1 2 µ0 H 2 = B ) 2 2 µ0
