Abzählprinzipien

Abzählprinzipien
Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen:
Wieder ziehen wir s–mal aus einer Urne mit n nummerierten
Kugeln, diesmal jedoch, ohne die Kugeln zurückzulegen.
Natürlich erfordert dies s ≤ n.
Wir notieren die Nummern in der Reihenfolge, in der sie
erscheinen. Es gibt also s Stufen, die jedoch keine Kopien
voneinander sind.
Wir haben also für den ersten Schritt n mögliche Ausgänge,
für den zweiten noch n − 1 usf. Für den s–ten Schritt bleiben
n − s + 1 Möglichkeiten.
Nach der allgemeinen Produktregel hat das Gesamtexperiment
(n)s := n · (n − 1) · · · (n − s + 1)
mögliche Ausgänge.
Ist s = n, d.h. wird die Urne vollständig leer gezogen, so gibt es
n! := (n)n = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1
mögliche Versuchsausgänge.
Matthias Löwe
Stochastik
Exkurs: Stirlingsche Formel
Für größere n benutzt man häufig die Stirlingformel
n n √
n! ∼
2πn.
e
zur Approximation, die nach James Stirling (1696–1770)
benannt wurde.
Hierbei schreiben wir an ∼ bn für zwei Folgen (an )n und (bn )n ,
falls
an
−→ 1 für n → ∞
bn
gilt.
Dies bedeutet, dass der relative Fehler (an − bn )/bn , den wir
durch die Approximation in Kauf nehmen, gegen Null geht.
Für den absoluten Fehler an − bn muss dies keineswegs gelten!
Matthias Löwe
Stochastik
Abzählprinzipien
Duale Darstellung:
Es sollen s unterscheidbare Kugeln auf n unterscheidbare
Urnen verteilt werden.
Es gelte aber das folgende Ausschließungsprinzip: In jeder Urne
darf höchstens eine Kugel liegen.
Für die erste Kugel stehen dann n Urnen zur Verfügung, für
die zweite noch n − 1 und so weiter; für die s–te Kugel kann
noch zwischen n − s + 1 Urnen gewählt werden.
Auch hier ergeben sich also
(n)s = n · (n − 1) . . . (n − s + 1)
verschiedene Versuchsausgänge.
Matthias Löwe
Stochastik
Abzählprinzipien
Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Häufig interessiert nur, welche Elemente gewählt wurden, aber
nicht die Reihenfolge.
Gegeben sei eine Urne mit n nummerierten Kugeln, aus der wir
mit einem Griff s Kugeln ziehen, s ≤ n.
Dann beschreibt dieses Experiment eine Ziehung ohne
Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge der
gezogenen Elemente.
Wir
wollen die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge mit
n
s bezeichnen.
Matthias Löwe
Stochastik
Abzählprinzipien
Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
n
s ist die Anzahl der s–elementigen Teilmengen von
{1, . . . , n}. Jede dieser Teilmengen kann auf s! verschiedene
Arten angeordnet werden. Nach der Produktregel gibt es daher
s! · ns geordnete Stichproben.
Andererseits hatten wir diese Anzahl bereits berechnet und
zwar zu (n)s . Somit gilt
n!
n
(n)s
=
.
=
s!
s! · (n − s)!
s
Matthias Löwe
Stochastik
Abzählprinzipien
Duale Darstellung:
Die duale Darstellung dieses Versuchs ist das Verteilen von s
identischen, d.h. ununterscheidbaren Kugeln auf n
nummerierte Urnen nach dem Ausschlussprinzip.
Dafür wählen wir s der n verschiedenen Urnen aus und legen in
jede eine Kugel.
Die einzige Wahl findet bei dem Festlegen der s–elementigen
Teilmenge der Urnen statt und dafür gibt es gerade ns
Möglichkeiten.
Matthias Löwe
Stochastik
Abzählprinzipien
Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen
Wieder haben wir eine Urne mit n nummerierten Kugeln.
Diesmal wollen wir mit Zurücklegen s Kugeln ziehen und die
Reihenfolge der gezogenen Kugeln spielt keine Rolle.
Da bei jeder Ziehung alle Kugeln zur Verfügung stehen, muss
keineswegs s kleiner als n sein.
Zur Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten:
Wir legen uns eine Tabelle mit den Zahlen 1, . . . , n an und
jedesmal, wenn die Kugel mit der Nummer k gezogen wird,
machen wir in der Tabelle ein Kreuz bei dieser Nummer. Nach
der Ziehung haben wir z.B. folgendes Bild:
Kugelnummer
wurde gezogen
1
2 ... n − 1
n
× × × × ...
××
Matthias Löwe
Stochastik
Abzählprinzipien
Wenn wir die Anzahl aller so entstehenden Tabellen zählen,
dann ist dies gleich der Anzahl aller Möglichkeiten bei der
Ziehung, denn jede Tabelle entspricht umkehrbar eindeutig
einer Ziehung.
Dazu abstrahieren wir noch einen Schritt weiter und zeichnen
nur noch
××
× × × × ...
|
{z
}
s Kreuze und n − 1 Striche
als Tabelle.
Eine Ziehung ist also nichts anderes als eine Anordnung von s
Kreuzen und n − 1 Strichen und deren Anzahl ist
s +n−1
,
s
denn wir müssen ja nur aus den s + n − 1 zur Verfügung
stehenden Positionen genau s für die Kreuze wählen.
Matthias Löwe
Stochastik
Abzählprinzipien
Duale Darstellung
Bei der dualen Darstellung des Problems werden s identische
Kugeln auf n nummerierte Urnen verteilt.
Diese Darstellung ist bekannt: Es beschreibt eine Wahl!
Die s Wähler haben je eine Stimme und alle Stimmen zählen
gleich.
Weiter gibt es n unterscheidbare Kandidaten, die zur Wahl
stehen.
Der Wahlausgang wird dann genau durch ein wie oben
gezeichnetes Schema wiedergegeben. Man kann daran ablesen,
wie viele Stimmen jeder Kandidat erhielt.
Matthias Löwe
Stochastik
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B1 , . . . , Bn ∈ A eine
Partition von Ω mit P(Bi ) > 0 für alle i = 1, . . . , n. Dann gilt für
jedes A ∈ A
n
X
P(Bi ) · P(A|Bi ).
P(A) =
i=1
Matthias Löwe
Stochastik
Satz von Bayes
Satz (Satz von Bayes)
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B1 , . . . , Bn ∈ A eine
Partition von Ω mit P(Bi ) > 0 für alle i = 1, . . . , n. Dann gilt für
jedes A ∈ A mit P(A) > 0
P(Bk ) · P(A|Bk )
P(Bk |A) = Pn
i=1 P(Bi ) · P(A|Bi )
Matthias Löwe
Stochastik
für alle 1 ≤ k ≤ n.