Innovationspraktikum B Gedämpfte elektrische Schwingungen WS

Innovationspraktikum B
Gedämpfte elektrische Schwingungen
WS 2010/2011
Philipp Reichert
[email protected]
Wolfram Troeder
[email protected]
Philip Denkovski
[email protected]
Nikola Schild
[email protected]
durchgeführt in der Zeit vom
11.10.2010-15.10.2010
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgabenstellung
3
2 Vorüberlegungen
3
3 Theoretische Grundlagen
3.1 Allgemeiner Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Spezieller Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4 Versuchsdurchführung
6
5 Fehleranalyse
9
6 Auswertung
6.1 Fall1: gedämpfte Schwingung . .
6.1.1 Versuch 1 - R = 100 Ω .
6.1.2 Versuch 2 - R = 200 Ω .
6.1.3 Versuch 3 - R = 400 Ω .
6.2 Fall2: Der aperiodische Grenzfall
6.3 Fall3: Der Kriechfall . . . . . . .
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10
10
11
12
13
14
15
7 Fitlogprotokolle
16
7.1 Versuch 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.2 Versuch 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3 Versuch 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Abbildungsverzeichnis
19
Literatur
19
3
1
THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Aufgabenstellung
An einem elektrischen Reihen- oder Parallel-Schwingkreis sind mithilfe einer geeigneten Schaltung freie gedämpfte elektrische Schwingungen experimentell zu
charakterisieren und mit der zugehörigen Theorie zu erklären. Es ist außerdem
das Verhalten des Schwingkreises für eine variable Dämpfung zu untersuchen.
2
Vorüberlegungen
Motivation:
Ein elektrischer Schwingkreis ist eine resonanzfähige elektrische Schaltung aus
einer Spule, einem Kondensator und einem Widerstand, die elektrische Schwingungen ausführen kann.
Anwendung findet ein solcher Schwingkreis zum Beispiel in einem Radiogerät.
Hier kann die Schwingung mit Hilfe eines Drehkondensators oder dem Abgreifen
auf der Spule verändert und auf den Frequenzbereich des Senders, den man hören
will, eingestellt werden. Denn nur wenn Sender und Empfänger mit der gleichen
Frequenz schwingen, ertönt die gewünschte Musik aus dem Radio. Auch ältere
Telefonanlagen waren mit einem elektrischen Schwingkreis ausgestattet.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die gedämpfte Schwingung im Schwingkreis
zu untersuchen. Der Versuch sollte alle drei Phasen der Dämpfung angemessen
darstellen.
Zunächst sollte das Experiment mit Labview durchgeführt werden. Als die notwendigen Materialien für die Durchführung mühsam beschafft worden waren,
stellte sich das Programm allerdings als ungeeignet heraus,da die Messung für
unsere Zwecke zu ungenau war und die Graphiken schwer erkennbar waren.
Darum wichen wir auf die Alternative aus. Mit verschiedenen Widerständen,
Spule, Kondensator und Oszillograph bauten wir einen Schwingkreis auf. Die gedämpfte Schwingung sollte nun auf dem Oszillographen sichtbar werden.Nach
langen Schwierigkeiten beim Versuchsaufbau, fanden wir endlich unseren Fehler
darin, dass wir die Masse nicht einheitlich geschaltet hatten. Nach Behebung war
die gewünschte Kurve sichtbar.
3
3.1
Theoretische Grundlagen
Allgemeiner Fall
An einem Wechselstromkreis, in dem ein Ohmscher Widerstand R, eine Induktivität L und eine Kapazität C in Serie geschaltet sind, wird eine äußere Wechselspannung Ue (t) angelegt (vgl. Abb.1). Nach dem Kirchhoff’schen
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3
3
THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Gesetz muss die Summe aus äußerer Spannung Ue (t) und Induktionsspannung
Uind = −L · dI/dt gleich dem Spannungsabfall U1 + U2 = I · R + Q/C an
Widerstand R und Kapazität C sein. Damit gilt:
dI
Q
+ +I ·R
(1)
Ue = L ·
dt
C
und mit differenzieren nach der Zeit ergibt sich mit dQ/dt = I:
dUe
d2 I
1
dI
=L· 2 + ·I +R·
dt
dt
C
dt
L
Ue
(2)
U, I
U(t)
T
I(t)
C
t
R
Dt = (j / 2p) × T
Abbildung 1: Allgemeiner Fall eines Wechselstromkreises mit Induktivität
L, Kapazität C und Ohmschen Widerstand R in Serie
3.2
Spezieller Fall
Genau wie im mechanischen Modell, bei dem die Reibung die Schwingung dämpft,
wirken beim elektromagnetischen Schwingkreis die Ohmschen Widerstände R
von Spule und Leitungen als Energieverlustquellen, sodass die Energie pro Sekunde um "W/"t = I 2 · R abnimmt [Nol1995, S.170].
Wird nun ein Reihenschwingkreis(vgl. Abb. 2) von außen einmal zu Schwingungen angeregt, zum Beispiel durch einen elektrischen Puls (vglAbb2), so führt
dieser nach Ende des Pulses (Ue = 0) gedämpfte Schwingungen aus.
Damit ergibt sich aus Gleichung 2:
d2 I
dI
1
+R·
+ ·I =0
(3)
2
dt
dt
C
Zur Lösung wird der komplexe Ansatz I = A · eλt benutzt, wobei A und λ
komplex sein können. Einsetzen in Gleichung 3 liefert:
R
1
λ2 + λ +
= 0 mit den Lösungen
(4)
L
LC
!
R
R2
1
λ1,2 = −
±
−
= −α ± β
(5)
2
2L
4L
LC
L·
4
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3
Ue ( t)
THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Ck
C
L
R
Ua ( t)
I(t) U
a)
Abbildung 2: Gedämpfter Schwingkreis, Experimentelle Realisierung zur
Messung von Ua (t) und I(t) = U (t)/R
Diese hängen entscheidend vom Wert α ab, also dem Verhältnis R/L. Die allgemeine Lösung lautet:
I = A1 e−(α−β)t + A2 e−(α+β)t
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(6)
5
4
4
VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
Versuchsdurchführung
Zur Erzeugung der harmonischen Wechselspannung dient ein Tonfrequenz-RCGenerator, dessen Ausgangsspannung UG = 1, 80 V fest eingestellt und dessen
Frequenz variabel ist. Alle Strom- und Spannungsmessungen werden mit einem
Zweikanal-Oszilloskop durchgeführt. Die Verstärkung der beiden Vertikalverstärker YA bzw. YB des Oszilloskops kann mit dem Stufenschalter in 11 Stufen Vj
von 20 V OLT S/DIV. bis 0,01 V OLT S/DIV. (wobei 1 DIV. = 1cm) und
in jeder Stufe kontinuierlich (vorderer Drehknopf) verändert werden. Für alle
Messaufgaben werden bei beiden Systemen die vorderen Drehknöpfe bis zum
Einrasten (Anschlag) nach rechts gedreht, nur dann stimmt die Kalibrierung der
Verstärker. Beim Aufbau der Schaltungen ist zu beachten, dass beide Vertikalverstärker YA bzw. YB des Oszilloskops auf ein und denselben Masseanschluss
geschaltet sind.
Spannungsmessung:
Zur Messung einer unbekannten Spannung U wird jeweils die Stufe Vj gewählt,
die innerhalb des Messrasters des Bildschirmes das größtmögliche Messsignal bewirkt. Ist h die Gesamthöhe des Signals in cm, so berechnet sich die Spannung
U nach:
U = h · Vj
(7)
Strommessung:
Sie erfolgt durch die Bestimmung des Spannungsabfalls U an einem Präzisionswiderstand (Dekadenwiderstand) von Rp = ...Ω. Der Strom berechnet sich
nach:
I=
U
Vj
=h·
Rp
Rp
(8)
Die Versuchsbeschreibung ist stark an die des Versuches E4-Wechselstromwiderstände
angelehnt.[Mül2005, S. 17 ff.]
6
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4
VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
Materialien:
• Oszilloskop
• digitales Voltmeter
• Kondensator mit ... F
• Spule mit ...
• Dekadenwiderstände
• Kabel
*
)
%'"#$
(
(
!"#$ %&"#$
Abbildung 3: Schaltbild, Versuch 1
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4
VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
Die Anregung des Schwingkreises erfolgt durch eine Rechteckspannung. Die
Symmetrie der Rechteckspannung wurde so gewählt, dass der Schwingkreis ungehindert vom nächsten Spannungsimpuls ausschwingen kann. Dadurch entstand
folgendes Bild:
Abbildung 4: Anregung des Schwingkreises durch eine Rechteckspannung
und Stromstärkeverlauf in Abhängigkeit von der Zeit t
Durchführung:
Für verschiedene Widerstände R wird die Spannung im Schwingkreis mit dem
Vertikalverstärker YA gemessen und der Strom (Spannungsbafall über Rp ) mit
dem Vertikalverstärker YB gemessen. Hierbei werden nur die charakteristisch
wichtigen Punkte, das heißt Hoch- und Tiefpunkte, abgelesen. Für jede Messung sollten bis zu 8 Messwerte aufgenommen werden.
8
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5
5
FEHLERANALYSE
Fehleranalyse
Systematische Fehler:
• Spule: induktiven Fehler von uL = 10 mH, ohmschen Fehler: uLR = 3 Ω
• Kondensator: kapazitiven Fehler: 3 nF
• Dekadenwiderstände: ohmschen Fehler: 0, 02 Ω + 0, 0003 · R
• Oszilloskop:
– Zeitfehler auf der x-Achse: ut = 3%
– Amplitude der y-Achse: uy = 3%
Ablesefehler:
Solche Fehler treten nur beim Ablesen auf dem Oszilloskop auf. Hier haben wir
die Unsicherheit für die Zeitmessung mit ut = 0, 0001s abgeschätzt und für die
Amplitude der Spannung auf der y-Achse halbe Skaleneinteilung, wodurch dieser
von der Vertikalverstärkung YB abhängt.
Fehler der Stromstärke:
Die Stromstärke berechnet sich nach der Gleichung 8. Damit ergibt sich für den
Fehler uI nach Gauß:
"#
$2 #
$2
Vj
h · Vj
uI =
· uh + − 2 · uRp
(9)
Rp
Rp
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6
AUSWERTUNG
6
Auswertung
Ua ( t)
I(t)
~ e− αt
I(t)
U(t)
t
b)
Abbildung 5: idealisierter Verlauf von Stromstärke und Spannung in Abhängigkeit von der Zeit im Fall einer gedämpften Schwingung
In der Abbildung 5 erkennt man, dass Stromstärke und Spannung eine Sinusfunktion beschreiben, die durch eine abfallende Exponentialfunktion gedämpft
werden. Sie sind zueinander um einen Winkel φ phasenverschoben. Der betrag
von φ hängt von dem Verhältnis von L und C ab.
6.1
Fall1: gedämpfte Schwingung
Für die folgenden drei Fälle wurden die Beträge der Maxima der Stromstärke
in Abhängigkeit von der Schwingzeit graphisch aufgetragen und die Einhüllende
exponentiell gefittet f (t) = a · e−α·t (Die entsprechenden Fitlogprotokolle befinden sich im Anhang auf Seite 16) Die Stromstärke wurde mittles der Gleichung
8 berechnet.
10
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6
6.1.1
AUSWERTUNG
Versuch 1 - R = 100 Ω
Versuch mit R=100 Ohm
0.007
’Versuch1_100.txt’ using 1:2:3:4
f(x)
0.006
Stromstaerke I in A
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
Zeit t in sec
0.01
Abbildung 6: Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R = 100 Ω
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6
AUSWERTUNG
6.1.2
Versuch 2 - R = 200 Ω
Versuch mit R=200 Ohm
0.006
’Versuch2_200.txt’ using 1:2:3:4
f(x)
Stromstaerke I in A
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
Zeit t in sec
0.01
Abbildung 7: Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R = 200 Ω
12
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6
6.1.3
AUSWERTUNG
Versuch 3 - R = 400 Ω
Versuch mit R=400 Ohm
0.006
’Versuch3_400.txt’ using 1:2:3:4
f(x)
0.005
Stromstaerke I in A
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.001
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
Zeit t in sec
0.01
Abbildung 8: Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R = 400 Ω
Der eigentliche Fall der gedämpften Schwingung liegt vor, wenn R2 <
4L/C gilt, also β imaginär ist (vgl. dazu Formel 6). Der Strom I(t) führt dann
im Schwingkreis eine gedämpfte Schwingung aus mit der Resonanzfrequenz
!
1
R2
ωR =
−
,
(10)
LC
4L2
√
die R = 0 in die Frequenz ω0 = 1/ L · C des ungedämpften Schwingkreises
übergeht. Die Schwingungsdauer dieses Schwingkreises ist
T =
2π
ωR
(11)
Für die drei gezeigten Fälle der gedämpften Schwingung ergaben sich folgende
Werte für die Dämpfungskoeffizienten α aus der Gleichung
f (t) =a · e−α·t
Rext in Ω
α in s−1
Fall 1
100 ± 0,03
213± 3
(12)
Fall 2
300 ± 0,09
315 ± 5
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Fall 3
500 ± 0,15 .
418 ± 8
13
6
AUSWERTUNG
6.2
Fall2: Der aperiodische Grenzfall
Für β = 0 erhält man den sogenannten aperiodischen Grenzfall. Hier kommt
es nicht zu einer Schwingung.
Der aperiodische Grenzfall besitzt praktische Bedeutung, da er die schnellste
Rückkehr eines angestoßenen Systems zur Ruhelage beschreibt. Ist man also
daran interessiert, Störungen schnell abklingen zu lassen, ohne dabei Schwingungen zu erzeugen, so muss man die Dämpfung der Eigenfrequenz des Systems
anpassen.
Abbildung 9: Aperiodischer Grenzfall, x-Achseneinheit 1 ms,
Achseneinheit 0, 1 V bei Dämpfungswiderstand 4250 Ω
14
y-
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6
6.3
AUSWERTUNG
Fall3: Der Kriechfall
Für den Fall großer Dämpfung (R2 /4L2 = 1/LC, β wird reell) kommt es ebenfalls nicht zu einer Schwingung.
Abbildung 10: Der Kriechfall, x-Achseneinheit 1 ms, y-Achseneinheit
0, 1 V bei Dämpfungswiderstand 14250 Ω
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7
7
7.1
FITLOGPROTOKOLLE
Fitlogprotokolle
Versuch 1
Abbildung 11: Fitlogprotokoll Versuch 1
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7.2
FITLOGPROTOKOLLE
Versuch 2
Abbildung 12: Fitlogprotokoll Versuch 2
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7
7.3
FITLOGPROTOKOLLE
Versuch 3
Abbildung 13: Fitlogprotokoll Versuch 3
18
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LITERATUR
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Allgemeiner Fall eines Wechselstromkreises mit Induktivität L,
Kapazität C und Ohmschen Widerstand R in Serie . . . . . . .
Gedämpfter Schwingkreis, Experimentelle Realisierung zur Messung von Ua (t) und I(t) = U (t)/R . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltbild, Versuch 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anregung des Schwingkreises durch eine Rechteckspannung und
Stromstärkeverlauf in Abhängigkeit von der Zeit t . . . . . . . .
idealisierter Verlauf von Stromstärke und Spannung in Abhängigkeit von der Zeit im Fall einer gedämpften Schwingung . . . . .
Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R = 100 Ω . .
Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R = 200 Ω . .
Stromstärke I in Abhängigkeit von der Zeit t für R = 400 Ω . .
Aperiodischer Grenzfall, x-Achseneinheit 1 ms, y-Achseneinheit
0, 1 V bei Dämpfungswiderstand 4250 Ω . . . . . . . . . . . . .
Der Kriechfall, x-Achseneinheit 1 ms, y-Achseneinheit 0, 1 V bei
Dämpfungswiderstand 14250 Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fitlogprotokoll Versuch 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fitlogprotokoll Versuch 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fitlogprotokoll Versuch 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
7
8
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Literatur
[Nol1995] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2, Elektrizität und Optik,
Springer-Verlag, 1995, ISBN: 3-540-33794-6
[Mül2005] Müller, Uwe: Physikalisches Grundpraktikum, Elektrodynamik und
Optik, 2005, Institut für Physik der HU-Berlin
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