Atomphysik 10 - Universität Potsdam

Projekt-Praktikum Atomphysik
Experimentelle Bestimmung der atomphysikalischen
Fundamentalkonstanten:
Plancksches Wirkungsquantum
und Elementarladung .
Aus der Woche vom 01.03. bis 05.03.2010
Im Rahmen des Grundpraktikums Bachelor Physik an der Universität Potsdam
Durchgeführt von:
Daniel Pinkal
Erik Peukert
Hardy Drube
Maria Schwarzl
Stephan Eickelmann
Till-Friedrich Kühle
Unter Betreuung von:
Potsdam, 07.09.2010
Dr. Harry Weigt
„Die Endlosigkeit des wissenschaftlichen Ringens sorgt unablässig dafür, daß dem forschenden
Menschengeist seine beiden edelsten Antriebe erhalten bleiben und immer wieder von neuem
angefacht werden: die Begeisterung und die Ehrfurcht“ (0)
Max Planck
2
Inhalt
I Einleitung ............................................................................................................................................. 4
I.1 Motivation ........................................................................................................................................ 4
I.2 Das bohrsche Atommodell ................................................................................................................. 5
II Die spezifische Elektronenladung ......................................................................................................... 6
II.1 Methode nach Schuster (Fadenstrahlrohr)......................................................................................... 6
II.1.1 Theoretische Vorüberlegung .....................................................................................................................6
II.1.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ..............................................................................................7
II.1.3 Auswertung ...............................................................................................................................................8
II.2 Methode nach Busch (Kathodenstrahlrohr) ..................................................................................... 10
II.2.1 Theoretische Vorüberlegung ...................................................................................................................10
II.2.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ............................................................................................11
II.2.3 Auswertung .............................................................................................................................................12
III Das plancksche Wirkungsquantum .................................................................................................... 14
III.1 Äußerer lichtelektrischer Effekt...................................................................................................... 14
III.1.1 Theoretische Vorüberlegung, experimenteller Aufbau und Durchführung ...........................................14
III.1.2 Auswertung ............................................................................................................................................15
III.2 Röntgenspektroskopie ................................................................................................................... 17
III.2.1 Theoretische Vorüberlegung ..................................................................................................................17
III.2.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ...........................................................................................19
III.2.3 Auswertung ............................................................................................................................................21
III.3 Franck-Hertz-Versuch..................................................................................................................... 24
III.3.1 Theoretische Vorüberlegung ..................................................................................................................24
III.3.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ...........................................................................................25
III.3.3 Auswertung ............................................................................................................................................25
III.4 Wasserstoffspektroskopie.............................................................................................................. 28
III.4.1 Theoretische Vorüberlegung ..................................................................................................................28
III.4.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung ...........................................................................................30
III.4.3 Kalibrierung des Gitterspektrometers....................................................................................................30
III.4.4 Auswertung ............................................................................................................................................32
IV Zusammenfassung............................................................................................................................ 35
V Anhang ............................................................................................................................................. 38
V.1 Literaturnachweise ......................................................................................................................... 38
3
I Einleitung
I.1 Motivation
V.l.n.r.: Walther Nernst, Albert
Einstein, Max Planck, Robert
Millikan, Max von Laue(0.1)
Im Sinne des obigen Zitats wurde dieses Projektpraktikum zur Atomphysik
absolviert. Das Ziel war es, auf den Spuren bekannter Physiker
wissenschaftlich tätig zu werden und sich auszuprobieren. Der gedankliche
Hintergrund waren dabei physikalische Errungenschaften aus der
Vergangenheit, angefangen bei W. C. Röntgen, welcher 1895 die
Röntgenstrahlung entdeckte, über Max Planck, von dem obiges Zitat
stammt und der 1900 das physikalisch sehr bedeutsame plancksche
Wirkungsquantum
einführte, Albert Einstein, der die Versuche zum
äußeren lichtelektrischen Effekt, auch bekannt als photoelektrischer Effekt,
richtig gedeutet und erklärt hatte, wofür er 1905 den Nobelpreis erhielt, bis
hin zu Niels Bohr, auf den das bohrsche Atommodell von 1913 zurück geht.
Hauptziel war die experimentelle Bestimmung zweier Naturkonstanten: die
Elementarladung
und das plancksche Wirkungsquantum . Beide
Konstanten sind in der Physik von elementarer Bedeutung, was sich vor
allem darin zeigt, dass sie in vielen wichtigen physikalischen Gleichungen
und Verhältnissen vorkommen.
Ein besonderes Augenmerk galt der Zusammenarbeit, sowohl beim
Experimentieren, als auch bei der Erstellung dieses Projektberichts, sowie
der gemeinsamen Bewältigung von Problemen und dem Diskutieren von
Vorgehensweisen, bzw. dem Verbinden von Theorie und praktischen
Versuchsmethoden.
Die Experimente wurden in den Räumen des Grundpraktikums des
physikalischen Instituts der Universität Potsdam durchgeführt.
Zur Bestimmung der Elementarladung
wurde zum einen der
Versuchsaufbau nach Schuster (Versuch mit dem Fadenstrahlrohr) und zum
anderen der von Busch (Kathodenstrahlröhre im Magnetfeld)
nachvollzogen.
Für die Bestimmung des planckschen Wirkungsquantums
wurden die
folgenden Methoden angewandt: Aufbau zum photoelektrischen Effekt
nach Hallwachs, Versuch zur Röntgenspektroskopie mit einer
Röntgenröhre, Franck-Hertz-Versuch und die Aufnahme und Auswertung
des Wasserstoffspektrums. Die Versuche werden im Laufe dieser
Ausarbeitung detailliert vorgestellt.
Um die Mess- bzw. Rechenergebnisse richtig einordnen und deuten zu
können, waren natürlich Vergleichswerte nötig. Diese wurden vom NIST
(National Institute of Standards and Technology; USA) bezogen, deren
Werte auf denen der CODATA (Committee on Data for Science and
Technology) basieren, einer Organisation, die u.a. Empfehlungen und
Unsicherheiten für physikalische Konstanten ermittelt. Die Werte sind unter
„http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html“
zu
finden.
Alle
verwendeten Vergleichswerte sind auf dem Stand von 2006.
4
Formeln wurden aus Standardwerken wie dem Bergmann-Schäfer oder
dem Gerthsen entnommen, deshalb wird auf eine detaillierte
Quellenangabe bei den verwendeten Formeln verzichtet.
Dieser Bericht beginnt mit der Ermittlung der Elementarladung und wird
mit den Methoden zur Bestimmung des Wirkungsquantums, sowie der
Auswertung und Deutung der Ergebnisse fortgesetzt.
I.2 Das bohrsche Atommodell
Die Versuche zur Bestimmung der thematisierten Konstanten hängen sehr
eng mit der Atomphysik und den Vorgängen in Atomen zusammen. Ein sehr
verbreitetes, da intuitives, Modell zur Erklärung einiger wichtiger Vorgänge
aus diesem Bereich der Physik ist das bohrsche Atommodell. Da es für die
physikalische Erklärung und Auswertung der Versuche angewendet wurde,
wird hier kurz näher darauf eingegangen.
Das bohrsche Atommodell ist ein von Niels Bohr im Jahr 1913 entwickeltes
Modell zur Beschreibung von Atomen. Es löste das bis dahin gängige
rutherfordsche Atommodell ab.
Bohr ging davon aus, dass die negativ geladenen Elektronen eines Atoms
um dessen winzigen, positiv geladenen Kern auf Umlaufbahnen kreisen.
Dabei ist die Gesamtladung der Elektronen gleich der Ladung des
Atomkerns. Atome sind damit insgesamt elektrisch neutral. Die Elektronen
können sich dabei nur auf diskreten Umlaufbahnen bewegen, also diskrete
Abstände zum Kern haben. Diese können sie allerdings unter bestimmten
Bedingungen wechseln und, analog zur Mechanik, gewinnen oder verlieren
sie dabei Energie. Atome können auf verschiedene Weise angeregt werden
(Erhitzen, Elektronenbeschuss, elektromagnetische Strahlung, usw.), wobei
Elektronen auf Bahnen höherer Energie springen. Der Energieaustausch ist
somit auch diskret. Angeregte Atome sind nicht stabil und geben beim
Übergang in den energetisch niedrigeren Grundzustand Energie ab, die
ebenfalls diskret, also quantisiert sein muss. Diese Energie wird in Form von
„Energiepaketen“, Photonen, abgegeben, und stellt elektromagnetische
Strahlung dar. Diese ist teilweise im sichtbaren Bereich, also Licht.
Heute gilt das bohrsche Atommodell als veraltet und sogar falsch, denn es
kann nur einen kleinen Teil von atomphysikalischen Effekten erklären und
wurde von Bohr eher intuitiv, als physikalisch begründet, entwickelt. So
wird z.B. nicht erklärt, warum die Elektronen unter ihrer beschleunigten
Bewegung nicht strahlen und somit in den Kern stürzen. Eine exakte
Erklärung für die Vorgänge in Atomen brachte erst die moderne
Quantenmechanik, die von Materiewellen ausgeht.
5
Niels Bohr (1885-1962)(1)
war ein dänischer Physiker, der für
seine Arbeiten an der Erforschung des
Aufbaus und den Vorgängen in Atomen
1922 den Nobelpreis bekam.
Schematische
Darstellung
des
bohrschen
Atommodells:
Ein
angeregtes Atom geht in den
Grundzustand über und emittiert dabei
Energie in Form eines Photons.
II Die spezifische Elektronenladung
In der Physik spielt die konstante Elementarladung eine wichtige Rolle.
Die Bezeichnung verrät schon, dass sie die kleinste Ladung ist, die ein
geladenes Teilchen annehmen kann. Zum Beispiel ist die Kenntnis dieser
Konstanten unabdingbar für die Berechnung des Verhaltens geladener
Teilchen in elektrischen Feldern. Hierbei ist die Gesamtladung des zu
betrachtenden Objekts immer ein ganzzahliges Vielfaches der
Elementarladung. Aufgrund der Relevanz dieser Größe wurde versucht,
diese experimentell selbst zu bestimmen.
In den Versuchen wurde immer das Verhältnis
bestimmt, wobei
die
Masse der betrachteten elektrisch geladenen Teilchen ist. In diesem Fall
handelte es sich um Elektronen. Die Masse des Elektrons ist uns aus
diversen Quellen hinreichend genau bekannt, sodass damit bestimmt
werden kann. Es wird sich auf die Werte
(2)
(2)
bezogen. Zur Bestimmung des Verhältnisses
wurden zwei Versuche
aufgebaut und durchgeführt: zum einen der Versuch nach Schuster, dessen
Hauptelement ein Fadenstrahlrohr in einem Magnetfeld ist, und zum
anderen der Versuch nach Busch, in dessen Mittelpunkt eine
Kathodenstrahlröhre steht.
II.1 Methode nach Schuster (Fadenstrahlrohr)
Arthur Schuster (1851-1934)(6)
war ein, ursprünglich aus Deutschland
stammender, englischer Physiker, der
sich
u.a.
mit
Spektroskopie,
Elektrochemie,
Optik
und
Röntgenstrahlung beschäftigte.
Der besseren Übersicht wegen werden
im Folgenden Vektoren kursiv/fett
geschrieben.
Der Versuch wurde erstmals 1884 von Arthur Schuster durchgeführt(3).
Schuster untersuchte damals die Elektrizität in Gasen. Er führte den
Versuch mit Hilfe von Kathodenstrahlteilchen bei Gasentladungen durch,
ohne zu wissen, dass es sich dabei um Elektronen handelte.
Erst 1897 entdeckte Joseph John Thomson dann, dass der Kathodenstrahl
aus negativen Ladungsträgern, den Elektronen, bestand(4).
II.1.1 Theoretische Vorüberlegung
Die Grundüberlegung bestand darin, dass auf geladene Teilchen im
homogenen Magnetfeld eine Kraft wirkt, die 1895 nach H. A. Lorentz als die
Lorentzkraft bezeichnet wurde(5):
Hierbei erfährt das Teilchen nur eine Richtungsänderung,
Geschwindigkeit bleibt vom Betrage her unverändert.
die
In diesem Fall beschreibt das Elektron, wobei die Ladung
ist, eine
Kreisbahn, deren Radius immer senkrecht zum Magnetfeld steht. Da die
Lorentzkraft immer zum Mittelpunkt dieses Kreises gerichtet ist und das
6
Elektron auf dessen Bahn hält, kann sie als Zentripetalkraft interpretiert
werden. Für die Beträge gilt
|
|
Da zudem der Geschwindigkeitsvektor immer senkrecht zu denen der
Magnetfeldlinien steht, d.h. die Vektoren stehen in einem Winkel von 90°
zueinander, kann der Betrag des Kreuzprodukts einfach aufgelöst werden:
|
|
Bewegen sich geladene Teilchen, hier Elektronen, in einem homogenen
elektrischen Feld, das durch eine Spannung
erzeugt wird, im Mittel
parallel zu den Feldlinien, ist deren kinetische Energie am Ende der
Beschleunigungsphase
Werden die Gleichungen (1) und (2) ineinander eingesetzt, kommt man auf
folgenden Ausdruck für die gesuchte Beziehung:
H. A. Lorentz (1853-1928)(7)
war
ein
niederländischer
Mathematiker und Physiker, der vor
allem im Gebiet der theoretischen
Elektrodynamik revolutionäre Beiträge
lieferte.
II.1.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung
Die Experimentieranordnung bestand im Wesentlichen aus einem
evakuierten und dann mit Wasserstoff gefüllten Glaskolben, einem
evakuierten Fadenstrahlrohr und einem Wehnelt-Zylinder.
An einer Glühwendel (Kathode) wurden Elektronen emittiert. Diese wurden
durch eine bekannte Beschleunigungsspannung
, die zwischen der
Kathode und einer ringförmigen Anode anlag, auf eine Geschwindigkeit
gebracht, die mit (2) bestimmt werden konnte. Danach traten sie in den
Wehnelt-Zylinder ein, dessen Wände negativ geladen waren, was eine
Fokussierung des Elektronenstrahls ermöglichte.
In dem Glaskolben wurden die Elektronen dann von dem durch zwei
Helmholzspulen erzeugten Magnetfeld auf eine Kreisbahn gelenkt. Durch
Stöße mit Wasserstoffteilchen wurden Photonen emittiert, wodurch der
Strahlenverlauf der Elektronen sichtbar wurde. Dieser Effekt wird noch in
der Beschreibung des Franck-Hertz-Versuchs unter III.3.1 genauer erläutert
werden.
In dem Kolben war ein Metallgestell angebracht, welches mit einem
Material beschichtet war, das durch die Elektronen zum Leuchten angeregt
wurde (Lumineszenz). Dadurch konnte der Radius der Kreisbahn der
Elektronen abgelesen werden. Das Gestell war bei den Abständen
,
,
und
markiert, was den jeweiligen Radien der
Strahlenbahnen entsprach.
7
Fadenstrahlrohr(8)
Für jeden Radius wurde die Beschleunigungsspannung in
‒Schritten
von
auf
erhöht und das Magnetfeld jeweils mittels einer HallSonde gemessen. Folgende Werte wurden aufgenommen:
in m
0,02
0,03
in V
0,04
0,05
0,84
0,98
1,03
1,10
1,15
1,22
0,65
0,71
0,76
0,83
0,88
0,95
in mT
150
170
190
210
230
250
2,04
2,22
2,29
2,45
2,61
2,63
II.1.3 Auswertung
Um auf das Verhältnis
1,15
1,40
1,48
1,54
1,61
1,69
zu kommen, wird die Gleichung (3) wie folgt
umgestellt:
Nun wird
über
graphisch aufgetragen, sodass man eine Gerade
erhält, deren Anstieg gleich dem gesuchten Verhältnis ist.
U über r²B²/2 (2 cm)
300
250
y = 168,892x + 8,219
U in V
200
150
100
50
0
0,00
0,25
0,50
0,75
r²B²/2 in
10-9
1,00
1,25
1,50
m²T²
Dieses Diagramm ist repräsentativ für die anderen Diagramme der Radien
von
,
und
.
Aus den jeweiligen Anstiegen wird die konstante Elementarladung
errechnet, indem der Wert mit der Elektronenmasse multipliziert wird.
Für dieses Diagramm ist der Anstieg der Regressionsgeraden
8
Daraus ergibt sich die Elementarladung:
Die Rechnungen für die restlichen Anstiege werden analog ausgeführt. In
der Reihenfolge der Diagramme ergeben sich folgende Werte:
in cm
2
3
4
5
in
C Fehler in
1,539
1,370
1,521
1,524
C Rel. Abweichung
0,125
0,169
0,100
0,067
–4,0%
–14,0%
–5,1%
–4,9%
Die Fehler der Punkte bezüglich der Regressionsgeraden wurden mit Excel
berechnet.
Die Abweichungen vom Vergleichswert liegen für drei Viertel der
Messreihen in einem annehmbaren Bereich. Der Wert für den Radius von
weicht etwas mehr ab als die anderen, was hauptsächlich auf einen
größeren Ablesefehler beim Experimentieren zurückzuführen ist.
Als Endwert dieses Versuches erhält man durch Mittelwertbildung für die
Elementarladung
Der Fehler wurde mit Hilfe von Excel basierend auf den Fehlern aus obiger
Tabelle berechnet.
Messunsicherheiten traten vor allem beim Einstellen des Strahls auf den
jeweiligen Radius auf, da die Genauigkeit im Ermessen des Experimentators
lag. Aufgrund der Streuung des Elektronenstrahls konnte dieser Punkt von
vornherein nur mit begrenzter Genauigkeit bestimmt werden. Die Streuung
kam dadurch zustande, dass die Elektronen nicht alle exakt dieselbe
Anfangsgeschwindigkeit hatten und somit unterschiedlich starke
Krümmungsradien erfuhren.
Das Magnetfeld kann man als homogen und zeitlich konstant betrachten,
die Schwankungen der Werte des Magnetfeldes waren verschwindend
gering und die Fehler der digitalen Messgeräte können als vernachlässigbar
klein angenommen werden.
Auffällig ist, dass alle Werte unter dem Tabellenwert liegen, mit in etwa
derselben Abweichung, ausgenommen dem Zweiten. Um die Ergebnisse
vergleichen und einordnen zu können, wurde ein weiterer Versuch
durchgeführt.
9
CODATA-Wert
Elementarladung:
für
die
II.2 Methode nach Busch (Kathodenstrahlrohr)
Hans Busch war der Begründer der Theorie der Elektronenoptik, in der das
geometrische Verhalten von Elektronenbewegungen in Magnetfeldern
beschrieben wird(9), (10). Ein Bestandteil dieser Theorie ist die Fokussierung
von Elektronenbündeln mit Hilfe von Magnetfeldern, was auch der
Grundgedanke dieses Experiments war, welches in den 1920ern in
ähnlicher Form durchgeführt wurde. Buschs Arbeit trug unter anderem
wesentlich zur Entwicklung des Elektronenmikroskops bei.
II.2.1 Theoretische Vorüberlegung
Wie bereits erwähnt, war der Grundgedanke dieses Experiments, dass sich
ein Elektronenstrahl im homogenen Magnetfeld fokussieren lässt.
Hans Busch (1884-1973)(11)
war ein deutscher Physiker und der
Begründer der Elektronenoptik.
Es wurde davon ausgegangen, dass sich die Geschwindigkeitsvektoren eines
nicht parallel zu den Magnetfeldlinien eintretenden Elektronenstrahls
bezüglich der Feldlinien nach dem Superpositionsprinzip addieren lassen.
Die parallele Komponente beschreibt eine geradlinig gleichförmige
Bewegung, da sie vom Magnetfeld nicht beeinflusst wurde, während die
senkrechte eine Kreisbahn beschreibt.
Für die senkrechte Geschwindigkeitskomponente eines Elektrons gilt die
hergeleitete Gleichung (1). Daraus folgt dann für den Radius der Kreisbahn:
da
immer senkrecht zu den Magnetfeldlinien steht. Betrachtet werden
deshalb wieder nur die Beträge. In den folgenden Gleichungen werden
ebenfalls nur die Beträge betrachtet, da das Problem in eindimensionale
Bewegungen zerlegt wird.
Aus den Beziehungen
folgt
und mit obiger Beziehung (4):
für
die
Umlaufzeit
eines
Elektrons
mit
senkrechter
Geschwindigkeitskomponente. Hier ist schon zu erkennen, dass die
10
Umlaufzeit weder von der Anfangsgeschwindigkeit, noch vom Radius
abhängt.
Für die Parallelkomponente gilt das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der
geradlinig gleichförmigen Bewegung: Während Umlaufzeiten legt ein
Elektron mit paralleler Komponente die Strecke
zurück, und
mit (5) und der Winkelbeziehung für ergibt sich
Wenn man nun davon ausgeht, dass der Winkel gegen die Feldlinien, unter
dem der Elektronenstrahl eintrifft, sehr klein ist, kann man den Cosinus
gleich
eins
setzen,
d.h.
der
Betrag
der
parallelen
Geschwindigkeitskomponente ist in guter Näherung gleich dem der
Anfangsgeschwindigkeit. Für die Geschwindigkeit gilt wieder die Beziehung
(2), sodass diese nach
aufgelöst und in (6) eingesetzt werden kann.
Daraus ergibt sich für das gesuchte Verhältnis
Das steht für die Anzahl der Schleifen, die ein Elektron auf einem
bestimmten Weg durchlaufen konnte, um wieder fokussiert am
Schirm anzukommen.
II.2.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung
Die Anordnung bestand aus einer braunschen Röhre, die längs in einer
Zylinderspule platziert wurde, sodass der Elektronenstrahl im Mittel parallel
zum Magnetfeld der Spule verlief. In der braunschen Röhre wurden die
Elektronen an einer Glühwendel emittiert und dann wie in obiger
Anordnung (Methode nach Busch) beschleunigt. Am anderen Ende der
Röhre war eine lumineszierende Schicht aufgetragen (Schirm), die die
Positionen der auftreffenden Elektronen sichtbar machte.
Die Spule erzeugte ein starkes Magnetfeld, das die Elektronen, deren
Geschwindigkeitskomponenten sich wie beschrieben addieren, auf eine
Spiralbahn lenkte. Das Divergieren des Elektronenstrahls wurde durch
Ablenkplatten realisiert, an die eine Spannung angelegt wurde.
Ziel war es nun, den Strahl unter verschiedenen Schleifendurchläufen zu
fokussieren und dabei das angelegte Magnetfeld in Abhängigkeit von der
Beschleunigungsspannung zu messen.
Dazu wurde bei konstanter Beschleunigungsspannung der Spulenstrom
solange erhöht, bis auf dem Schirm ein scharfer Punkt erkennbar war.
Daraufhin wurde der Strom solange weiter erhöht, bis dieser Punkt wieder
scharf wurde. Dies wurde jeweils für drei Schleifen wiederholt. Das ganze
wurde für sieben Beschleunigungsspannungen zwischen
und
durchgeführt. Die Wegstrecke in der Röhre betrug
. Das Magnetfeld
wurde mittels einer Hall-Sonde gemessen.
11
in V
545
589
641
702
777
870
990
4,72
7,95
11,18
4,97
8,47
11,69
5,25
8,60
12,38
in mT
1
2
3
3,99
6,78
9,54
4,18
6,90
9,87
4,24
7,27
10,23
4,50
7,60
10,72
II.2.3 Auswertung
Bei Auflösung von Gleichung (7) nach
werden, indem
über
kann das Verhältnis
ermittelt
graphisch aufgetragen wird:
Das Reziproke des Anstiegs ist dann das gesuchte Verhältnis. Dies wurde
jeweils für eine, zwei und drei Schleifendurchläufe ausgeführt.
Um die Übersichtlichkeit zu bewahren, wird der Faktor
wie folgt definiert:
B² über k∙U (Ein Schleifendurchlauf)
3,0
y = 5,642E-01x + 1,624E-01
B² in 10-5 T²
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
1,0
2,0
k∙U in
3,0
106
4,0
5,0
V/m²
Auch hier wurden die Diagramme für die Durchläufe mit zwei, bzw. drei
Schleifendurchläufen weggelassen. Sie sind obigem ähnlich.
Nun kann mittels der jeweiligen Anstiege wieder das gesuchte Verhältnis
ermittelt werden.
Für das erste Diagramm ist der Anstieg der Regressionsgeraden
Für die Elementarladung folgt dann mit
12
⁄
(
)
In der Reihenfolge der Diagramme wurden für die Elementarladung
folgende Werte ermittelt:
in
1
2
3
C Fehler in
1,607
2,399
2,736
C Rel. Abweichung
0,049
0,190
0,044
0,31%
50,00%
71,00%
Aus den errechneten Abweichungen vom Tabellenwert ist zu erkennen,
dass der Wert für einen Schleifendurchlauf sehr genau übereinstimmt. Mit
zusätzlichen Schleifen wurde die Messung ungenauer. Dies deutete sich
schon beim Experimentieren an, da es schwierig war, zu erkennen, wann
der Strahl fokussiert war. Offensichtlich wurde der Punkt der Fokussierung
nicht exakt bestimmt. Der erste Messpunkt war eindeutig zu bestimmen.
Aus diesem Grund werden die letzten beiden Messwerte gestrichen und
man erhält für die Elementarladung
Der erste Wert hat eine doch beachtlich hohe Genauigkeit. Das liegt an der
Experimentieranordnung. Die Ströme und Spannungen waren genau
einstellbar und die Messungenauigkeit der digitalen Messgeräte war sehr
klein. Die Länge der Röhre wurde den Herstellerangaben entnommen und
als vertrauenswürdig angesehen.
Auch hier kann das Magnetfeld als homogen und zeitlich konstant
betrachtet werden, d.h. die Schwankungen waren in Bezug auf die
Messwerte vernachlässigbar.
13
CODATA-Wert
Elementarladung:
für
die
III Das plancksche Wirkungsquantum
In der Projektwoche war neben der Elementarladung eine weitere wichtige
Naturkonstante
experimentell
zu
ermitteln:
das
plancksche
Wirkungsquantum. Diese Konstante ist neben der Elementarladung eine
der wichtigsten in der modernen Physik. Sie ist Bestandteil vieler
fundamentaler Gleichungen und taucht in vielen Zusammenhängen auf.
Max Planck nahm sie als erster in seine Überlegungen auf, um damit ein
thermodynamisches Phänomen leichter beschreiben zu können. Später
sollte sich herausstellen, dass diese zuerst nur hypothetische Konstante ein
neues Teilgebiet der Physik einleitete.
Das plancksche Wirkungsquantum kommt in vielen physikalischen
Gleichungen vor, z.B. bei der Beschreibung der brownschen
Molekularbewegung oder der Energie von Lichtbündeln, den Photonen.
Weiterhin formulierte Heisenberg mit der Konstante seine
Unschärferelation und der Spin von Elektronen wird in der „Einheit“
⁄ angegeben.
III.1 Äußerer lichtelektrischer Effekt
Das plancksche Wirkungsquantum wurde 1900 von Max Planck bei der
Beschreibung von Strahlung schwarzer Körper als Hilfskonstante eingeführt.
Erst später merkte man, wie wichtig diese Konstante für die
Quantenmechanik ist. Der äußere photoelektrische Effekt wurde zwar
schon 1887 von Heinrich Hertz entdeckt, aber erst 1905 postulierte Albert
Einstein dann, dass es Lichtquanten mit der Energie
gibt und
erklärte damit den Photoeffekt.
Heinrich Hertz (1857-1894)(12)
war ein deutscher Physiker, dem es
erstmals gelang, elektromagnetische
Wellen nachzuweisen.
III.1.1 Theoretische Vorüberlegung, experimenteller Aufbau und
Durchführung
In einer evakuierten Glaskugel fiel Licht auf eine Photokathode. Die
Elektronen in der Photokathode sind mit einer bestimmten Energie im
Metall gebunden. Die Arbeit, die man aufbringen muss, um diese zu
überwinden, nennt man Austrittsarbeit. Jedes Photon des Lichts der
Frequenz
besitzt die Energie
. Wenn die Energie der
auftreffenden Photonen größer als die Bindungsenergie der Elektronen ist,
werden diese gelöst und bewegen sich mit einer Geschwindigkeit
in
irgendeine Richtung von der Photokathode weg, sie haben also die
kinetische Energie
wobei
die an den Elektronen zu verrichtende Austrittsarbeit ist. Dieser
Photokathode stand im Glaskolben eine Anode gegenüber, bei der die
Elektronen ankamen. Die Anode war außerhalb des Glaskolbens leitend mit
der Kathode verbunden, sodass ein Ladungsausgleich stattfinden konnte
und dabei über ein Amperemeter der sogenannte Photostrom gemessen
14
werden konnte. Die Idee war nun, eine Gegenspannung anzulegen und
diese so lange zu erhöhen, bis gerade eben kein Photostrom mehr fließt.
Diese Methode nennt man Gegenfeldmethode. So ist die Energie
gleich der kinetischen Energie der schnellsten Photoelektronen, also
Veränderte man nun , dann veränderte sich auch , alle anderen Größen
der Gleichung sind konstant. Trägt man
über graphisch auf, erhält
man eine Gerade mit der Steigung . Je mehr verschiedene Frequenzen
benutzt werden, desto genauer kann aus dem Anstieg der
Ausgleichsgeraden das Plancksche Wirkungsquantum ermittelt werden.
Es wurde nun eine Photozelle mit einer Quecksilberdampflampe bestrahlt.
Um mit verschiedenen Frequenzen, also Farben, bestrahlen zu können,
wurde ein Prisma zwischen Lampe und Zelle gestellt. Wenn man jetzt die
Kathode bestrahlte, konnte man einen Strom
messen. Da die
ausgetretenen Elektronen wieder abgebremst werden sollten, wurde eine
Spannung angelegt, die der Bewegungsrichtung der Elektronen entgegen
wirkte, bis auch die schnellsten Elektronen nicht mehr die Anode
erreichten.
III.1.2 Auswertung
Die Werte der angelegten Spannung und des verbleibenden Stromes
wurden für verschiedene Wellenlängen gemessen und graphisch
aufgetragen. Eine solche graphische Darstellung von
über
sieht
folgendermaßen aus:
I über UB (gelb)
30
Schematischer
Schaltung(13)
25
I in pA
20
15
10
5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
UB in V
Um den genauen Schnittpunkt mit der x-Achse zu ermitteln, ist es sinnvoll,
die Werte so aufzutragen, dass man einen linearen Zusammenhang erhält.
√ aufgetragen über der Bremsspannung liefert in etwa einen solchen
linearen Zusammenhang:
15
Aufbau
der
√I über UB (gelb)
6,00
√I in pA1/2
5,00
4,00
3,00
2,00
y = -9,6416x + 5,1577
1,00
0,00
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
UB in V
Aus dieser Graphik kann man nun durch Extrapolation die Spannung
ermitteln, bei der kein Strom mehr fließt.
für die Frequenz
liegt bei
√
Die fehlenden Diagramme der anderen
Farben haben ähnliche Verläufe und
werden somit nicht weiter aufgeführt.
:
√
Analog wird dies für die anderen Farben durchgeführt.
Die ermittelten Spannungen und die Energien der Elektronen bei den
verschiedenen Frequenzen lauten:
Farbe
violett
blau
türkis
grün
gelb
in
Hz(13.1)
7,41
6,88
6,08
5,49
5,19
in V
1,50
1,26
1,04
0,71
0,54
in
2,40
2,16
1,92
1,28
0,87
Wenn man nun die Energie der Elektronen über der Frequenz des
bestrahlenden Lichtes aufträgt, erhält man eine Graphik mit dem linearen
Zusammenhang
mit der Steigung
der Geraden von
16
eU0 über ν
3
y = 0,6527x - 2,3229
eU0 in 10-19 J
2,5
2
1,5
1
0,5
0
5
5,5
6
6,5
Frequenz in
7
1014
7,5
8
Hz
Der Wert des planckschen Wirkungsquantums beträgt nach der
Regressionsanalyse
mit einer Standardabweichung von
. Es wurde also ermittelt zu
Damit beträgt die relative Abweichung zum Tabellenwert
CODATA-Wert für
Wirkungsquantum:
das
plancksche
.
Dies ist eine recht kleine Abweichung, der ermittelte Wert für liegt nah
am vorgegebenen Wert. Daraus kann man schließen, dass das Verfahren
gut geeignet ist, um die Konstante zu bestimmen. Allerdings werden noch
andere Messmethoden, wie auch bei der Bestimmung von , benötigt, um
ein aussagekräftiges Ergebnis für zu erhalten.
Eine dieser Methoden bedient sich der Röntgenspektroskopie.
III.2 Röntgenspektroskopie
Zur Grundidee dieses Versuches ist zu sagen, dass man, statt Elektronen
durch elektromagnetische Strahlung aus einer Metallschicht herauszulösen,
nun durch Elektronen, die auf eine Metallschicht treffen,
elektromagnetische Strahlung erzeugt.
Was für elektromagnetische Strahlung wird dabei emittiert? Im November
1895 entdeckte Wilhelm Conrad Röntgen die sogenannten X-Strahlen
(später Röntgenstrahlen). Dabei handelt es sich um elektromagnetische
Strahlung im Wellenlängenbereich von
bis
.
III.2.1 Theoretische Vorüberlegung
Der Frequenzbereich der Röntgenstrahlung liegt über dem UV-Bereich des
sichtbaren Lichtes, aber noch unter der Gammastrahlung. Dieser Bereich
des elektromagnetischen Spektrums ist für das menschliche Auge nicht
sichtbar, aber aufgrund seiner kurzwelligen Eigenschaften für die
Menschheit an sich sehr wichtig. Es durchdringt verschiedene Materialien
17
Wilhelm Conrad Röntgen
(1845– 1923)(14)
war ein deutscher Physiker und der
Entdecker der Röntgenstrahlung.
und kann damit zum „Durchleuchten“ nichtmetallischer Objekte genutzt
werden, z.B. des menschlichen Körpers. Dabei reagiert die
Röntgenstrahlung mit einer Photoplatte genau wie Licht des sichtbaren
Bereiches.
Wie ist es nun möglich dies zu verwirklichen? Diese Frage wird durch das
Prinzip der Röntgenröhre beantwortet. Dabei werden in einem evakuierten
Glaskolben von einer Heizkathode Elektronen gelöst und mit einer
Spannung im Bereich von
auf eine Anode
beschleunigt. Beim Auftreffen der Elektronen auf die Anode werden diese
abgebremst und die dadurch emittierte Strahlung, die sogenannte
Bremsstrahlung,
erzeugt
das
kontinuierliche
Spektrum
der
Röntgenbremsstrahlung.
Daneben existiert noch ein charakteristisches Linienspektrum, welches
materialabhängig ist. Jedoch ist dieses für die Zwecke der späteren
Auswertung unwichtig und kann somit vernachlässigt werden. Dieses
Linienspektrum wird über hochenergetische Übergänge innerhalb der
Elektronenhülle der Atome emittiert.
Wie kommt es nun zu dieser Bremsstrahlung? Bremsstrahlung ist eine
elektromagnetische Strahlung, in diesem Fall ist sie die erzeugte
Röntgenstrahlung. Sie entsteht, wenn auf ein geladenes Teilchen (hier
Elektron) eine Beschleunigung wirkt.
Formal sieht dies wie folgt aus:
Beim Eintritt der Elektronen in die Anode werden diese durch die atomaren
Bestandteile innerhalb des Metalls durch Coulomb-Wechselwirkungen
abgebremst und abgelenkt. Dabei wird die kinetische Energie der Teilchen
verringert. Diese Energiedifferenz wird als Bremsstrahlung emittiert. Für die
folgende Auswertung sind die Elektronen mit maximalem Energieverlust
wichtig, da dort die gesamte kinetische Energie der Elektronen frei wird.
Schema einer Röntgenröhre
(15)
Daraus folgt, dass das Spektrum der Röntgenstrahlung von der
Beschleunigungsspannung, also der kinetischen Energie der Elektronen,
abhängig ist.
18
Intensität
Abbremsen/ablenken eines Elektrons
durch Coulomb-Wechselwirkungen(16)
λ
λmin
Röntgenbremsspektren bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen
(Blau: hoch, Schwarz: gering)
In der obigen Darstellung, in welcher die Intensität über der Wellenlänge
aufgetragen wurde, fällt auf, dass sich das Spektrum mit sich ändernder
Beschleunigungsspannung verschiebt. Außerdem erkennt man, dass es eine
Mindestwellenlänge gibt, unter der keine Röntgenstrahlung emittiert wird.
Diese Mindestwellenlänge ist im späteren Versuch der zentrale Ansatzpunkt
für die Auswertung.
Um diese Bedingungen in Formeln zu fassen, geht man von der
Energieerhaltung aus. Die Elektronen werden zur Anode hin beschleunigt,
sie besitzen eine kinetische Energie. Nimmt man an, dass diese Elektronen
ihre gesamte Energie für das Emittieren von Strahlung aufwenden, ergibt
sich somit:
Weil ein Elektron maximal eine
kinetische Energie aufnehmen kann,
die
beträgt, erkennt man
schnell, dass es bei totalem
Energieverlust eine maximale Frequenz
gibt, die emittiert wird.
Dies gilt für die maximalen kinetischen Energien und folglich auch für die
maximalen Frequenzen. (Dies entspricht der minimalen Wellenlänge
.)
III.2.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung
Zentrales Bauelement des Versuchsaufbaus war ein Röntgenspektrometer.
Der Detektor des Spektrometers war an einen Impulswandler gekoppelt.
Über ein Hardwareinterface wurden die Signale des Impulswandlers an
einen PC geleitet. Dort wertete eine Software die Messdaten aus.
Versuchsaufbau
Das Innenleben des Spektrometers ist in der schematischen Darstellung
rechts gezeigt. In der drehbaren Halterung konnte ein beliebiges Gitter oder
ein beliebiger Kristall eingesetzt werden.
Die in dem Röntgenspektrometer verbaute Röntgenröhre war mit einer
Kupferkathode ausgestattet, dies hatte aber keinen wichtigen Einfluss auf
das Experiment, weil hier ausschließlich das kontinuierliche
Röntgenspektrum interessant war.
Schema
des
Versuchsaufbaus
innerhalb des Röntgenspektrometers
(17)
19
Für die Durchführung des Versuches wurde in das Röntgenspektrometer
ein LiF-Kristall eingesetzt. Über die Mechanik des Gerätes war es nun
möglich, den Einfallswinkel der Röntgenstrahlung auf den LiF-Kristall zu
variieren, da sich der Detektor automatisch an den Einfallswinkel anpasste.
Über die Software gelang es nun die Intensität des am Kristall
reflektierten/gebeugten Röntgenlichtes aufzunehmen.
LiF-Kristall = Lithiumfluorid(18)
Nun wurde das Messintervall des Einfallswinkels von 5° bis 20° am
Röntgenspektrometer festgelegt. Die Software nahm dann in sehr kleinen
Abständen die Intensität in Abhängigkeit des Einfallswinkels auf.
In diesem Fall wurde ein LiF-Kristall mit
einem Gitterabstand von
verwendet.
Vollständiges Röntgenspektrum
(19)
Dieser Versuchsablauf wurde für Beschleunigungsspannungen zwischen
und
durchgeführt.
Sowohl die graphische als auch die tabellarische Darstellung ließen sich
anschließend exportieren. Zur weiteren Bearbeitung in der Auswertung
werden ausschließlich die tabellarischen Werte benutzt.
20
III.2.3 Auswertung
Nun trägt man für jede Beschleunigungsspannung die Intensität über den
Beugungswinkel auf. Über den Bragg-Zusammenhang lässt sich die
Wellenlänge bestimmen.
250
25 kV
200
24 kV
22 kV
Dies bedeutet, dass wenn die
Röntgenstrahlung
unter
einem
bestimmten
Winkel
auf
ein
Kristallgitter trifft, es in Abhängigkeit
der Wellenlänge
zu konstruktiver
bzw. destruktiver Interferenz kommt.
Betrachtet man das Interferenzbild, so
kann man folglich eine Aussage über
die Wellenlänge(20) treffen:
Intensität
19 kV
150
17 kV
15 kV
100
50
In diesem Versuch wird in der Ordnung
geblieben.
0
4,00E-11
5,00E-11
6,00E-11
7,00E-11
8,00E-11
9,00E-11
λ in m
Am groben Verlauf der Kurven erkennt man bereits, dass für jede
Beschleunigungsspannung erst ab einer bestimmten Wellenlänge
Röntgenlicht reflektiert wird.
Über lineare Extrapolation lässt sich nun aus dem Diagramm möglichst
genau diese Mindestwellenlänge bestimmen. Dies ist beispielhaft für zwei
Beschleunigungsspannungen dargestellt, die vollständige Ansicht ist dem
Anhang zu entnehmen.
250
25 kV
200
19 kV
Intensität
Extrapolation
150
100
50
0
4,00E-11
5,00E-11
6,00E-11
7,00E-11
8,00E-11
9,00E-11
λ in m
Nach der linearen Extrapolation kann man die gewonnenen
Mindestwellenlängen über der Beschleunigungsspannung auftragen. Um
21
jedoch das Ziel,
zu bestimmen, zu erreichen, macht man sich den
folgenden Zusammenhang zunutze:
⁄
CODATA-Wert
für
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
die
Daraus lässt sich erkennen, dass es sinnvoller ist, ⁄ über
aufzutragen. Weil es sich nur um zusätzliche Konstanten handelt, können
die Messwerte umgerechnet und graphisch aufgetragen werden.
In der Formel ist zu erkennen, dass es sich bei um den Anstieg einer
Geraden handeln muss. Aus diesem Grund bietet sich eine
Regressionsanalyse an:
Regressionsgerade
eU in 10-15 J
⁄
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
y = 0,661x - 0,219
3
3,5
4
4,5
c/λ in
5
5,5
6
6,5
1018 Hz
Nun ist der Anstieg dieser Geraden bekannt. Daraus wurde für diesen
Versuch ein
ermittelt.
Wenn man dieses Diagramm betrachtet, erkennt man, dass die genaue
Kenntnis über eine andere Elementarkonstante vorausgesetzt werden
muss: die Elementarladung des Elektrons. Nun kann man die Auswertung
über dieses Bremsspektrum der Röntgenstrahlung auch anders vornehmen.
Setzt man die Kenntnis über das plancksche Wirkungsquantum voraus,
erhält man auf analogem Weg einen Wert für die Elementarladung.
Diese ergibt sich nun aus dem Anstieg einer Regressionsgeraden vom
⁄ :
Auftragen der Beschleunigungsspannung über
22
h·c/λ in 10-15 J
Regressionsgerade
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
y = 0,1559x + 0,3158
12
14
16
18
20
22
24
26
U in kV
Es lässt sich ein
ermitteln.
Das Experiment hat nun jeweils einen Wert für die beiden gesuchten
Naturkonstanten geliefert. Auf der einen Seite einen Wert für das
plancksche Wirkungsquantum und auf der anderen Seite einen Wert für die
Ladung eines Elektrons. Dabei ist aber darauf zu achten, dass beide Werte
jeweils in Abhängigkeit zu dem Literaturwert des jeweils anderen stehen.
CODATA-Wert für
Wirkungsquantum:
Für das plancksche Wirkungsquantum ergab sich
Der Wert weicht um
vom CODATA-Wert ab. Wenn man zusätzlich
die Vertrauensabweichung betrachtet, liegt der ermittelte Wert sehr gut im
Abweichungsintervall.
Die in diesem Versuch ebenfalls bestimmte Elementarladung
weicht um
vom Literaturwert ab. Auch hier liegt der ermittelte Wert
im Fehlerintervall.
Nun ist aber noch zu erwähnen, dass bei der Auswertung dieser Messdaten
einige Schwierigkeiten auftreten können. Bei der linearen Extrapolation
kommt es sehr auf die subjektive Abschätzung des Experimentators an. Dies
kann eine durchaus nicht zu vernachlässigende Fehlerquelle darstellen. Da
aber die gemessenen Daten sowie die Auswertung der Diagramme im
Anhang zu finden sind, kann man diese Abschätzung nachvollziehen und
gegebenenfalls diskutieren und variieren.
23
CODATA-Wert für die
Elementarladung:
das
plancksche
III.3 Franck-Hertz-Versuch
Anfang des 20. Jahrhunderts stellte Niels Bohr sein Atommodell vor. Es
enthielt die Aussage, dass Atome nur diskrete Energiezustände annehmen
können. Franck und Hertz bestätigten diese Aussagen 1914 experimentell.
Sie entdeckten, dass Atome, die sonst elastische Stöße mit Elektronen
durchführen, auf einmal mit Elektronen, die eine bestimmte kinetische
Energie besitzen, unelastisch stoßen, d.h. die Energie der Elektronen
aufnehmen. Diese Energie kann auch durch das von den Atomen emittierte
Licht sichtbar werden.
Gustav Hertz(1887-1975)(21)
War ein deutscher Physiker, der nach
dem Nobelpreis mit J. Frank an einem
Verfahren zur Diffusionstrennung von
Isotopen arbeitete.
III.3.1 Theoretische Vorüberlegung
In diesem Experiment wurden Elektronen in einer evakuierten Glasröhre
zwischen einer Kathode und einem Metallgitter beschleunigt, da das Gitter
zur Kathode positiv geladen war. Dahinter befand sich die Anode, die zum
Gitter negativ geladen war, allerdings war der Betrag der Potenzialdifferenz
viel niedriger als zwischen Gitter und Kathode. Die Elektronen erfuhren
nach ihrer Beschleunigung also eine schwache Abbremsung zwischen Gitter
und Anode. In der Röhre, die Franck-Hertz-Röhre genannt wird, war ein
sehr schwach konzentriertes Gas vorhanden, hier Quecksilberdampf.
Nimmt man den Verlauf der Stromstärke von Gitter zu Anode in
Abhängigkeit der regelbaren Beschleunigungsspannung auf, so entsteht ein
typisches Bild mit mehreren Maxima gleicher Abstände. Diese
charakteristische Kurve wurde, nach ihren Entdeckern, Franck-Hertz-Kurve
genannt und ist in folgender Abbildung schematisch dargestellt.
Der Verlauf zu Beginn zeigt, dass mit steigender Beschleunigungsspannung
auch die Anzahl der Elektronen zunimmt, die die Anode am Ende der
Glasröhre erreichen. Ab einer bestimmten Beschleunigung sinkt die Rate
jedoch stark und die emittierten Elektronen erreichen kaum noch die
Anode. Wird die Beschleunigung nun weiter erhöht, zeigt sich wieder ein
Anstieg des Anodenstroms, bis dieser wie zuvor abrupt abnimmt.
Typische Franck-Hertz-Kurve(22)
Die Erklärung ist in der Quantenphysik zu suchen. Die bewegten Elektronen
stoßen permanent mit den Atomen des eingeschlossenen Gases. Hat ein
Elektron eine bestimmte kinetische Mindestenergie beim Stoß, so wird
diese vom Atom absorbiert und es wird angeregt. Dabei springt nach dem
bohrschen Atommodell ein Elektron in der Hülle des Atoms auf ein höheres
Energieniveau. Da diese Energien diskret sind, also nur bestimmte
Anregungsenergien möglich sind, fällt der Anodenstrom so abrupt ab. Die
schnellsten Elektronen haben nach der Energieabgabe nicht mehr
genügend kinetische Energie, um die Bremsspannung zur Anode zu
überwinden. Das Elektron muss nach diesem unelastischen Stoß weiter
beschleunigt werden, bis es erneut die charakteristische Anregungsenergie
besitzt.
24
Somit entsprechen die Abstände
der Maxima bzw. Minima
untereinander der Beschleunigungsspannung, die aufgewendet werden
muss, um einem Elektron die charakteristische Energie
zur Anregung zu
übertragen:
mit
als Ladung des beschleunigten Teilchens, also hier der
Elementarladung. Die angeregten Atome des Gases geben ihre Energie in
Form von Photonen ab und gehen wieder in den nicht angeregten
Grundzustand. Kennt man die Frequenz der emittierten Photonen, so ist
auch deren Energie
bekannt. Diese entspricht genau der
Anregungsenergie :
Ist nun die Elementarladung sowie die Frequenz der emittierten Photonen
bekannt, so kann man das plancksche Wirkungsquantum
aus dem
Abstand
der Maxima der Franck-Hertz-Kurve errechnen:
III.3.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung
In einem evakuierten Glaskolben befand sich Quecksilberdampf.
Elektronen, die von einem Heizdraht (K) emittiert wurden, wurden darin
durch eine regelbare Spannung ( ) zu einem geladenen Gitter (G) hin
beschleunigt. An dem Gitter erreichten die Elektronen eine maximale
Geschwindigkeit. Ab hier wurden sie wieder von einer Anode (A) gebremst.
Die Elektronen, die genug Energie besaßen, um diese zu erreichen,
verursachten einen Strom, der per Multimeter gemessen wurde. Heiz- und
Bremsspannung wurden so justiert, dass die typische Franck-Hertz-Kurve
auf einem Oszilloskop erkennbar wurde. Der Abstand der hier auftretenden
Maxima ergab den Betrag der Spannung, die nötig war, um ein Elektron aus
der Valenzschale zu lösen.
III.3.3 Auswertung
Die Wellenlänge des emittierten Lichts der Quecksilberatome ist von
anderen Versuchen allgemein bekannt. Das nicht sichtbare Licht hat eine
Wellenlänge von
, besitzt also die Frequenz
25
James Franck (1882-1964)(22.1)
war
ein
deutsch-amerikanischer
Physiker, der Untersuchungen über die
Energieabgabe
von
Elektronen
anstellte und 1925 mit G. Hertz den
Nobelpreis für den hier dargestellten
Versuch bekam.
Prinzipschaltbild einer Franck-HertzRöhre(23)
Nach mehrmaliger Justierung der Beschleunigungsspannung
, der
Bremsspannung und der Leistung der Glühkathode zeigte die Kurve auf
dem Oszilloskop den erwarteten Verlauf.
Mit diesen Einstellungen ergab die Messung der Maxima mittels der
Multimeter die Werte
Gerät zur Justierung der Werte der
Franck-Hertz-Röhre.
Die charakteristische Franck-HertzKurve, die mit den Multimetern
„vermessen“ wurde.
Die
Vertrauensabweichung
errechnet
sich
aus
Standardabweichung
Einzelwerte und der Anzahl
Werte zu
in V
1
2
3
4
5,8
10,5
15,5
20,2
4,7
5,0
4,7
. Daraus ergibt sich das Plancksche
Da die Messunsicherheiten der verwendeten Messgeräte kleiner sind als
der Standardfehler der Maxima-Abstände
, wird dieser als Grundlage der
Fehlerrechnung verwendet. Daraus ergibt sich eine Vertrauensabweichung,
basierend auf den 3 Messwerten, von
̅
√
ist der sogenannte Studentfaktor und
hängt von
ab. Er korrigiert die
Abweichung nach oben, da die
ermittelten Werte nicht normalverteilt
sind.
in V
Im Durchschnitt ist also ̅̅̅̅
Wirkungsquantum zu
Bei der Maxima-Messung mit den Multimetern wurde
also ermittelt zu
Auch ein Digitaloszilloskop zeigte nach der Justierung die typische FranckHertz-Kurve:
Anodenspannung (~ Anodenstrom) in V
̅
̅
der
der
der
Maximum
300
250
200
150
100
50
0
8
13
18
23
Beschleunigungsspannung UB in V
26
28
Hierbei wurden die Abstände der Maxima über verschiebbare
Markierungen in der zugehörigen Computersoftware ermittelt zu
Mit ̅̅̅̅
Maximum
in V
in V
1
2
3
4
10,9
15,7
20,7
25,7
4,8
5,0
5,0
Die Messkurve des Digitaloszilloskops
am Computer. Zu sehen sind außerdem
die verschiebbaren Messmarkierungen
(Linien).
ergibt sich
Die Vertrauensabweichung ist dabei
̅
und der Wert des planckschen Wirkungsquantums somit anzugeben als
Die Messungen des Digitaloszilloskops scheinen genauer gewesen zu sein,
da eine geringere Unsicherheit ermittelt wurde. Allerdings basiert diese
Berechnung auf lediglich 3 Messwerten. Da sich die Messwerte, die durch
die Multimeter und das Digitaloszilloskop ermittelt wurden, sehr ähneln, ist
es sinnvoll, sie als eine Messreihe mit 6 Messwerten zu betrachten und
somit ein genaueres Ergebnis zu erhalten.
Die Berechnungen führen dabei zu den Ergebnissen
̅
An der Vertrauensabweichung ist zu erkennen, dass der nun ermittelte
Wert in etwa doppelt so genau wie zuvor sein müsste. Schließlich kann man
angeben
Der ermittelte Wert hat eine relative Abweichung vom Tabellenwert von
und ist damit sehr genau. Er ist sogar etwa 10 Mal genauer, als es
die errechnete Unsicherheit annehmen lässt.
27
CODATA-Wert für
Wirkungsquantum:
das
plancksche
III.4 Wasserstoffspektroskopie
Ende des 19. Jahrhunderts untersuchte der Mathematiker Johann Jakob
Balmer die vier damals bekannten, sichtbaren Wellenlängen des
Wasserstoffspektrums. 1885 fand er heraus, dass diese vier Wellenlängen
durch eine mathematische Formel dargestellt werden können.
(
Johann Jakob Balmer (1825-1895)(24)
war ein schweizer Mathematiker und
Physiker, hauptberuflich war er
Mathematiklehrer in Basel.
Johannes Rydberg (1854-1919)(25)
war ein schwedischer Physiker, der
hauptsächlich für die nach ihm
benannte Rydberg-Formel bekannt ist.
Sie gibt das Emissionsspektrum von
Wasserstoff an.
)
Die weiteren möglichen Wellenlängen, die aus dieser Formel folgen,
gehören zur sogenannten Balmer-Serie. Diese Formel ließ aber auch
weitere Wellenlängen zu, die erst später tatsächlich entdeckt wurden.
Im gleichen Jahr untersuchte Johannes Rydberg diesen Zusammenhang und
bestätigte ihn. Er fand heraus, dass diese Wellenlängen emittiert werden,
wenn ein Elektron auf eine niedrigere Schale wechselt. Diese Feststellung
stimmte mit dem bohrschen Atommodell überein, das besagt, dass Atome
nur bestimmte Energieniveaus einnehmen können.
III.4.1 Theoretische Vorüberlegung
Der von Balmer empirisch gefundene Zusammenhang der
Wasserstoffspektrallinien lässt sich über das bohrsche Atommodell, sowie
einige
elektrostatische,
mechanische
und
quantenmechanische
Betrachtungen herleiten.
Betrachtet man die Elektronen, die den Wasserstoffkern umkreisen, als
Wellen, so kann deren Wellenlänge
nur ein ganzzahliges Vielfaches der
Umlaufbahn mit dem Radius sein:
Weiterhin sagt die Beziehung von de Broglie aus, dass zwischen
Wellencharakter und Teilchencharakter der Zusammenhang
besteht. Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit des Elektrons
Da die Elektronen eine stabile Kreisbahn um den Kern vollziehen, kann man
die Zentripetalkraft
mit der Coulombkraft , die das Elektron zum Kern
zieht, gleichsetzen:
ist hierbei Elektronenladung sowie Kernladung des Wasserstoffatoms.
Man erhält aus dieser Beziehung und der zuvor berechneten
Geschwindigkeit schließlich
28
Nun lässt sich die Gesamtenergie eines Elektrons berechnen zu
∫
Folglich erhält man für die Energieänderung
Schale zu einer anderen Schale
des Elektrons von einer
(
)
Diese Energie
muss nach dem Energieerhaltungssatz der Energie des
emittierten Photons beim Schalenwechsel des Elektrons entsprechen, also
und es ergibt sich
(
(
)
)
(
)
Die Konstante
wird Rydbergkonstante genannt. Der Index soll daran
erinnern, dass von einer unendlich großen Kernmasse ausgegangen wird.
Um ein korrekteres Ergebnis für Spektrallinien zu erhalten, muss beachtet
werden, dass sich Elektron und Proton um einen gemeinsamen
Massenmittelpunkt drehen, also ein Zweikörperproblem vorliegt. Dies kann
mit der Einführung der reduzierten Masse gelöst werden, durch die die
Elektronenmasse ersetzt wird:
(
)
(
(
)
)
mit
als Kernmasse, also bei einem Wasserstoffatom die Masse eines
Protons.
29
III.4.2 Experimenteller Aufbau und Durchführung
Mittels eines zuvor kalibrierten Gitterspektrometers wurde das Spektrum
einer Wasserstofflampe aufgenommen. Diese bestand aus einer mit Wasser
gefüllten Kapillare, an der ein Wechselstrom angelegt war. Dadurch
entstand angeregter, elementarer Wasserstoff, der das spektral zu
untersuchende Licht emittierte. Dieses traf im Spektrometer auf ein
optisches Gitter, welches es nach Wellenlänge aufspaltete. Danach traf es
auf einen CCD-Schirm als Detektor, welcher die relativen Intensitäten der
einzelnen Wellenlängen angeben konnte.
III.4.3 Kalibrierung des Gitterspektrometers
Da das verwendete Gitterspektrometer zur Bestimmung von
Emissionsspektren nicht kalibriert war, wurde dies anhand bekannter
Spektren vorgenommen.
Wasserstofflampe
Das Spektrometer hatte eine Auflösung von ungefähr 2000 Pixeln, wobei
jedem Pixel eine Wellenlänge zugeordnet werden muss und darin ein
linearer Zusammenhang angenommen wird. Es wurden die bekannten
Spektren von Quecksilber sowie Neon aufgenommen. Zuerst wurde jeweils
eine grobe Zuordnung der Spektrallinien über ein Bild optisch sichtbarer
Emissionen(26) der Stoffe vorgenommen:
Quecksilberspektrum
Relative Intensität
20000
15000
10000
5000
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1200
1400
1600
1800
2000
Pixelnummer
Neonspektrum
Relative Intensität
15000
10000
5000
0
0
200
400
600
800
1000
Pixelnummer
30
Nun konnten anhand der Farben bereits ungefähre Wellenlängen
ausgemacht werden. Mithilfe der Online-Spektraldatenbank der NIST
(National Institute of Standards and Technology) konnten zahlreiche
Spektrallinien recht eindeutig identifiziert werden(27).
Von etwa 12 Linien des Quecksilbers konnten 8 zugeordnet werden, beim
Neon konnten 21 von etwa 30 Linien zugeordnet werden. Diese 33
Wertepaare ergeben einen linearen Zusammenhang zwischen Pixelnummer
und Wellenlänge . Eine lineare Regressionsanalyse ergibt den
Zusammenhang
Bereits graphisch zeigt sich die Genauigkeit dieser Kalibrierung:
λ(P)
800
Wellenlänge λ in nm
700
600
500
400
Hg
300
Ne
200
Kalibrierung
100
0
0
500
1000
1500
2000
Pixelnummer P
Der Standardfehler
beträgt nach der Regressionsanalyse gerade einmal
31
III.4.4 Auswertung
Der Beginn der Balmer-Serie besteht aus den sichtbaren Spektrallinien des
Wasserstoffs, welche entstehen, wenn ein Elektron aus einer energetisch
höher gelegenen Schale auf die zweite Schale fällt, also
.
Spektrallinien der sichtbaren BalmerSerie(26)
Die ausfindig gemachten Spektrallinien des gemessenen Spektrums wurden
mit ihrer zugehörigen Elektronenschale der angeregten Elektronen
markiert:
Wasserstoffspektrallinien (300...800 nm)
18000
3
4
Relative Intensität
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
5
876
2000
0
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
Wellenlänge λ in nm
Wasserstoffspektrallinien (380...420 nm)
6
300
Relative Intensität
250
200
7
150
100
8
50
0
380
385
390
395
400
405
410
415
420
Wellenlänge λ in nm
Die Messungen dieser Spektrallinien der Wasserstofflampe und die
zugehörigen Schalen
der angeregten Elektronen ergaben die folgenden
Wellenlängen im Vergleich mit den theoretisch errechneten Wellenlängen:
32
in nm
in nm
Relative
(gemessen) (theoretisch) Abweichung
Relative Intensität
>16000,00
15066,00
1009,70
257,75
151,55
27,55
3
4
5
6
7
8
657,7
484,9
434,1
410,9
396,1
390,5
656,28
486,13
434,05
410,17
397,01
388,81
0,220%
–0,250%
0,016%
0,180%
–0,230%
0,430%
Diese Wellenlängen wurden zur größer gemessenen relativen Intensität der
Nachbarpixel hin abgeschätzt und gerundet. Die erwartete Genauigkeit der
Messung ist die Hälfte der kleinsten Skalenschritte, also eines Pixels.
Addiert man dazu noch die Unsicherheit der Kalibrierung, so dürfte die
Unsicherheit der gemessenen Wellenlängen in etwa
betragen, was
sich im Vergleich zu den theoretischen Werten bestätigt.
Nun gilt es aus diesen Wellenlängen und Elektronenschalen und dem
theoretisch bekannten Zusammenhang, das plancksche Wirkungsquantum
zu ermitteln.
Der hergeleitete Zusammenhang war
(
)
(
)
(
)
wird hier behilfweise eingeführt, um den langen Ausdruck des noch zu
verwendenden Wertes zu verkürzen. Dabei ist
die Protonenmasse,
die Elektronenmasse und
die Elektronenschale, auf die das
zuvor angeregte Elektron zurück fällt. Verwendet man nun für die
⁄
enthaltenen Konstanten
und die von der CODATA aktuell
(2006) empfohlenen Werte, so erhält man für
(
Nun lässt sich, als eine Methode,
berechnen:
[
(
)
direkt aus den ermittelten Wertepaaren
)]
33
Auf diesem Wege erhält man die Ergebnisse
in 10-34 Js
in nm
3
4
5
6
7
8
657,7
484,9
434,1
410,9
396,1
390,5
6,63021
6,61982
6,62570
6,62933
6,62037
6,63447
Durchschnitt
6,62665
Vertrauensabweichung
0,00615
Also erhält man für das plancksche Wirkungsquantum über direktes
Umstellen der Formel
Eine höhere Genauigkeit verspricht allerdings eine lineare
Regressionsanalyse, da die hier herrschende Gesetzmäßigkeit in die Form
einer Geradengleichung des Anstiegs gebracht werden kann:
(
* (
)
)+
(
)
( )
(21)
Führt man nun eine Regressionsanalyse durch, so ergibt sich die folgende
Gerade:
y in 10-32 Js/(m1/3)
Regressionsgerade
9,2
9
8,8
8,6
8,4
8,2
8
7,8
7,6
7,4
110
115
120
125
x in m1/3
( )
34
[ (
)]
130
135
140
Es wurde angenommen, dass die gesuchte Gerade durch den Nullpunkt
verläuft. Somit ergibt die Analyse einen Anstieg von
mit einem Standardfehler von
. Also ist das
Plancksche Wirkungsquantum anzugeben mit
Dies ist das gleiche Ergebnis, wie es zuvor über das direkte Umstellen
ermittelt worden ist, allerdings mit einer geringeren Unsicherheit. Der
ermittelte Wert weicht gerade einmal um
relativ vom
Literaturwert ab. Somit zeigt nicht nur die errechnete Unsicherheit,
sondern auch die relative Abweichung, dass diese Messung extrem genau
ist.
CODATA-Wert für
Wirkungsquantum:
IV Zusammenfassung
Es verbleibt ein Vergleich der ermittelten Konstanten und deren
Messmethoden untereinander.
Die Genauigkeiten der ermittelten Werte für die Elementarladung
unterscheiden sich je nach Messmethode. Dabei liegt der als wahr
anzunehmende Tabellenwert aber immer in der ermittelten Unsicherheit.
Methode
Schuster
Busch
Röntgen
Ergebnis
1,488
1,607
1,558
Messergebnisse für in
Unsicherheit
Angabe
Rel. Abweichung
0,184 1,50±0,20
–7,10%
0,049 1,61±0,05
0,31%
0,137 1,56±0,14
–2,70%
Tabellenwert
In der folgenden Graphik werden die Messergebnisse der verschiedenen
Methoden dargestellt. Die rote Linie markiert den allgemein anerkannten
Tabellenwert der Größe. Zu sehen sind jeweils der ermittelte Wert und
dessen Unsicherheit in Form eines Punktes und Balken als Grenzen des
Unsicherheitsbereichs.
Messergebnisse für e in 10-19 C
2
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
Schuster
Busch
Röntgen
35
1,602
das
plancksche
Hierbei stellt die Methode des Kathodenstrahlrohrs nach Busch mit der
kleinsten Unsicherheit die genaueste Messung dar. Etwas ungenauer sind
die Methoden nach Röntgen und Schuster. Dies spiegelt sich auch jeweils in
den ermittelten Werten für
selbst wieder: Je geringer die relative
Abweichung ist, desto kleiner ist der Bereich der Unsicherheit.
Eine Erklärung für die unterschiedlichen Genauigkeiten ist in der Anordnung
der Experimente zu suchen. Im Versuch nach Schuster musste man
entscheiden, wo die Mitte des Elektronenstrahls die Markierung berührte.
Aufgrund der Breite des Strahls, die im Punkt II.1.3 begründet wurde, war
dies schon von vornherein nicht exakt möglich, sodass eine größere
Unsicherheit bzw. eine relativ breite Streuung der Messwerte folgte. Dies
führte zu einem größeren Fehler in der Regressionsanalyse. Zudem konnte
man die Abstände der Markierungen nicht nachmessen. Weil alle
Messwerte unter dem Vergleichswert liegen, könnte auch eine mögliche
Fehlerquelle in der falschen Justierung des beschichteten Metallgestells zu
finden sein.
Die Genauigkeit des Wertes aus dem Röntgenversuch hängt stark von der
Genauigkeit der Extrapolationsgeraden ab. Diese unterliegt einer
subjektiven Einschätzung. Dadurch erfahren die Messwerte eine breite
Streuung, was wieder einen relativ großen Fehler bei der
Regressionsanalyse zur Folge hat.
Wie schon erwähnt, war beim Versuch nach Schuster die erste
Fokussierung sehr genau zu erkennen. Und da, wie beschrieben, alle
anderen Unsicherheiten als vernachlässigbar klein eingestuft werden
konnten, waren ein genauer Wert und ein geringer Fehler die Folge.
Die Unsicherheiten und die tatsächlichen Abweichungen der Mess- von den
Vergleichswerten decken sich also.
Die Genauigkeiten der Methoden zur Bestimmung des planckschen
Wirkungsquantums unterscheiden sich recht deutlich:
Methode
Ergebnis
Photoeffekt
6,527
Röntgen
6,610
Franck-Hertz
6,598
Wasserstoff
6,627
Messergebnisse für in
Unsicherheit
Angabe
Rel. Abweichung Tabellenwert
1,088 6,500±1,100
–1,5000%
0,579 6,600±0,600
–0,2500%
6,626
0,217 6,600±0,300
–0,4200%
0,002 6,627±0,002
0,0085%
Die unterschiedlichen Unsicherheiten lassen sich gut in der Graphik
erkennen:
36
Messergebnisse für h in 10-34 Js
8
7,5
7
6,5
6
5,5
5
Photoeffekt
Röntgen Franck-Hertz Wasserstoff
Auch
hier
liegt
der
Tabellenwert
in
allen
berechneten
Unsicherheitsbereichen. Dabei fällt allerdings auf, dass die ermittelten
Werte jeweils viel genauer sind, als es ihre Unsicherheiten annehmen
lassen.
Am ungenauesten ist die Bestimmung von über den Photoeffekt. Dies
mag daran liegen, dass sehr kleine Ströme gemessen wurden und die
Nullpunkte der aufgenommenen Kennlinien schwer zu ermitteln waren.
Dadurch sind die Datenpunkte des zugrundeliegenden linearen
Zusammenhangs sehr gestreut, was die Regressionsanalyse ungenauer
werden lässt.
Etwas genauer scheint die Methode der Röntgenspektroskopie zu sein.
Allerdings mussten auch hier aus schwankenden Messreihen Nullpunkte
lediglich abgeschätzt werden. Daher ist auch hier die Regressionsanalyse
durch gestreute Datenpunkte ungenauer.
Beim Franck-Hertz-Versuch hingegen waren Maxima einer Kurve zu
ermitteln, die genauer zu erkennen waren als die Nullpunkte der Kennlinien
der vorherigen Versuche. Die kleinere Unsicherheit entsteht aus den
weniger gestreuten Werten der Maxima-Abstände der Franck-HertzKurven.
Die weitaus genaueste Messung von gelang über die Spektroskopie von
angeregtem Wasserstoff. Dies ist einerseits der sehr genauen Kalibrierung
des Spektrometers zu verdanken, die erst durch Kenntnis von zahlreichen
Spektrallinien der zur Kalibrierung verwendeten Stoffe möglich war.
Andererseits sind Spektrallinien von Atomen sehr scharf und müssen kaum
abgeschätzt werden.
37
V Anhang
V.1 Literaturnachweise
(0)
(0.1)
(1)
(2)
(3), (4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
http://www.zitate.de/db/ergebnisse.php?autor=Planck,+Max
http://www.einstein-gymnasium-vk.de/einsteinprojekt/wissenschaftliche_kollegen/g2.jpg
commons.wikimedia.org/wiki/File:Niels_Bohr.jpg
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html
http://www.kuertz.name/files/Physik3.pdf
http://www.leifiphysik.de/web_ph10/geschichte/10lorentz/lorentz.htm
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Schuster_Arthur_signature.jpg
http://www.fkg-wuerzburg.de/schule/faecher/physik/lk/material/m12/lorentz.php
http://www.quantenphysik-schule.de/images/ubr_fadenstrahlrohr.jpg
http://www.deutsches-museum.de/sammlungen/ausgewaehlte-objekte/meisterwerkev/elektronenmikroskop/
(10)
http://www.amuseum.de/mikroskopie/mikroskopvortrag4.htm
(11)
http://www.physik.uni-jena.de/profgalerie/grafik28.pdf
(12)
home.arcor.de/lehmann-christian/html/funktechnik/
(13)
http://www.physik.tuberlin.de/institute/IFFP/moses/Subsites/themenseiten/photoeffekt/photoeffekt_anordnung.png
(13.1) Quelle der Wellenlängen aus „Physikalisches Praktikum“, Geschke u.a., 10. Auflage, Teubner Verlag
(14)
http://media.dwds.de/dta/media/img/autoren/Wilhelm_Conrad_R%C3%B6ntgen-cropped.JPG
(15)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/Roentgen-Roehre.png
(16)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Bremsstrahlung.svg/180pxBremsstrahlung.svg.png
(17)
http://www.ulfkonrad.de/bilder/grafik/physik/atom-quant/roentgen-spek.jpg
(18)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/NaCl_polyhedra.png/700pxNaCl_polyhedra.png
(19)
http://www.ulfkonrad.de/bilder/grafik/physik/atom-quant/roentg-spek-lif201-25.jpg
(20)
http://ruby.chemie.uni-freiburg.de/Vorlesung/methoden_II_3.xhtml
(21)
http://geschichte.sachsen.de/pe/1150.htm
(22)
Gerthsen Physik, S. 697, 23. Auflage. [Online-Ausg.], 2006
(22.1) http://www.britannica.com/EBchecked/topic-art/216901/10785/James-Franck
(23)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Schaltbild_Franck_Hertz_Versuch
.png/300px-Schaltbild_Franck_Hertz_Versuch.png
(24)
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Balmer.html
(25)
http://www.answers.com/topic/johannes-rydberg
(26)
Jan Homann, 2009, Doktorand in Physikander University of Pennsylvania
(27)
Online-Spektraldatenbank der NIST :http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/lines_form.html
38